(Parte 1 de 2)

Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Geometria e Análise Gráfica Geometria Descritiva I

Apostila de Geometria Descritiva – Sólidos Geométricos

Rio de Janeiro, 21 de junho de 2011.

Poliedros

Poliedro é o sólido limitado por planos. O encontro desses planos determina as arestas, as faces, os ângulos e os ângulos poliédricos.

•Diagonais serão segmentos de reta que unirão dois vértices quaisquer, serão situados na mesma face.

•Faces são as porções de planos mencionadas em que, são polígonos planos, regulares ou não. • Arestas: são os segmentos de reta comuns a duas faces adjacentes.

•Vértices: são os pontos comuns das arestas pertencentes a faces adjacentes.

•Ângulos poliédricos: são ângulos formados por arestas que convergem para um mesmo vértice e cuja medida é igual à soma dos ângulos planos formados por cada par de arestas coplanares.

Os poliedros podem ser regulares, semi – regulares e irregulares: −Irregulares: Pirâmides e prismas.

−Semi - regulares: Poliedros equiangulares, poliedros equifaciais.

−Regulares: Tetraedros, octaedro, hexaedro, dodecaedro, icosaedro.

Poliedros irregulares são aqueles que não admitem lei de geração que os caracterize com perfeição.

1.1) Pirâmides

Pirâmide é o poliedro resultante da interseção de um ângulo sólido por um plano inclinado às arestas. Pode também ser vista como o resultado da ligação dos vértices de um polígono a um ponto fora do plano do polígono.

A pirâmide dita regular tem por base um polígono regular. É chamada reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base.

Caso contrário é oblíqua. Quando as faces são triângulos equiláteros a pirâmide é regular equilátera. O ponto comum de encontro das arestas laterais é definido como vértice da pirâmide. Define-se como altura de uma pirâmide a distância medida do vértice ao plano da base.

1.1.1) Representação gráfica

Seja uma pirâmide oblíqua, de base hexagonal regular (ABCDEF) apoiada no

PHP, de tal forma que a aresta (AB) fique paralela ao PVP, com afastamento igual a 10 m. As projeções, vertical e horizontal, do eixo da pirâmide fazem, respectivamente, 45ºD e 30ºD com a linha de terra. As arestas da base medem 25 m e a altura da pirâmide é 5 m. Como a base da pirâmide está apoiada no PHP, teremos:

Localizado 10 m abaixo da linha de terra e próximo ao seu ponto médio, marcamos o ponto A, projeção horizontal do vértice (A) da base. Por A traçamos, para o lado direito, uma paralela à linha de terra e, sobre ela, distante 25 m de A, marcamos o ponto B, projeção horizontal de (B).

Construímos então um hexágono regular do qual conhecemos o lado AB, determinando as demais projeções horizontais dos vértices da base da pirâmide. Para obter as projeções verticais desses vértices, basta traçar as linhas de chamada correspondentes até a linha de terra e marcar os pontos A', B', C', D', E'e F'. Pelas projeções do ponto (O), centro da base, vamos determinar as projeções do suporte do eixo da pirâmide. Por O' traçamos uma semi-reta fazendo 45ºD com a linha de terra e por O, traçamos outra fazendo 30ºD, também com a linha de terra. A seguir traçamos uma paralela à linha de terra, distante e acima dela 5 m. A interseção dessa paralela com a projeção vertical do suporte do eixo é o ponto V', projeção vertical do vértice da pirâmide.

Por V' traçamos uma linha de chamada e determinamos o ponto V na projeção horizontal do suporte do eixo. Ligando as projeções de (V) às projeções dos vértices da base, obtemos os esboços das projeções, vertical e horizontal, da pirâmide.

1.1.2) Visibilidade

Em projeção vertical são visíveis as arestas (VD) e (VE) que têm os maiores afastamentos. As arestas (VA) e (VB) ficam encobertas e não aparecem. As arestas da base, CD), (DE) e (EF) são visíveis em projeção vertical, enquanto que (AB), (BC) e (AF) estão encobertas e também não aparecem.

