Crônicas Matemáticas

Crônicas Matemáticas

(Parte 1 de 5)

BRASÍLIA 2004

SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO BÁSICA Francisco das Chagas Fernandes

SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA Antonio Ibañez Ruiz

DIRETORA DE ENSINO MÉDIO Lúcia Helena Lodi

DIRETORA DO DEPARTAMENTO DE POLÍTICAS EDUCACIONAIS Jeanete Beauchamp

COORDENADORA-GERAL DE ESTUDOS E AVALIAÇÃO DE MATERIAIS DIDÁTICOS E PEDAGÓGICOS Nabiha Gebrim

SELEÇÃO E ORGANIZAÇÃO Ana Catarina P. Hellmeister Déborah M. Raphael

ORGANIZAÇÃO GERAL Suely Druck

REVISÃO Silvana Cunha de Vasconcelos Castro Suely Bechara

PROJETO GRÁFICO Enrique Pablo Grande Mariano Maudet Bergel Luciana Cristina Ceron

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Centro de Informação e Biblioteca em Educação (CIBEC)

P. Hellmeister[et al.] ; organização geral Suely Druck. – Brasília : Ministério da

E96e Explorando o ensino da Matemática : artigos : volume 1 / seleção e organização Ana Catarina Educação, Secretaria de Educação Básica, 2004. 240 p.

ISBN 85-98171-13-1

1. Ensino de Matemática. 2. Educação matemática. I. Hellmeister, Ana Catarina P. I. Druck, Suely. I. Brasil. Secretaria de Educação Básica. IV. Título.

CDU : 51:37

Tiragem 3 mil exemplares

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA Esplanada dos Ministérios, bloco L, sala 500 CEP-70.047-900 Brasília-DF

Tel. (61) 21048617/21048613 w.mec.gov.br

A Matemática está presente na vida cotidiana de todo cidadão, por vezes de forma explícita e por vezes de forma sutil. No momento em que abrimos os olhos pela manhã e olhamos a hora no despertador, estamos “lendo” na linguagem matemática, exercitando nossa abstração e utilizando conhecimentos matemáticos que a humanidade levou séculos para construir. É quase impossível abrir uma página de jornal cuja compreensão não requeira um certo conhecimento matemático e um domínio mínimo da linguagem que lhe é própria: porcentagens, gráficos ou tabelas são necessários na descrição e na análise de vários assuntos. Na sociedade atual, a Matemática é cada vez mais solicitada para descrever, modelar e resolver problemas nas diversas áreas da atividade humana. Um médico que interpreta um eletrocardiograma está utilizando um modelo mate-

mático; ao dar um diagnóstico, está utilizando o raciocínio matemático e empregando conhecimentos de estatística. Um pedreiro utiliza um método prático para construir ângulos retos que já era empregado pelos egípcihos na época dos faraós. Uma costureira, ao cortar uma peça, criar um modelo, pratica sua visão espacial e resolve problemas de geometria.

Apesar de permear praticamente todas as áreas do conhecimento, nem sempre é fácil (e, por vezes parece impossível) mostrar ao estudante aplicações interessantes e realistas dos temas a serem tratados ou motivá-los com problemas contextualizados. O professor, quase sempre, não encontra ajuda ou apoio para realizar essa tarefa de motivar e instigar o aluno relacionando a Matemática com outras áreas de estudo e identificando, no nosso cotidiano, a presença de conteúdos que são desenvolvidos em sala de aula. Para isso, é importante compartilhar experiências que já foram testadas na prática e é essencial que o professor tenha acesso a textos de leitura acessível que ampliem seus horizontes e aprofundem seus conhecimentos.

Inserir o conteúdo num contexto mais amplo provocando a curiosidade do aluno ajuda a criar a base para um aprendizado sólido que só será alcançado através de uma real compreensão dos processos envolvidos na construção do conhecimento. Não se trata, é claro, de repetir um caminho que a humanidade levou séculos para percorrer. No entanto, é preciso incentivar o aluno a formular novos problemas, a tentar resolver questões “do seu jeito”. O espaço para a tentativa e erro é importante para desenvolver alguma familiaridade com o raciocínio matemático e o uso adequado da linguagem. Da mesma forma que é possível ler um texto, palavra após palavra, sem compreender seu conteúdo, é também possível aprender algumas “regrinhas” e utilizar a Matemática de forma automática.

Com o objetivo de ajudar o professor nos vários campos apontados acima, reunimos uma coletânea de artigos extraídos da Revista do Professor de Matemática (RPM) – uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), com apoio da Universidade de São Paulo.

