Apostila de Física do Telecurso 2000, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

Baixe Apostila de Física do Telecurso 2000 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Bem-vindo ou bem-vinda! Este é o seu segun- do volume do curso de Física! Apresentamos os principais conceitos estudados em Física. A maioria deles aparece em situações que podem ser observadas no seu dia-a-dia, em casa, na rua, no trabalho, no céu... Com isso, buscamos mostrar a você que os fenômenos físicos ocorrem em todo lugar e a todo momento, e que os conhecimentos da Física estão acessíveis a todas as pessoas que têm curiosidade em relação a eles, mesmo as pessoas que estejam fora das universidades ou dos laboratórios científicos. Essa maneira de expor idéias - por meio de situações comuns, observando o que ocorre ao nosso redor - facilita a compreensão dos conceitos científicos, muitas vezes abstratos, e ajuda a explicar os mais diversos fenômenos que ocorrem na natureza. Seu livro de Física está dividido em dois volumes. No primeiro, você aprende um pouco mais sobre os fenômenos físicos e de que modo essa ciência estuda tais fenômenos. Observar fenômenos relacionados aos movimentos, analisa forças, verifica que existem diferentes formas de energia na natureza, descobre fenômenos que ocorrem, por exemplo, quando mergulhamos objetos em líquidos, e muitas outras questões. Nesta parte da Física, a maioria dos fenômenos estudados são macroscópicos, isto é, são visíveis para todos nós. No segundo volume, você aprende mais coisas sobre o calor e a temperatu- ra, sobre o som, sobre a luz e como ela se comporta, e estuda fenômenos relacionados à eletricidade. Além disso, vê alguns temas de Física Moderna, como a tão falada Física Nuclear. Nessa parte, você estuda a interpretação microscópica dos fenômenos, isto é, interpretação daquilo que não é diretamente observado a olho nu. Os livros estão organizados da seguinte maneira. Cada aula abre com a seção Para começar. Ali você vai encontar uma introdução ao principal assunto tratado na aula. Apresentamos uma situação, ou uma pergunta, re- lacionada aos conceitos que serão discutidos. A aula, propriamente dita, tem início na seção Fique li- gado. Aí é bom ficar bem atento, pois serão discutidos e explicados os conceitos novos. Apresentação Outras duas seções vão aparecer com freqüência: Com a mão na massa, na qual sugerimos atividades ou exercícios para serem feitos no decorrer da aula. Passo-a-passo, em que apresentamos exemplos ou exercícios resolvidos detalhadamente. No final da aula existem mais duas seções importantes: Para terminar, na qual apresentamos, de forma reduzi- da, os principais conceitos discutidos. Finalmente, na seção Mãos à obra, você vai encontrar alguns exercícios que vão ajudar a fortalecer seus estu- dos. Esperamos que, a partir deste estudo, você, caro aluno ou cara aluna, passe a observar de outra forma a natureza que o[a] cerca, e mais do que isso, saiba que a ciência é uma maneira mais organizada de estudar o que acontece na natureza, e que o conhecimento - que vem sendo acumulado durante séculos e milênios - é fruto da curiosidade de várias gerações de homens e de mulheres. Compreendendo melhor a ciência, é possível observar o mundo com outros olhos, com os olhos não apenas de um simples observador, mas de um cidadão ou de uma cidadã que compreende muitas coisas e que pode participar da construção das transformações que ocorrem no mundo de hoje e na nossa sociedade! Desejamos a você bons estudos! AUTORIA Alberto Gaspar Cristiano Rodrigues de Mattos - coordenador Ernst W. Hamburger - supervisor Norberto Cardoso Ferreira Roberta Simonetti APOIO Universidade de São Paulo 1 A U L A Isso permitiu a Galileu chegar à seguinte conclusão: Dois corpos abandonados, ao mesmo tempo, de uma mesma altura, chegam juntos (simultaneamente) ao solo, mesmo que tenham pesos diferentes. À primeira vista essa afirmação nos surpreende, porque raramente temos a oportunidade de ver uma formiga e um elefante caindo simultaneamente de uma mesma altura e verificar se eles chegam juntos ao chão! Então usemos o método científico, duvidemos dessa afirmativa!Vamos usar o método experimental para verificar se ela é correta! O método experimental O que você vai fazer agora é uma experiência simples para observar a queda dos corpos na superfície da Terra e conhecer um pouco mais sobre o método experimental. Pegue uma folha de papel do seu caderno. Segure a folha sobre a palma da mão esquerda e o caderno sobre a palma da direita, mantendo os dois à mesma altura do chão, como mostra a Figura 2. Espere alguns instantes e solte-os ao mesmo tempo. Qual dos dois objetos cai mais rápido? Você deve estar pensando que a resposta é óbvia: o caderno chega pri- meiro! Afinal ele é mais pesado. Pois bem, você tem razão, mas so- mente na primeira parte da sua respos- ta. Realmente, nessas condições, o ca- derno cai mais rápido do que a folha de papel. Ou seja, apenas confirmamos o que já se esperava. Homem de espírito científico e pesquisador, o italiano Galileu Galilei (1564-1642) deu muitas contribuições à ciência, principalmente no campo da Astronomia. Figura 1. Torre de Pisa Figura 2 1 A U L AFaçamos outra experiência. Pegue duas folhas iguais de papel. Coloque cada uma na palma de cada mão. Espere alguns instantes e solte-as ao memo tempo. Qual dos dois objetos cai mais rápido? Provavelmente uma das duas caiu mais rápido do que a outra. E se você repetir essa experiência diversas vezes, em várias tentativas, a da direita cairá primeiro e em outras a da esquerda cairá primeiro. Isso significa que essa experiência não é conclusiva. Não podemos afirmar, antes de fazer a experiência, qual folha cairá mais rápido. Mas como podem dois corpos de mesmo peso não cairem juntos? O que está atrapalhando? Podemos fazer algumas hipóteses. Talvez o ar esteja, de alguma forma, atrapalhando a descida das folhas e de maneira incontrolável, pois a cada descida as folhas percorrem caminhos dife- rentes, e chegam em instantes diferentes. Podemos, e devemos testar essa hipótese: Pegue duas folhas de papel, amasse uma completamente, até formar uma bola e segure-a com a mão direita; com a palma da mão esquerda, segure a outra folha sem amassá-la. Espere alguns instantes e solte-as. Faça novamente a pergunta: qual dos dois objetos cai mais rápido? Nessa experiência podemos ver claramente que o ar interfere na queda dos corpos, pois a folha amassada cai rapidamente, e em linha reta, e a outra não. Será possível diminuir a influência do ar sobre o movimento da folha de papel? Pegue seu caderno novamente, sustentando-o sobre a palma da mão direita. E agora coloque a folha sobre o caderno. Espere alguns instantes e solte-os. Qual dos dois objetos cai mais rápido? Se você repondeu que os dois caem juntos, maravilha! O que fizemos? Nós controlamos a experiência. Impedimos que o ar atrapa- lhasse a queda da folha de papel e também pudemos ver que tanto a folha, quanto o caderno, caem juntos até o chão. Com essa experiência foi possível compreender que: Nem sempre, os fenômenos naturais são observados com facilidade. Para estudar as leis da natureza, temos de criar condições adequadas, que possam ser controladas. Essa foi a grande “sacada” de Galileu ao criar o método experimental. Nas próximas aulas, voltaremos a estudar o movimento da queda dos corpos na superfície da Terra. Demos um exemplo do método experimental, que é a base do método científico, utilizado pela ciência, incluindo a Física. Mas, o que é mesmo Física? 1 A U L A O que é a Física? Há cerca de 200 anos, não precisaríamos nos preocupar com essa pergunta. Os conhecimentos que estão incluídos no que hoje chamamos Física, Química, Astronomia (não confunda com Astrologia!), Engenharia etc. estavam todos dentro do que se chamava Filosofia Natural. Mas as informações sobre as substâncias, sobre o movimento dos astros, a construção de máquinas — sobre a natureza e os artefatos construídos pelos homens — foram crescendo tanto, que foi necessário o estabelecimento de ciências diferentes. Com Galileu Galilei, houve um grande avanço na ciência. Com a ajuda do método experimental, desenvolveram-se muitas técnicas que, cada vez mais, foram sendo aplicadas no dia-a-dia do homem. A invenção da máquina a vapor, em 1769, por James Watt e, mais as descobertas de Ampère e outros com relação à eletricidade, fez com que surgis- sem pessoas interessadas também em o que fazer com esses conhecimentos. Pessoas se preocupavam e se dedicavam a aplicar os conhecimentos da ciência e são agora os engenheiros, mais interessados na tecnologia, que abandonaram a Filosofia Natural. Daquele conjunto de conhecimentos que era a Filosofia Natural restou o estudo da Mecânica, do Calor, da Eletricidade, do Eletromagnetismo, da Luz, etc, que recebeu o nome de Física. O escocês James Watt (1736- 1819) aperfeiçoou a máquina a vapor. Sua contribuição para a Revolução Industrial foi decisiva. 1 A U L AA invenção dos computadores também ocorreu em conseqüência da aplicação de conceitos da Física à Eletrônica e à Microeletrônica. A utilização de computadores vem revolucionando as indústrias com a automatização dos processos de produção, como, por exemplo, nas fábricas de automóveis, de tecidos e de alimentos. Também está presente em bancos e lojas: os cartões magnéticos de bancos e de crédito são usados como substitutos do dinheiro. Nossa sociedade está aproveitando cada vez mais os avanços científicos e tecnológicos que possibilitam uma melhor qualidade de vida para um número cada vez maior de pessoas. O resultado desses avanços aparecem na maior quantidade e na melhor qualidade de alimentos, na melhoria da saúde, numa vida mais longa, na maior comunicação entre as pessoas (livros, jornais, rádio, televisão, informática), entre outras coisas. Na próxima aula, vamos dar o primeiro passo dessa longa caminhada pelo mundo da Física. 2 A U L A A culpa é da barreira! 