Engenharia de Computacao, Eletrica e de Producao Disciplina:G eometria Analıtica Professor: Data: / / Nome: Turma:

1a Lista de Exercıcios

Translacao

Questao 1. Por meio de uma translacao dos eixos coordenados, transforme as equacoes dadas para a nova

Questao 2. Usando uma translacao de eixos coordenados,

(a) simplifique a equacao x2 + y2 +6 x − 2y + 6 = 0 indicando qual a nova origem e quais sao as equacoes de transformacao;

(b) utilizando a translacao do ıtem anterior, determine as coordenadas do ponto P(1;−2) em relacao ao sistema x′O′y′ e as coordenadas de Qx y (2;1) no sistema xOy.

Questao 3. Determine a translacao dos eixos coordenados (nova origem e equacoes de transformacao) que reduzem af orma canonica a equacao dos cırculos:

Questao 4. Para cada item, converta os pontos como se pede, usando a translacao indicada pela nova

Questao 5. Em cada um dosıtens, por uma translacao dos eixos coordenados, transforme a equacao dada

Parabola

Questao 6. Identifique o lugar geometrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distancia ao ponto P(−2;3) e igual a sua distancia ar eta r : x+6 = 0. Em seguida a equacao desse lugar geometrico.

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Questao 7. Em cada um dos seguintes ıtens, determine a equacao reduzidad ap arabola a partir dos elementos dados:

(a) um ponto da diretriz (4;7), vertice na origem e o eixo de simetria Ox; (b) vertice V (3;2), eixo focal paralelo a Oy eop onto L(7;0) e uma das extremidades do latus rectum;

(c) diretriz : x − 1 = 0, eixo focal EF : y +2 = 0 e o ponto L(−3;2) uma das extremidades do seu latus rectum;

(d) diretriz : y =4 e os pontos L(−8;−2) e R(4;−2) sao as extremidades do latus rectum; (e) vertice V (1;2), eixo focal paralelo a Ox e P(−7;−6) ep onto do seu grafico; (f) vertice V (−1;3), eixo focal paralelo a Oy e P(3;−1) e um ponto da parabola; (g) eixo focal EF : y − 5= 0, diretriz : x − 3= 0 e vertice sobre a reta r : y =2 x +3 ; (h) eixo focal EF : x = −4, diretriz : y = 3 ef oco ses obre a reta r : y = −x − 5;

Questao 8. Determine as coordenadas do vertice, do foco, as equacoes dad iretrized oe ixof ocal de cada

Questao 9. Determinar as coordenadas dos pontos que sao as extremidades do Latus Rectum da parabola que tem como diretriz a reta y − 3= 0 e foco no ponto F(1;1).

Elipse

Questao 10. Um ponto P(x;y) se desloca de modo que a soma de suas distancias aos pontos A(3;1) e B(−5;1) e 10. Diga a natureza da curva descrita por P e em seguida determine sua equacao reduzida.

Questao 1. Um ponto P(x;y) se desloca de modo que a soma de suas distancias aos pontos A(3;2) e B(3;6) e 8. Diga a natureza da curva descrita pelo ponto P e em seguida determine a sua equacao.

Questao 12. Em cada um dos seguintes ıtens, determine a equacao reduzida da elipse, a partir dos elementos dados:

(d) eixo focal paralelo ao eixo Ox, um dos focos no ponto F(−4;3) e uma das extremidades do eixo menor no ponto B(0;0).

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Questao 13. De acordo com os conhecimentos sobre Elipse, determine as coordenadas dos focos e a equacao da conica da figura ao lado. Obtenha tambem as equacoes de transformacao e a nova origem da translacao que reduzem a equacao desta curva a forma padrao.

Hiperbole

Questao 14. Determine a equacao do lugar geometrico descrito por um ponto que se desloca de modo que a diferenca de suas distancias aos pontos P1(−6,−4) e P2(2,−4) e igual a 6. Verifique se esta curva admite assıntota(s) e, em caso afirmativo, calcule sua(s) equacao(oes).

Questao 15. Em cada um dos ıtens, determine a equacao reduzidad ah iperbole, a partir dos elementos dados.

(a) focos F1(−1;3) e F2(−7;3) e comprimento do eixo transverso igual a 4; (b) vertices A1(5;4) e A2(1;4) e comprimento do latus rectum igual a 5;

(e) eixo normal y = −3, um dos focos no ponto F(−3;0) e excentricidade e =1 ,5;

(f) focos F1(−4;5) e F2(−4;−5) e comprimento do eixo transverso igual a 6; (g) assıntotas r :2 y =3 x e s :2 y = −3x, comprimento do eixo imaginario 6e focosn oe ixo Ox.

Questao 16. Reduza as equacoes das conicas a seguir, atraves de rotacao ou translacao, para uma forma padrao, identificando os seguintes elementos:

I. As coordenadas do(s) vertice(s) e foco(s); I. As equacoes do eixo focal, e eixo normal (elipse e hiperbole) ou diretriz (parabola); I. Comprimento do latus rectum e excentricidade;

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Questao 17. Dizemos que duas hiperboles sao conjugadas quando o eixo transverso de uma coincide com o eixo conjugado da outra. Dada a hiperbole H : (y − 1)2

focos da hiperbole H conjugada de H e sua equacao geral.

Questao 18. Uma hiperbole ed ita equilatera quando o comprimento do seu eixo transverso e igual ao comprimento do seu eixo conjugado. Sabendo que os focos de uma hiperbole equilatera coincidem com as extremidades do eixo menor da elipse (x +1 )2

16 = 1. Determine a equacao reduzida desta hiperbole.

Questao 19. Ov ertice de uma parabola coincide com o centro da hiperbole

Determine a equacao reduzida dessa parabola. Questao 20. Os focos de uma elipse coincidem com os vertices da hiperbole

Sabendo-se que a excentricidade da elipse e igual a 1

3 , escreva sua equacao reduzida.

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Gabarito

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