I - III - Fundamentos de Física - Halliday, Resnick e Walker - Vol I - Mecânica - Cap III - Vetores

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Fundamentos de Física – Volume I – Mecânica – 8ª Edição Halliday, Resnick e Walker

Capítulo I – Vetores Resolvido por Nelson Poerschke

*01. A componente x do vetor ܣ⃗ é -25,0 m e a componente y é +40,0 m.

a) Qual é o ângulo entre a orientação de ܣ⃗ e o semi eixo positivo? ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

Quando x é negativo e y positivo, o ângulo encontra-se no segundo quadrante. Logo, somamos 180º à resposta encontrada.

*02. Expresse os seguintes ângulos em radianos: Uma circunferência completa = 360º = 2πrad

Converta os seguintes ângulos para graus

a) a componente x de um vetor ܽ⃗ do plano xy que faz um ângulo de 250º no sentido antihorário com o semi-eixo x positivo e tem um módulo de 7,3 m?

b) a componente y de um vetor ܽ⃗ do plano xy que faz um ângulo de 250º no sentido antihorário com o semi-eixo x positivo e tem um módulo de 7,3 m?

*04. Na figura, uma máquina pesada é erguida com o auxílio de uma rampa que faz ângulo ߠ=20,0° com a horizontal, na qual a máquina percorre uma distância d = 12,5 m. a) De quanto a máquina foi erguida verticalmente?

Primeiro escolhemos um referencial e coincidimos sua origem a origem do sistema.

A projeção da distância deslocada verticalmente sobre o eixo y é o seno de θ. ݕ=݀ݏ݁݊ߠ=(12,5 ݉)(ݏ݁݊20,0°)=4,28 ݉

*05. O objetivo de um navio é chegar a um porto situado 120 km ao norte do ponto de partida, mas uma tempestade inesperada o leva para um local situado 100 km a leste do ponto de partida.

a) Que distância o navio deve percorrer?

Colocamos nosso referencial de modo que o norte está voltado para o y+ e o leste para x+.

Dessa forma podemos concluir que a posição do porto encontra-se y = 120 km e x = -100 km.

b) Que rumo deve tomar para chegar ao seu destino? ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

Observando a figura, notamos que queremos um ângulo do 2º quadrante. Então -50,19º + 180º = 129,8º

Mas a questão pede o rumo, que é o menor ângulo formado pela direção Norte-Sul. 129,2º – 90º = 39,2º N

Não esquecer que o rumo necessita ser acompanhado da direção N ou S.

*06. Um vetor deslocamento ݎ⃗ no plano xy tem 15 m de comprimento e faz um ângulo ߠ=30,0° com o semi-eixo x positivo, como mostra a figura.

a) Determine a componente x?

**07. As dimensões de uma sala são 3,0 m (altura) x 3,70 m x 4,30 m. Uma mosca parte de um canto da sala e vai pousar em um canto diagonalmente oposto.

a) Qual é o módulo do deslocamento da mosca?

b) A distância percorrida pode ser menor que este valor?

Não, pois a menor distância entre dois pontos é a reta. c) Pode ser maior?

Pode. A mosca poderia contornar as bordas da sala, então percorreria uma distância de 3,0 m + 3,70 m + 4,30 m = 1,0 m, mas teria o mesmo deslocamento de 13,42 m d) Pode ser igual?

O comprimento do percurso é o mesmo que a magnitude do deslocamento se a mosca voa ao longo do vetor deslocamento.

e) Escolha um sistema de coordenadas apropriado e expresse as componentes do vetor deslocamento em termos de vetores unitários.

f) Se a mosca caminhar, em vez de voar, qual o comprimento do caminho mais curto para o outro canto?

*08. Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção 30º a leste do norte. Desenhe o diagrama vetorial e determine:

a) o módulo do deslocamento total do carro em relação ao ponto de partida?

ܣ⃗=(50 ݇݉)ଓܤሬ⃗=(30 ݇݉)ଔ ܥ⃗=(25 ݇݉)(cos60º)ଓ+(25 ݇݉)(ݏ݁݊60º)ଔ

b) o ângulo do deslocamento total do carro em relação ao ponto de partida? ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

ቁ=39,6° em relação ao sentido positivo do eixo x.

a) determine o módulo de a + b?