2 A U L A torcida vibra. Daquela distância é gol na certa, é quase um pênalti. O árbitro conta os passos regulamentares. A regra diz: são 10 passos (9,15 metros) para a formação da barreira, mas ela nunca fica na posição correta. Os jogadores avançam, o árbitro ameaça, mostra o cartão amarelo para um ou outro jogador, eles se afastam, voltam a avançar e a falta acaba sendo batida assim mesmo. É gol? Nem sempre e, muitas vezes, a culpa é da barreira. Todos concordam, torcida, comentaristas, árbitros, dirigentes, mas parece que nada se pode fazer. Afinal quem garante que a distância não estava certa? Será que os passos do juiz são um instrumento de medida confiável ? E se ele for baixinho ou muito alto ou estiver mal-intencionado, querendo prejudicar um dos times? Você compraria um terreno medido desse jeito? Muitas sugestões já foram feitas - até proibir a formação da barreira -, mas ninguém pensaria em dar uma trena ao juiz para que ele, com o auxílio do bandeirinha, medisse a distância correta. Seria tão absurdo como levar um juiz de futebol para medir um terreno. São coisas diferentes que exigem formas diferentes de agir. No futebol, a precisão das medidas não é muito necessária e, de certa forma, toda aquela movimentação na cobrança de uma falta também faz parte do jogo. Muita gente até acha que se fosse tudo muito certinho o futebol perderia a graça, mas certamente medir um terreno desse jeito não teria graça nenhuma. Figura 1 2 A U L AEntretanto, durante muito tempo, as medidas de comprimento foram feitas assim, utilizando partes do corpo humano como instrumentos de medi- da. O diâmetro de um dedo, o tamanho de um palmo, pé ou braço, o compri- mento de um passo foram utilizados como medidas de comprimento durante séculos por todos os povos da Antigüidade. É comum, até nos dias de hoje ouvir dizer: “esta mesa tem 10 palmos” ou “esta sala tem 30 pés”. E, assim, todos os objetos são medidos comparando-os com outros “objetos especiais” que hoje chamamos de padrões. À medida que o comércio entre os povos foi se desenvolvendo, surgiu a necessidade de criar padrões utilizáveis por todos. Pense na dificuldade dos chineses em comercializar sua seda com os europeus se ambos não usassem um padrão comum de comprimento? Porém, de nada adiantaria criar padrões se não fosse possível compará-los. Para isso foram criados instrumentos de medida que, com o tempo, foram sendo tão aperfeiçoados que exigiram que se adotassem padrões mais precisos. A história das grandezas físicas é a história da necessidade de fazer medidas e de todo o progresso que daí resultou. Apesar de existir uma quantidade enorme de grandezas, unidades e instrumentos de medida, a Física procura operar com o menor número possível para simplificar sua tarefa e tornar mais fácil a troca de informações entre todos aqueles que com ela trabalham ou dela precisam. É o que vamos ver em seguida. Grandezas, padrões e unidades Nem tudo pode ser medido. Como medir a preguiça de uma pessoa ou o amor que ela sente por outra? Seria possível criar um “amorômetro”? Para os físicos isso é impossível, preguiça e amor não são grandezas físicas. Não dá para dizer que alguém tem 300 de preguiça e 689,5 de amor. Esses números não significam nada porque não existe um padrão para essas grandezas. Grandeza física é alguma coisa que pode ser medida, isto é, que pode ser representada por um número e uma unidade. Veja alguns exemplos: l A distância da bola à barreira deve ser de 10 jardas ou 9,15 metros. l A bola deve ter entre 400 gramas e 500 gramas. l O tempo de uma partida é de 90 minutos. No primeiro exemplo, a grandeza física é o comprimento e a unidade é a jarda ou o metro. No segundo, a grandeza física é a massa, a unidade é o grama, um submúltiplo da unidade quilograma. No terceiro exemplo, a grandeza física é o tempo, a unidade é o minuto, um múltiplo da unidade segundo. Nesses exemplos estão três grandezas fundamentais: comprimento, massa e tempo. A partir dessas grandezas fundamentais, pode-se definir outras grandezas que, por isso, chamam-se grandezas derivadas. São exemplos de grandezas derivadas a área de uma superfície, o volume e a densidade de um corpo, a velocidade e aceleração de um automóvel, a força exercida por um motor e muitas outras. Veja alguns exemplos práticos onde aparecem grandezas (*) derivadas e suas unidades: l Um terreno retangular tem 8 metros de frente por 25 metros de fundo. A sua área (A) é: A = 8 m · 25 m = 200 m2 ou 200 metros quadrados, que é uma unidade de área. (*) Essas grandezas foram colocadas aqui apenas para servir de exemplo. Elas serão estudadas mais adiante no curso. 2 A U L A Se você mediu com uma régua comum, provavelmente achou 7 mm, ou talvez 7,5 mm ou ainda 0,7 cm. Se você dispõe de um instrumento mais preciso, como um micrômetro ou um paquímetro, pode ter achado 7,34 mm ou 7,4082 mm. Se você repetir a medida várias vezes pode ser que em cada uma ache um valor diferente! Como saber qual é o valor correto? Como escrever esse valor? Na verdade, nem sempre existe um valor correto nem uma só forma de escrevê-lo. O valor de uma medida depende do instrumento utilizado, da escala em que ele está graduado e, às vezes, do próprio objeto a ser medido e da pessoa que faz a medida. Por exemplo, a medida do diâmetro do lápis com uma régua comum será feita na escala em que ela é graduada (centímetros ou milímetros) e dificilmente alguém conseguirá expressá-la com mais de dois algarismos. Nesse caso, certa- mente o segundo algarismo é avaliado ou duvidoso. Se for utilizado um instrumento mais preciso, é possível fazer uma medida com um número maior de algarismos e, ainda, acrescentar mais um, o duvidoso. Todos os algarismos que se obtêm ao fazer uma medida, incluindo o duvidoso, são algarismos significativos. Se outra pessoa fizer a mesma medida, talvez encontre um valor um pouco diferente mas, ao escrevê-lo, deverá utilizar o número correto de algarismos significativos. Paquímetro e micrômetro - instrumentos de precisão Uma régua comum não permite medidas muito precisas porque não há como subdividir o espaço de 1 mm: a distância entre os traços é muito pequena. O paquímetro e o micrômetro são instrumentos que utilizam duas escalas, uma fixa, semelhante à escala de uma régua comum e uma escala móvel que, de maneira muito engenhosa, permite dividir a menor divisão da escala fixa. No paquímetro, essa escala corre junto à escala fixa, enquanto que no micrômetro ela está gravada numa espécie de cilindro móvel que gira à medida que se ajusta ao instrumento para efetuar a medida (veja as Figuras 2 e 3). Figura 2 - Paquímetro Figura 3 - Micrômetro 2 A U L APasso a passo Suponha que, ao medir o diâmetro desse lápis com um paquímetro, Maristela encontre o valor 7,34 mm e Rosinha 7,37 mm. Pelo resultado, percebe-se que elas têm certeza do 7 e do 3, mas o último algarismo é incerto. Imagine agora que elas resolvam entrar num acordo e considerar, como melhor medida, um valor que seja igual à média aritmética dos seus resultados. Qual será esse valor? Para achar a média aritmética m basta somar as medidas de cada um e dividir por 2 (que é o número total de medidas). Assim teremos: m = 7, 34mm + 7,37mm 2 m = 14,71mm 2 = 7,355 mm Será correto expressar o diâmetro do lápis com tantos algarismos? É claro que não! Se cada uma só teve certeza de dois algarismos e avalia- ram, discordando, mais um, não tem sentido dar uma resposta com quatro algarismos! Nesse caso, para manter a coerência e expressar a medida com o número correto de algarismos significativos, deve-se desprezar o último algarismo obtido no cálculo da média aritmética. É comum utilizar a seguinte regra: quando esse algarismo (o que deve ser desprezado) for maior ou igual a 5 acrescenta-se 1 ao último algarismo que restou. Teremos então 7,355 mm = 7,36 mm, que é a melhor forma de expressar a média aritmética das medidas de Maristela e Rosinha: mantêm-se os mesmos dois algarismos dos quais têm certeza, o 7 e o 3, mas o algarismo duvidoso passa a ser o 6. É provável que esse valor seja, provisoriamente, o melhor valor dessa medida. Se outras pessoas participarem e fizerem outras medidas, a média aritmética terá um número muito maior de parcelas e o seu valor representará melhor o diâmetro do lápis. Talvez não haja um só dia em nossas vidas em que não se conviva com alguma forma de medida. Ao nascer ganham-se os primeiros números: altura e peso (seria melhor, comprimento e massa). A partir de então, as grandezas e as medidas povoam nosso dia-a-dia, tornando-se cada vez mais variadas e complexas. Temos que nos familiarizar com novos instrumentos de medida, relógios, balanças, termômetros, medidores de combustível, de pressão, de consumo de água ou energia elétrica e o que mais o progresso exigir. No entanto, mais importante que tudo isso, é entender que toda medida resulta de um esforço do homem para compreender e interpretar a natureza. Fomos nós, seres humanos, que criamos as grandezas, os padrões, as unidades e os instrumentos de medida. Portanto, nenhuma medida é a expressão da verda- de, independentemente do número de algarismos significativos que possua. Há, certamente, medidas e instrumentos mais confiáveis, processos de medi- ção mais adequados a determinados fins. E é importante distinguir uns dos outros. A vida tem mais barreiras do que parece e é preciso ser capaz de perceber se elas estão à distância correta, se o juiz mediu corretamente os passos regulamentares, se os jogadores não avançaram. Caso contrário, como dizem os jogadores, fazer um gol fica muito difícil! 