O material aqui apresentado sugere abordagens contextualizadas, o uso de material concreto e apresenta uma variedade de situações cotidianas em que a matemática se faz presente. Ao mesmo tempo, explora, em cada caso, o conteúdo de forma rigorosa e sistemática, levanta problemas e indica soluções e, nesse processo, expõe os meandros do raciocínio matemático.

Os textos escolhidos estão distribuídos em dois volumes e abordam conteúdos curriculares da 5a à 8a série do ensino fundamental.

No primeiro volume incluímos artigos que tratam de História, Geografia, Astronomia, situações do cotidiano, cultura geral, crônicas e problemas. Enfim, muito do que possa fornecer situações com modelagem matemática, ligando a Matemática ao desenvolvimento do conhecimento humano de diversas áreas, foi aqui reunido. Os artigos possibilitam que o professor amplie sua visão e insira os conteúdos matemáticos num contexto amplo e interdisciplinar, de modo que possam ser utilizados para desenvolver atividades interessantes junto aos estudantes explorando novas perspectivas e permitindo um outro olhar.

No segundo volume, são sugeridas atividades em sala de aula utilizando materiais de fácil acesso (canudos, cartolina, jornal, barbante, etc.) ou explorando situações do cotidiano onde a matemática está presente. A atividade lúdica está sempre ligada a conteúdos matemáticos que são explorados e aprofundados.

O professor e educador George Polya (1887-1985), autor do livro A arte de resolver problemas , afirmava, muito adequadamente, que para ensinar é preciso saber muito mais do que se ensina, é preciso conhecer sua matéria, ter interesse e entusiasmo por ela. Com estes dois volumes esperamos compartilhar com nossos colegas professores experiências bem sucedidas em sala de aula e, sobretudo, esperamos compartilhar um pouco da beleza e da riqueza da Matemática.

É com grande entusiasmo que a Secretaria de Educação Infantil e Fundamental realiza este projeto, agradecendo a participação da comunidade matemática, por meio da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM).

Neste volume apresentamos artigos – cuja leitura leva a aprofundar o conhecimento do professor – que podem ser utilizados em sala de aula, quer por meio de atividades elaboradas pelo professor, quer como incentivo a reflexões sobre os temas abordados.

Há artigos sobre história da Matemática, que mostram o desenvolvimento do pensamento matemático, e há os que podem ser relacionados com a história do Brasil, como Medidas na carta de Caminha. As pirâmides do Egito e a razão áurea, Geometria e Astronomia, Uma aula de Matemática no ano 1000, por exemplo, vinculam a Matemática à história do conhecimento da humanidade. A Geografia está contemplada em O centro geográfico do Brasil, entre outros.

Há um grande número de crônicas, entre as quais Sargú e a arte de calcular na areia, O menino, que, além de proporcionarem leitura agradável, colocam problemas e apresentam curiosidades matemáticas.

Situações do cotidiano são resolvidas matematicamente em alguns artigos, tais como: Ano bissexto, A mídia e a Mega-Sena acumulada, Como abrir um túnel se você sabe Geometria.

Há também os artigos que abordam temas de cultura geral, que explicam certos procedimentos ou conteúdos matemáticos, exploram novas perspectivas, propiciando outras interpretações. De um modo geral, os textos aqui relacionados possibilitam ao professor ampliar sua visão e inserir conteúdos matemáticos num contexto amplo e interdisciplinar.