ݎ⃗=(−9,0 ݉ )ଓ+(10,0 ݉)ଔ→ |ݎ⃗|=ඥ(−9,0 ݉)ଶ+(10,0 ݉)ଶ=13 ݉

Olhando a figura anterior podemos facilmente verificar que nosso ߠ encontra-se no 2º quadrante, logo:

O sentido do vetor é: 180º - 48º = 132º, que é o ߠ correto.

*10. Uma pessoa caminha da seguinte forma: 3,1 km para o norte, 2,4 km para o oeste e 5,2 km para o sul.

a) Desenhe o diagrama vetorial que representa este movimento.

b) Que distância deve voar um pássaro em linha reta do mesmo ponto de partida ao mesmo ponto de chegada.

ݎ⃗=ܣ⃗+ܤሬ⃗+ܥ⃗→ (3,1 ݇݉)ଔ+(−2,4 ݇݉)ଓ+(−5,2 ݇݉)ଔ=

Como podemos verificar, x e y são negativos, logo o ângulo está no 3ª quadrante. Então 41º +180º = 221º.

Podemos dizer, também, que o pássaro deve voar na direção 41º ao sul do oeste, ou, ainda, 49º a oeste do sul.

*1. Uma pessoa deseja chegar a um ponto que está a 3,40 km de sua localização atual, em uma direção 35,0º ao norte do leste. As ruas por onde pode passar são todas na direção norte-sul ou leste-

Como as ruas são paralelas aos eixos x e y, e a pessoa não poderá sair das ruas para cortar caminho, basta somar as distâncias paralelas aos eixos x e y.

c) ܽ⃗+ܾሬ⃗ e termos do ângulo em relação a ଓ. ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

f) ܾሬ⃗−ܽ⃗ e termos do ângulo em relação a ଓ. ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

O sinal negativo indica que o ângulo de 72º, formado entre o eixo x positivo e ݎ⃗ encontrase no 4º quadrante.

ܽ⃗−ܾሬ⃗+ܿ⃗=0→ ܿ⃗= ܾሬ⃗−ܽ⃗

*14. Determine as componentes :

*15. Uma formiga enlouquecida pelo sol em um dia quente, sai correndo em um plano xy. As componentes (x; y) de quatro corridas consecutivas em linha reta são as seguintes, todas em

c) o ângulo (em relação ao semi-eixo x positivo) do deslocamento total. ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ ௖௢௦ఏ =ିଶ଴,଴ ௖௠

Mas, como x e y são negativos, ݎ⃗ está no 3º quadrante. Então 180º + 8º = 188º. Em relação ao semi-eixo x positivo, o ângulo é de 360º -188º = 172º.

*16. Na soma ܣ⃗+ܤሬ⃗=ܥ⃗, o vetor ܣ⃗ tem um módulo de 12,0 m e um ângulo de 40,0º no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x positivo, e o vetor ܥ⃗ tem um módulo de 15,0 m e um ângulo de 20º no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo. Determine:

a) o módulo de ܤሬ⃗

ܣ⃗+ܤሬ⃗=ܥ⃗→ ܤሬ⃗=ܥ⃗−ܣ⃗

b) o ângulo de ܤሬ⃗ em relação ao semi-eixo positivo. ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

Mas, como x e y são negativos, o ܤሬ⃗ está no 3º quadrante. Então 180º + 28,9º = 208,9º. Em relação ao semi-eixo positivo, ܤሬ⃗ forma um ângulo de -151,1º.