2 A U L A Exercício 1 Nas palavras a seguir, procure distinguir quais são, ou não, grandezas físicas: cansaço, calor, energia, rapidez, curiosidade, trabalho, honestida- de, pontualidade, temperatura, força, aceleração e coragem. Exercício2 Siga os exemplos e faça as transformações de unidades pedidas ao lado: Exercício 3 O diâmetro de muitas peças cilíndricas (canos, roscas, parafusos etc.) costuma ser dado em polegadas ou frações de polegadas. Seguindo o exemplo ao lado, faça as tranformações pedidas. Exemplos Transforme 5 cm = 5 · 0,01 m = 0,05 m 0,75 km = 0,75 · 1.000 m = 750 m 5,8 in = 5,8 · 0,0254 m = 0,14732 m I a) 3 cm em m b) 2,5 mm em m c) 0,8 km em m d) 1,2 ft em m e) 4,5 in em m f) 20 yd em m g) 500 mi em m 1 m = 1 000 mm 1 m = 100 cm 1 m = 0,00 1km II a) 5 m em mm b) 0,4 m em mm c) 3 m em cm d) 1,2 m em cm e) 150 m em km f) 180.000 m em km 3,5 g = 3,5 · 0,001 kg = 0,0035 kg III a) 12 g em kg b) 20 t em kg c) 50 lb em kg 1 kg = 1.000 g 1 kg = 0,001 t IV a) 0,7 kg em g b) 8,2 kg em g c) 300 kg em t d) 630.000 kg em t 5 min = 5 · 60 s = 300 s 1 h 20 min = 1h + 20 min = = (1 · 3.600 s) + (20 · 60 s) = = 3.600 + 1.200 = 4.800 s V a) 1,5 min em s b) 2 h 15 min em s c) 5 h 22 min13 s em s 2,8 l = 2,8 · 0,001 m3 4,5 l = 4,5 · 1.000 cm3 = 4.500cm3 VI a) 500 l em m3 b) 69 l em cm3 Exemplos Transforme em mm a) 3,0 in b) 6,8 in c) 1/4 in d) 5/16 in I) Transformar 4,5 in em mm: 4,5in=4,5 · 25,4 mm = 114,3 mm II) Transformar 3/4 in em mm: 3/4 in = 0,75 in = 0,75 · 25,4 mm = 19,05 mm 3 A U L ATodavia, os objetos em seu movimento, às vezes podem ser localizados de maneira mais fácil. É o caso, por exemplo, das bolas de bilhar que, em geral, andam apenas sobre uma superfície plana. Figura 2 BILHETE DE SHERLOCK HOLMES PARA SEU ASISTENTE Quando cheguei aqui, percebi que a bola branca tinha sido movida. Ontem eu tinha feito uma marca de giz num dos cantos da tabela, perto de uma das caçapas. Eu medi, então, 80 centímetros sobre a lateral maior da mesa. Depois, medi 67 centímetros até a bola. Eu tinha dado ordens expressas para que nada fosse tocado, pois a bola branca deveria estar com as impressões digitais do criminoso. Eu fechei tudo antes de sair! Hoje, quando cheguei aqui, a situação tinha mudado. As novas medidas eram, na mesma ordem, 68 cm e 79 cm. Alguém esteve aqui! A bola não pode ter se deslocado sozinha! Discutiremos depois. Abraços, Sherlock Lendo o bilhete deixado pelo famoso detetive Sherlock Holmes para seu assistente, que estava chegando ao local do crime, vemos que Holmes procura localizar bem a bola branca. Para tanto, ele utiliza apenas duas distâncias, e, além disso, um ponto a partir do qual efetuou as medidas das distâncias. No caso, o ponto era a marca de giz feita perto da caçapa. Existem situações cuja localização do ponto que desejamos estudar pode ser feita de maneira ainda mais fácil. A Figura 3 mostra um pistão dentro de um motor de automóvel. O pistão se move, dentro de um cilindro, para cima e para baixo. Assim sendo, para localizarmos o ponto P, marcado no cilin- dro, bastará conhecer apenas uma distância: por exemplo, sua distância até a base do pistão é 6 cm. Figura 3 3 A U L A Os objetos mudam de posição - Referenciais Para localizar os objetos no espaço, no plano e ao longo de uma reta, a Física utiliza maneiras especiais. São os sistemas de referência (ou referenciais). (a) (b) (c) No primeiro caso, no campo de futebol, a posição da bola poderia ser dada da seguinte maneira: escolhemos um ponto O - no caso, a base da bandeirinha e três eixos que podem ser entendidos como três réguas: OX, OY e OZ. Com o auxílio dessas três réguas, medimos as distâncias: x = 15 m, y = 6 m e z = 3 m. Com esses três valores podemos localizar a bola de futebol. No segundo caso, na mesa de bilhar, necessitamos da origem, ou seja, do canto marcado com giz e das duas distâncias. Aqui, houve uma mudança de posição. Então teremos duas posições da bola de bilhar: A - primeira posição: x = 80 cm, y = 67 cm B - segunda posição: x = 68 cm, y = 79 cm Finalmente, para o pistão, teremos de indicar que a origem é a base do pistão e que a posicão do ponto P é x = 6 cm. Esses sistemas de referência servem para localizar os objetos que estamos estudando e também para auxiliar na compreensão das mudanças de sua posição. Foi assim que Sherlock descobriu que a bola de bilhar tinha sido movimentada. Os objetos se movimentam Vimos anteriormente que os referenciais podem nos ajudar a saber quando a posição de um objeto varia. A bola de bilhar mudou da primeira posição: que podemos chamar de A (x = 80, y = 67), para a posição que poderíamos chamar de B (x = 68 cm, y = 79 cm). Falamos, nesse caso, em deslocamento. Deslocamento é apenas uma mudança de posição. Porém, o deslocamento poderia ter sido feito em 1 segundo, em 1 hora ou num tempo qualquer. Mais ainda: a bola poderia ter ido diretamente de A para B ou, então, ter passado por caminhos os mais variados, com maior ou menor velocidade etc. Quando estivermos interessados em conhecer não somente o deslocamento da bola, mas também o percurso que ela fez, como se deslocou ao longo desse percurso, se foi mais ou menos rapidamente, assim por diante, estaremos estudando o movimento da bola. No movimento de um objeto, estudamos, portanto, como ocorreram seus deslocamentos ao longo do tempo e a trajetória (o caminho, o percurso) que ele seguiu. Figura 4 3 A U L A Figura 5 Na mesma marcha Vamos iniciar nosso estudo dos movimentos por uma situação bastante simples. A Figura 6 representa um tubo de vidro contendo óleo de cozinha. O tubo é tapado com uma rolha de borracha. Se, com auxílio de uma seringa e de uma agulha de injeção, colocarmos uma gota de água dentro do óleo, a gota vai descer lentamente, sempre na mesma marcha. Podemos estudar também gotas que subam! É claro que, nesse caso, água não serve! Mas, se usarmos álcool, podere- mos colocar uma gota espetando a agulha da seringa na rolha de borracha. Ela vai subir, também, sempre na mesma marcha, isto é, sempre com a mesma velocidade. É esse movimento que iremos estudar: o de uma gota de álcool subindo num tubo contendo óleo. Já vimos que, para o estudo de um movimento, necessita- mos de um referencial. O movimento da gota é, de certo modo, parecido com o do pistão. A gota vai andar apenas numa direção. Assim, bastará apenas uma régua para ser usada como referencial. Precisamos também saber quando a gota estava em determinada posição. Então, será necessário um relógio ou, melhor ainda, um cronômetro. Bola pra cima! Vamos supor que a gota de álcool já esteja subindo através do óleo. Se fotografássemos o tubo e o relógio, de 4 em 4 segundos, ficaríamos com um conjunto de fotos semelhante ao repre- sentado na Figura 7. Os números que aparecem perto dos relógios representam os instantes em que foram tiradas as fotos. A primeira foto é aquela em que o cronôme- tro estava marcando zero. Depois, temos fotos nos instantes 4, 8 até 32 s. Nós acrescentamos, nesse conjunto de fotos, um eixo que substitui a régua, e outro no qual são indicados os instantes. Vamos supor que, lendo a posição na régua em cada foto, obtivéssemos a Tabela 1. Ou seja: na primeira foto, a gota estaria na posição x = 18 cm, da régua. Na segunda foto ela estaria na posição x = 22 cm etc. No instante 32 s, a gota se encontraria na posição x = 50 cm. Figura 6 x (cm) Figura 7 3 A U L A Vamos calcular a velocidade da gota nesse caso. Se escolhermos: t1 = 5 s ® então x1 = 45 cm t2 =20 s ® então x2 = 15 cm A velocidade será: v = vmédia = D x D t = x2 - x1 t2 - t1 = 15 - 45 20 - 5 = 30 15 = - 2 cm / s Qual o significado dessa velocidade negativa? Ela indica que a gota está se deslocando no sentido oposto à orientação da régua. Trocando em miúdos: a gota está indo de posições que são representadas por números maiores para posições representadas por números menores. Porém, se tivéssemos invertido a régua antes de colocar a gota, a velocidade seria positiva! Isso porque a gota iria das posições menores para as posições maiores. Esse é um fato bastante impor- tante: o sinal da velocidade depende de como colocamos a régua! A velocidade depende do referencial. Como localizar a gota em qualquer instante Vamos supor que tivéssemos uma tabela que descrevesse um movimento uniforme, como os an- teriores, mas que os valores estivessem embaralhados (Tabela 4). Mais ainda: no meio deles, colocamos um par de valores desconhecidos: t e x. Vamos ver que, se utilizarmos a definição de velocidade média duas vezes, poderemos obter uma função muito impor- tante. Vamos calcular a velocidade média escolhendo: t1 = 8 s ® então x1 = 20 cm t2 = 10 s® então x2 = 24 cm A velocidade será: v = vmédia = D x D t = x2 - x1 t2 - t1 = 24 - 20 10 - 8 = 4 2 = 2 cm/s Vamos agora escolher: t1 = 6 s® entãox1 = 16 cm t2 = t s ® entãox2 = x cm A velocidade média será: vmédia = D x D t = x2 - x1 t2 - t1 = x - 16 t - 6 Porém, sabemos que vmédia= 2 cm/s, como foi visto um pouco atrás. TABELA 4 t (s) x (cm) 8 20 10 24 t x 6 16 4 12 12 28 2 8 3 A U L A x - 16 = 2 (t - 6) x - 16 = 2 t - 12 Figura 10 v (cm/s) t (s) v (cm/s) Então, ficaremos com: x - 16 t - 6 = 2 ou seja, então: x = 2 · t + 4 Esta é a chamada função horária da posição. Ela serve para determinarmos a posição do objeto que está se movendo em linha reta com velocidade constante, em qualquer instante. Por exemplo: se fizermos t = 6 s, teremos: x = 2 · 6 + 4 = 16 cm, que é o valor dado na Tabela 4. Podemos fazer o inverso, calcular em que instante o objeto passou, ou vai passar, por determinada posição. Por exemplo: saber, em que instante o objeto vai estar na posição x = 40 cm. Assim, teremos: 40 = 2 · t + 4 40 - 4 = 2 · t 36 = 2 · t 2 · t = 36 t = 18 s Por outro lado, para o instante t = 0, teríamos x = 4 cm. Esse valor é exatamente o 4 que aparece na função horária. De maneira geral, podemos escrever a função horária como: x = x0 + v · t onde: x é a posição no instante t; v é a velocidade; x0 é a posição no instante t = 0. Um outro gráfico Na Figura 6, tínhamos uma gota que descia pelo tubo com óleo numa velocidade constante de 2 cm/s. Qualquer que fosse o instante, a velocidade era a mes- ma: 2 cm/s. Assim, uma tabela para a velocidade em função do tempo e o gráfico correspondente seriam: Figura 11 t (s) TABELA 5 t (s) v (cm/s) 0 2 4 2 8 2 12 2 16 2 20 2 3 A U L A Aparentemente, o gráfico da Figura 10 não nos dá muitas informações. Todavia, com ele podemos saber quanto a gota se deslocou entre dois instantes. Vamos calcular qual a área do retângulo que foi desenhado no gráfico da velocidade, que está na Figura 11. A altura do retângulo vale 2 cm/s, e sua base (12 s - 4 s), ou seja, 8 s. Como a área do retângulo é o produto da base pela altura, teremos: Área = 2 cm/s · 8 s = 16 cm. Por outro lado, consultando a Tabela 2 (Figura 8), veremos que entre os instantes 4 s e 12 s, a gota foi da posição 20 cm para a posição 36 cm e, dessa maneira, andou 16 cm, que foi o valor encontrado para a área do retângulo. Poderíamos pensar que isso foi uma coincidência. Porém, você poderá calcular a área de outros retângulos na mesma figura e verificar que a área vai ser igual ao deslocamento! Passo a passo Uma pessoa anotou as posições e os tempos para um objeto movendo-se em linha reta e obteve a Tabela 6. Construa o gráfico da posição em função do tempo e o da velocidade em função do tempo. Admi- tindo-se que esse objeto se mova sempre dessa ma- neira, determine o instante em que passa pela posi- ção x = 20 cm e qual a posição nos instantes t = 7,0 s e t = 3,5 s. Usando o gráfico da velocidade, determine o deslocamento entre 2 s e 6 s. Os pontos da tabela que dão a posição, em fun- ção do tempo, quando colocados num gráfico, ficam como o que está na Figura 12. Se escolhermos dois instantes, e suas respectivas posições, podemos calcu- lar a velocidade média do objeto. Vamos usar, por exemplo, os valores: t1 = 2 s ® x1 = 40 cm t2 = 5 s ® x2 = 16 cm A velocidade média será: v = vmédia = D x D t = x2 - x1 t2 - t1 = 16 - 40 5 - 2 = - 24 3 = - 8 cm / s TABELA 6 t (s) x (cm) 0 56 1 48 2 40 3 32 4 24 5 16 6 8 Figura 12 t (s) x (cm) 6 30 16 3 A U L AExercício 3 Um objeto move-se em uma trajetória retilínea. O gráfico de sua velocidade está na figura abaixo. a) Qual o valor de sua velocidade? b) Qual seu deslocamento entre os instantes t = 4 s e t = 20 s? Exercício 4 Um objeto se move sobre uma trajetória retilínea. As posições ocupadas por esse objeto, com relação ao tempo, estão dadas na tabela. Determine: a) A função horária da posição. b) A posição no instante t = 12 s. c) O instante no qual a posição vale 80 m. Exercício 5 Considere um problema semelhante ao do exemplo descrito no texto. Nesse caso, o carro está indo de São João para São Pedro, com uma velocidade de 50 km/h. Em que instante vai passar por Meiópolis e quando vai chegar em São Pedro? Nesta aula você aprendeu: · que para localizar um ponto precisamos saber uma, duas ou três distâncias do mesmo até um ponto fixo (referencial); · que um corpo em movimento, pode ser localizado por meio de uma relação chamada função horária; · como obter a função horária para um corpo movendo-se com velocidade constante; · como descrever esse movimento por meio de gráficos e tabelas. 