Exercícios de Teorema da Probabilidade Total e de Bayes

Exercícios de Teorema da Probabilidade Total e de Bayes

TEOREMAS DA PROBABILIDADE TOTAL E DE BAYES

Exemplo 4

Considere-se o espaço amostra obtido pelos números das faces no lançamento de um dadoequilibrado e sejam os eventos: A1 = { 1, 2, 3 }, A2 = { 4, 5 } e A3 = { 6 }Então, pode-se verificar facilmente que, os eventos acima formam um partição do espaçoamostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

obtém-se então o denominado teorema da probabilidade total:

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An)

Exemplo 5

Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobrode peças que B e que B e C produzem o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2% das peçasproduzidas por A e por B são defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por C são defeituosas. Todasas peças produzidas são misturadas e colocadas em um depósito. Se do depósito for retirada umapeça ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa?

Solução:

Considerem-se os seguintes eventos:

D = { A peça é defeituosa }, A = { A peça provém da fábrica A }, B = { A peça provém damáquina B } e C = { A peça provém da máquina C }.Tem-se então que: P(A) = 50%, P(B) = P(C) = 25%, uma vez que só existem as 3 fábricas eque A produz o dobro de B e esta por sua vez produz a mesma quantidade que C. Sabe-se também queP(D/A) = P(D/B) = 2% e que P(D/C) = 4%.Pelo teorema da probabilidade total pode-se escrever que:P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) = 0,5.0,02 + 0,25.0,02 + 0,25.0,04 =2,50%,pois A, B e C formam uma partição do espaço amostra S.

Exemplo 6

Considerando a pergunta acima vem então:P(A / D), isto é a probabilidade de ter sido produzida pela máquina A dado que a peça é defeituosaé: P(A / D) = P(A). P(D / A) / P(D) = 0,02.0,50 / (0,5.0,02 + 0,25.0,02 + 0,25.0,04) = 0,40 = 40%

EXERCÍCIOS DIVERSOS

1.) Lance dois dados. Descreva o espaço amostral S, e calcule a probabilidade de ocorrer a soma 7 ? (6/36)

2.) Lance 3 moedas. Descreva o espaço amostral S, utilizando o diagrama da árvore. Qual a probabilidade de a) ocorrerem duas caras ? (3/8) b) ocorrer pelo menos uma cara ? (7/8)

3.)Lance duas moedas e um dado. a) Descreva o espaço amostral S b) Expresse os eventos: A ={aparecem duas caras e um número par} B ={aparece 2} C ={ aparecem exatamente uma cara e um número primo} c) Expresse claramente o evento em que : I) A e B ocorrem II) somente B ocorre III) B ou C ocorrem

4.) Das 10 alunas de uma turma 3 delas têm olhos azuis. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de a) ambas terem olhos azuis b) nenhuma ter olhos azuis c) pelo menos uma ter olhos azuis. ( 1/15 – 7/15 – 8/15)

5.) Três parafusos e três porcas estão numa caixa. Se duas peças forem retiradas ao acaso da caixa, qual a probabilidade de uma ser um parafuso e a outra ser uma porca ? (3/5)

6.) Suponha que numa turma há 6 moças e 10 rapazes. Se uma comissão de 3 pessoas é escolhida aleatoriamente, qual a probabilidade de serem selecionados a) 3 rapazes b) exatamente dois rapazes c) pelo menos um rapaz d) exatamente duas moças (3/14 – 27/56 – 27/28 – 15/56)

7.) O serviço meteorológico informa que, para o final de semana, a probabilidade de chover é de 60%, a de fazer frio é de 70% e a de chover e fazer frio é de 50%. Calcular a probabilidade de que, no final de semana,

a) chova ou faça frio; (80%) b) não chova e não faça frio. 20%

8.) A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de:

a) A ganhar todas as três; (1/8) b) duas partidas terminarem empatadas; (5/72) c) A e

B ganharem alternadamente. (5/36)

9.) Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos(s.m.), 20 que ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de 10 s.m. Três pessoas desta indústria são selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m. ( 0,973)

10.)A probabilidade de que um atleta A ultrapasse 17,30m num único salto triplo é de 0,7. O atleta dá 4 saltos. Qual a probabilidade de que em pelo menos num dos saltos ultrapasse 17,30m ? (0,9919)

11.)Lançamos um dado duas vezes. Sejaa o número de pontos obtidos no primeiro lançamento eb os obtidos no segundo lançamento. Determine a probabilidade de a equaçãoax – b = 0 ter raiz inteira. ( 38,89%)

12.)Três companhias A, B e C disputam a obtenção do contrato de fabricação de um foguete meteorológico. A chefia do departamento de vendas de A estima que sua companhia tem probabilidade igual à da companhia B de obter o contrato, mas que por sua vez é igual a duas vezes a probabilidade de C obter o mesmo contrato. Determine a probabilidade de A ou C obter o contrato. (60%)

13.)Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 são formados números de quatro algarismos distintos. Se um deles é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ele ser: a) par ? (48/120) b) ímpar ? ( 60%)

14.)Um grupo é formado por seis homens e quatro mulheres. Três pessoas são selecionadas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que ao menos duas sejam do sexo masculino ? (80/120)

15.)Cinco lâmpadas são escolhidas aleatoriamente de um pacote que contém 10 lâmpadas das quais três são defeituosas. Seja W o número de lâmpadas defeituosas escolhidas . Determine a probabilidade de W = 2. (105/252)

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