*17. Os vetores ܽ⃗ e ܾሬ⃗ na figura têm módulos iguais a 10,0 m e os ângulos são ߠଵ=30° e ߠଶ=105°. Determine as componentes: a) x da soma vetorial ݎ⃗ dos dois vetores

d) o ângulo que ݎ⃗ faz com o semi-eixo positivo. ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

*18. Você deve executar quatro deslocamentos sucessivos na superfície plana de um deserto, começando na origem de um sistema de coordenadas xy e terminando nas coordenadas (-140 m, 30 m). As componentes de seus deslocamentos são, respectivamente, as seguintes, em metros: (20, 60);

c) o módulo do deslocamento total |ݎ⃗|=ඥ(−140 ݉)ଶ+(30 ݉)ଶ=143 ݉ d) o ângulo (em relação ao semi-eixo x positivo) do deslocamento total

Como x é negativo e y positivo, percebemos que ݎ⃗ encontra-se no 2º quadrante. Então o ângulo formado entre ele e o eixo x positivo é 180º – 12,1º = 167,9º.

*19. Três vetores, ܽ⃗,ܾ,ሬሬሬ⃗ܿ⃗, têm módulos iguais a 50 m e estão em um plano xy. Suas orientações em relação ao sentido semi-eixo x positivo são: 30º, 195º, e 315º, respectivamente. Determine:

x positivo e y negativo indica o 4º quadrante. Então, em relação ao semi-eixo x positivo, forma um ângulo de 360º - 37,5º = 322,5º.

c) o módulo do vetor ܽ⃗−ܾሬ⃗+ܿ⃗

x e y positivos indicam o 1º quadrante. Então, em relação ao semi-eixo x positivo, forma um ângulo de 1,2º.

x negativo e y positivo indicam o 2º quadrante. Então, em relação ao semi-eixo x positivo, forma um ângulo de 180º +(- 50º) = 130º.

*20

a) Qual é a soma dos quatro vetores seguintes em termos de vetores unitários?

ܧሬ⃗=6,0 ݉ܽ+0,90 ݎܽ݀ 1 rad = 57,30° 0,9 rad = 51,6 °
ܧሬ⃗௫=6(cos51,6°)=3,73 ݉ܧሬ⃗௬=6(sen51,6°)=4,70 ݉ → (3,73 ݉)ଓ+(4,70 ݉)ଔ
ܨ⃗=5,0 ݉ܽ−75°
ܨ⃗௫=5(cos285°)=1,29 ݉ܨ⃗௬=5(sen285°)=−4,83 ݉ → (1,29 ݉)ଓ−(4,83 ݉)ଔ
ܩ⃗=4,0 ݉ܽ+0,200 ݎܽ݀ 0,2 rad = 1,5°
ܩ⃗௫=4(cos11,5°)=3,92 ݉ܩ⃗௬=4(sen11,5°)=0,80 ݉ → (3,92 ݉)ଓ+(0,80 ݉)ଔ
ܪሬሬ⃗=6,0 ݉ܽ−210°
ܪሬሬ⃗௫=6(cos150°)=−5,20 ݉ܪሬሬ⃗௬=6(sen150°)=3,0 ݉ → (−5,20 ݉)ଓ+(3,0 ݉)ଔ

b) Qual é o módulo da soma dos quatro vetores anteriores? |ݎ⃗|=ඥ(1,28 ݉)ଶ+(6,60 ݉)ଶ=6,72 ݉ c) Qual é o ângulo, em graus, do vetor resultante? ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

d) Qual é o ângulo, em radianos, do vetor resultante?

*21. Em um jogo de xadrez ao ar livre, no qual as peças ocupam o centro de quadrados com 1,0 m de lado, um cavalo é movido da seguinte forma:

(1) dois quadrados para frente e um quadrado para a direita; (2) dois quadrados para a esquerda e um quadrado para frente.

(3) dois quadrados para a frente e um quadrado para a esquerda.

Estou considerando o movimento para frente como y positivo e para a direita como x positivo.

b) Determine o ângulo do deslocamento do cavalo após a série de três movimentos. ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

x negativo e y positivo indicam o 2º quadrante. Então, em relação ao semi-eixo x positivo, forma um ângulo de 180º +(- 68,2º) = 1,8º.