Em projeção horizontal, são visíveis as arestas (VA) e (VF), porque as faces

(VAB), (VAF) e (VEF) são totalmente visíveis. As faces (VBC), (VCD) e (VDE) são invisíveis em projeção horizontal e, por isso, são invisíveis as arestas laterais (VC) e (VD), assim como as arestas da base (BC), (CD) e (DE).

1.1.3) Seção Plana

Suponha que a pirâmide seja cortada por um plano (α) paralelo à linha de terra que tenha declividade igual a 30º. Simplificando, faremos uso de um plano de perfil como um novo plano horizontal de projeção, (π1), localizado à esquerda das projeções. Nesse novo sistema o plano (α) passa a ser um plano vertical porque: 1º) O traço απ' (απ’ // ππ') é perpendicular à nova linha de terra; 2º) O traço de (α) em (π1), ou seja, απ1, faz 60º com a nova linha de terra. Projetamos a pirâmide nesse novo sistema mantendo fixa a projeção vertical original e transferindo os afastamentos dos vértices do sistema original para o novo sistema. Como απ1 corta todas as arestas laterais da pirâmide, a seção será, também, um hexágono.

As interseções de απ1 com as novas projeções horizontais das arestas laterais da pirâmide nos fornecem os pontos M1, N1, P1, Q1, R1 e S1 que são vértices da projeção horizontal da seção no novo sistema.

1.1.4) A verdadeira grandeza da seção

A VG da seção pode ser obtida rebatendo os pontos (M1), (N1), (P1), (Q1), (R1) e (S1) sobre (π') utilizando os procedimentos normais do método dos rebatimentos.

1.2) Prisma

Os prismas são os sólidos geométricos que ficam definidos quando um feixe de paralelas não coplanares é cortado por dois planos. Quando os planos não são paralelos fica dito que a figura é um "Tronco de prisma". Os planos são chamados de "bases" e as paralelas são as "arestas laterais". Pode também ser visto como a figura gerada por um polígono qualquer que se desloca segundo uma reta. Quando a reta é perpendicular ao plano do polígono diz-se que o prisma é reto. Caso contrário diz-se que é oblíquo.

O polígono da base pode ser qualquer, e se for convexo, o prisma também é convexo. As faces laterais podem ser paralelogramos, retângulos ou quadrados.

Quando o polígono da base é regular e as faces são quadrados o prisma é dito "arquimediano", por ser uma figura semi-regular. O prisma arquimediano de base quadrada é o cubo.

Outros prismas especiais são os chamados paralelepípedos, de bases e faces laterais retangulares as faces opostas são iguais entre si e todos os ângulos diedros são retos.

1.2..1) Representação Gráfica

Seja um prisma reto de base pentagonal regular (ABCDE) apoiada no PHP de tal forma que a aresta (AB) fique paralela ao PVP, com afastamento igual a 15 m. As arestas da base medem 25 m e a altura, 60 m. O prisma está localizado no 1º diedro. Como a face (ABCDE), base inferior do prisma, está apoiada no PHP, sua projeção horizontal está em VG. Temos, então, que:

Localizado 15 m abaixo da linha de terra e um pouco à esquerda do seu ponto médio, marcamos o ponto A, projeção horizontal do vértice (A). Por A traçamos, para o lado direito, uma paralela à linha de terra, que vem a ser o suporte da projeção horizontal da aresta (AB), da base. Sobre esta paralela, distante 25 m de A, marcamos o ponto B, projeção horizontal do vértice (B). Utilizando traços finos e leves, construímos um pentágono regular de lado AB, de modo que todos os demais vértices fiquem abaixo da linha de terra (afastamentos positivos) pois o prisma está no 1º diedro.

Esse pentágono regular é a projeção horizontal da base de apoio do prisma. As projeções verticais de seus vértices, ou seja, A',B',C',D' e E', estarão, obviamente, sobre a linha de terra.

Como o prisma é reto, as arestas laterais são perpendiculares ao plano da base e, conseqüentemente, perpendiculares ao PHP.

