Funções trigonométricas

Funções trigonométricas

(Parte 1 de 3)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO

Centro de Ciências Agrárias - CCA

Curso: Zootecnia

Disciplina: Fundamentos de Matemática

Tema: Funções Trigonométricas

(seno, cosseno, tangente).

São Luís - MA

2011

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO

Discentes: Deise Anchieta

Elaine Dias

Élison Macedo

Erica Brandão

Luciana Costa

Trabalho dedicado à disciplina de Fundamentos da Matemática, para o professor Elinaldo Morais, referente à terceira nota.

São Luís – MA

2011

Sumário

Introdução sobre Funções trigonométricas ------------------------------------------------ 4

A circunferência trigonométrica-------------------------------------------------------------- 6

Ângulos notáveis-------------------------------------------------------------------------------- 10

Funções trigonométricas na circunferência------------------------------------------------13

  • Função seno------------------------------------------------------------------------------14

  • Função cosseno------------------------------------------------------------------------- 17

  • Função tangente------------------------------------------------------------------------ 18

Outras funções -----------------------------------------------------------------------------------19

Conclusão------------------------------------------------------------------------------------------23

Bibliografia----------------------------------------------------------------------------------------24

  • Introdução sobre Funções trigonométricas

Tentando resolver o problema da navegação, os gregos se interessaram em determinar o raio da Terra e a distância da Terra à Lua. Este último problema implicou no surgimento das primeiras noções de Trigonometria.

O primeiro cálculo da circunferência da Terra foi realizado por Erastóstenes (250 a.C.), o bibliotecário de Alexandria. Seus cálculos dependiam do ângulo formado pela sombra do sol e pela vertical em dois pontos: um ao norte e outro ao sul.

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados. 

Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexos.

A noção de que existe alguma correspondência padrão entre os tamanhos dos lados de um triângulo e os ângulos do triângulo surge assim que se reconhece que  triângulos semelhantes têm as mesmas razões entre seus lados. Isto é, para qualquer triângulo semelhante, a razão entre a hipotenusa (por exemplo) e um dos outros lados permanece a mesma. Se a hipotenusa for duas vezes maior, os lados serão duas vezes maiores. As funções trigonométricas expressam justamente tais razões.

As relações trigonométricas num triângulo retângulo constituíram um avanço no estudo das relações métricas nos triângulos porque estas estabelecem fórmulas que relacionam entre si, medidas de segmentos, enquanto que as razões trigonométricas relacionam medidas de ângulos com medidas de segmentos (lados dos triângulos).

O triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

a: hipotenusa

b e c: catetos

h: altura relativa a hipotenusa

m e n: projeções ortogonais dos catetos

sobre a hipotenusa.

 

A fim de definir as funções trigonométricas de um ângulo agudo não nulo , considera-se um triângulo retângulo que possui um ângulo igual a . As funções são definidas como:

Triângulo retângulo indicando a hipotenusa e os catetos.

Deve-se observar que as funções ficam assim bem definidas, ou seja, a relação entre os lados do triângulo não depende da escolha particular do triângulo, mas apenas dos ângulos do triângulo.

  • A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMETRICA

A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos estão de acordo com as seguintes definições: Se α = 0, P coincide com A.  Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.  Se α < 0, o sentido do círculo será horário.  O comprimento do arco AP será o módulo de α.  

Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para determinarmos a sua imagem. 

Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.

Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π – 5π/6

Propriedades:

i) Dados P(x) = (cos x, sen x) e P(-x) = (cos(-x), sen(-x)), pode-se provar que

cos(-x)=cos x e sen(-x)=-sen(x). E a tg(x)?

Dessa maneira, concluímos que P(-x) é o ponto simétrico de P(x) em relação ao eixo horizontal.

Também notamos que cos é uma função par, e que sen é uma função ímpar

ii) Dados os pontos:

P(x)=(cos x, sen x) e , pode-se provar que  e que . E a ?

Dessa maneira, temos que  é o ponto simétrico de P(x) em relação à reta y = x, que é a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

A partir das propriedades acima, é possível mostrar que:

iii) sen =cos x e cos ;

iv)  e ;

v)  e ;

vi)  e ;

vii)  e .

Através desses propriedades, dado um número real x qual quer, determinamos um arco e, portanto, um ângulo central correspondente, e sabemos determinar o seno e o cosseno desse número real, não importando em qual quadrante se encontre o ponto P(x). Essas relações são conhecidas como fórmulas de redução ao primeiro quadrante, pois nos permite encontrar o seno e o cosseno de um número real qualquer, em termos daquele outro número real que determina um arco no primeiro quadrante.

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