**2. Um explorador polar foi surpreendido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade a praticamente zero, quando retornava ao acampamento. Para chegar ao acampamento ele deveria caminhar 5,6 km para o norte, mas quando melhorou o tempo percebeu que na realidade havia caminhado 7,8 km em uma direção 50° ao norte do leste.

a) Que distância deve caminhar para voltar à base? Chamaremos a direção correta de ܽ⃗=(5,6 km)ଔ

ݎ⃗=(−5,01 km)ଓ+(−0,38 ݇݉)ଔ|ݎ⃗|=ඥ(−5,01 km)ଶ+(−0,38 ݇݉)ଶ=5,02 ݇݉

b) Em que sentido deve caminhar para voltar à base? ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

x e y negativos indicam o 3º quadrante. Então, em relação ao semi-eixo x positivo, forma um ângulo de 180°+4,3° = 184,3°.

Mas a questão pede o sentido do deslocamento, que é 4,3° à sudoeste.

**23. O oásis B está a 25 km a leste do oásis A. Partindo o oásis A, um camelo percorre 24 km em uma direção 15° ao sul do leste e 8,0 km para o norte. A que distância está o camelo do oásis B?

**24. Dois besouros correm em um deserto plano, partindo do mesmo ponto. O besouro 1 corre 0,50 m para leste e 0,80 m em uma direção 30° ao norte do leste. O besouro 2 corre 1,6 m em uma direção 40° ao leste do norte e depois corre em outra direção.

a) Qual deve ser o módulo da segunda corrida para que ele termine na mesma posição do besouro 1?

ܣ⃗+ܤሬ⃗= ܥ⃗+ܦሬሬ⃗→ ܦሬሬ⃗= ܣ⃗+ܤሬ⃗−ܥ⃗

b) Qual deve ser o sentido da segunda corrida para que ele termine na mesma posição do

=−79° que é interpretado com 79° ao sul do leste, ou

11º a leste do sul.

**25. Se ܤሬ⃗ é somado a ܥ⃗=3,0ଓ+ 4,0ଔ, o resultado é um vetor no sentido do semi-eixo y positivo, com um módulo igual ao de ܥ⃗. Qual é o módulo de ܤሬ⃗ ?

Se a resultante da soma de ܤሬ⃗+ܥ⃗ é um vetor com módulo igual ao de ܥ⃗, no sentido do semi-eixo y positivo, então essa resultante é um vetor ܴሬ⃗=(5,0 ݉)ଔ e módulo 5,0.

Fazendo a soma graficamente pode-se verificar que que ܴሬ⃗ e ܥ⃗ formam um triângulo isóceles com ܤሬ⃗ formando a base.

Se o ângulo de ܥ⃗ com o semi-eixo x positivo é ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

complemento é 36,87º.

**26. O vetor ܣ⃗, paralelo ao eixo x, deve ser somado ao vetor ܤሬ⃗, que tem um módulo de 7,0 m. A soma é um vetor paralelo ao eixo y, com um módulo 3 vezes maior que o de ܣ⃗. Qual é o módulo de ܣ⃗?

ܣ⃗=ܣ ଓB = 7,0 m
é ⊥ ଔ ܤ=ඥ(3ܣ)ଶ+ܣଶ → ܤ=√9ܣଶ+ܣଶ → ܤ=√10ܣଶ → ܣ=ଵ

**27. Para se orientarem, as formigas de jardim costumam criar uma rede de trilhas marcadas por feromônios. Partindo do formigueiro, cada uma dessas trilhas se bifurca repentinamente em duas trilhas que formam um ângulo de 60 °. Quando uma formiga perdida encontra uma trilha, pode saber em que direção fica o formigueiro ao chegar ao primeiro ponto de bifurcação. Se estiver se afastando do formigueiro, encontrará duas trilhas que formam ângulos pequenos com a direção em que estava se movendo, 30º para a esquerda e 30° para a direita. Se estiver se aproximando do formigueiro, encontrará apenas uma trilha com essa característica, 30º para a esquerda e 30° para a direita. A figura mostra uma rede de trilhas típica, com segmentos de 2,0 cm de comprimento e bifurcações simétricas de 60º. Determine:

a) O módulo do deslocamento até o formigueiro de uma formiga que entra na rede de trilhas no ponto A.