0 15 10 5 4 8 12 16 20 v (cm/s) t (s) TABELA 7 T (S) X (M) 1 10 2 15 3 20 4 25 5 30 v = 50 km/h 4 A U L A Acelera Brasil! 4 A U L Suponhamos que tenha sido realizado um estudo que avalia dois novos veículos do mercado: o Copa e o Duna. As pesquisas levantaram os seguintes dados: Levando em conta apenas essas informações, você seria capaz de responder: qual é o melhor? Para poder responder, é preciso analisar as informações fornecidas. l Quanto à velocidade máxima atingida os dois podem andar no máximo a 180 km/h: houve empate e não podemos responder à pergunta. l Quanto à velocidade do veículo após 10 segundos são diferentes nos dois casos, mas para afirmar qual é o melhor precisamos saber o que indica essa medida, isto é, entender o seu significado. Entendendo mais sobre a pesquisa Veja como ela foi realizada: inicialmente os veículos estavam parados; portanto suas velocidades eram nulas (zero). Num dado momento, o juiz deu a largada e os dois partiram numa pista reta. O primeiro fato importante que você deve observar é que a velocidade deixa de ser nula após a largada. Isso quer dizer que houve variação da velocidade. O segundo fato importante é que no mesmo tempo (10 segundos) o Copa atinge 30 m/s e o Duna apenas 20 m/s. A segunda medida relaciona duas grandezas: a variação da velocidade e o tempo gasto para ocorrer essa variação. Observe a Tabela 2. TABELA 1 COPA 50 m/s (180 km/h) 30 m/s (108 km/h) VEÍCULO Velocidade máxima Velocidade após 10 segundos DUNA 50 m/s (180 km/h) 20 m/s (72 km/h) VEÍCULO TABELA 2 Velocidade inicial Velocidade final Variação da velocidade Intervalo de tempo 0 30 m/s 30 m/s 10 s 0 20 m/s 20 m/s 10 s DUNACOPA 4 A U L AVeja que a velocidade do Copa variou de 0 a 30 m/s e a velocidade do Duna variou de 0 a 20 m/s nos mesmos 10 segundos! Você já sabe qual é a velocidade de cada veículo após 10 segundos, mas... O que ocorre com a velocidade a cada instante? A Tabela 3 indica, para alguns ins- tantes, o valor da velocidade marcada pelo velocímetro. Observe que, à medi- da que o tempo passa, a velocidade varia para ambos os veículos. Observe que num mesmo instante, a velocidade do Copa é maior do que a do Duna. Pode-se dizer que o Copa é melhor, porque “arranca” mais rápido. Uma nova grandeza física Quando falamos em “arranque”, na verdade estamos nos referindo à relação entre duas grandezas: variação da velocidade e tempo. Essa nova grandeza, que nos ajudou a decidir qual dos dois é o melhor é uma grandeza física e recebe o nome de aceleração. Aceleração é uma medida da variação da velocidade de um corpo num certo intervalo de tempo. Esse é o conceito de aceleração. Pode-se também definir aceleração com a ajuda da Matemática. Como calcular a aceleração? Pegue, na Tabela 3, o valor da velocidade em dois instantes quaisquer e calcule inicialmente a variação da velocidade (∆v), isto é, a diferença entre as duas e o intervalo de tempo correspondente (∆t). Por exemplo, para o Copa: t1 = 2s e v1 = 6 m/s ∆v = v2 - v1 = 24 - 6 = 18 t2 = 8s e v2 = 24 m/s ∆t = t2 - t1 = 8 - 2 = 6 Para calcular a aceleração, basta dividir essa variação pelo intervalo de tempo necessário para que ela ocorra. Definimos: Aceleração a = Dv Dt Assim teremos: a = 18 6 = 3(?) Qual a unidade usada para a grandeza aceleração? v (m/s) t (s) 0 0 6 2 12 4 18 6 24 8 30 10 COPA v (m/s) t (s) 0 0 4 2 8 4 12 6 16 8 20 20 DUNA TABELA 3 Þ Þ 4 A U L A Sabemos que a aceleração do Copa é 3 m/s 2, assim: 3 = v - 15 t - 4 ou seja, v - 15 = 3 (t - 4) v - 15 = 3 · t - 12 então: v = 3 + 3 · t Essa função matemática fornece o valor da velocidade em função do tempo. Ela é chamada de função horária da velocidade que descreve o movimento do copa, que recebe o nome de Movimento Retílineo Uniformemente Variado (MRUV). Retilíneo, pois o veículo anda em linha reta; variado, pois sua velocidade varia; e uniformemente vem do fato de a aceleração ter sempre o mesmo valor e, portanto, a velocidade varia sempre da mesma forma(uniforme). Note que, para o instante t = 0s, obtém-se v0 = 3 m/s; e, se você observar a Tabela 4, verá que essa é a velocidade inicial, isto é, no instante em que o co-piloto iniciou as anotações! De uma maneira geral, podemos escrever para a velocidade v num instante t qualquer: v = v0 + a · t onde v0 é a velocidade inicial (em t=0) e a é a aceleração, que é constante. Agora é possível responder qual o valor da velocidade quando t = 9 s! É só substituir o tempo na função horária da velocidade: v9 = 3 + 3 · 9 = 3 + 27 = 30 m/s Como saber onde o veículo estará num certo instante? Na aula passada, você estudou o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), caso em que a velocidade não varia, ela é constante. Para descrever o MRU você estudou apenas como varia a posição em função do tempo. Nesta aula você está estudando um movimento em que, além de a posição variar, varia também a velocidade. Mas como varia a posição no MRUV? É claro que ela varia, pois esse fato caracteriza um estado de movimento! Você é capaz de se lembrar como foi calculado o deslocamento do carro no MRU? Foi pelo gráfico da velocidade em função do tempo (v X t): a área da figura formada pelo gráfico fornece o deslocamento. Pode-se fazer de forma semelhante para o caso do MRUV. O quadro, no final da aula, indica, passo a passo, como obter a função horária da posição do MRUV: x = x0 + v0 · t + 1 2 a · t2 onde x0 é a posição inicial, v0 é a velocidade inicial, e a é a aceleração. Nesse caso, como será o gráfico da posição em função do tempo? Você espera que seja uma reta como no MRU? 4 A U L ANote que essa função é diferente daquela obtida para a velocidade: ela contém uma terceira parcela proporcional ao quadrado do tempo (t2). Isso faz com que o gráfico não seja mais uma reta, mas uma curva. Para construir o gráfico de posição (x) por tempo (t) a partir da função é útil, inicialmente, fazer uma tabela que indique os valores de x e t. Para encontrar as posições, basta substituir o tempo na função e calcular o valor de x! Mas é preciso também conhecer o valor de x0 e v0. Tome, por exemplo, a Tabela 4. No instante inicial, isto é, quando começam a anotar os valores de v, a velocidade era 3 m/s; portanto, v0 = 3 m/s. Suponha que nesse instante o carro passou pelo marco 100 m da pista. Portanto, x0 = 100 m. Lembre-se de que a aceleração do Copa, nesse exemplo é a=3 m/s2. Substituindo esses valores na função horária da posição temos: x = 100 + 3 · t + 1,5 · t2 Essa função descreve o movimento do Copa e fornece sua posição x em qualquer instante de tempo t. Como exemplo, vamos calcular a posição no instante t = 2 s. x = 100 + 3 · 2 + 1,5· 22 x = 100 + 6 + 6 = 112 m Prosseguindo dessa maneira, é possível obter os outros valores e montar a Tabela 6: Agora é possível construir o gráfico da posição em função do tempo: Observe que não se obtém mais uma reta: o gráfico é uma curva, que tem o nome de parábola. É possível também representar as posições do veículo por intermédio de um eixo orientado, (lembre-se da Aula 3). TABELA 6 v (m/s) t (s) x 0 = 100 t 0 = 0 x 1 = 104,5 t 1 = 1 x 2 = 112 t 2 = 2 x 3 = 122,5 t 3 = 3 x 4 = 136 t 4 = 4 x 5 = 152,5 t 5 = 5 0 155 150 145 140 135 130 125 120 115 110 105 100 1 2 3 4 5 v (m) t (s) Figura 4 Sentido 0 x0 = 100 m t0 = 0 s x1 = 104,5 m t1 = 1 s x3 = 122,5 m t3 = 3 s x5 = 162,5 m t5 = 5 s x2 = 112 m t2 = 2 s x4 = 136 m t4 = 4 s Figura 5 5 , 4 A U L A TABELA 5 v (m/s) t (s) v0 = 30 t0 = 0 v 1 = 25 t 1 = 1 v 2 = 20 t 2 = 2 v3 = 15 t3 = 3 v 4 = 10 t 4 = 4 v 5 = 5 t 5 = 5 v6 = 0 t6 = 6 Observe na Figura 5 que, nesse caso, os deslocamentos aumentam com o tempo: a cada segundo o deslocamento é maior do que no instante anterior. Isso indica que a velocidade está aumentando: o movimento é variado, nesse caso dizemos que ele é acelerado. Breeeeeca! No meio da pista havia um cachorro, havia um cachorro no meio do pista! De repente o piloto do Copa avistou o animal e rapidamente acionou os freios. Sem perder tempo, o seu co-piloto anotou os valores da velocidade: Note que a velocidade agora está dimi- nuindo: o veículo está freando! Qual será agora o valor da aceleração nesse caso? Pegue, por exemplo: t1 = 1 s e v1 = 25 m/s t4 = 4 s e v4 = 10 m/s Calculando a aceleração: a = v4 - v1 t4 - t1 = 10 - 25 4 - 1 então: a = - 5 m/s2 Observe que o valor da aceleração é negativo! O sinal da aceleração é oposto ao da velocidade (que é positiva). Isso indica que o movimento é desacelerado, isto é, o carro está freando.Observe o gráfico v X t nesse caso: Veja que a reta tem uma inclinação diferente do caso em que o movimento é acelerado quando a velocidade cresce. Abaixo estão representados os gráficos v X t para os três casos; quando o movi- mento é acelerado (a > 0); quando é desacelerado (a < 0), ambos exemplos de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado e; no caso especial, quando a ace- leração é nula (a = 0): nesse caso, a veloci- dade não varia e temos um exemplo de Movimento Retilíneo Uniforme - MRU (Aula 3). 