Apostila preparatória para Vestibular - 04 matematica d

Apostila preparatória para Vestibular - 04 matematica d

(Parte 1 de 4)

Inclusão para a vida Matemática D

PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1

AULA 01

1. Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando aumentando uma delas implicar o aumento da outra na mesma razão.

Exemplo: 1 kg de alimento custa R$ 15,0 3 kg de alimento custam R$ 45,0 5kg de alimento custam R$ 75,0

2. Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando aumentando uma delas implicar a diminuição da outra na mesma razão.

Exemplo: 2 pessoas constroem 1 obra em 18 dias 4 pessoas constroem a mesma obra em 9 dias 6 pessoas constroem a mesma obra em 6 dias

3. Aplicações – Regra de Três

3.1. Regra de Três Simples

Regra de Três Simples é um processo matemático mediante o qual podemos resolver problemas do cotidiano envolvendo “duas” grandezas, sejam elas direta ou inversamente proporcionais. Dito processo consiste no seguinte:

Identificar as grandezas envolvidas no problema.

Nas situações dadas (em relação às mesmas) dispô-las em colunas.

Verificar se são GDP ou GIP.

Montar a proporção correspondente.

Resolver a proporção.

3.2. Regra de Três Composta

Regra de três composta é um processo matemático mediante o qual podemos resolver problemas do cotidiano, envolvendo três ou mais grandezas. O processo é semelhante ao caso anterior (Regra de três simples), levando em consideração apenas o item da verificação quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito assim: analisar as grandezas duas a duas, sempre em relação à que possui a variável. A montagem e resolução da proporção segue o mesmo roteiro do caso anterior (Regra de Três Simples).

4. Porcentagem

As razões cujos denominadores são iguais a 100 são chamadas razões centesimais.

4.1.Noção Intuitiva “O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% (lê-se 23 por cento)”. Significa que, em média, 23 de cada 100 habitantes são analfabetos.

4.2.Cálculo de uma porcentagem Exemplo: 25% de R$ 80,0 é R$ 20,0” pois 25% = 100

Logo 25% de R$ 80,0 = 0,25.80,0 = 20,0

4.3. Definição

Porcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo símbolo % que significa “por cento”.

Exercícios de Sala

01) Se 12Kg de um certo produto custa R$ 60,0, qual o preço de 25Kg do mesmo produto?

02) Sabendo que 36 operários conseguem construir uma casa em 30 dias, se dispomos apenas de 12 desses operários, em quanto tempo será construída a mesma casa?

03) Calcular a) 60% de 30 b) 30% de 20 c) 20% de 300 d) 20% de 20%

04) Numa cidade, 240 0 jovens representam 30% da população. Então a população da cidade é de:

a) 500 0 habitantes b) 600 0 habitantes c) 700 0 habitantes d) 800 0 habitantes e) 900 0 habitantes

Tarefa Mínima

01) Se trinta litros de um combustível custam R$ 16,95, quantos custarão oitenta litros do mesmo combustível?

02) Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma casa, quanto tempo levarão para construí-la 10 pedreiros?

03) Um acampamento com 80 pessoas tem suprimento para dez dias. Sabendo-se que chegaram mais vinte soldados, pergunta-se: para quantos dias terão suprimentos, considerando-os inalteráveis?

04) Calcular as seguintes porcentagens:

a) 25% de 80 b) 4% de 50 c) 120% de 200 d) 0,15% de 400 e) 20% de 30% f) (5%)2

05) Numa sala de 80 alunos, 24 alunos foram aprovados

A porcentagem de reprovação foi de:

a) 30% b) 40% c) 50% d) 60% e) 70%

06) ( UFSC) Ao vestibular de 1982 da UFSC, inscreveram-se 15.325 candidatos, dos quais 14.099 concluíram todas as provas. O percentual de abstenção foi:

