Analise de grelhas

Analise de grelhas

Universidade Federal de Minas Gerais

Escola de Engenharia Departamento de Engenharia de Estruturas

NOTAS DE AULA Análise Estrutural I

Estudo das Grelhas Isostáticas

Autor Prof. Estevão Bicalho Pinto Rodrigues

Segunda Edição – Ano 2006

1-) GENERALIDADES

1.1- Equações de Equilíbrio de um Sistema de Forças no Espaço

Dado um sistema de eixos X, Y e Z, sabemos que um sistema de forças no espaço está em equilíbrio quando a resultante das forças é nula e o momento resultante também é nulo.

Vetorialmente, teremos: F0 eM0==r

Se, entretanto, escrevermos as equações das componentes dos vetores segundo os eixos X, Y e Z, teremos:

ΣFX = 0ΣMX = 0
ΣFY = 0e ΣMY = 0
ΣFZ = 0ΣMZ = 0

1.2- Sistema de Forças Paralelas no Espaço

Seja, agora, um sistema de forças paralelas ao eixo OZ (ver Figura 1).

Neste caso, as equações ΣFX = 0 e ΣFY = 0 se transformam em meras identidades (0=0) pois as forças não tem componentes segundo os eixos X e Y. Além disso, a equação ΣMZ = 0 também se transforma em identidade pois as forças, sendo paralelas ao eixo OZ, não dão momento em relação a este eixo.

Logo, ficam válidas as equações restantes, a saber:

ΣFZ = 0 ΣMX = 0 ΣMY = 0

2-) GRELHAS 2.1 – Definição

“Grelha é uma estrutura plana, submetida a um carregamento perpendicular a este seu plano”.

Admitindo-se o plano XY como sendo o plano da grelha, as cargas terão todas a direção Z. Neste caso, as equações de equilíbrio serão:

ΣFZ = 0 ΣMX = 0 ΣMY = 0

Logo, uma grelha será isostática quando ela possuir apenas 3 vínculos externos (3 incógnitas a determinar).

2.2 – Grelhas Isostáticas Os tipos mais comuns de grelhas isostáticas são as indicadas abaixo:

Trata-se de uma grelha com 1 apoio engastado e os demais nós livres, cujas reações de apoio (VAZ, MAX e MAY) são obtidas através das equações de equilíbrio citadas no item 2.1.

b-) GRELHA SOBRE 3 APOIOS

Nesta grelha, as reações de apoio (VA, VC e VD) são obtidas através das equações de equilíbrio citadas no item 2.1.

Entretanto, os 3 apoios NÃO PODEM estar sobre a mesma reta pois, neste caso, teremos uma forma crítica, uma vez que a grelha não resistirá às forças verticais que não estiverem sobre a reta que une os 3 apoios.

2.3 – Esforços Solicitantes na Grelha

Dada uma grelha no plano XY, se nós reduzirmos as forças atuantes em um dos lados da seção genérica “S” de uma barra ao seu centro de gravidade, obteremos a força cortante Q (que é perpendicular ao plano XY da grelha) e o momento m, situado no plano XY.

Este momento mr , que tem direção genérica, sempre poderá ser decomposto em uma componente Tr na direção da barra (que dará torção nesta barra), e em uma componente Mr , perpendicular ao eixo da barra (que produzirá flexão da barra no plano perpendicular ao da grelha).

Logo, os esforços solicitantes que atuam na grelha são a força cortante Q, o momento torsor T e o momento fletor M.

No caso de uma estrutura plana ser submetida a um carregamento oblíquo ao seu plano, ele deverá ser decomposto em 2 carregamentos, sendo 1 perpendicular ao seu plano e o outro em seu próprio plano.

Para o carregamento perpendicular ao plano, a estrutura deverá ser analisada como grelha. Entretanto, para o carregamento em seu próprio plano, ela deverá ser analisada como pórtico plano e necessitará possuir pelo menos três vínculos no próprio plano, para garantir a sua sujeição completa para este carregamento.

3-) EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 3.1 – Grelha Engastada

Para a grelha abaixo, determinar: as reações de apoio, o equilíbrio de barras e nós e os diagramas dos esforços solicitantes

* ΣV = 0* ΣMXBC = 0
VA – 2 - 3*2,5 = 0-9,5*4 + 8 – MXA = 0
VA = 9,5 tMXA = -30 tm

a-) reações se apoio

* ΣMYAB = 0

MYA – 2*2,5 –7,5*1,25 = 0 MYA = 14,38 tm b-) equilíbrio de barras e nós b.1 – barra BC

ΣMY = 0 → -2*2,5 – 3*(2,5)2/2 + MYB = 0 → MYB = 14,38 tm

ΣMXB = 0 → MXB = 0 b.2 – barra AB (verificação)

ΣV = 0 → OK ΣMY = 0 → OK ΣMX = -9,5*4 + 8 + 30 = 0 → OK c-) diagramas (lado de referência é a face inferior das barras) d-) relatório do Programa INSANE Observação:

Nos exemplos apresentados nestas notas de aula, as barras da grelha encontram-se no PLANO XY (eixo Y horizontal, para direita; eixo X vertical, para baixo) conforme indicado nas figuras ilustrando a geometria das grelhas em planta. O carregamento transversal é perpendicular a este plano, ou seja, o carregamento tem a direção do eixo Z.

Entretanto, no Programa INSANE, as barras da grelha encontram-se no Plano XZ (eixo X horizontal, para a direita; eixo Z vertical, para cima), e o carregamento transversal é perpendicular a este plano, ou seja, o carregamento tem a direção do eixo Y.

3.2 – Grelha sobre 3 Apoios

Para a grelha a seguir, determinar: as reações de apoio, o equilíbrio de barras e nós e os diagramas dos esforços solicitantes:

a-) reações de apoio

* ΣMYAC = 0

-4*VF + 3*3 + 5 + 8*4 = 0 VF = 1,5 t

* ΣMXA = 0

1,5*13 – 8*3 +8*VC –16*4 = 0 VC = -7,688 t

VA + 1,5 – 7,688 – 16 – 8 = 0 VA = 20,18 t b-) equilíbrio de barras e nós

12 Decomposição da barra BE b.1 – barra DE

ΣMY = 0 → 3*3 + MEY’ = 0 → MEY’ = -9 tm ΣMXE = 0 → 8*3 – MEX’ = 0 → MEX’ = 24 tm b.2 – barra EF

ΣMY = 0 → MEY’’ = 0 ΣMXE = 0 → 1,5*7 – MEX’’= 0 → MEX’’ = 80,5 tm b.3 – barra BE

b.4 – barra AB

b.5 – barra BC

ΣMY = 0 → MBY’’’ = 0

c-) diagramas (lado de referência é a face inferior das barras) d-) relatório do Programa INSANE

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