0 35 30 25 20 15 10 5 1 2 3 4 5 6 v (m/s) t (s) Figura 6 4 A U L AExercício 1 Nesta aula você deve ter calculado alguns valores da aceleração e verificou que ela é constante. Como é o gráfico da aceleração em função do tempo? Exercício 2 As posições de um trem, que percorre uma estrada reta, variam de acordo com a função: x = 100 + 20 t + 2 t2 onde as posições são dadas em metros e o tempo em segundos, responda, sem se esquecer das unidades: a) Qual a posição inicial do trem, isto é, onde ele se encontrava quando t = 0 s? b) Qual é a velocidade inicial do trem? c) Qual é o valor da sua aceleração? d) Em que posição deverá estar no instante t = 4 s? Exercício 3 Para o trem do Exercício 2, escreva a equação horária da velocidade e verifique qual a velocidade do trem no instante t = 5 s. Exercício 4 É dado o gráfico da velocidade em função do tempo de um ciclista que se move em linha reta. Responda: a) A velocidade do ciclista é constante? Qual o tipo de movimento que ele realiza? b) Qual a velocidade inicial do ciclista? c) Qual o valor da sua aceleração? d) Escreva a função horária da velocidade que representa este movimento. Exercício 5 Suponha que o ciclista do exercício 4 se encontre inicialmente (t = 0) no marco 100 m de uma pista. Pede-se: a) A função horária da posição. b) Qual a posição do ciclista no instante t = 5 s? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 23 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 v (m /s ) t (s) 5 A U L A Tudo que sobe, desce Rio de Janeiro, temperatura altíssima, tumul- to na praia, começa o corre-corre! Dizem que é um arrastão! A polícia chega e a correria se torna desordenada, quando alguém dá um tiro para cima... Essa é uma cena que, infelizmente, temos visto ocorrer diversas vezes, não só no Rio de Janeiro como em várias metrópoles do mundo. Algumas vezes alguém sai ferido com uma bala perdida, que, normalmente, ninguém sabe de onde veio, nem se foi intencional. Uma das causas mais conhecidas dessas “balas perdidas” são os tais “tiros pra cima”, quando alguém pega seu revólver, aponta para cima e dá um tiro. Mas, como diz o ditado: Tudo que sobe, desce! Não podemos saber a origem de todas as balas perdidas, mas podemos nos perguntar, em alguns casos especiais, qual pode ter sido sua origem. Podemos nos perguntar como os objetos jogados para cima, perto da superfície da Terra, retornam ao solo. Essa pergunta vem sendo feita há muito tempo, desde a Grécia antiga até os dias de hoje! Uma resposta satisfatória começou a ser dada por um físico chamado Galileu Galilei. Como vimos, na Aula 1, Galileu criou condições, ou seja, criou uma experiência em que se pudesse verificar se um corpo mais “pesado” caía mais rápido do que um mais “leve”. Galileu chegou à conclusão de que, quando a resistência do ar influi pouco: Corpos diferentes soltos da mesma altura caem juntos e atingem o chão ao mesmo tempo. Isso a princípio, pode parecer um absurdo, pois como se diz por aí “os corpos mais pesados caem mais rápido do que os mais leves”. E mais ainda: na nossa experiência diária não vemos essa afirmativa de Galileu acontecer. Aqui está um dos triunfos do método experimental! Nem sempre podemos ver certos fenômenos em nossa experiência diária, pois eles só ocorrem em situações muito especiais. Criar uma experiência é na verdade criar condições para que um fenômeno ocorra! Fenômeno esse que nem sempre é fácil de observar. Lembre-se do Passo-a-passo da Aula 1. 5 A U L A 5 A U L ACaindo! - A queda livre Vamos começar a estudar de modo mais sistemático o movimento de queda de corpos perto da superfície da Terra. Um dos problemas encontrados ao se fazer esse tipo de estudo é a atmosfera. Como vimos em nossas experiências na seção com a mão na massa (Aula 1), a atmosfera influencia o movimento dos corpos em queda, alterando seu movi- mento. Para controlar esse problema com mais eficiência, elimina-se a atmosfera, ou pelo menos torna-se desprezível seu efeito sobre o movimento dos corpos. Para isso,usa-se uma bomba de sucção, que retira quase todos os gases presentes num recipiente, che- gando, então, ao que chamamos de vácuo. Ao compararmos a queda de dois corpos, de massas diferentes, gostaríamos de fazer algumas me- didas, como, por exemplo, as dis- tâncias percorridas em cada inter- valo de tempo. Para isso, fotografa- mos a queda de dois corpos com uma lâmpada especial, chamada estroboscópica, que “pisca” em in- tervalos de tempo bem definidos (1/30 s), permitindo obter seqüênci- as de fotos como as da Figura 2. Podemos ver nas fotos que as duas bolas caem simultaneamente, tal como afirmou Galileu. E, uma vez que caem juntas, podemos me- dir a distância por elas percorrida em cada intervalo de tempo, e veri- ficamos que essa distância é a mes- ma. Mas é preciso notar que a dis- tância entre duas posições sucessi- vas vai aumentando. E, se elas per- correm, a cada intervalo de tempo, distâncias cada vez maiores, signi- fica que a velocidade está aumen- tando! Mas sabemos que, se a veloci- dade varia no tempo significa que existe uma aceleração. Uma forma de se medir a acele- ração desses corpos é pela veloci- dade média em cada intervalo de tempo. Com uma régua, medimos a distância entre duas posições con- secutivas de uma das bolas. Figura 2 5 A U L A Como vimos, nos movimentos retilíneos, o sinal da velocidade pode ser positivo ou negativo; isso significa que o corpo está se movimentando para um lado ou para o outro em relação à origem do sistema de coordenadas. Com esses dados, podemos montar a função horária da posição do tijolo que caiu: y = y0 + v0t2 + 1 2 gt = 0 + 0t + 1 2 10t2 y = 5t2 Essa função relaciona a altura do tijolo em cada instante de tempo. Com as informações que temos, podemos saber quanto tempo demora para que o tijolo chegue ao chão. Usando a função horária da posição e substituindo y por 5, temos: 5 = 5t2 t2 = 1 t = 1 s O tijolo demora 1 segundo para atingir o solo. Esse tempo é, aproximada- mente, o mesmo de reação de uma pessoa; ou seja, não daria tempo de avisar ninguém que estivesse embaixo! Qual será a velocidade do tijolo ao chegar ao solo? Podemos usar a sua função horária da velocidade. Sabemos qual é sua velocidade inicial e sua aceleração, portanto, podemos escrever: v = v0 + gt = 0 + 10t v = 10t Sabemos também que o tijolo demorou 1 segundo para chegar ao solo, dessa forma, a velocidade no instante em que chega ao solo será v = 10 · 1 = 10 m/s Tudo que sobe, desce - O tiro para cima Com a experiência adquirida no Passo-a-passo da página anterior, vamos tentar resolver o problema do “tiro para cima”. Vamos prever qual será o movimento da bala, sua posição e sua velocidade a cada instante. Temos de lembrar que estamos fazendo um modelo, e que, estamos desprezando a interferência da atmosfera sobre o movimento. O que encontramos de diferente nesse caso é o fato de o objeto não estar sendo largado de uma certa altura; ao contrá- rio, está sendo lançado para cima com uma velocidade inicial diferente de zero! Esse movimento é um MRUV, pois a aceleração, indepen- dentemente de o objeto estar subindo ou descendo, é cons- tante e igual a g. g = Ð10m/s2 v0 = 200m/s h0 = 00 y m‡x? y v = 0 Figura 4 v = 0 5 A U L AVamos primeiro fazer um esboço da situação, e definir o referencial e o sistema de coordenadas. Neste caso fica mais fácil adotar como positivo o sentido que vai de baixo para cima. Ao ser lançada, uma bala de revólver tem velocidade inicial de aproxima- damente 200 m/s. Podemos definir que a posição inicial da bala é y0 = 0, exatamente na boca do cano do revólver. Assim, a função horária da posição é: y = y0 + v0 t + 1 2 gt2 = 0 + 200 t + 1 2 (-10) t2 y = 200 t - 5 t2 O que significa o sinal negativo da aceleração g = - 10 m/s2? Lembre-se de que, o eixo de coordenadas foi orientado positivamente para cima e a aceleração da gravidade sempre está dirigida para baixo independente da escolha do referencial. E o mais fundamental é saber que, tendo a velocidade e a aceleração sinais contrários, a velocidade da bala diminui. Nesse caso a velocidade diminui de 10 m/s a cada segundo, enquanto está subindo. A atração gravitacional age nos corpos sempre de cima para baixo, não importando o sentido escolhido para os eixos de coordenadas! Podemos saber quanto tempo demora para que a bala desça novamente até sua posição inicial. Sabemos que a posição da bala, quando volta, é igual à posição inicial, ou seja: yinicial = yfinal = 0 Assim, substituindo este valor na função horária da posição, obtemos: 0 = 200 t - 5t2 5t2 - 200 t = 0 t = 40 s que é o tempo que a bala leva para subir e descer. Podemos saber, também, qual é a velocidade com que a bala volta ao solo, usando a função horária da velocidade: v = v0 + gt v = 200 - 10 t Já sabemos que a bala volta ao solo após 40 segundos. A velocidade com que a bala chega ao solo calculada nesse instante será: v = 200 - 10 · 40 = 200 - 400 v = - 200 m/s Isso significa que a bala volta com a mesma velocidade com que partiu, mas no sentido contrário, ou seja, para baixo. Esse é o significado do sinal negativo da velocidade. Podemos, ainda, saber qual é a altura máxima que a bala atinge. Sabemos que, antes que a bala volte, ela atinge uma altura máxima e, nesse instante, ela pára de subir e começa a descer. Isso significa que a velocidade muda de sinal, de positivo para negativo e, necessariamente, ela passa pelo valor zero. 5 A U L A Mas isso é óbvio. Todo corpo que jogamos para cima, sobe, pára no ponto mais alto, e desce. Sabendo disso, voltamos à função horária da velocidade e descobrimos quanto tempo demora para que a bala chegue no ponto mais alto, pois sabemos que a velocidade da bala naquele momento é zero. v = 0 Þ 0 =200 - 10 tymax tymax = 20 s Verificamos que a bala leva exatamente a metade do tempo total para subir (20 s) e a outra metade para descer (20 s) totalizando os 40 s de subida e descida, calculado no início do problema. Tendo o instante em que a bala chega no ponto mais alto, podemos, com a função horária da posição, saber quanto vale essa altura máxima y = 200 t - 5 t2 ymax = 200 · 20 - 5(20) 2 ymax = 2000 m Isto significa que a bala sobe 2 quilômetros antes de começar a cair. Com os cálculos feitos, podemos construir os gráficos da posição X tempo, velocidade X tempo e aceleração X tempo para compreender melhor a situação: l Tudo o que sobe, desce, e do jeito que subiu! Portanto, muito cuidado, pode ser sobre a sua cabeça! É preciso se lembrar de que existe atmosfera e ela “amortece” o movimento