Apostila mecanica dos solidos

Apostila mecanica dos solidos

(Parte 1 de 8)

Mecânica dos Sólidos para a Engenharia Mecânica

Jun Sérgio Ono Fonseca 2002

Sumário

1.1 Referências principais8
1.2 Pré requisitos9
1.3 Hipótese do meio contínuo10
1.4 Notação10
1.4.1 Notação Indicial1
1.4.2 Exercícios12

1I ntrodução 7

2.1 Descrição do movimento. Coordenadas materiais e espaciais15
2.1.1 Exemplos de campos de deformação17
2.2 Medidas de deformação18
2.2.1 Deformações infinitesimais20
2.2.2 Taxas de deformação21
2.3 Exercícios23

2 Deformações 15

3.1 Tensor Tensão26
3.2 Equações do Movimento27
3.2.1 Princípio da conservação da quantidade de movimento27
3.2.2 Exercícios29
3.3 Tensões principais30
3.4 Tensões de Piola-Kirchhoff32
3.4.1 Equações de equilíbrio na formulação lagrangiana34
3.5 Taxas de Tensão35
3.5.1 Exercícios36
4.1 Introdução39
4.2 Comportamento microscópico dos materiais40
4.3 Elasticidade41
4.3.1 Elasticidade “Linear”42
4.3.2 Simetrias constitutivas43

4 Relações Constitutivas 39 3

4.3.3 Elasticidade Linear infinitesimal45
4.3.4 Dilatação térmica48
4.3.5 Modelos constitutivos para borrachas49
4.4 Elastoplasticidade e outras relações constitutivas51
4.4.1 Elastoplasticidade isotrópica51
4.4.2 Viscoelasticidade53
4.4.3 Exercícios53

4 SUMÁRIO

5.1 Formulação do Problema57
5.2 Métodos de solução60
5.2.1 Integração analítica direta do sistema de equações60
5.2.2 Integração numérica direta do sistema de equações61
5.2.3 Método semi-inverso61
5.3 Soluções exatas62
5.3.1 Elasticidade unidimensional62
5.4 Elasticidade bi- e tridimensional70
5.4.1 Equações de compatibilidade70
5.4.2 Equação do movimento em termos de deslocamentos72
5.4.3 Decomposição de Boussinesq-Papkovich-Neuber73
5.4.4 Elasticidade Plana e função tensão de Airy73
5.5 Exercícios7

5 Solução de Problemas 57

6.1 Barras81
6.2 Torção82
6.2.1 Torção de eixos circulares82
6.2.2 Torção em eixos de seção transversal não-circular84
6.3 Flexão de vigas85
6.3.1 Teoria de Euler-Bernoulli86
6.3.2 Deformação lateral (Saint Venant)89
6.3.3 Teoria de vigas de Timoshenko90
6.4 Flexão de Placas93
6.4.1 Hipóteses de Kirchhoff93
6.5 Exercícios98

6 Teorias Estruturais Clássicas 81

7.1 Funcional da energia potencial9
7.1.1 Princípio dos trabalhos virtuais101
7.1.2 Aplicação às equações de viga de Euler-Bernoulli103
7.1.3 Método de aproximação de Ritz105

SUMÁRIO 5

A.1 Matrizes1
A.2 Vetores e tensores cartesianos115
A.2.1 Vetores115
A.2.2 Mudança de coordenadas116
A.2.3 Tensores119
A.2.4 Multiplicação de tensores121
A.3 Cálculo vetorial e tensorial121
A.3.1 Teoremas integrais122

A Revisão de Álgebra Linear e Tensores 1

B.1 Dinâmica de um Sistema de partículas123
B.2 Trabalho e Energia124
B.3 Quantidade de movimento125
B.3.1 Linear125
B.3.2 Angular125
B.4 Sistemas Contínuos de Partículas126
B.4.1 Conservação da Quantidade de Movimento127

B Revisão de Mecânica 123 B.4.2 Conservação da energia ......................... 127

6 SUMÁRIO 6 SUMÁRIO

Capítulo 1 Introdução

A Mecânica dos Sólidos é a parte da Mecânica dos Meios Contínuos que estuda a deformação dos sólidos sob a ação de ações externas, tais como forças mecânicas, magnetismo, eletricidade, calor, etc. A Mecânica dos Meios Contínuos (Mecânica do Contínuo para os íntimos) por sua vez, é a parte da Mecânica que estuda os meios que podem ser representados pela hipótese que a microestrutura do material pode ser desprezada; desta maneira, o corpo pode ser representado como um conjunto contínuo de partículas. Esta disciplina engloba, entre outras, a Mecânica dos Sólidos e a Mecânica dos Fluidos, cuja diferenciação se dá no modelo de comportamento do material, e não nas equações básicas.

A Mecânica dos Sólidos em si é demasiadamente ampla para ser estudada como um todo. Convenciona-se dividí-la em algumas especialidades principais, que normalmente são estudadas separadamente:

• Elasticidade • Elasto-plasticidade

• Mecânica estrutural: vigas, placas, cascas

• Piezoeletricidade

• Viscoelasticidade-viscoplasticidade (fluidos-sólidos)

• Mecânica da Fratura (Micromecânica - meios descontínuos)

A importância da Mecânica dos Sólidos parao engenheiro é fundamental. Nenhum engenheiro pode considerar sua formação completa sem um sólido conhecimento desta área. Os engenheiros de projeto mecânico, especialmente, devem manter-se permanentemente atualizados, já que o uso intensivo da Mecânica dos Sólidos é uma realidade atualmente. A popularização desta área consolidou-se especialmente com o advento de simulações computacionais na década de 70 e principalmente com as facilidades de visualização que tornou as simulações mais acessíveis nos anos 80 e 90.

