Apostila preparatória para Vestibular - 03 matematica c

Apostila preparatória para Vestibular - 03 matematica c

(Parte 2 de 4)

05) ( UFSC ) Na figura, a seguir, a área hachurada é de 16 π cm2. Sabendo-se que a diferença entre os dois raios é 2cm, determine o valor numérico do produto desses raios.

Tarefa Complementar

06) ( FUVEST ) No triângulo ABC, AB = 20cm,

BC = 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango de área 8cm2

A medida, em graus, do ângulo BNP é:

a) 15 b) 30 c) 45 c) 60 d) 75

07) ( CESGRANRIO ) A base de um retângulo de área S é aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é:

a) 1,04 S b) 1,02 S
c) Sd) 0,98 S

e) 0,96 S

08) ( CESCEM-SP ) O quadrilátero ABCD é um

retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é:

09) A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado

6cm é igual a: A

10) ( MACK-SP ) No círculo da figura, de centro O e raio 1, a área do setor assinalado é:

e)
c)
b)

Matemática C Inclusão para a Vida

PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 12

1) ( UEM ) Considere o triângulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima?

12) ( VUNESP ) Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando π = 3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado.

13) ( UFRGS ) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua área cresce:

14) ( UFSC ) Considere as circunferências C1 de raio r e

C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados, calcule em cm2, a área do círculo limitado pela circunferência C2.

15) ( FUVEST-2003 ) No trapézio ABCD, M é o ponto

médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.

AULAS 06

Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos.

Relação de Euler: V + F = A + 2

Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2) onde “v” é o número de vértices.

Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais?

Poliedros Regulares

Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e ângulos formados pelas faces iguais.

Exercícios de Sala

01) Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, faces e vértices.

02) Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 faces quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face hexagonal. Determine o número de vértices.

03) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular de aresta l

Tarefa Mínima

01) (FISS – RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 faces triangulares. O número de vértices desse poliedro é:

a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24

Inclusão para a vida Matemática C

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02) (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será:

a) 3240º b) 3640º c) 3840º d) 4000º e) 4060º

03) (PUC –PR) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse polígono, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares? a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 8

04) (PUC – PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

05) (PUCCAMP – SP) Sobre as sentenças:

I . Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. I. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. I. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.

É correto afirmar que apenas: a) I é verdadeira b) I é verdadeira c) I é verdadeira d) I e I são verdadeiras e) I e II são verdadeiras.

Tarefa Complementar

06) Some as alternativas corretas:

01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10 vértices. 02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e somente faces triangulares possui 9 arestas. 04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui 15 arestas. 08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro vértices pentaédricos possui 12 faces. 16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual ao número de faces possui um número par de arestas.

07) (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número de faces hexagonais?

08) (CESGRANRIO – RJ) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: a) 180 b) 360 c) 540 d) 720 e) 900

09) (UFRGS) Um octaedro regular possui: a) mais diagonais do que vértices; b) mais faces que arestas; c) mais vértices do que faces; d) menos diagonais que faces; e) igual número de vértices e de arestas.

10) (PUC – PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é:

a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4

AULAS 07

1. Definição

Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e congruentes denominadas bases e as demais faces em forma de paralelogramos.

2. Elementos

BASES: são os polígonos ABCDE e ABCDE FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABAB; BCBC; CDCD; …… ARESTAS LATERAIS: são os segmentos A; B; C; D e E ALTURA: A distância EH entre as duas bases é denominada altura do Prisma ARESTAS DAS BASES: são os segmentos AB; BC; CD ; DE e EA

3. Nomenclatura O nome do prisma dá-se através da figura da base.

• Prisma Triangular: As bases são triangulares. • Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros.

• Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos

Observação: Se o polígono da base for regular, o prisma também será chamados de Regular.

4. Classificação De acordo com sua inclinação um prisma pode ser:

Reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos da base.

Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos da base.

No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a altura.

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4. Fórmulas Considere um prisma reto regular com n lados da base.

Exercícios de Sala

01) Dado um Prisma triangular regular com aresta lateral igual a 7cm e aresta da base igual a 2cm. Determine:

a) a área total do prisma b) o volume do prisma

02) ( UFSC ) O volume de um prisma hexagonal regular de 2cm de aresta da base é 423cm3. A medida, em cm2, da área lateral desse prisma é:

Tarefa Mínima

01) ( ACAFE ) Um prisma de 8dm de altura tem por base um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é:

02) ( UFSC ) Um prisma triangular regular tem uma área total de ( 96 + 23) cm2. Sabe-se que a aresta da base mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do prisma é:

03) ( PUC-PR ) O volume do prisma reto de 3m de altura, cuja base é um hexágono de 2m de lado, é:

a) 3m3 b) 3 m3 c) 9 m3 d) 3 m3

04) ( Mack-SP ) Num prisma de base triangular, a altura é

6 e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em cm3:

Tarefa Complementar

05) ( PUC-SP ) Se a área da base de um prisma diminui 10% e a altura aumenta 20%, o seu volume:

a) aumenta 8%b) aumenta 15%
c) aumenta 108%d) diminui 8%

e) não se altera

06) ( UFCE ) Um prisma reto tem por base um losango cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse prisma, em cm3, é:

07) ( ITA-SP ) Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de 80m2. O lado dessa base quadrada mede:

08) ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto de base triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm, a área total desse prisma, em cm2, é:

09) ( UFSC-2005 ) Na figura a seguir, o segmento de reta

AE é paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume (em cm3) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.