da bala, diminuindo sua velocidade, mas ainda assim pode ferir; l os corpos na superfície da Terra caem com aceleração constante de valor g = 10 m/s2, independente de sua massa e considerando desprezível a resistência da atmosfera; l esse movimento é chamado de queda livre; l é necessário fazer inicialmente um esboço dos problemas, definindo o seu referencial e a posição do sistema de coordenadas; l é necessário deixar bastante claro qual é o sentido “positivo” e o sentido “negativo” do movimento, para não se “atrapalhar” com os sinais da velocidade e da aceleração; l é preciso construir as equações horárias da posição e velocidade do movi- mento de queda livre; l é possível calcular tempo de subida e descida de um projétil e sua velocidade de retorno; l é possível calcular a altura máxima alcançada por um projétil, sabendo que sua velocidade nesse ponto é zero. 0 2400 2000 1600 1200 800 400 5 10 15 20 25 30 35 40 y (m) t (s) 0 200 100 Ð100 Ð200 5 10 15 20 25 30 35 40 v (m/s) t (s) 0 10 Ð10 5 10 15 20 25 30 35 40 v (m/s2) t (s) (a) Posição X tempo (b) velocidade X tempo (c) aceleração X tempo Figura 5 5 A U L ASempre que necessário use g = 10 m/s 2. Exercício 1. Na construção de um edifício, Nestor está levantando uma parede de tijolos no primeiro andar. Nélson, que está no térreo, joga os tijolos um a um para Nestor. Quanto tempo demora para que um tijolo jogado por Nélson chegue às mãos de Nestor com velocidade zero? Considere que Nélson lança cada tijolo com uma velocidade inicial de aproximadamente 7,75 m/s e que cada andar tem aproximadamente 3 metros. Exercício 2. Silvio, um menino levado que mora no 100º andar de um edificio, faz uma brincadeira de mau-gosto. Ele deixa cair um ovo pela janela tentando atingir uma pessoa na calçada. Qual será a velocidade com que o ovo chega ao solo? (Tal como no exercício, anterior considere que cada andar tem aproximadamente 3 metros de altura.) Exercício 3. Um homem joga cara ou coroa com uma moeda, atirando-a para cima com uma velocidade aproximada de 10 m/s. A que altura ela chega e quanto tempo demora pra voltar à sua mão? Exercício 4. Sílvio, um criador de frangos, leu vários livros sobre a queda dos corpos perto da superfície da Terra. Mas não ficou muito satisfeito e resolveu verificar se as afirmações dos livros eram verdadeiras. Foi até o galinheiro, pegou uma galinha e um ovo, subiu até o telhado de sua casa e soltou o ovo e a galinha. Quem cairá primeiro, o ovo ou a galinha? 6 A U L A Domingo, Gaspar reúne a família para “uma voltinha de carro”. Ele senta ao volante e dá a partida. Nada. Tenta outra vez e nada consegue. Diz então para todos: “O carro não quer pegar. Vamos dar uma força!” Essa é uma situação na qual o conceito de força empregado em situações do dia-a-dia coincide com o conceito físico de força. O que Gaspar queria dos outros membros da família era que empurrassem o carro. Quando empurramos ou puxamos um objeto dizemos que estamos exercendo uma força sobre ele. A família estava exercendo uma força sobre o carro. Existem situações em que podemos exercer uma força sobre um objeto sem tocá-lo diretamente. Por exemplo, quando aproximamos um ímã de outro (Figura 2), este segundo vai ser atraído ou repelido pelo primeiro. Então, um ímã está exercendo uma força sobre o outro sem a necessidade de tocá-lo. A força gravitacional é uma força desse tipo. Ela atua à distância. É ela que mantém a Terra girando em torno do Sol, ou a Lua girando em torno da Terra. Existem outras forças que atuam à dis- tância. O movimento dos elétrons em torno do núcleo dos átomos é consegui- do graças à força elétrica de atração que existe entre os elétrons e os prótons localizados no núcleo atômico. A força é um vetor Vamos voltar ao caso do carro. Cada uma das pessoas estava exercendo uma força. Essa força poderia ser maior ou menor dependendo da pessoa que estava exercendo a força. Mas a força é uma grandeza; para conhecê-la completamente, não basta dizer quanto ela vale. 6 A U L A Empurra e puxa Figura 2 Figura 1 6 A U L A Figura 3 Uma força de mesma intensidade poderia causar um efeito muito diferente se estivesse sendo aplicada numa outra direção. Por exemplo, se alguém empur- rasse o carro, pela porta, ou por sua parte traseira, os resultados seriam diferentes. Mesmo que indicássemos o valor da for- ça e qual sua direção, a força não estaria ainda bem definida. Na Figura 1, aparece a direção de uma das forças aplicadas no carro. Está indicado, também, que a força está atuando no sentido de empurrar o carro. Todavia, poderíamos ter uma força que estivesse atuando na mesma direção, mas puxando o carro. Toda grandeza que necessite que digamos qual é seu valor (também chamado módulo), qual sua direção e qual seu sentido, para que fique bem definida, é chamada grandeza vetorial. Assim, a força é uma grandeza vetorial. Em geral representamos uma grandeza vetorial colocando-se uma peque- na seta sobre a letra que indica esse vetor, por exemplo, quando tratamos de força podemos escrever ρ F e ler “vetor força”. Se quisermos falar apenas do valor (do módulo), usaremos apenas a letra F. Já estudamos algumas grandezas que também são vetoriais como por exemplo, deslocamento, velocidade e aceleração. Porém, nos casos estudados, a direção e o sentido eram conhecidos. Então, não era necessário fazer um estudo vetorial dos movimentos. Porém, conside- re a seguinte situação: Um pássaro está a 300 m de uma árvore, voando com velocida- de de 15 m/s . Se o pássaro voar em linha reta, depois de quanto tempo vai chegar à árvore? Ora, isso não vai depender apenas do valor da velocidade. É necessário que o pás- saro esteja voando na direção da árvore. Caso contrário, ele não vai chegar nunca! Mesmo voando na direção da árvore, ele poderia es- tar voando no sentido contrário e também nunca chegar. Medindo forças Como medir forças? Uma força, como vimos, pode ser associada a um empurrão ou a um puxão. Vimos também que para medirmos uma grandeza precisamos de um padrão. O que seria um “puxão-padrão”? Lembre-se de que os padrões devem ser bem definidos para que outras pessoas possam repro- duzir outros iguais. Vamos ver como podemos estabelecer esse “puxão- padrão”. A Terra atrai os objetos de maneira distinta. Quanto maior a massa do objeto, maior é a força de atração. Foi pensando nisso que inicialmente se adotou o quilograma-força, que é a força com que a Terra atrai um objeto cuja massa é 1 quilograma. Se você estiver segurando um objeto de 1 quilo, você estará fazendo uma força de 1 quilograma-força. Figura 4 Figura 5 DIREÇÃO DIR EÇÃ O D A ÁR VOR E SENTIDO DA ÁRVORE SENTIDO CONTRÁRIO DA ÁRVORE 6 A U L A Somando forças Dois grupos de garotos estão brincando de cabo de guerra (Figura 10). Se cada um dos lados estiver fazendo a mesma força sobre a corda, o jogo está empatado. Nenhum dos grupos, nem a corda, vai sair do lugar. Se chamarmos as forças de ρ F1 e ρ F2 , poderemos representar a soma dessas duas forças da seguinte maneira: Vamos supor que de cada lado estivesse sendo feita uma força de 50 kgf. Nesse caso, a soma das forças será zero. Se quiséssemos representar somente as forças, deixando de lado a corda, ficaríamos com: Porém, o que aconteceria se de um dos lados estivesse sendo feita uma força maior? Se, por exemplo, F1 = 50 kgf e F2 = 60 kgf. Nesse caso, o esquema que representa a soma das forças seria o da Figura 13. Note que o vetor que representa a força ρ F2 tem comprimento maior do aquele de ρ F1. As duas forças têm a mesma direção mas seus sentidos são contrários. No caso, a força que representa a soma de ρ F1 com ρ F2 , também chamada força resultante ρ FR , terá valor de 10 kgf e apontará para a direita. Isso porque o lado 1 puxa a corda com 50 kgf e o lado 2 puxa com 60 kgf. Representamos essa força tal como está na Figura 13. A direção de ρ FR é a mesma de ρ F1 ou de ρ F2 , mas seu sentido é o de ρ F2 , pois ρ F2 é a força maior entre as duas. Vamos supor que três pessoas estejam puxando um carro na mesma direção e no mesmo sentido e que essas forças tenham valores F1 = 30 kgf, F2 = 40 kgf e F3 = 45 kgf. O valor da força resultante FR será: 30 kgf + 40 kgf + 45 kgf = 115 kgf. A direção e sentido de FR serão os mesmos de F1 , F2 e F3. Figura 10 F1 F2 Figura 11 F1 F2 For•a resultante Figura 12 F1 F2 For•a resultante = 10 kgfSoma das for•as FR Figura 13 Figura 14 = 0 F1 F2 F3 FR Figura 15 ρ F1 ρ F2 ρ FR ρ 6 A U L AFinalmente, vamos considerar o caso em que as forças não tenham a mesma direção. Foi Newton quem introduziu a noção de adicionar vetores nesse caso. Voltando ao exemplo do início, suponhamos que duas pessoas estejam puxando um carro com duas forças ρ F1 e ρ F2 , ao mesmo tempo. As direções de ρ F1 e ρ F2 formam um ângulo de 90º e vamos supor que seus valores sejam 40 kgf e 30 kgf. Para se obter o valor da força resultante ρ FR , procedemos da seguinte maneira: traçamos, na extremidade de ρ F1 uma paralela à ρ F2 , e uma paralela à ρ F2 , na extremidade de ρ F1. Dessa maneira formamos um paralelogramo. Nesse caso, o paralelogramo é um retângulo. A diagonal desse retângulo representa o vetor ρ FR que procuramos. Para calcular o valor da força resultanteρ FR , que queremos encontrar, basta determinar a diagonal do retângulo, usando a relação de Pitágoras: FR 2 = F1 2 + F2 2 No exemplo, ficamos com: FR 2 = 402 + 302 FR 2 = 1.600 + 900 = 2.500 FR = 50 kgf Ainda um pouco mais Suponha que uma caixa esteja sendo arrastada por duas forças que formam entre si um ângulo a de 60o. e cujos valores sejam: F1 = 3 kgf e F2 = 5 kgf. Qual será o valor da força resultante FR? O procedimento para obter a direção e o sentido da força resultante é o mesmo. Traçamos dois segmentos paralelos a F1 e a F2, e obtemos um paralelogramo. A diagonal desse paralelogramo dá a direção e sentido da resultante, e o valor pode ser obtido matematicamente, da seguinte maneira: FR 2 = F1 2 + F2 2 + 2· F1 · F2 · cosa onde a é o ângulo entre as forças ρ F1 e ρ F2 No nosso exemplo, teremos: FR 2 = 32 + 52 + 2 · 3 · 5 · cos 60º FR 2 = 9 + 25 + 30 · 12αφ FR 2 = 9 + 25 + 15 FR 2 = 49 FR = 7 kgf Se uma força de 7 kgf fosse aplicada na caixa, na direção indicada na Figura 17, teria o mesmo efeito que as duas forças, ρ F1 e ρ F2 . Se, por acaso, existissem mais forças, poderíamos ir somando, duas a duas, até obter uma resultante final. Porém, podemos atuar de uma outra maneira. Figura 16 Figura 17 ρ ρ ρ 6 A U L A Decompondo forças Um objeto