Crônicas Matemáticas

Crônicas Matemáticas

(Parte 4 de 5)

Embora os livros de Malba Tahan tenham sido criticados por tratarem seus assuntos de forma superficial, por conterem alguns erros sérios de concepção por serem em grande parte, meras compilações e coletâneas de citações, é forçoso reconhecer que alguns desses livros tiveram grande aceitação. O que significa que havia no país um numeroso público, na maioria jovem, ávido por conhecer melhor a Matemática, sua história e seus desenvolvimentos. Principalmente pessoas ansiosas por ouvir alguém falar da Matemática sob forma menos árida e antipática do que seus tradicionais e severos professores, com seus igualmente áridos compêndios. Essa necessidade foi suprida, devemos admitir, com bastante sucesso, por Malba Tahan.

Olhando em retrospecto, podemos hoje achar que esse papel de propagandista da Matemática deveria ter sido ocupado por alguém com melhor treinamento profissional, isto é com mais competência científica. Alguém como Amoroso Costa, talvez. Mas Amoroso morreu cedo e, mesmo assim, em que pese a sua vasta cultura, o país ainda não estava maduro para um divulgador do seu nível.

Malba Tahan surgiu na hora certa, com o nível e o estilo que minha geração queria. Se o analisarmos como matemático, estaremos olhando para o lado errado. Mas, se mudarmos o enfoque, podemos vê-lo mais adequadamente como jornalista, divulgador, antologista ou contador de histórias. Como contador de histórias, ele tem grandes momentos e O Homem que Calculava é o seu melhor trabalho. Em suas 27 edições, O Homem que Calculava muito fez para estimular o cultivo da arte de resolver problemas, incutir o amor pela Matemática e destacar aspectos nobres e estéticos desta Ciência. Eu era menino quando minha irmã mais velha ganhou um exemplar desse livro como presente de seu professor. Lembro-me que o devorei avidamente. E ao relê-lo agora, não obstante os muitos calos que me deixou o longo exercício do magistério, ainda senti algumas das mesmas emoções de outrora, diante de certos trechos de rara beleza.

Como toda obra, o livro tem seus pontos altos e outros, nem tanto. Curiosamente, as coisas que mais me agradaram na leitura de hoje foram aquelas das quais guardava ainda alguma lembrança desde a primeira vez.

O Homem que Calculava é a história de Beremiz Samir, um fictício jovem persa, hábil calculista, versado na Matemática da época, contada por um amigo, admirador e companheiro de viagens, uma espécie de Dr. Watson muçulmano. Em certas passagens, a narrativa das proezas matemáticas de Beremiz, nos diferentes lugares por onde passava, nos faz lembrar o Evangelho segundo São Marcos. O relato, feito por um maometano ortodoxo, é cheio de respeitosas evocações divinas e pontilhado pela linguagem pitoresca dos árabes de novela. Isto é feito com graça e dá um colorido especial ao conto.

Beremiz Samir resolve problemas curiosos – alguns propostos, outros acontecidos naturalmente em suas andanças. Faz também discursos eloqüentes sobre o amor a Deus, a grandeza moral e a Matemática. E dá aulas de Ma- temática bastante inspiradas à filha de um cheique, com a qual vem a casarse no fim da história. Para que se tenha uma idéia dos problemas tratados, descrevemos o primeiro, o segundo e o último deles.

No primeiro problema, Beremiz e seu amigo, viajando sobre o mesmo camelo, chegam a um oásis, onde encontram três irmãos discutindo acaloradamente sobre como dividir uma herança de 35 camelos. Seu pai estipulara que a metade dessa herança caberia ao filho mais velho, um terço ao do meio e um nono ao mais moço. Como 35 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 9, eles não sabiam como efetuar a partilha. Para espanto e preocupação do amigo, Beremiz entrega seu camelo aos 3 irmãos, a fim de facilitar a divisão. Os 36 camelos são repartidos, ficando o irmão mais velho com 18, o do meio com 12 e o mais moço com 4 camelos. Todos ficaram contentes porque esperavam antes receber 17 e meio, 1 e dois terços e 3 e oito nonos, respectivamente. E o melhor: como 18 + l2 + 4 = 34, sobraram 2 camelos, a saber, o que fora emprestado e mais um. Todo mundo saiu ganhando. Explicação: um meio mais um terço mais um nono é igual a 17/18; logo da menor do que 1. Na partilha recomendada pelo velho árabe sobrava algo, do que se aproveitaram Beremiz e seu amigo.