Pelos pontos A', B', C', D' e E', traçamos segmentos perpendiculares à linha de terra que serão os suportes das projeções verticais das arestas laterais. A altura do prisma reto é igual ao comprimento das arestas laterais. Como essas arestas se projetam em VG no PVP, basta cortar seus suportes por uma paralela à linha de terra, 60 m distante dela. Ligando por segmentos os pontos resultantes, obtemos a projeção vertical da base superior do prisma.

A projeção horizontal dessa base se confunde com ABCDE. As projeções horizontais das arestas laterais são pontuais e se confundem, respectivamente, com os pontos A,B,C,D e E. Ficam assim esboçadas as projeções, horizontal e vertical, do prisma.

1.2.2) Visibilidade

Os contornos aparentes, vertical e horizontal, são sempre visíveis. Assim sendo, reforçando o traçado do pentágono ABCDE, fica definida a projeção horizontal do prisma. Em projeção vertical, além do contorno aparente, é visível a aresta lateral que contém o vértice (D) por ser este o ponto de maior afastamento do prisma.

As arestas (AB), (BC) e (AD) estão encobertas pelas arestas (DC) e (DE), o mesmo acontecendo com suas correspondentes na base superior. A face lateral que contém as arestas laterais que partem de (A) e de (B) tem o menor afastamento e esta encoberta pelas demais faces laterais do prisma. Por essa razão as arestas laterais que partem de (A) e de (B) são invisíveis em projeção vertical.

1.2.3) Seção plana

Suponhamos que o prisma seja cortado por um plano (α) que passa pela linha de terra e tenha declividade igual a 30º. Para simplificar o trabalho, façamos uso de um plano de perfil como um novo plano horizontal de projeção, (π1), localizado à direita das projeções. Nesse novo sistema o plano (α) passa a ser um plano vertical porque:

1º) O traço απ' (απ’ ≡ ππ’ ) é perpendicular à nova linha de terra; 2º) O traço de (α) em (π1), ou seja, α1, faz 30ºE com a nova linha de terra.

Projetamos o prisma nesse novo sistema mantendo fixa a projeção vertical original e transferindo os afastamentos dos vértices no sistema original para o novo sistema. Como (π1) corta todas as arestas laterais do prisma, a seção será, também, um pentágono.

As interseções de απ1 com as novas projeções horizontais das arestas laterais do prisma nos fornecem os pontos M1, N1, P1,Q1 e R1, que são vértices da projeção horizontal da seção no novo sistema. A partir então desses pontos traçamos linhas de chamada perpendiculares à nova linha de terra do novo sistema até encontrar as correspondentes projeções verticais das arestas laterais, determinando os pontos M',N',P',Q' e R'.

1.2.4) Verdadeira grandeza da seção

A VG da seção pode ser obtida de duas maneiras: 1ª) Rebatendo os pontos (M1), (N1), (P1), (Q1) e (R1) sobre (π) ou (π') utilizando os procedimentos normais do método dos rebatimentos. Essa alternativa depende da disponibilidade de espaço e tem o inconveniente de superpor a figura rebatida com uma de suas projeções. 2º) Criando um terceiro sistema projetivo, fazendo mais uma mudança de plano.

Desta vez vamos substituir o plano vertical (π') do sistema anterior - segunda mudança de plano - por um plano paralelo a (α), mantendo agora (π1) como plano horizontal desse terceiro sistema.

Para tanto, basta traçar uma terceira linha de terra paralela a απ1, traçar novas linhas de chamada e transferir as cotas de (M), (N), (P), (Q) e (R) em relação à segunda linha de terra.

Também chamado de poliedro arquimediano, é um poliedro convexo constituído por faces regulares (mas de número de lados diferentes) e ângulos sólidos iguais ou simétricos. Estas faces são de dois ou, mesmo, três tipos e os ângulos são triédricos, tetraédricos ou pentaédricos. Os poliedros são divididos em dois grupos: equiangulares e equifaciais.