Matemática D Inclusão para a Vida

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07) Qual o preço de uma mercadoria que custava R$ 80,0 e teve um aumento de 40%? a) 110,0 b) 112,0 c) 114,0 d) 116,0 e) 98,0

08) (CESCEM-SP ) 3% de 0,009 vale:

Tarefa Complementar

09) ( UNIMEP-SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:

a) 4 gatos b) 3 gatosc) 2 gatos
d) 5 gatose) 6 gatos

10) Dezesseis operários trabalhando seis horas por dia constroem uma residência em cento e oitenta dias. Quantos operários serão necessários para fazer a mesma residência, trabalhando oito horas por dia durante cento e vinte dias? a) 18 b) 10 c) 19 d) 20 e) 21

1) Durante 1 dias, 15 cavalos consomem 20 kg de alfafa. Retirando-se 7 cavalos, 1280 kg de alfafa serão consumidos em quantos dias? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

12) ( UFSC ) Com uma lata de tinta é possível pintar 50 m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2, gasta-se uma lata e mais uma parte de uma segunda lata. A parte que se gasta da segunda lata, em porcentagem, é:

13) ( UFSC ) Pedro investiu R$ 1.50,0 em ações. Após algum tempo, vendeu essas ações por R$ 2.10,0. Determine o percentual de aumento obtido em seu capital inicial.

14) ( UFSC ) Um reservatório contendo 120 litros de água apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à evaporação, esse índice subiu para 15%. Determinar, em litros, o volume de água evaporada.

15) ( UFSC ) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

prova de 10 questões, porém superior a obter 5
04. Duplicando-se o lado de um triângulo eqüilátero,

01. Um investidor tem seu dinheiro aplicado a 2% ao mês. Deseja comprar um bem no valor de R$ 10.0,0, que pode ser pago a vista ou em três parcelas de R$ 34.0,0, sendo a primeira de entrada e as outras em 30 e 60 dias. Ele sairá lucrando se fizer a compra parcelada. 02. Obter 7 acertos numa prova de 12 questões é um desempenho inferior a obter 6 acertos numa acertos numa prova de 9 questões. sua área fica também duplicada. 08. Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 5 dias para fazer determinado trabalho, então 3 impressoras (com a mesma eficiência das anteriores) trabalhando 8 horas por dia levarão 6 dias para fazer o mesmo trabalho.

AULA 02

Dado um número natural, denomina-se fatorial de n e indica-se por n! a expressão:

n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3)3 . 2 . 1

Assim temos:

5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 3! = 3. 2. 1 = 6 2! = 2. 1 = 2

1! = 1 e 0! = 1(conceito primitivo)

Observação: Podemos desenvolver um fatorial até um fator conveniente. Veja:

8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 8. 7. 6. 5. 4!

4! 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6. 5!

5!

n ! = n. (n 1).(n 2) !

1. Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma:

Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que:

E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa

E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa :

En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa

Então E1 . E2Ek é o número total de possibilidades do

evento ocorrer.

2. Arranjo

Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos agora montar os pares ordenados a partir do conjunto K.

(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3; 4); (2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3)

Observe que esses agrupamentos diferem

Pela natureza dos elementos componentes: (2, 3) (1,4)

Pela ordem dos elementos: (1, 3) (3, 1)

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A esses tipos de agrupamentos denomina-se ARRANJO de n elementos tomados p a p, e é indicado por .

Definição: Denomina-se arranjo de n elementos tomados p a p cada grupo ordenado de p elementos escolhidos entre n disponíveis.

A* n,p = np

Exemplo: Considere o conjunto K = {2, 3, 4, 5, 6}. Quantos números de 3 algarismos podemos formar a partir de K ?

Resolução: A* 5, 3 = 53 = 125

Logo, podemos formar 125 números de 3 algarismos.

Exemplo: Considerando o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos números de 3 algarismos sem repetição podem ser formados?

Resolução: A5,3 = 553 54 32

Logo, podemos formar 60 números de 3 algarismos distintos.

