(Parte 2 de 4)

META Apresentar o conceito de função no contexto matemático, suas implicações e aplicações ao cotidiano. Analisar comportamentos e especificidades de funções.

OBJETIVOS Distinguir o que seja função, diferenciando-a de uma relação e contextualizando-a em diversas aplicações acadêmicas e reais.

Conceitos Básicos de Funções 1.1 Introdução

Este curso tem como objeto central a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral ou apenas Cálculo. Em particular, estaremos tratando especificamente do curso de Cálculo 1.

Cálculo é um dos ramos da Matemática e foi desenvolvido a partir dos principios da Álgebra e da Geometria, dedicando-se ao estudo de taxas de variações de grandezas (a exemplo da velocidade de ponto móvel, crescimento de bactérias, entre outras) e cálculo de quantidades, tais como área, volume de um dado objeto geométrico.

Assim, o Cálculo é uma das ferramentas daMatemática a ser utilizada para estudo de grandezas que exibem variações em seus valores. Além disso, ele é considerado uma ferramenta de grande utilidade para aplicações em diversas áreas das ciências, em particular, as ciências exatas.

Originalmente desenvolvido, em trabalhos independentes, por Newton e Leibniz, o Cálculo auxilia na compreensão de vários conceitos e definições abrangendo aplicações nas áreas da: i) Física, i) Química, i) Biologia, iv) Economia, v) Estatística, entre outras ciências.

A base essencial para o estudo do Cálculo reside no conhecimento tácito de funções. Por outro lado, o Cálculo se divide em três partes principais: i) estudo de limites de funções, i) estudo de derivadas de funções e i) estudo do cálculo de integrais de funções. Todas estas partes encontram-se, de um modo ou de outro, intimamente relacionadas face as suas peculiaridades.

Como mencionado, a base do estudo do Cálculo é o conhecimento prévio de funções. A noção de associação se faz presente em diversos campos da ciência. Na Matemática, esta associação ocorre, em geral,

Cálculo I: Livro 1

1 AULA através do uso de funções, que têm suma importância em diversas áreas do conhecimento humano e têm por base a análise de diversos sistemas físicos reais, bem como aplicações puramente acadêmicas.

Durante o curso de Cálculo 1, nós sempre estaremos nos abstendo dos conceitos de função para estudar diferentes tipos de aplicações que aparecem no cotidiano ou exemplos puramente acadêmicos. Nem por isso, tais exemplos são menos importante. É possível extrair diversas informações contextualizadas nesses exemplos que podem ser aplicadas a situações cotidianas. É nesse aspecto que esperamos que esta primeira aula desperte sua curiosidade e senso de observação crítica quanto ao conceito de funções e suas aplicações.

Prezado aluno, nesta aula, estamos introduzindo a disciplina de Cálculo 1, que será de grande valia para você durante o transcorrer destas aulas, bem como no decorrer de toda suas atividades estudantis e, posteriormente, em suas atividades como profissional formado. Fundamen- tado em sólidos conceitos, o Cálculo

1Quando falamos que x pode assumir a princípio quaisquer valores, estamos, de um certo modo, resguardando-nos de situações em que esta variável não possa assumir todos os possíveis valores reais.

1 é uma poderosa ferramenta matemática para estudar o comportamento de funções reais que dependem apenas de uma variável real e suas aplicações a diversas áreas do conhecimento humano. Durante este curso, teremos a oportunidade de discutir diversos exemplos em que essa nova ferramenta, até então desconhecida de muitos, será empregada com bastante sucesso. Entretanto, vale ressaltar um lembrete bastante importante

É ESSENCIAL SE DEDICAR AO CURSO Nesta parte introdutória do curso, presumimos que você (aluno) te-

Conceitos Básicos de Funções nha algum conhecimento básico da definição de função, já estabelecido no Ensino Fundamental. Ainda que este não seja o caso, nós podemos definir, de forma simples, o conceito de função para que você se sinta seguro da atual realidade que está por se deparar.

A noção de função é uma espécie de generalização comum de fórmula matemática. Num sentido mais restrito, uma função descreve a relação matemática entre duas grandezas, uma dependente e outra independente.