está sendo puxado por uma força ρ F , que forma um ângulo α com a horizontal. É claro que, se essa força tivesse o mesmo valor e estivesse na horizontal, conseguiríamos arrastar o bloco mais facilmente. Decompondo essa força podemos en- tender melhoro porquê disso. Vamos colocar um sistema de eixos cartesianos de maneira tal que a força esteja na sua origem. Se, da extremidade da força ρ F , traçarmos perpendiculares aos eixos, como está mostrado na Figura 19, pode- mos construir os vetores ρ Fx e ρ Fy que são chamados componentes do vetor ρ F . O nome componente vem do fato de que, se somarmos os vetores ρ Fx e ρ Fy , obtere- mos o vetor ρ F , ou seja, ρ F atua da mesma maneira que ρ Fx e ρ Fy somados. O que ocorre é que uma parte do vetor ρ F , ρ Fx tende a arrastar o bloco, enquanto que a outra ρ Fy tende a levantar o bloco. Para calcular os valores de ρ Fx e ρ Fy , utilizamos o triângulo ABC e as relações trigonométricas. Temos: Fx = F · cos α Fy = F · sen α Lembre-se de que, como estamos tra- tando apenas dos valores, não coloca- mos a seta sobre as letras que indicam as forças. Vamos usar o método da decomposi- ção de forças para somar as forças repre- sentadas na Figura 20. Temos duas forçasρ F1 e ρ F2 cujos valores são 6 kgf e 5 kgf. As direções de ρ F1 e ρ F2 formam ân- gulos de 60 e 30 graus com o eixo x. As componentes de ρ F1 e ρ F2 podem ser calculadas facilmente: F1X = 6 · cos 60º = 3,00 kgf F2X = 5 · cos 30º = 4,33 kgf F1Y = 6 · sen 60º = 5,20 kgf F2Y = 5 · sen 30º = 2,50 kgf Se chamarmos de FX e FY as componentes da força resultante FR, podemos escrever: FX = F1X + F2X = 3,00 + 4,33 = 7,33 kgf FY = F1Y + F2Y = 5,20 + 2,50 = 7,70 kgf Figura 18 Figura 19 Figura 20 No final desta aula, você encontrará uma tabela com os valores do seno e do co-seno dos principais ângulos. ρ F 7 A U L A Um momento, por favor Outro domingo! Novo passeio de carro. Des- sa vez foi o pneu que furou. O pai se esforça, tentando, sem sucesso, girar o parafuso da roda. Um dos filhos então diz: “Um momento, por favor!” Vai até o porta-malas, pega um cano longo, coloca-o na extremidade da chave, e fala para o pai: “Tente agora!” E o pai, surpreso, consegue retirar os parafusos, fazendo até menos esforço do que anteriormente. Como pode ter acontecido isso? Bem, em Física, existe uma grandeza que está associada à capacidade de uma força girar um objeto. Essa grandeza é chamada de momento da força ou, ainda, torque. Mas, o que vem a ser momento (ou torque) de uma força? De que grandezas ele depende? No dia-a-dia, temos inúmeros exemplos nos quais essa noção está envolvida: alavancas, ferramentas, máquinas, automóveis. Veja a Figura 3. Quando tentamos girar a porca com uma chave, utilizando uma força de mesmo valor, será mais fácil conseguirmos se a força estiver aplicada no ponto A do que se estiver aplicada no ponto B. A porca vai girar em torno de seu centro. Quanto maior for a distância desse ponto ao ponto onde a força é aplicada, maior vai ser a facilidade de girarmos a porca com a chave. 7 U L A Figura 2Figura 1 Figura 3 Figura 4 7 A U L A Analise bem a Figura 4. Ela representa uma porta vista de cima. Duas pessoas empurram a porta, uma tentando fechá-la e a outra tentando abri-la. A pessoa B tenta fazer com que a porta gire, em torno da dobradiça, da mesma maneira como fazem os ponteiros de um relógio (sentido horário), enquanto que a pessoa A procura fazer com que a porta gire no sentido contrário ao que fazem os ponteiros de um relógio (sentido anti-horário). Não vai ser, necessariamente, a pessoa que faz mais força que vai vencer a parada. As distâncias entre os pontos onde são aplicadas as forças e a dobradiça da porta também entram no jogo. Então, quando quisermos analisar a capacidade de uma força girar um corpo, devemos considerar, ao mesmo tempo, duas grandezas: o valor da força e a distância entre a força e o ponto em torno do qual o corpo gira. A grandeza que representa essa capacidade de uma força girar um corpo como já dissemos, é o momento da força ou torque. Se chamarmos de M o momento, podemos definir, inicialmente, o valor dessa grandeza como: M = F · d onde M representa o valor do momento da força, F representa o valor da força e d representa o valor da distância da força ao centro de giro. Observe a situação da Figura 5, em que dois garotos estão sentados numa gangorra. O menino mais gordo tem massa de 60 kg, e o mais magro de 40 kg Assim, eles exercerão respectivamente, sobre a gangorra, forças de 60 kgf e 40 kgf. Essas forças poderão fazer com que a gangorra gire, em torno do apoio, no sentido horário, no sentido anti-horário, ou ainda não gire (se os momentos das forças forem iguais). Vamos calcular os momentos dessas forças com relação ao ponto O. MA = 60 kgf · 1 m = 60 kgf · m MB = 40 kgf · 1,5 m = 60 kgf · m Então, os momentos das duas forças são iguais e a gangorra não vai girar. Podemos dizer que a distância maior do garoto mais magro compensa, em termos de girar a gangorra, o maior peso do menino mais gordo. Vamos, finalmente, considerar uma última grandeza que está associ- ada ao momento de uma força. Obser- ve a Figura 6. Figura 5 Figura 6 B B B 7 A U L A Figura 7 Figura 8 Temos duas forças de valores FA = FB, que estão à mesma distância do ponto O, dA = dB, contudo, essas duas forças não têm a mesma capacidade de girar a barra. Isso porque a força ρ FA tem direção perpendicular à barra, enquanto queρ FB não. Se usarmos as componentes de ρ FB , poderemos entender melhor a situação. A Figura 7 mostra as duas compo- nentes da força ρ FB . Uma delas tem a direção da barra e a outra é perpendi- cular à barra. Quem pode produzir uma rotação na barra é a força perpendicular à barra. A outra componente, apenas puxa a barra. Nesse caso, então, a força ρ FA tem maior capacidade de girar a barra do que a força ρ FB . Assim, a força que tem o maior momento é aquela que atua perpendicular à barra. Chegamos, por fim à uma definição final do valor do torque ou momento de uma força (Figura 8): M = F · d · sen α Veja que, quando o ângulo α é 90º, o valor do momento é máximo pois sen α = 1. Nessa situação, a força e a barra são perpendiculares. Vejamos mais um exemplo do uso do conceito de momento. Uma pessoa tenta deslocar uma pedra com auxílio de uma alavanca de 1 m. Para isso, ela apóia a alavanca sobre uma pedra menor, a 20 cm da pedra grande (veja a Figura 9). Se a pessoa exercer uma força de 40 kgf perpendicularmente sobre a alavanca, qual a força que vai agir sobre a pedra maior? A alavanca vai girar em torno do ponto O, que serve de apoio para ela. O momento da força aplicada pela pessoa deve ser igual ao que a outra extremida- de da barra vai exercer sobre a pedra. Então teremos: F · 0,2 m = 40 kgf · 0,8 m F = 40kgf · 0,8m 0, 2m = 160 kgf Figura 9 7 A U L A Passo-a-passo Observe a Figura 14: um sarrafo com peso de 16 N, apoiado em dois blocos A e B. Quais são os valores das forças que os apoios exercem sobre a barra? Para a resolução desse problema, vamos usar um conceito importante - o centro de gravidade. O centro de gravidade de um corpo é o ponto de aplicação da força peso, ou seja, como se todo peso do corpo estivesse concentrado naquele ponto. Se o corpo for homogêneo, como o caso da barra do problema, o centro de gravidade é o centro geométrico da barra. As Figuras 15, 16, 17 e 18 mostram a posição aproximada de alguns centros de gravidade. Numa esfera, como num cubo, ele está no centro da esfera. Na chave, ele fica mais perto da parte que gira a porca. Num homem, ele se situa aproximadamente na altura do umbigo, mas na parte interna de seu corpo. Vamos aos cálculos. Suponhamos que as forças representadas na Figura 14 que estiverem para cima são positivas e as que estiverem para baixo, negativas. Então, vamos ter: F1 + F2 - 16 = 0 Vamos calcular os momentos das forças com relação ao ponto A. Poderíamos calcular também com relação ao centro de gravidade ou, ainda, com relação ao ponto B, que os resultados seriam os mesmos. Vamos considerar que o sentido horário é o sentido positivo. O momento da força ρ F1 com relação ao ponto A é zero, pois a distância da forçaρ P ao ponto A é zero. O momento de ρ F2 é negativo, pois faria com que a barra girasse no sentido anti-horário. O momento de ρ P é positivo, pois faria com que a barra girasse no sentido horário. As distâncias do peso e da força ρ F1 ao ponto A são, respectivamente, 25 cm (0,25 m) e 40 cm (0,4 m), então, a soma dos momentos dessas forças com relação ao ponto A vai ficar: 16 N · 0,25 m - F2 · 0,40 m = 0 então, F2= 4 N × m 0,40 m =10N Sabendo-se o valor de ρ F2 , podemos calcular ρ F1 F1 + 10 - 16 = 0 F1 = 6 N P P PP Figura 18Figura 17Figura 16Figura 15 Figura 14 F1 7 A U L A Figura 20 Figura 19 Figura 21 Passo-a-passo Uma balança tem um peso próprio de 2 kgf. A distância entre o prato da balança e o suporte é 20 cm. Coloca-se um peixe no prato. O peixe é equilibrado por um peso de 0,5 kgf colocado a 40 cm do suporte. Qual é o peso do peixe? Qual a força exercida pelo peixeiro para segurar a ba- lança? (Figuras 19 e 20.) Inicialmente, o momento do prato da balança é compensado pelo momento do travessão da balança, pois a balança vazia está em equilíbrio (Figura 19). Quando o peixe e o contrapeso são colocados, para que haja equilíbrio, o momento do peso de um deve compensar o do outro (Figura 20). Então: Mp = Mc Chamando-se de Pp o peso do peixe, de Pc o do contrapeso, de dp a distância do prato (onde está o peixe) e de dc a distância do contrapeso, teremos: Pp · dp = Pc · dc Pp · 0,2 m = 0,5 kgf · 0,4 m Pp = 0,5 kgf × 0, 4 m 0,2 m = 1 kgf As forças que agem são: o peso do peixe ρ Pp , o peso da balança ρ PB , e o peso do contrapeso ρ PC atuando para baixo. Quem equilibra essas forças é o peixeiro, segurando na argola. Então ele vai exercer uma força de: 2 kgf (da balança) + 1 kgf ( do peixe ) + 0,5 kgf ( do contrapeso ) = 3,5 kgf Passo-a-passo Uma prateleira de 2 kg, que pode girar em torno de um ponto O fixo na parede, tem a outra extremidade também presa à parede por uma corda que forma, com a mesma, um ângulo de 60º. A corda está fixa a 40 cm do ponto O (Figura 21). Um bloco de 10 kg está apoiado nessa prateleira a uma distância de 10 cm da parede. Qual a força que o conjunto vai exercer sobre a corda? Vamos supor que os momentos das forças que fariam a prateleira girar em torno do ponto O, no sentido horário, fossem positivos. Tais forças seriam o peso da prateleira e