Exercícios de Sala 01) Calcular o valor de

b)

02) Resolver as equações:

a) (n 3) ! = 720 b)

03) Quatro seleções de futebol (Brasil, Espanha,

Portugal e Uruguai) disputam um torneio. Quantas e quais são as possibilidades de classificação para os dois primeiros lugares?

04) Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)

05) Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Quantos números com quatro algarismos distintos podemos formar a partir do conjunto K?

01) Calcular

02) Resolver as equações abaixo: a) (n - 4)! = 120 b) (4x - 6)! -120 = 600 c) (n - 2)! = 720

03) Ache a solução da equação

04) Dum ponto A a um ponto B existem 5

caminhos; de B a um terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um quarto ponto D existem também 6 caminhos. Quantos caminhos existem para ir do ponto A ao ponto D?

a) 17b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080

05) Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios?

a) 199 b) 200c) 4.950

d) 9.900 e) 10.0

06) Telefones de uma cidade possui 6 dígitos (1ºnunca é zero). Supondo que a cidade passe a ter 7 dígitos. Qual o aumento no número de telefones?

a) 81.105b) 8100 c) 90000 d) 90.103

Tarefa Complementar 07) Qual o valor de n que satisfaz a equação

08) Quantas soluções possui a equação (x – 2)! = 1 obtém-se:

a) 1

2n b) n + 1 c) n+2 d) 1

1n

e) n e tendo em vista que m > 0, o valor de m é:

Matemática D Inclusão para a Vida

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1) Se (n 6)! = 720, então n é igual a:

12) ( F. Dom Bosco-DF ) A expressão 3! 2! 2! É equivalente à expressão:

a) 12!b) 7! c) 5! d) 5! e) 4!

13) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

a) 69b) 2.024

c) 9.562 d) 12.144 e) 13.824

14) ( UECE ) A quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1000 e 4500 que podemos formar utilizando somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:

15) ( PUC-SP ) Chamam-se “palíndromos” os números inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O número total de palíndromos com cinco algarismos é:

a) 450 b) 1000 c) 900 d) 2500 e) 5000

AULA 03

Quando fazemos arranjos de n elementos tomados n a n, sem repetição, estamos montando grupos com todos os elementos disponíveis. Dizemos que esse tipo de Agrupamento é denominado PERMUTAÇÃO de n elementos, e é indicado por

Pn. Considere, então, o conjunto K = {1, 2, 3}. As permutações com esses elementos são:

(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Pn = n!

Exemplo 1: Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os números usando-se os algarismos { 2, 5, 6, 7}.

Resolução: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24

Logo, pode-se formar 24 números com 4 algarismos distintos.

Exemplo 2: Calcule o número de anagramas da palavra VASCO.

Resolução Cada anagrama é uma permutação das letras V, A, S, C, O. Como são 5 letras distintas, o número de anagramas é dado por:

Logo, pode-se formar 120 anagramas com as letras da palavra VASCO.

Vamos considerar um conjunto com n elemento, dos quais um dos elementos repete vezes, outro vezes e assim por diante, até que um elemento repita vezes. O número de permutações possíveis é dado pela expressão:

Pnn     

Exemplo: Quantos anagramas pode-se formar com as letras da palavra ARARA.

Resolução: n = 5 = 3  = 2

P53, 2 =

Logo, pode-se formar 10 anagramas com as letras da palavra ARARA.

Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}.

Vamos montar agora os subconjuntos com dois destes elementos. {1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}.

Observe que esses agrupamentos diferem

Apenas pela natureza dos elementos componentes: {1, 2} {1, 4}

Mas não diferem pela ordem: {1, 3} = {3, 1}

A esses tipos de agrupamentos denomina-se COMBINAÇÃO de n elementos tomados p a p, e é indicado por

Cnp ou Cnp .

