(Parte 3 de 3)

  • Admita sempre nas divisões que .

  • As operações entre números irracionais podem dar resultados dentro do conjunto dos irracionais ou então dos racionais.

  1. Divisibilidade inteira

Dizemos que um número p é divisível por outro número q, quando p é múltiplo de q ou quando na divisão inteira de p por q obtemos resto igual a zero (0). Assim teremos que se p é divisível por q, q divide p ou p = k.q, onde k Z.

Exemplo

15 é divisível por 3, pois 15 é múltiplo de 3, ou o resto da divisão de 15 por 3 é zero, ou ainda 15 = 5.3.

Critérios de Divisibilidade

  1. Números primos

Um número n é dito primo quando possui quatro divisores inteiros o próprio número n, o número – n, o número 1 e o número – 1.

Ex: 13 é um número primo, pois apenas o 13, -13, 1 e -1 são seus divisores inteiros.

  1. Decomposição em fatores primos

Decompor um número em fatores primos significa encontrar quais são os números primos que multiplicados formam o número em questão. Ex: 23100 = 22 . 3 . 52 . 7 . 11.

  • OBSERVAÇÃO

  • Cada número tem uma única decomposição em fatores primos.

  1. Número de divisores

Dado um número natural n escrito decomposto em seus fatores primos podemos dizer que o número de divisores naturais é dado pela fórmula: , onde o D(n) é o número de divisores naturais de n.

Exemplo

120 = 22.3.5, ou seja D(120) = (2+1).(1+1).(1+1) = 3.2.2 = 12 divisores naturais.

  • OBSERVAÇÃO

  • Caso se esteja procurando o número de divisores inteiros de um número n basta multiplicar o número de divisores naturais por 2, pois devemos adicionar a esses números os seus opostos.

Exemplo

No caso de 120, o número de divisores inteiros será 12.2 = 24 divisores inteiros.

  1. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC)

Teorema: O mínimo múltiplo comum (MMC) entre n e m é o menor valor inteiro que seja múltiplo simultaneamente de n e m.

Uma forma prática de encontrar esse valor é fatorar os dois números em seus fatores primos e o MMC será o produto dos fatores comuns, com maior expoente e não-comuns.

Exemplo

Calcular o MMC entre 120 e 2772. Escritos na forma fatorada temos que 120 = 23.3.5 e 2772 = 22.32.7.11. Assim o MMC será o produto dos fatores comuns com maior expoente (23 e 32) e os fatores não-comuns (5, 7 e 11).

Teorema: O máximo divisor comum (MDC) entre n e m é o maior valor inteiro que divida simultaneamente n e m.

Uma forma prática de encontrar esse valor é fatorar os dois números em seus fatores primos e o MDC será o produto dos fatores comuns com menor expoente.

Exemplo

Calcular o MDC entre 120 e 2772. Escritos na forma fatorada teremos que 120 = 23.3.5 e 2772 = 22.32.7.11. Assim o MDC será o produto dos fatores comuns com menor expoente (22 e 3).

  • OBSERVAÇÕES

  • O produto

  • Todo MÚLTIPLO do é múltiplo comum de e

  • Todo DIVISOR do é divisor comum de e . Assim para calcular o número de divisores comuns entre dois números e devemos calcular quantos divisores possui o .

  1. Primos entre si

Dois números são chamados de números primos entre si quando o MDC entre eles é igual a um (1), ou seja não existe nenhum número (a exceção do um) que divida de forma inteira os dois números ao mesmo tempo.

Exemplo

54 e 25 são primos entre si, pois 54 = 33.2 e 25 = 52. Assim MDC(54, 25) = 1.

  1. Fração Geratriz

As dízimas periódicas são um dos elementos que fazem parte do conjunto dos números racionais e, portanto podem ser expressos em forma de fração. Essa fração que “gera” a dízima periódica é dita fração geratriz.

Para calcularmos tais frações existe um dispositivo prático que consiste em observar a parte que se repete (período) e colocar esse número no numerador e quantos noves forem o número de algarismo desse período no denominador.

  • OBSERVAÇÕES

  • As dízimas periódicas têm uma outra notação. ; ;

  • As dízimas não-periódicas são números irracionais, logo, não podem ser transformadas em frações.

Exercício de Aula

  1. Calcule as frações geratrizes irredutíveis das dízimas periódicas:

  1. Racionalização

Racionalizar uma expressão consiste em tornar o seu denominador um número racional. Vejamos os principais casos de racionalização.

1° caso) Expressões do tipo

Exemplo

  1. Racionalize as expressões:

2º caso) Expressões do tipo

Exemplo

  1. Racionalize as expressões:

3º caso) Expressões do tipo

Exercício de Aula

  1. Racionalize as expressões:

(Parte 3 de 3)

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