O segundo problema é uma pequena delícia. Beremiz e seu amigo, a caminho de Bagdá, socorrem no deserto um rico cheique, que fora assaltado, e com ele repartem irmãmente sua comida, que se resumia a 8 pães: 5 de Beremiz e 3 do amigo. Chegados ao seu destino, o cheique os recompensa com de oito moedas de ouro: 5 para Beremiz e 3 para o amigo. Todos então se surpreendem com os suaves protestos de Beremiz. Segundo este, a maneira justa de repartir as 8 moedas seria dar 7 a ele e 1 apenas ao amigo! E prova: durante a viagem, cada refeição consistia em dividir um pão em 3 partes iguais, e cada um dos viajantes comia uma delas. Foram consumidos ao todo 8 pães, ou seja, 24 terços, cada viajante comendo 8 terços. Destes, 15 terços foram dados por Beremiz, que comeu 8, logo contribuiu com 7 terços para a alimentação do cheique. Por sua vez, o seu amigo contribuiu com 3 pães, isto é, 9 terços, dos quais consumiu 8; logo participou apenas com 1 terço para alimentar o cheique. Este é o significado da observação de Beremiz.

No final, porém, o homem que calculava, generosamente ficou com apenas 4 moedas, dando as 4 restantes ao amigo.

O último problema do livro se refere a 5 escravas de um poderoso califa.

Três delas têm olhos azuis e nunca falam a verdade. As outras duas tem olhos negros e só dizem a verdade. As escravas se apresentaram com os rostos cobertos por véus e Beremiz foi desafiado a determinar a cor dos olhos de cada uma, tendo o direito a fazer três perguntas, não mais do que uma pergunta a cada escrava. Para facilitar as referências, chamaremos as 5 escravas A, B, C, D e E.

Beremiz começou perguntando à escrava A: “Qual a cor dos seus olhos?”

Para seu desespero, ela respondeu em chinês, língua que ele não entendia, por isso protestou. Seu protesto não foi aceito, mas ficou decidido que as respostas seguintes seriam em árabe. Em seguida, lê perguntou à B: “Qual foi a resposta que A me deu?” B respondeu: “Que seus olhos eram azuis”. Finalmente, Beremiz perguntou à C: “Quais as cores dos olhos de A e B?” A resposta de C foi: “A tem olhos pretos e B tem olhos azuis”. Neste ponto, o homem que calculava concluiu. “A tem olhos pretos, B azuis, C pretos, D azuis e E azuis”. Acertou e todos ficaram maravilhados.

Explicação para a dedução de Beremiz: Em primeiro lugar, se perguntarmos a qualquer das cinco escravas qual a cor dos seus olhos, sua resposta só poderá ser “negros”, tenha ela olhos azuis ou negros, pois na primeira hipótese ela mentirá e na segunda dirá a verdade. Logo, B mentiu e portanto seus olhos são azuis. Como C disse que os olhos de B eram azuis, C falou a verdade, logo seus olhos são negros. Também porque C fala a verdade, os olhos de A são negros. Como somente duas escravas tem olhos negros, segue-se que os olhos de D e E são azuis.

Certamente Malba Tahan escolheu este caso para o fim do livro porque desejava encerrá-lo com chave de ouro, tal a beleza do problema. Podemos, entretanto, fazer três observações que reduzem bastante o brilho desse gran finale:

1) O método usado por Beremiz não permite sempre resolver o problema. Ele acertou por mero acaso. Com efeito, se os olhos de A fossem azuis (admitindo ainda que B tenha olhos azuis e C, negros), ele só poderia concluir que, no caso de D e E, uma teria olhos azuis e a outra olhos negros. Mas não poderia dizer qual delas. Mais precisamente: o raciocínio utilizado por Beremiz permite determinar apenas as cores dos olhos de A, B e C . Por exclusão, conclui-se que D e E têm as cores que faltam, mas não se pode especificar a cor de cada uma, quando essas cores forem diferentes.