݀⃗஺=൫2+√3൯2,0ଔ→ ห݀⃗஺ห=൫2+√3൯(2,0 ܿ݉)=7,5 ܿ݉

b) O ângulo (em relação ao semi-eixo x positivo) do deslocamento até o formigueiro de uma

formiga que entra na rede de trilhas no ponto A. ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ ௖௢௦ఏ = ௗಲ,೤

c) O módulo do deslocamento até o formigueiro de uma formiga que entra na rede de trilhas no ponto B.

+√3ቁ2,0ଔ

d) O ângulo (em relação ao semi-eixo x positivo) do deslocamento até o formigueiro de uma formiga que entra na rede de trilhas no ponto B.

ܽ⃗=(4,0 ݉)ଓ−(3,0 ݉)ଔ݁ ܾሬ⃗=(6,0 ݉)ଓ−(8,0 ݉)ଔ

**28. São dados dois vetores: Determine:

b) O ângulo em relação a ଓ de ܽ⃗. ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

j) O ângulo de ܽ⃗− ܾሬ⃗.

k) Determine o ângulo entre as direções de ܾሬ⃗−ܽ⃗ e ܽ⃗− ܾሬ⃗. As direções são opostas, logo o ângulo entre elas é 180°.

݀ଵ+݀ଶ=5݀ଷ→ 4݀ଷ+݀ଶ=5݀ଷ → ݀ଶ=݀ଷ=2ଓ+4ଔ

**30. Determine a soma dos quatro vetores a seguir:

ܤሬ⃗=4,0 ݉,ܽ+65,0°

a) Em termos de vetores unitários.

c) Em termos do ângulo. ߠ=ݐܽ݊ିଵ=௦௘௡ఏ

***31. Na figura, um cubo de aresta a tem um de seus vértices posicionado na origem de um sistema de coordenadas xyz. A diagonal do cubo é uma reta que vai de um vértice a outro do cubo, passando pelo centro. Em termos de vetores unitários, qual é a diagonal do cubo que passa pelo vértice cujas coordenadas são:

a) (0, 0, 0). O vértice diametralmente oposto à origem é (a, a, a):

A diagonal é (ܽଓ+ܽଔ+ܽ݇෠) b) (a, 0, 0). O vértice diametralmente oposto à origem é (0, a, a).

A diagonal é (−ܽଓ+ܽଔ+ܽ݇෠) c) (0, a, 0). O vértice diametralmente oposto à origem é (a, 0, a).

A diagonal é (ܽଓ−ܽଔ+ܽ݇෠) d) (a, a, 0). O vértice diametralmente oposto à origem é (0, 0, a).

A diagonal é (−ܽଓ−ܽଔ+ܽ݇෠) e) Determine os ângulos que as diagonais do cubo fazem com as arestas vizinhas.

Considerando o vetor a partir do canto inferior esquerdo para o canto superior direito em frente: é ܽଓ+ܽଔ+ܽ݇෠. Podemos pensar o vetor ܽଓ paralelo ao eixo x e o vetor ܽଔ+ܽ݇෠ perpendicular o eixo x. A tangente do ângulo formado entre o vetor e o eixo x é a componente perpendicular dividida pela componente paralela. Sendo ܽଔ+ܽ݇෠ a componente perpendicular e ܽଓ a componente paralela, temos:

O ângulo formado entre o vetor e cada um dos lados adjacentes é o mesmo ângulo para todos os vetores diagonais o os lados adjacentes a eles.

f) Determine o comprimento das diagonais do cubo em termos de a. √ܽଶ+ܽଶ+ܽଶ=√3ܽଶ=ܽ√3

*32. Na figura, um vetor ܽ⃗ com um módulo de 17,0 m faz um ângulo θ = 56,0° no sentido antihorário com o semi-eixo x positivo. Quais são as componentes:

Um segundo sistema de coordenadas está inclinado de um ângulo θ = 18° em relação ao primeiro. Quais são as componentes

*3. Dois vetores ݎ⃗ e ݏ⃗, estão no plano xy. Seus módulos são 4,50 unidades e 7,30 unidades, respectivamente, e eles estão orientados a 320° e 85,0°, respectivamente, no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x positivo. Quais são os valores de

*34. Se݀⃗ଵ=3ଓ−2ଔ+4݇෠ e ݀⃗ଶ=−5ଓ+2ଔ−݇෠ determine ൫݀⃗ଵ+݀⃗ଶ൯∙൫݀⃗ଵ×4݀ଶ൯.