Introdução

ALEJANDRA SOTO FERRARI13

Capítulo 1 – Crônicas Sargu e a arte de calcular na areia –

LEDO VACCARO MACHADO20

O menino –

FLAVIO WAGNER R ODRIGUES23

A mídia e a mega-sena acumulada –

MANOEL HENRIQUE CAMPOS BOTELHO29

Na ilha dos sapatos gratuitos –

ZOROASTRO AZAMBUJA F ILHO34

Malba Tahan e a escrava de olhos azuis –

JESÚS A. P. SÁNCHEZ39

Sobre uma história de Malba Tahan –

PAULO AFONSO DA MATA MACHADO41

A lei de Alcides –

LUIZ MÁRCIO IMENES43

O editor e a média –

ABDALA G ANNAM48

Um punhado de Feijões –

GERALDO Á VILA53

Capítulo 2 – Números Fazendo contas sem calculadora –

ARTHUR C. ALMEIDA E FRANCISCO J. S. DE A. CORRÊA61

O Papiro de Rhind e as frações unitárias –

FLÁVIO WAGNER R ODRIGUES68

A prova dos noves –

VICENZO B ONGIOVANNI73

Ano Bissexto –

ELON L AGES L IMA75

Conceitos e controvérsias –

OSCAR G UELLI80

Fazendo mágica com a Matemática –

ROBERTO RIBEIRO PATERLINI84

Um método para o cálculo do MDC e do MMC –

MÁRIO GUSTAVO PINTO GUEDES8

Outros Critérios de Divisibilidade –

GILDER DA SILVA MESQUITA93

Uma equação motivadora –

NILZA EIGENHEER BERTONI96

Frações: da forma fracionaria à decimal – A lógica do processo –

RONALDO NICOLAI101

Algumas técnicas operatórias de outros tempos e de outros lugares –

GERALDO Á VILA109

Capítulo 3 – Geometria Retângulo áureo e a divisão áurea –

JOSÉ CLOVES VERDE SARAIVA117

As pirâmides do Egito e a razão áurea –

JOEL FARIA DE ABREU122

Quando a intuição falha –

GERALDO GARCIA DUARTE JÚNIOR124

De São Paulo ao Rio de Janeiro com uma corda “IDEAL” –

ELON L AGES L IMA126

O que é um número p? –

ROBERTO RIBEIRO PATERLINI130

O problema do retângulo inscrito – INDICE´

RIZIO SANT’ANA135

Triângulos especiais –

MÁRIO DALCIN138

A demonstração feita por Heron –

CLÁUDIO ARCONCHER140

Octógono Perverso –

NILZA EIGENHEER BERTONI141

Bom senso, realidade e melhores idéias matemáticas –

CLÁUDIO ARCONCHER149

O conceito de ângulo –

JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO152

Trigonometria e um antigo problema de otimização –

FRANCISCO ROCHA FONTES NETO156

Método geométrico para o cálculo da raiz quadrada –

EUCLIDES R OSA158

Como abrir um túnel se você sabe Geometria –

EUCLIDES R OSA163

Mania de Pitágoras –

ANTÓNIO LEONARDO P. PASTOR166

O problema do relógio –

GERALDO Á VILA167

Geometria e Astronomia –

ANA CATARINA P. HELLMEISTER177

Capítulo 4 – História Uma aula de Matemática no ano 1 0 –

DANIEL C. M ORAIS FILHO186

As mulheres na Matemática –

SEVERINO DE SOUZA192

Arquimedes e a coroa do rei –

GERALDO Á VILA199

Euclides, Geometria e Fundamentos –

FLÁVIO WAGNER R ODRIGUES206

Finalmente Fermat descansa em paz –

OSCAR GUELLI207

A regra da falsa posição –

MOZART CAVAZZA P. COELHO214

Medidas na carta de Caminha –

JESÚS A. P ÉREZ SÁNCHEZ219

Capítulo 5 – Álgebra Um professor em apuros –

OSCAR GUELLI223

Visualizando as equações –

CLÁUDIO P OSSANI230

Uma equação interessante –

CLÁUDIO ARCONCHER234

As ternas pitagóricas novamente –

MARIA ALICE GRAVINA236

O quanto precisamos de tabelas na construção de gráficos de funções

SEIJI H ARIKI244

Média Harmônica –

GERALDO Á VILA252

Equações e inequacões com radicais –

IOLE DE FREITAS DRUCK257

A linguagem da lógica –

SYLVIA JUDITH HAMBURGER MANDEL269

Capítulo 6 – Ensino Alunos inventam problemas –

ROBERTO MARKARIAN273

A Matemática na escola – Alguns problemas e suas causas

ANAMARIA G OMIDE T AUBE282

A carroça na frente dos bois –

CRISTINA FRADE284

Ensino no ensino fundamental (uma experiência) –

E lá vamos nós de novo! – FLÁVIO WAGNER R ODRIGUES ................................................................................287

Capítulo 1 Crônicas

Sargu e a arte de calcular na areia

Numa terra muito distante, no Oriente, vivia um jovem de grandes ideais e muitos sonhos que trabalhava desde o amanhecer, cultivando a terra. Almejava sem descanso que seu destino mudasse; desejava ter a coragem e a sorte daqueles incansáveis viajantes que percorriam terras longínquas pelos confins do universo, apreciando novos pratos e aromas e admirando cores e perfumes jamais imaginados.

O nome desse rapaz era Sargu, conhecido como “o obstinado” devido a sua incansável disposição de mudar seu destino. Era filho de camponeses e tinha apenas 16 anos. Apesar dos grandes esforços dos pais para que se dedicasse à terra, como eles, Sargu, sempre que podia, escapava de seus trabalhos no campo e subia ao alto de um morro, onde deixava a imaginação voar; olhava o horizonte tentando ver tudo que lhe era proibido.