Considere duas variáveis reais, digamos, x e y. A primeira é denominada variável independente e pode assumir, a princípio, quaisquer valores reais1, enquanto a segunda é uma variável dependente que assume valores de acordo com uma dada expressão matemática, relacionando-a com a variável independe.

Assim, uma função f será construída segunda uma dada regra entre os elementos da variável independente e aqueles da variável dependente. Tal regra deve satisfazer o que definimos, informalmente, abaixo:

Regra: “para cada valor de x existe um único correspondente em y”.

Se tal regra é obedecida dizemos que y é uma função de x e denotamos isto por:

Devemos ressaltar que as variáveis independente, x, e dependente, y, assumem apenas valores reais. Ao conjunto de valores pertinentes à variável x denominamos de domínio da função, denotado por Dm (f), mas aos valores assumidos por y damos o nome de imagem da função, Im (f). Podemos sintetizar o que foi dito logo acima no esquema abaixo.

Cálculo I: Livro 1

1 AULA conjunto de valores reais para x =⇒ domínio da função conjunto de valores reais para y =⇒ imagem da função

Por outro lado, destaquemos que a variável x é comumente chamada de “argumento” da função f. Com estas discussões iniciais, podemos agora estabelecer a definição de uma função com domínio X e imagem Y , segundo uma dada regra, pela notação:

Com isto estamos identificando uma regra para a função f de domínio X que leva ao conjunto Y , através da relação (1.1).

A regra a que nos referimos pode ser destacada através da representação de uma fórmula, elaboração de diagramas que representam os dois conjuntos de valores, uma tabela de correspondência (também pode ser construída), entre outras.

Considere os diagramas abaixo. Através deles podemos discutir se o seu conteúdo representa ou não uma função.

Figura 1.1: Diagrama 1. A Figura 1.1 apresenta um diagrama que representa uma função

Conceitos Básicos de Funções uma vez que todos os elementos do domínio X estão associados univocamente aos de Y (imagem). Portanto, satisfaz a regra que defini a associação entre elementos de uma função. Já a Figura 1.2 mostra um

diagrama que não obedece à regra que define uma função. Note que o elemento 2 do domínio X encontra-se associado a dois valores de Y .

Da mesma forma, podemos identificar se uma dada representação gráfica representa ou não uma função. Considere os exemplos gráficos a seguir. O teste que estabelece se um dado gráfico representa ou não uma função é conhecido como o “teste da reta vertical ao eixo x”, conforme verificamos abaixo.

A Figura 1.3 destaca o gráfico de uma função f.

Observe que a reta vertical traçada toca o gráfico de f em apenas um ponto. Você deve observar que esta afirmação é válida para todas as retas verticais ao eixo x que possam ser construídas. Por outro lado, a Figura 1.4 mostra um gráfico que não representa função. Observe que a reta vertical traçada cruza o gráfico em dois pontos distintos de y para um só e único valor de x.

Durante todo a disciplina de Cálculo 1 estaremos interessados ape-

Cálculo I: Livro 1

1 AULA

-1.0 reta vertical y x

Figura 1.3: Representação esquemática para o teste da regra vertical.

y reta vertical

Figura 1.4: Representação esquemática para o teste da regra vertical.

nas em funções que dependem exclusivamente de uma variável independente. A seguir, você pode observar alguns exemplos desse tipo de função.

1. a área de um círculo depende apenas da medida do seu raio, r.O u seja, A = πr 2 .

Conceitos Básicos de Funções

2. a posição de um ponto móvel que se movimenta em linha reta com velocidade constante, v, em um meio sem resistência, depende apenas do tempo t. Em outras palavras, x = vt .

3. a população de indivíduos de uma dada cidade depende do tempo de observação, t.

4. a pressão de uma coluna de água exercida sobre um indivíduo depende da profundidade, y, em que este se encontra.

Nos exemplos acima, a função pode sempre ser descrita sob a forma em que y é a grandeza dependente e x a variável indepente. Evidentemente que isto nem sempre é o caso e, portanto, existem funções que dependem de mais de uma variável, embora não nos reportaremos a elas nesta disciplina.Neste ponto estamos em condições de formular os aspectos que descrevem a definição de uma função real de uma variável real.

Definição 1.2.1: Uma função real de uma variável real é um conjunto de pares ordenados de números reais tal que para todo número real uma das duas seguintes proposições acontece:

(Parte 2 de 4)

Comentários