Observe que a resposta se justifica na medida que o produto vetorial de ൫݀⃗ଵ×4݀ଶ൯ é perpendicular a ݀⃗ଵ ݁ ݀⃗ଶ; e o produto escalar de dois vetores perpendiculares é 0.

*35. Três vetores são dados porܽ⃗=3,0ଓ+3,0ଔ−2,0݇෠, ܾሬ⃗=−1,0ଓ−4,0ଔ+2,0݇෠ e
*36. Dois vetores são dados porܽ⃗=3,0ଓ+5,0ଔ e ܾሬ⃗=2,0ଓ+4,0ଔ. Determine:

Uma vez que todos os outros termos desaparecem, devido ao fato de nem ܽ⃗ nem ܾሬ⃗ possuem a componente z. Consequentemente, obtém-se

ܽ⃗+ܾሬ⃗=(3,0+2,0)ଓ+(5,0+4,0)ଔ→ ൫ܽ⃗+ܾሬ⃗൯∙ܾሬ⃗=(5,0)(2,0)=(9,0)(4,0)=46

b) a orientação de ܽ⃗×ܾሬ⃗.

Usando a regra da mão direita, a ponta dos dedos voltada para o sentido de ܾሬ⃗, o polegar aponta para a direção de z+

O vetor ܽ⃗×ܿ⃗,que é=(−ܽ⃗×ܾሬ⃗) possui a direção z negativo.

f) a orientação de ܾሬ⃗×ܿ⃗. O vetor ܾሬ⃗×ܿ⃗ possui a direção z positivo.

**38. O deslocamento ݀⃗ଵ está no plano yz, faz um ângulo de 63,0° com o semi-eixo y positivo, tem uma componente z positiva e um módulo de 4,50 m. O deslocamento ݀⃗ଶ está no plano xz, faz um ângulo de 30,0° com o semi-eixo x positivo, tem uma componente z positiva e um módulo de

**39. Use a definição de produto escalar, ܽ⃗.ܾሬ⃗=ܾܽܿ݋ݏߠ, e o fato de que ܽ⃗.ܾሬ⃗=ܽ௫ܾ௫+ܽ௬ܾ௬+ܽ௭ܾ௭ para calcular o ângulo entre os dois vetores dados por:

ܽ⃗=3,0ଓ+3,0ଔ+3,0݇෠e ܾሬ⃗=2,0ଓ+1,0ଔ+3,0݇෠.

**40. Determine 3ܥ⃗∙(2ܣ⃗×ܤሬ⃗) para os três vetores a seguir.

**41. O vetor ܣ⃗ tem módulo igual a 6,0 unidades, o vetor ܤሬ⃗ tem módulo igual a 7,0 unidades e ܣ⃗∙ܤሬ⃗=14,0. Qual é o ângulo entre ܣ⃗ e ܤሬ⃗.

Determine ܤሬ⃗, em termos de vetores unitários, para ܤ௫=ܤ௬.

Resolvendo o sistema encontramos ܤ௫=−3,0ܤ௬=−3,0 ܤ௭=−4,0

**43. Os três vetores na figura têm módulos a = 3,0 m; b = 4,0 m e c = 10,0 m; θ = 30,0°. Determine:

a) a componente x de ܽ⃗.

d) a componente y de ܾሬ⃗.

g) Se ܿ⃗=݌ܽ⃗+ݍܾሬ⃗, qual é o valor de p.

ܿ⃗=(−5,0 ݉)ଓ+(8,6 ݉)ଔܾሬ⃗=(3,46 ݉)ଓ+(2,0 ݉)ଔ ܽ⃗=(3,0 ݉)ଓ −5,0 ݉=݌(3,0 ݉)+ݍ(3,46 ݉) 8,6 ݉=݌(0)+ݍ(2,0 ݉)

Resolvendo o sistema encontramos p = -6,67.

h) Se ܿ⃗=݌ܽ⃗+ݍܾሬ⃗, qual é o valor de q. Resolvendo o sistema encontramos q = 4,3.

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