AULAS 08

Paralelepípedo reto retângulo

Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são paralelogramos a as faces opostas são retângulos congruentes.

Inclusão para a vida Matemática C

PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 15

• comprimento (a)
• largura (b)
• altura (c)

Possui três dimensões: Fórmulas Área Total: ST = 2(ab + ac + bc) Volume: V = a.b.c Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2 RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c)2 = D2 + ST

Cubo – Hexaedro Regular Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais.

Todas as faces são quadrados Fórmulas

Área Total: ST = 6 2 Volume: V = 3

Diagonais: d = 2D = 3

Exercícios de Sala

01) ( UFSC ) O volume de um paralelepípedo retângulo é 24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros quadrados, a área total desse paralelepípedo.

02) No cubo da figura, área da secção o ABCD é 8

cm2. Calcule o volume do cubo.

01) ( UFSC ) Na figura abaixo, que representa um cubo, o

Tarefa Mínima perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + 2) cm. Calcule o volume do cubo em cm3.

02) ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e 2, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em dm2, a área total desse paralelepípedo.

03) ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m2 de área total. Em quanto deve ser aumentada a sua aresta em metros, para que seu volume se torne igual a 216 m3?

04) ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm3, é:

05) ( UFSC ) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm2, é:

Tarefa Complementar

06) ( UFSC ) A área total de um paralelepípedo reto retângulo é de 376 m2 e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o resultado para o cartão resposta.

07) ( Fatec-SP ) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é 64cm3, então a soma das áreas de suas faces é:

a) 292cm2 b) 298cm2c) 296cm2
d) 294cm2e) 290cm2

08) ( UEPG ) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto.

01. A área do triângulo ABC é 2 dm2.

04. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 dm3

16. O perímetro do triângulo BCD vale 42 dm.

09) ( UFSC ) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é:

10) ( UNICAMP ) Ao serem retirados 128litros de água de uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm.

a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa b) calcule sua capacidade em litros

Matemática C Inclusão para a Vida

AULA 09

PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 16

1. Definição

Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal ABCDEF e as faces são regiões triangulares. Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for regular

2. Nomenclatura

Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base. Observe alguns exemplos.

• Pirâmide Triangular → a base é um triângulo

• Pirâmide quadrangular → a base é um quadrado

• Pirâmide Pentagonal → a base é um pentágono

3. Pirâmides Regulares

Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular, a pirâmide é regular.

Elementos e Formulário

• aresta da base - ℓ • aresta lateral -aℓ

• altura – h

• apótema da base – ab

• apótema da pirâmide – ap

• Raio da circunferência circunscrita – R

Para uma pirâmide de regular com n lados da base vale as seguintes relações:

Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na base

Área Lateral : SL = n. .ap

Área Total: ST = SB + SL

Volume V = 3

Relações Auxiliares na Pirâmide • ap2 = H2 + ab2



Exercícios de Sala

01) Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e a aresta da base mede 6m. Determine a área total dessa pirâmide.

02) Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja altura mede 33m e o perímetro da base mede 12 m?

03) ( UFSC-2006 ) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2 de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a secção assim feita tem 64 m2 de área. Qual a altura da pirâmide?

Tarefa Mínima

01) ( UFSC ) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em cm3, o volume dessa pirâmide.

02) ( UFSC ) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 23cm. Determine a área total, em cm2, dessa pirâmide.

03) ( UFSC ) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3, é:

04) ( Cescem-SP ) Em uma pirâmide com 12cm de altura, tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é:

a) 240cm2 b) 260cm2c) 340cm2

d) 400cm2 e) n.d.a.

Inclusão para a vida Matemática C

PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 17

05) ( Osec-SP ) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas medindo 2. Então, a sua altura mede:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.d.a.

Tarefa Complementar

06) ( UFPA ) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de volume e 43cm de altura. Qual a medida da aresta da base?

07) ( Uece-CE ) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é:

08) O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da pirâmide. ( Divida o resultado obtido em m2 por dez )

09) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm.

c) 123 cm2d) 163 cm2

e) 243 cm2

10) ( ACAFE-SC ) A figura abaixo mostra a planificação de um sólido. O volume desse sólido é de:

a) 1152cm3 b) 1440cm3 c) 384cm3 d) 1200cm3 e) 240cm3

1) ( VUNESP ) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:

12) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm.

a) 43 cm2 b) 83 cm2

c) 123 cm2d) 163 cm2

e) 243 cm2

a) 6.10-4 b) 6.10-2
c) 12.10-4d) 12.10-2

13) ( PUC-PR ) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide mede, em m2. e) 15.10-4

a) 4,5 cm b) 7,5 cm
c) 1,5 cm d) 9,5cm

14) ( E Volta Redonda ) A base de uma pirâmide tem 225 cm2 de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem 36cm2 de área. A altura da pirâmide é: e) 3,5cm

AULAS 10

CILINDRO, CONE e ESFERA

1. Cilindro de Revolução

Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta, uma região retangular. Também é chamado de cilindro circular.

Elementos

Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h

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