Baixe IME - Introdução ao calculo variacional - calc02 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho 2 II – CÁLCULO DAS VARIAÇÕES Seja a função ( )xf . Se em ax = temos um mínimo local, ou mínimo relativo, pois para qualquer valor de ax ≠ , numa vizinhança de a , temos ( ) ( )afxf > . Os valores de x , numa vizinhança de a , são os valores admissíveis de x , em relação aos quais ax = é posição de mínimo. Analogamente poder-se-ia estabelecer o conceito de máximo local. Sabe-se que a condição necessária para mínimo (ou máximo) em ax = é ( ) 0a'f = . Em todas estas situações caracterizadas por ( ) 0a'f = , os valores ( )af são genericamente denominados valores estacionários ou extremos da função f , e na sua determinação consiste o problema da extremização da função f . II.1 – Definição de Funcional É uma grandeza escalar, função de funções, que assume um valor particular dependente da função nele utilizada. Para os fins deste curso, se escreve sob a forma de uma equação integral definida, contendo uma certa função geneérica, como por exemplo: ( )∫ ⋅= 2 1 x x dx'y,y,xFI onde x é a variável independente, ( )xyy = , e dx dy'y = . Dados 1x e 2x , o valor de I depende da função ( )xy utilizada. As funções devem ser contínuas pelo menos até a ordem ( )1m − , isto é, funções de classe Cm-1, para que existam as derivadas até a ordem m e a integral da equação acima possa ser calculada. Além disto, estas funções devem atender às condições geométricas de contorno. Tais funções são ditas admissíveis e constituem o espaço do domínio do funcional. Diz-se que o funcional é um operador que mapeia as funções admissíveis no espaço dos números reais. O Cálculo Variacional estabelece que, entre todas as funções admissíveis, a que estacionariza o funcional (fornecendo um valor mínimo ou máximo) é a solução do problema regido por este funcional. Introdução ao Cálculo Variacional 3 • O Problema da Braquistócrona (tempo mais curto) Uma partícula, partindo do repouso, cai do ponto 1 ao ponto 2, escorregando sem atrito sobre a curva 1-2. Queremos determinar qual é a curva que corresponde ao mínimo tempo de queda: O funcional a ser extremizado é: ( ) ( ) ∫= 2 1 dtI Sendo a velocidade ds/dtv = , então ds/vdt = . 222 dydxds += dx dx dy1dydxds 2 22      +=+=⇒ ( ) dx'y1ds 2+=⇒ A velocidade pode ser determinada pelo princípio da conservação de energia: ( )yygmvm 2 1ygm 2 2 2 −⋅⋅+⋅=⋅⋅ gy2v =⇒ Portanto, o tempo de queda é: ( ) ∫ + = 2 1 x x 2 dx gy2 'y1 I Temos a extremizar um funcional com uma variável independente ( )x , uma função ( )y e sua derivada primeira. Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho 6 II.3 – Variação de um Funcional Os caminhos variados, na vizinhança de y, podem ser escritos na forma: ( ) ( ) ( )xxyxy~ η⋅ε+= onde ε é um parâmetro pequeno e ( )xη é uma função derivável arbitrariamente escolhida, que se anula em 1x e 2x : ( ) 0x1 =η , ( ) 0x2 =η . Uma vez fixada ( )xη , temos, variando o parâmetro ε , uma infinidade de caminhos variados ( )xy~ . Todos esses caminhos passam em 1 e 2; e, para qualquer ( )xη , o caminho variado ( )xy~ se torna coincidente com ( )xy quando fazemos 0=ε . Pode-se então escrever: η⋅ε=−=δ yy~y ''y'y~'y η⋅ε=−=δ Então o caminho variado coincide com o extremizante em 1x e 2x . Para um caminho variado, a função F se escreve: ( ) ( ) ( )'',,'',,'~,~, yyyyxFyyxFyyxF δδηεηε ++=⋅+⋅+= Introdução ao Cálculo Variacional 7 Expansão em série de Taylor do valor de uma função f na posição x , numa vizinhança de a : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ... !2 axa''faxa'fafxf 2 + − +−+= Desenvolvendo F em série de Taylor, em relação a y e 'y : ( ) ( ) ( )2O'y 'y Fy y F'y,y,xF'y'y,yy,xF δ+      δ ∂ ∂ +δ ∂ ∂ +=δ+δ+ onde ( )2O δ engloba os termos de ordem superior à primeira em yδ e 'yδ . Integrando entre 1x e 2x : ( ) dx'y'y,yy,xF~ 2 1 x x ⋅δ+δ+= ∫I ( ) ( ) ( ) dxOdx'y 'y Fy y Fdx'y,y,xF 2 1 1 2 1 2 1 x x 2 x x x x ⋅δ+⋅      δ ∂ ∂ +δ ∂ ∂ +⋅= ∫∫∫ δ 4444 34444 21 I I~⇒ ( )II Tδ+= onde ( ) =δ I1 1ª variação de I ( ) =δ IT variação total de I ( ) I-II ~T =δ⇒ Integrando por partes a 1ª variação de I : ( )I1δ ( ) =⋅δ+δ+= ∫ dx'y'y,yy,xF 2 1 x x =⋅δ ∂ ∂ +⋅δ ∂ ∂ = ∫∫ dx'y'y Fdxy y F 2 1 2 1 x x x x =⋅      ∂ ∂ ∂ ∂ δ−δ ∂ ∂ +⋅δ ∂ ∂ = ∫∫ dx'y F x yy 'y Fdxy y F 2 1 2 1 2 1 x x x x x x Uma vez que ( ) ( ) ( ) ( )   == == 222 111 yxy~xy yxy~xy (cond. contorno cinemáticas ou geométricas) ( ) ( ) 0xyxy 21 =δ=δ⇒ 0y'y F 2 1 x x =δ ∂ ∂ ⇒ Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho 8 ( ) dxy 'y F dx d y F 2 1 x x 1 ⋅δ⋅            ∂ ∂ − ∂ ∂ =δ⇒ ∫I Para que I seja extremo (onde ( )III T~ δ+= ), ( )ITδ deve manter o mesmo sinal para qualquer variação yδ no intervalo estipulado. Assim, yδ , em qualquer posição x poderia ser igual a k± , sendo k um número pequeno. Para que isso seja possível, a expressão dentro dos colchetes tem de ser nula. Por outro lado, isso acarreta, como condição necessária à extremização, que ( ) 01 =δ I ( yδ arbitrário) : ( ) 0dxy 'y F dx d y F 2 1 x x 1 =⋅δ⋅            ∂ ∂ − ∂ ∂ =δ⇒ ∫I 0 'y F dx d y F =      ∂ ∂ − ∂ ∂ ⇒ Equação de Euler-Lagrange Se uma integral ( ) ( ) dxxxf 2 1 x x ⋅η⋅∫ for nula para qualquer ( )xη (contínua e anulando-se em 1x e 2x ), então ( ) 0xf = no intervalo ⇒ Lema Fundamental do Cálculo das Variações. No caso em que admite-se ( ) ( ) ( ) ( )   ≠ ≠ 22 11 xy~xy xy~xy , tem-se ( ) ( ) 0xyxy 21 ≠δ≠δ =δ ∂ ∂ ⇒ 2 1 x x y 'y F 0y 'y Fy 'y F 12 xx =δ ∂ ∂ −δ ∂ ∂ (condição necessária à extremização) 0 'y F 'y F 12 xx = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒ (condições de contorno naturais)