2.1) Poliedros semi-regulares equiangulares

São poliedros que têm todos os ângulos sólidos iguais entre si, mas as faces não são todas iguais. São gerados pelo truncamento dos 5 poliedros regulares. Em número de 13 eles se originam:

1 do truncamento do tetraedro - t e t r a t r o n c o e d r o -

6 do truncamento do cubo ou tetraedro - c u b o c t a t r o n c o e d r o s -

6 do truncamento do dodecaedro ou Icosaedro - d o d e c a i c o s i t r o n c o e d r o s -

2.2) Poliedros semi-regulares equiangulares

São poliedros que têm todas as faces iguais entre si, mas os ângulos sólidos não são todos iguais.

Em número de 13 eles se originam:

1 do truncamento do tetraedro - t e t r a t r o n c o e d r o -

6 do truncamento do cubo ou tetraedro - c u b o c t a t r o n c o e d r o s -

6 do truncamento do dodecaedro ou Icosaedro - d o d e c a i c o s i t r o n c o e d r o s -

Existem ainda, as pirâmides duplas e os trapezoedros.

São os poliedros cujas faces são polígonos regulares iguais entre si, e cujos ângulos poliédricos são todos iguais. Os poliedros regulares classificam-se em:

I - Convexos: tetraedro (quatro faces), hexaedro (seis faces), octaedro (oito faces), dodecaedro (doze faces) e icosaedro (vinte faces)

I - Estrelados: dodecaedro e icosaedro

I) Poliedros regulares convexos

Os poliedros regulares convexos são também conhecidos como platônicos. São assim chamados por terem sido estudados e divulgados por Platão. São também conhecidos como regulares pois todas as faces, ângulos e ângulos entre as faces serem sempre os mesmos. Veremos a seguir o porquê.

Todo ângulo sólido tem que ter um mínimo de três faces, com ângulos de face cuja soma seja menor que 360°. Analisando os polígonos regulares vemos que os possíveis geradores de ângulos sólidos são os de ângulo interno menor que 120°, ou seja: o triângulo (60°), o quadrado (90°) e o pentágono (108°). Portanto, os polígonos regulares que formam os (5) poliedros regulares são o triângulo, o quadrado e o pentágono. Os sólidos platônicos são encontrados na natureza: são as estruturas das radidarias (plarctons marinhos).

I.1) Tetraedro

O tetraedro é sem dúvida o pai de toda a família de poliedro. A partir dele se fazem todos os demais. É o primeiro sólido regular, é um sólido nuclear pois não tem uma diagonal completa.

I.1.1) Projeções do tetraedro

Considere um tetraedro regular (ABCD), apoiado no PHP pela face (ABC), o poliedro que se quer representar através de suas projeções. Admitamos, ainda, as seguintes condições: 1º) A aresta (AB) está inclinada 45º à direita do observador (45ºD) em relação ao

PVP sendo que o vértice (A) tem afastamento nulo e abcissa 50 m;

2º) A aresta do tetraedro mede 60 m e o poliedro encontra-se no 1º diedro. Como a face (ABC) pertence ao PHP, ela coincide com sua própria projeção horizontal,

ABC, e teremos então: (A) ≡ A (B) ≡ B (C) ≡ C

Logo, as coordenadas descritivas do vértice (A) são (50; 0; 0) e suas projeções são imediatamente determinadas. O ângulo que a aresta (AB) faz com o PVP é o mesmo que sua projeção horizontal, AB, faz com a linha de terra.

A partir de A - projeção horizontal de (A) - traçamos uma semi - reta fazendo 45º com a linha de terra de tal modo que a abertura do ângulo fique voltada para a direita e abaixo da linha de terra. Ainda a partir de A, medimos 60 m sobre essa semi - reta e determinamos o ponto B, projeção horizontal do vértice (B).

Como sabemos, as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros iguais.

A obtenção do ponto C, projeção horizontal do vértice (C) passa a ser um problema de desenho geométrico que consiste em construir um triângulo equilátero em que AB é o lado conhecido e C é o vértice a determinar.

(Parte 1 de 2)

Comentários