Todos os dias eram iguais para Sargu; terminava sua jornada e se punha a sonhar, esperando algum acontecimento que mudasse sua vida, ansiando por deixar de arar a terra e ir em busca das aventuras que, mais de uma vez, ouviu dos mercadores que chegavam a seu povoado.

Em um dourado entardecer, Sargu, absorto em seus sonhos, avistou ao longe as figuras de vários homens e animais. À medida que o grupo se aproximava, as imagens se tornavam mais claras e eram tantos camelos e asnos, que não po-

Alejandra Soto Ferrari deria dizer quantos. Viu muitos e logo começou a fazer linhas e outros sinais na areia para registrar em algum lugar o que via. Fez tantas marcas que não podia acreditar; sem dúvida o senhor que vinha em um dos camelos, no início da caravana, era um homem rico.

Eram por volta de cem camelos e asnos carregados com todo tipo de especiarias, tecidos e vasilhas, propriedade de um rico mercador apelidado de Mestre, cujo verdadeiro nome era Fargot. Era um homem de aproximadamente 50 anos, de poucas palavras e poucos amigos, de voz áspera e olhar penetrante. Sua pele estava endurecida pelo sol e pela areia e, apesar de sua riqueza, era um homem de modos e gostos simples.

Viajava acompanhado da família, constituída por três esposas, vários filhos e sua mais preciosa jóia, sua filha Tesia, de 15 anos, além de muitos empregados que o serviam e viviam sob sua proteção.

A caravana, que nunca tinha sido tão numerosa, passava ano após ano pelas terras onde morava Sargu, estabelecendo-se na margem do rio e oferecendo suas mercadorias aos habitantes das aldeias próximas.

Quando Sargu notou Tesia entre a multidão, ficou cativado pela beleza e encanto daquela donzela de grandes olhos amendoados e soube que finalmente havia chegado o momento pelo qual tanto esperara. Era hora de empreender o vôo, de conhecer terras desconhecidas, lugares nos quais só poucos haviam estado, mistérios que ninguém havia imaginado; era hora de aceitar o convite que a cada tarde lhe fazia o horizonte. Tesia precisava conhecêlo, e conquistá-la seria seu grande feito. Andou incansavelmente pela feira que havia sido instalada no local, observando com grande interesse as mercadorias dos comerciantes, e permaneceu horas tentando ver alguma transação. Todas elas eram realizadas pelo Mestre.

Cada vez que se fazia uma venda importante, chamavam-no e ele tirava uma bolsa de pano que guardava sob as roupas e, pondo-se de joelhos, fazia com grande rapidez sulcos na areia, nos quais colocava pequenas bolinhas de metal. Logo dizia as quantias finais, ante a perplexidade de todos os que o observavam. Geralmente, os compradores e seus ajudantes utilizavam cordas com nós, sementes ou pequenos pedaços de madeira para fazer as contas, mas ninguém superava a exatidão e rapidez do Mestre.

Quando Sargu notou o que Fargot fazia, ficou maravilhado: achou que ele era um mago ou um bruxo e se propôs a aprender com o Mestre, mesmo que isso implicasse ter que deixar os seus familiares para se unir à caravana.

No dia em que se desfez a feira e o grupo se dispôs a partir, Sargu implorou ao Mestre que o levasse, que lhe ensinasse sua magia, e prometeu trabalhar só por leito e comida. Fargot, comovido com tamanha insis- tência, relutou por um momento, dado o modo como o rapaz olhava para sua querida filha; entretanto, algo nesse moço o fazia sentir como se olhasse para si próprio, e assim, mais tarde, permitiu que ele se juntasse à caravana; porém lhe disse: “Minha arte não é magia e tampouco sou mestre, como me chamam por aqui, portanto não posso ensinar-lhe, só posso dizer que me observe e aprenda: conte os dedos das mãos, uma, duas vezes e vá sempre na direção do seu coração”.

E, assim, Sargu se uniu ao grupo e foi rapidamente aceito por todos, graças a sua tão particular maneira de pensar e seu espírito solidário. Logo tratou de se aproximar de Tesia, estabelecendo-se entre eles uma bela amizade, que não demorou a se transformar em verdadeiro amor.

Sargu temia que o Mestre o expulsasse da caravana por sua origem humilde e logo se propôs, com determinação, ser digno do amor de Tesia. Enquanto a caravana percorria diversas regiões, transcorreu bastante tempo, e todas as noites em que demorava para conciliar o sono Sargu, como se estivesse jogando, fazia sulcos na areia, nos quais colocava pedrinhas arredondadas, imitando os gestos de Fargot.

Uma noite, cansado de não entender, relembrou uma conta feita pelo

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