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FUNÇÕES

O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.

O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo seria o preço a ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida.

Observe, por exemplo, o diagrama das relações abaixo:

A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado a nenhum elemento do conjunto B.

A relação acima também não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais de um elemento do conjunto B.

Agora preste atenção no próximo exemplo:

A relação acima é uma função, pois todo elemento do conjunto A, está associado a somente um elemento do conjunto B.

De um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e uma relação entre eles, dizemos que essa relação é uma função de A em B se e somente se, para todo x A existe um único y B de modo que x se relacione com y.

DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO:

O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D=A. Se um elemento x A estiver associado a um elemento yB, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”).

Exemplo: se f é uma função de IN em IN (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y=x+2. Então temos que:

  • A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3;

  • A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4;

De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2.

Numa função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f.

Com base nos diagramas acima, concluímos que existem 2 condições para uma relação f seja uma função:

1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A é ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual não parta flecha, a relação não é função.

2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha. Se de um elemento de A partir mais de uma flecha, a relação não é função.

Observações:

  • Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis.

  • A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x.

  • Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y=f(x).

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

  1. Considere a função f: A B representada pelo diagrama a seguir:

Determine:

  1. o domínio (D) de f;

  2. f(1), f(-3), f(3) e f(2);

  3. o conjunto imagem (Im) de f;

  4. a lei de associção

Resolução:

  1. O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A.

  2. f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4.

  3. O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: Im = {1,4,9}.

  4. Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2.

  1. Dada a função f: IRIR (ou seja, o domínio e a contradomínio são os números reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule:

  1. f(2), f(3) e f(0);

  2. o valor de x cuja imagem vale 2.

Resolução:

  1. f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0

f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0

f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

  1. Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x2-5x+6=2. Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4.

OBTENÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO:

  • O domínio é o subconjunto de IR no qual todas as operações indicadas em y=f(x) são possíveis.

Vamos ver alguns exemplos:

Agora o denominador: como 3-x está dentro da raiz devemos ter 3-x  0, mas além disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3-x  0. Juntando as duas condições devemos ter: 3-x > 0, ou seja, x < 3 (condição 2).

Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2 temos:

Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo.

Portanto, D={x  IR | 2  x < 3}.

CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO CARTESIANO DE UMA FUNÇÃO

Para construir o gráfico de uma função f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função definida por y=x/2. Escolhemos alguns valores para o domínio. Por exemplo D={2,4,6,8}, e agora calculamos os respectivos valores de y. Assim temos:

x=2 y=2/2 = 1

Então montamos a seguinte tabela:

x=4 y=4/2 = 2

x

y

x=6 y=6/2 = 3

2

1

x=8 y=8/2 = 4

4

2

6

3

8

4

Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano:

O gráfico da função será uma reta que passará pelos quatro pontos encontrados. Basta traçar a reta, e o gráfico estará construído.

Obs: para desenhar o gráfico de uma reta são necessários apenas dois pontos. No exemplo acima escolhemos 4 pontos, mas bastaria escolher dois elementos do domínio, encontrar suas imagens, e logo após traçar a reta que passa por esses 2 pontos.

RAÍZES DE UMA FUNÇÃO

Dada uma função y=f(x), os valores, os valores de x para os quais f(x)=0 são chamados raízes de uma função. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. Observe o gráfico abaixo:

No gráfico acima temos: f(x1)=0, f(x2)=0 e f(x3)=0.

Portanto x1, x2 e x3 são raízes da função.

PROPRIEDADES DE UMA FUNÇÃO

Essas são algumas propriedades que caracterizam uma função f:AB:

  1. Função sobrejetora: Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im=B. Em outras palavras, não pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas.

  1. Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto não pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. Por exemplo, a função f:IRIR definida por f(x)=3x é injetora pois se x1 x2 então 3x1 3x2, portanto f(x1) f(x2).

  1. Função Bijetora: Uma função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a função f: IRIR definida por y=3x é injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela também é sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta função é bijetora.

Já a função f: ININ definida por y=x+5 não é sobrejetora, pois Im={5,6,7,8,...} e o contradomínio CD=IN, mas é injetora, já que valores diferentes de x têm imagens distintas. Então essa função não é bijetora.

Observe os diagramas abaixo:

  • Essa função é sobrejetora, pois não sobra elemento em B

  • Essa função não é injetora, pois existem dois elementos com mesma imagem

  • Essa função não é bijetora, pois não é injetora

  • Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez.

  • Essa função não é sobrejetora, pois existem elementos sobrando em B

  • Essa função não é bijetora, pois não é sobrejetora

  • Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez.

  • Essa função é sobrejetora, pois não existem elementos sobrando em B

  • A função é bijetora, pois é injetora e sobrejetora

FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR

Dada uma função f: AB, dizemos que f é par se, e somente se, f(x)=f(-x) para todo x A. Ou seja: os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função par:

Por exemplo, a função f: IR IR definida por f(x)=x2 é uma função par, pois f(x)=x2=(-x)2=f(-x). Podemos notar a paridade dessa função observando o seu gráfico:

Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em relação ao eixo vertical. Elementos simétricos têm a mesma imagem. Os elementos 2 e –2, por exemplo, são simétricos e possuem a imagem 4.

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