Definição: Denomina-se combinação de n elementos p a p todo subconjunto de p elementos.

O número de combinações simples dos n elementos tomados p a p é dado pela expressão:

Cnpn

Exemplo: Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar com um grupo de 10 pessoas.

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Resolução: As comissões são subconjuntos de 3 pessoas escolhidas entre as 10, logo:

C10,3 = 10

Logo, podemos formar 120 comissões de 3 pessoas

com um grupo de10 pessoas.

Exercícios de Sala

01) Quantos são os anagramas das palavras:

a) ROMA b) ESCOLA c) BANANA. d) MATEMATICA

02) Quantos são os anagramas da palavra MÉXICO em que aparecem as letra E e X sempre juntas?

03) Quantas comissões de 2 pessoas podem ser

formadas com 5 alunos (A,B,C,D,E) de uma classe?

04) Marcam-se 8 pontos distintos numa circunferência. Quantos triângulos com vértices nesses pontos podemos obter?

01) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os números usando-se os algarismos { 1, 3, 8, 9}.

02) Quantos números diferentes obteremos, permutando os algarismos do número 336.223?

03) Quantos são os anagramas da palavra SAPO?

04) Determine os número de anagramas da palavra CARCARÁ? (não considere o acento)

05) O valor de x em Cx,3 = 35, é:

a) 12 b) 10 c) 7 d) 8 e) 9

06) Quantas comissões constituídas por 4 pessoas podem ser formadas com 10 alunos de uma classe?

a) 210 b) 120c) 240

d) 100 e) 200

07) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é:

Tarefa Complementar

08) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as afirmações:

I. O número total deles é 720. I. O número dos que terminam com a letra A é 25.

I. O número dos que começam com EN é 24. Então apenas:

a) a afirmação I é verdadeira. b) a afirmação I é verdadeira. c) a afirmação I é verdadeira. d) as afirmações I e I são verdadeiras. e) as afirmações I e I são verdadeiras.

09) ( CEFET-PR ) O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que nem as vogais nem as consoantes fiquem juntas, é:

a) 12b) 36 c) 48

d) 60 e) 72

10) ( PUC-SP ) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e

de cada nome. O número total de siglas

Ernesto querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo, é a primeira letra possíveis é:

1) Considere um grupo de 3 moças e 4 rapazes. O número de comissão de 4 membros, de modo que em cada comissão figure pelo menos um rapaz, é:

12) Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 6. O número de pessoas presentes à reunião é:

13) ( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?

a) 72 b) 63c) 36

d) 27 e) 18

14) ( UFRN ) Se o número de combinações de n + 2 elementos 4 a 4 está, para o número de combinações de n elementos 2 a 2, na razão de 14 para 3, então n vale:

a) 6b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

AULA 04

Dados dois números naturais n e p, denomina-se número binomial de n sobre p e indicado por np ao número definido por:

com n  N, p  N e n  p

p)!(np! n! Podemos concluir de imediato que:

Matemática D Inclusão para a Vida

PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 6 a n

1b)
nc)
1

Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados complementares quando a soma dos denominadores (classes) é igual ao numerador

Exemplos:

a) n p e

nnpb)

1ª) Dois números binomiais complementares são iguais.

Então se nk n p kp ou

2ª RELAÇÃO DE STIFFEL

pnp

n1p1 n1

Vamos dispor agora os números binomiais em um triângulo, de forma que os binomiais de mesmo numerador fiquem na mesma linha, e os binomiais de mesmo denominador fiquem na mesma coluna.

col 0 col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6
linha 0
linha 2
linha 3
linha 4

linha linha 6

PRIMEIRA PROPRIEDADE Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1.

SEGUNDA PROPRIEDADE O último elemento de cada linha é igual a 1.

TERCEIRA PROPRIEDADE Numa linha qualquer dois binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais. (binomiais complementares) da linha (n - 1); aquele que está na coluna p com aquele que está na coluna (p - 1).

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