8 CAPÍTULO1. INTRODUÇÃO

Historicamente, deve-se citar entre os trabalhos pioneiros de Mecânica dos Sólidos as experiênciasde Galileue da Vinci para obter a resistência de peças, embora semuma teoria adequada. Hooke propôs a linearidade entre tensões e deformações em 1678, o primeiro modelo constitutivo. Mas a verdadeira base da mecânica dos sólidos foi estabelecida pelos matemáticos e físicos do século 18 e 19; Euler, os Bernoulli, Lagrange, Germain, Navier, Kirchhoff, Saint-Venant, e tantos outros. Há alguns livros que contam a história desta ciência, tais como o de Timoshenko e o de Todhunter & Pearson.

A unificação da Mecânica dos Sólidos e Fluidos na Mecânica dos Meios Contínuos é assunto mais recente, do último meio século, quando começou-se a estudar a elasticidade finita mais a fundo. Compêndios como o Manual da Física (por Truesdell) popularizaram estabela abordagem, e mostraram a utilidade de se ensinar desta maneira. Na engenharia, esta tendência é bastante recente (últimos 15 anos).

Por que está havendo esta revolução nos currículos das engenharias? Qual a razão para que a antiga Resistência dos Materiais de Timoshenko ou de Nash não é mais adequada?

A resposta é simples: não adianta mais colocar a ênfase na solução de problemas quando todo engenheiro hoje tem a disposição programas de computadores capazes de fazer qualquer exercício do velhos livros do Timoshenko parecer básico. O maior problema hoje é conhecer a teoria o suficiente para entender as hipóteses simplificativas de cada modelo e as limitações de sua aplicação. Sabendo a teoria, por exemplo, pode-nos fazer evitar erros (bastante comuns anteriormente) de se escolher uma teoria estrutural (viga, por exemplo) onde a teoria não se aplica. O que é particularmente problemático é que a automação dos procedimentos de solução através de computadores cria uma falsa segurança para os engenheiros menos preparados, levando-os a ignorar o fenômeno físico e viver uma realidade virtual.

A proliferação de programas de cálculo de estruturas por métodos numéricos está permitindo aos engenheiros reduzir o custo das estruturas, utilizando cada vez menos recursos. Obviamente, isto põe uma pressãotremenda sobre os ombros do projetista, pois falhas de fabricação ou de cálculo quase certamente causarão o colapso de componentes estruturais, não mais protegidos por uma grossa camada de “coeficientes de segurança”.

Estamos agora em uma era de transição, em que as normas estão se adaptando aos novos tempos e que o engenheiro estará colocando sua assinatura com margens de erro cada vez menores. O sólido conhecimento da teoria será cada vez mais nossa maior garantia.

1.1 Referências principais

Há muitas publicações de nível introdutório de Mecânica dos Sólidos, até mesmo em nossa língua, tais como:

• Popov: Introdução à Mecânica dos Sólidos, Blücher, 1978. • Timoshenko e Gere: Mecânica dos Sólidos, LTC, 1983.

1.2. PRÉ REQUISITOS 9

• Beer e Johnston: Resistência dos Materiais, McGraw-Hill, 1982. • etc...

Já em nível avançado, não há muitos livros em Português; o leitor deve se referir a literatura em língua estrangeira, tais como

• Boresi, A.P., R.J. Schmidt e O.M. Sidebottom: Advanced Mechanics of the Materials, Wiley, 1993.

• Boresi, A.P. e K. Chong: Elasticity in Engineering Mechanics, Elsevier, 1987.

• Atkin, R.J. e N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, Longman, 1980.

• Dym, C.L. e I.H. Shames: Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics, McGraw-Hill, 1996.

• Spencer, A.J.R.: Continuum Mechanics, Longman, 1980.

• Malvern, L.: Introduction to the Mechanics of a Continuum Medium, Prentice-Hall, 1969.

• Lai, W.M., D. Rubin e E. Krempl: Introduction to Continuum Mechanics, Pergamon, 1993.

• Fung, Y. C.: A First Course in Continuum Mechanics, Prentice-Hall, 1977

• TabordaGarcia, L. F. e S. F. Villaça: Introduçãoà Elasticidade Não-Linear, COPPE/ UFRJ, 1995.

1.2 Pré requisitos Este curso requer conhecimento prévio dos seguintes tópicos:

• Álgebra Linear básica: vetores, matrizes, espaços vetoriais, autovalores e autovetores.

• Geometria Analítica básica: sistemas de coordenadas, transformação de coordenadas, vetores, cossenos diretores, planos no espaço.

• Cálculo: derivadas ordinárias e parciais, equações diferenciais ordinárias e parciais, transformação de coordenadas

• Mecânica: cinemática e dinâmica de sistemas de partículas: leis de Newton; trabalho e nergia.

10 CAPÍTULO1. INTRODUÇÃO

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