2) Se Beremiz fosse mais esperto, encontraria um método infalível para determinar a cor dos olhos de cada uma das escravas, fazendo apenas uma única pergunta! Bastava chegar junto a uma das escravas (digamos, A) e perguntar: “Qual a cor dos olhos de cada uma de vocês?” Como há 3 escravas de olhos azuis e 2 de olhos negros, só haveria duas respostas possíveis. Se A tivesse olhos negros, sua resposta mencionaria duas escravas de olhos negros três de olhos azuis e seria a resposta certa. Se A tivesse olhos azuis, sua resposta seria três escravas de olhos negros e duas de olhos azuis e, neste caso, bastariam inverter sua resposta para obter a verdade.

3) A solução de Beremiz e aquela dada no item 2 acima, fazem uso de uma informação parentemente essencial: quantas escravas de olhos azuis e quantas de olhos negros existem no grupo. Suponhamos agora que essa in- formação seja omitida. Têm-se n escravas, cujos olhos podem ser azuis ou negros. As primeiras mentem sempre, as últimas nunca. Pode haver de 0 a n escravas de olhos azuis; conseqüentemente, o número de escravas de olhos negros também não é fornecido. Mesmo assim,ainda é possível determinar a cor dos olhos de cada uma por meio de uma única pergunta! Basta perguntar à escrava A o seguinte: “Se meu amigo lhe indagasse qual a cor dos olhos de cada uma das n, que lhe responderia você?”

A resposta de A para mim consistiria em atribuir a cada escrava uma cor de olhos. Pois bem, seja qual fosse a cor dos olhos de A, fosse ela mentirosa ou não, a cor dos olhos de cada escrava seria exatamente aquelas dada por sua resposta a mim.

Com efeito, apenas por uma questão de método, vamos supor que A começasse sua resposta pela cor dos seus próprios olhos. Haveria então duas possibilidades quanto ao começo da resposta de A.

Primeira: “Eu diria ao seu amigo que meus olhos são negros, que os olhos de B são...etc”. Neste caso, A não me mente, porque ela só poderia dizer ao meu amigo que seus olhos são negros. Logo, seus olhos são mesmo negros e sua resposta contém a verdade.

B sãoetc”. Então A é mentirosa, pois ela não poderia dizer a ninguém

Segunda: “Eu diria ao seu amigo que meus olhos são azuis, que os de que seus próprios olhos são azuis. Portanto, A mentiria ao meu amigo e me diria ao contrário; logo, me contaria a verdade.

Apesar de ter estragado um pouco da festa de Beremiz com as escravas, espero ter deixado claro que me diverti lendo O Homem que Calculava, tanto agora como da primeira vez. A solução explicitada em 2) foi por mim imaginada naquela época, embora as pessoas que me conhecem, ou que sabem a cor dos meus olhos, duvidem muito desta afirmação.

Sobre uma história de Malba Tahan Jesús A. P. Sánchez

Talvez muitos não saibam que Malba Tahan, autor do encantador livro O homem que calculava, foi o professor de Matemática brasileiro chamado Júlio César de Mello e Souza (1895-1974). Além de autor de mais de cem livros de Literatura Oriental, Didática e Matemática, foi um mestre na arte de contar histórias. Neste artigo farei referência a uma delas.

Trata-se do problema dos mil dinares, apresentado em seu livro Novas Lendas Orientais (Editora Record, 1990). A Beremiz, protagonista de O homem que calculava, apresentou-se o seguinte desafio aritmético:

Determinar como 1 0 moedas de 1 dinar foram distribuídas em 10 caixas do mesmo tamanho, numeradas e fechadas, de maneira que:

a) A numeração das caixas, de 1 até 10, foi feita em ordem estritamente crescente, relativa ao conteúdo de moedas que cada uma encerra.

b) É possível fazer qualquer pagamento, de 1 a 1 0 dinares, sem precisar abrir as caixas.

Depois de pensar um pouco, Beremiz apresentou a seguinte solução:

A primeira caixa deve conter uma moeda, pois caso contrário não poderíamos fazer um pagamento de um dinar. A segunda caixa deve conter duas moedas pois, se tivesse três, quatro ou mais dinares, não seria possível fazer um pagamento de dois dinares.

O problema dos 1000 dinares

A caixa número 3 deve ter quatro moedas, pois o conteúdo das duas primeiras caixas já permite fazer pagamentos de 1, 2 e 3 dinares. Beremiz continua o seu raciocínio, até estabelecer a seguinte distribuição das moedas nas caixas numeradas de 1 a 9.

Caixa e Moeda(s)

1000 – (28 + 27 ++ 21 + 20) = 489 moedas

Quanto à décima caixa, conclui que deve conter

Justificativa da solução, usando notação binária

Uma justificativa da solução de Beremiz pode ser fornecida, utilizando-se a notação binária (base 2) para representar os números.

Por exemplo, para fazer um pagamento de 352 (notação decimal) dinares observamos que:

352 = 1.28 + 0.27 + 1.26 +1.25 + 0.24 + 0.23 + 0.2 + 0.21 + 0.20

Logo, na base 2, o número 352 se escreve 101100000, o que significa que escolhemos as caixas de números 9, 7 e 6.

Visto que 511 é 1 em notação binária, para fazer um pagamento dessa quantia escolhemos todas as caixas, da primeira até a nona.

Para cancelar uma dívida de x dinares, com 551 < x ≤ 1000, escolhemos a caixa número 10 e, para o resto, x – 489 tomamos uma ou mais caixas dentre as nove primeiras.

Como curiosidade, observamos que uma dívida estritamente compreendida entre 490 e 512 dinares pode ser paga de duas maneiras, usando ou não a décima caixa. Por exemplo, uma soma de 500 dinares pode ser obtida com as caixas de números 10, 4, 2 e 1, pois 500 = 489 + 1.23 + 1.21 + 1.20. Mas, também, 500 = 1.28 + 1.27 + 1.26 + 1.25 + 1.24 + 0.23 + 1.2 + 0.21 + 0.20, isto é 111110100 na notação binária; logo, poderíamos também utilizar as caixas de números 9, 8, 7, 6, 5 e 3.

Alcides

A lei de Paulo Afonso da Mata Machado

No meu tempo de aluno do Colégio Estadual de Minas Gerais, em Belo Horizonte, havia um inspetor de nome Alcides que tinha como uma de suas funções ir para a sala na qual o professor houvesse faltado e ficar com os alunos durante o horário da aula. Ele cumpria essa função com muito gosto e, geralmente, ia para o quadro-negro, como se estivesse dando aula, e perguntava:

– Como se calcula o quadrado de um número terminado em 5?

Muitos alunos reclamavam: – Essa não, Alcides, conta outra!

Ele não ligava para os comentários e enunciava a regra:

– Separa-se o último algarismo do número e multiplica-se o número restante por seu sucessor; em seguida, acrescenta-se 25.

E dava o exemplo esclarecedor:

– Seja o número 35; separamos o último algarismo e fica 3; em seguida multiplicamos pelo sucessor, ou seja, 4: 3 vezes quatro é igual a 12. Depois acrescentamos 25. Pronto! O resultado é 1 225.

A lei de Alcides é muito fácil de ser explicada.

Qualquer número terminado em 5 pode ser escrito como sendo igual a 10y + 5, sendo y o número que resta após a retirada do último algarismo. Se elevamos esse número ao quadrado, obtemos

100y2 + 100y + 25 ou 100y(y + 1). Está demonstrada a lei de Alcides.

Certo dia, encontrei-me com Alcides dando voltas na Praça da Liberdade e conversamos sobre o colégio no qual estivemos juntos trinta anos atrás. Perguntei a ele:

— Como se calcula o quadrado de um número terminado em 5? Ele foi pronto na resposta, lembrando-se perfeitamente da regra.

problema: “O número natural N = 1122 ...25 tem 2n algarismos. Os n – 1

Pois bem, meu caro Alcides, a sua lei vai ser útil para que eu resolva o primeiros são iguais a 1, os n seguintes são iguais a 2 e o último é 5. Mostre que, para n ≥ 2, N é um quadrado perfeito e determine, em função de n, a raiz quadrada de N”.

Se N = m2, então m deve terminar em 5 e pela lei de Alcides o número que é o N “separado” do 25, deve ser o produto de dois números naturais consecutivos. Temos:

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