o peso do bloco, que valem, respectivamente, 2 kgf e 10 kgf. O momento da força que age sobre a corda faria a prateleira girar no sentido anti-horário, e seria, então, negativo. Chamando-se de Mp, MB e Mc esses momentos, teríamos: Mp + MB + Mc = 0 Então, 2 kgf · 0,1 m + 10 kgf · 0,1 m - F · 0,4 m · sen 60º = 0 F= 2 kgf × 0,1 m + 10 kgf × 0,1 m 0,4 m × 0,866 @ 4 kgf 7 A U L A Nesta aula você aprendeu: · que se chama momento a grandeza associada à capacidade de uma força girar um corpo; · que, para um corpo estar em equilíbrio, a soma de todas as forças nele aplicadas deve ser nula e a soma dos momentos das forças com relação a um ponto também. Exercício 1 Calcule os momentos da força ρ F de 100 N, com relação ao centro da porca que a chave tenta girar, quando essa força é aplicada em pontos situados respectivamente a 15 cm e 45 cm, do centro da porca. Exercício 2 Uma barra pode girar em torno de um ponto O. Aplica-se, na mesma uma força de 60 N como está representado na figura abaixo. Qual vai ser o momento dessa força com relação ao ponto O ? Exercício 3 Uma caixa com massa de 8 kg está apoiada sobre uma barra de peso desprezível e comprimento 1,20 m, que, por sua vez, está sobre um suporte, como mostra a figura acima. Qual a força ρ F , que devemos fazer, do outro lado da barra, para equilibrar a caixa? F 30° 60 N O 0,5 m 1 m 20 cm 80 kgf F 8 A U L AGaspar saiu com seu Fusquinha para fazer um passeio. Como estava apressado, saiu sem verificar os pneus do carro, que estavam "carecas". No meio do passeio, começou a chover. Ele ligou o limpador de pára-brisa, acendeu os faróis, por precaução e, nesse momento, viu uma barreira de terra caída no meio da estrada. Rapidamente pisou no freio, mas, com a chuva, a lama e os pneus lisos não houve motivo, ou seja, não houve nenhuma força contrária ao movimento que fizesse o carro parar. O Fusca foi derrapando em Movimento Retilíneo Uniforme até bater num monte de areia, que exerceu uma força contrária ao movimento, e ele parou. Sabemos que os corpos mais pesados têm maior inércia do que os mais leves. Assim, é mais difícil movimentar um corpo pesado do que um corpo leve, porque o mais pesado exige muito mais força. Uma pergunta: é possível medir a inércia de um corpo? Segunda lei de Newton: lei da força É muito mais fácil empurrar um Fusquinha do que um caminhão. Assim como é muito mais fácil parar o Fusca do que o caminhão, se ambos tiverem a mesma velocidade. Isso é óbvio! É sobre isso que a segunda lei de Newton trata: qual é a relação entre o movimento dos objetos e a força aplicada sobre eles. Newton desenvolveu uma expressão matemática para descrever essa relação. Essa expressão matemática pode nos fazer compreender melhor as coisas que acontecem no nosso dia-a-dia. Por exemplo: um carrinho de mão vazio é muito mais fácil de carregar do que um carrinho de mão cheio de terra. Ou, ainda, o ônibus com poucos passageiros sobe com muito mais facilidade uma ladeira do que quando está lotado. Em compensação, quando o motor do ônibus pifa, é melhor que a lotação esteja completa, pois será mais fácil empurrar um ônibus com a ajuda de muitas pessoas do que com a de pouca gente! Passo-a-passo Vamos retomar a situação em que Gaspar bateu no monte de areia. Quando tentou pôr de novo em funcionamento o motor de seu Fusquinha, não conseguiu. Gaspar desceu do carro e foi pedir ajuda num bar próximo. Lá encontrou sua amiga Maristela, que se dispôs imediatamente a ajudá-lo. Gaspar entrou no Fusca e Maristela começou a empurrá-lo. Mas o Fusca mal saiu do lugar. Maristela, então, foi chamando um a um dos seus amigos para ajudar a empurrar o Fusca. Gaspar que estava dentro do Fusca começou a observar o seguinte: l Com uma pessoa, o Fusca que estava parado alcançou uma velocidade de 4 km/h, num tempo de 10 s (segundos). l Com duas pessoas, o Fusca, de 0 km/h alcançou 8 km/h, em 10 s. l Com quatro pessoas, a velocidade variou de 0 km/h até 16 km/h, em 10 s. l Com oito pessoas, a velocidade variou de 0 km/h até 32 km/h, em 10 s. Figura 4 8 A U L A TABELA 1 NÚMERO DE PESSOAS VELOCIDADE INICIAL (km/h) VELOCIDADE FINAL (km/h) TEMPO (s) 10 10 10 10 1 2 4 8 0 0 0 0 4 8 16 32 Recordando Lembrete: como já vimos, para calcular a aceleração em m/s2 precisamos que a velocidade seja em m/s e não em km/h. Para isso, fazemos a seguinte transformação: 1 Km h = 1.000 m 60 min = 1.000 m 60 · 60 s = 1.000 m 3.600 s = 1 3,6 · m s ou seja, para transformar qualquer velocidade de km/h para m/s devemos fazer a seguinte conta, por exemplo: v1final = 4 Km h = 4 · 1 Km h = 4 · 1 3,6 · m s = 1,1 m s Se calcularmos a aceleração do Fusca, teremos: com um homem: a1 = D v1 D t = 1,1 - 0 10 - 0 = 0,11 m s2 com dois homens: a2 = D v2 D t = 2,2 - 0 10 - 0 = 0, 22 m s2 com quatro homens: a3 = D v3 D t = 4, 4 - 0 10 - 0 = 0, 44 m s2 com oito homens: a8 = D v8 D t = 8,8 - 0 10 - 0 = 0,88 m s2 Vamos supor que cada homem faça 100 unidades de força (newtons), podemos ver que: F1 homem = F1 = 100 N F2 homens = F1 + F1 = 2F1 =F2 = 200 N F4 homens = F2 + F2 = 4F1 = F4= 400 N F8 homens = F4 + F4 = 8F1 = F8= 800 N onde, em cada situação, olhamos para a soma das forças que estão agindo sobre o veículo. 8 A U L AAssim, dividindo a força realizada pelos homens pela aceleração produzida no Fusquinha, teremos: F1 a1 = 100 0,11 = F2 a2 = 200 0, 22 = F4 a4 = 400 0, 44 = F8 a8 = 800 0,88 = 909,9 N m /s2 Þ constante Podemos ver que a força é diretamente proporcional à aceleração, isto é, quanto maior for a força, maior será a aceleração. Podemos então escrever de modo geral: ρ Fresul tante = m ρ a onde m é uma constante. Mas o que será esse m, essa curiosa constante? Vamos imaginar que Gaspar estivesse num pequeno caminhão em vez de num Fusquinha. Quando fossem empurrar o caminhão, Gaspar observaria o seguinte: Com uma pessoa, o caminhão, que estava parado alcançou uma velocidade de 1 km/h, num tempo de 10 s (segundos). Com duas pessoas, o caminhão, de 0 km/h alcançou 2 km/h, em 10 s Com quatro pessoas, a velocidade variou de 0 km/h até 4 km/h, em 10 s Com oito pessoas, a velocidade variou e 0 km/h até 8 km/h, em 10 s Se calcularmos a aceleração do caminhão, teremos: com uma pessoa, a1 = Dv1 Dt = 0,28 - 0 10 - 0 = 0,028 m s2 com duas pessoas, a2 = Dv2 Dt = 0,56 - 0 10 - 0 = 0,056 m s2 com quatro pessoas, a3 = Dv3 Dt = 1,1 - 0 10 - 0 = 0,11 m s2 com oito pessoas, a8 = Dv8 Dt = 2,2 - 0 10 - 0 = 0, 22 m s2 Como cada pessoa faz 100 unidades de força (newton), podemos ver que a razão F1 a1 = 100 0,028 = F2 a2 = 200 0,056 = F4 a4 = 400 0,11 = F8 a8 = 800 0, 22 = 3571 N m /s2 Þ constante o que, mais uma vez, é surpreendente. TABELA 2 NÚMERO DE PESSOAS VELOCIDADE INICIAL (KM/H) VELOCIDADE FINAL (KM/H) TEMPO (S) 1 2 4 8 0 0 0 0 1 2 4 8 10 10 10 10 · 8 A U L A Há vários exemplos nos quais podemos verificar a terceira lei de Newton, como as situações apresentadas na Figura 7. Podemos então escrever a terceira lei de Newton de uma forma mais precisa: Se um corpo A faz uma força sobre o corpo B, o corpo B faz ao mesmo tempo uma força de mesma intensidade e de sentido contrário sobre o corpo A. Podemos expressar essa lei na forma matemática: ρ FA® B = ρ FB® A Essa lei nos revela que ninguém tem a força, uma força não aparece sozi- nha, ela sempre aparece quando, no mínimo, dois corpos interagem um com o outro. Isso é óbvio! Para que alguém faça uma força, é preciso ter um outro objeto para exercer essa força, caso contrário não haverá força. E, quando houver esse objeto, ele também fará força sobre quem o estiver empurrando, uma força de mesmo valor e no sentido oposto. Mas há um detalhe muito importante: as forças de ação e reação estão sempre em corpos diferentes, ou seja, se empurramos uma parede, a força que se faz sobre a parede, está na parede, a força que a parede faz, isto é, a reação da parede, estará em quem a empurrou. Figura 7 8 A U L A Nesta aula você aprendeu que: l nunca devemos usar as três leis de Newton separadas, pois na verdade são necessárias todas juntas para que possamos compreender os fenômenos da Mecânica; l um corpo só altera seu estado de movimento quando a soma das forças que agem sobre ele é diferente de zero; l a soma de forças (resultante) é igual à massa do corpo vezes sua aceleração; l todo corpo que exerce uma força sobre outro corpo, recebe uma força de reação de mesma intensidade emesma direção, mas de sentido contrário. Exercício 1 Explique, usando as três leis de Newton, por que quando estamos em um ônibus e ele freia repentinamente, temos a impressão de que somos lançados para frente. Exercício 2 Ao estudar Cinemática, descobrimos que os corpos caem, quando não há interferência da atmosfera, com uma aceleração de 10 m/s2. Podemos, então, calcular a força com que a Terra nos atrai para o solo. Uma menina tem 45 quilogramas de massa. Qual é a força de atração com que a Terra atrai essa menina? Exercício 3 Para pensar: se, quando empurramos um carro, este faz uma força de mesma intensidade no sentido contrário, por que então conseguimos empurrá-lo? Exercício 4 Calcule a força motora de um caminhão que tem uma aceleração de 5 m/s2, quando está com uma carga de 5 toneladas (5.000 kg). Movimento FC Ð H Rea•‹o FH Ð C A•‹o Figura 8 9 A U L A Como erguer um piano sem fazer força Como vimos na aula sobre as leis de Newton, podemos olhar o movimento das coisas sob o ponto de vista da Dinâmica, ou melhor, olhando os “motivos” que levam um objeto a se mover. O que vamos fazer nesta aula é aplicar essas leis em diversas situações. Temos sempre problemas para levantar objetos muito pesados. Muitas vezes são tão pesados que não conseguimos tirá-los do chão. Outras vezes estamos com problemas nas costas, que não nos permitem nem levantar um pequeno peso. Esse problema de levantar pesos é antigo. Os egípcios já enfrentavam esse problema, quando tinham que levantar pedras imensas na construção das pirâmides. Mesmo de brincadeira, vemos a necessidade de levantar pesos. Nos filmes do Tarzan, o “rei da selvas” recrutava sempre um elefante para erguê-lo até sua casa na árvore. Nos portos, quando os navios trazem cargas enormes, é necessário sugerir soluções que facilitem e agilizem a descarga do material. Vamos usar nossos conhecimentos das leis de Newton para resolver e propor soluções para alguns problemas, que à primeira vista parecem simples, mas que são uma chave para problemas maiores, como por exemplo a descarga de material em um porto. Vamos resolver esses problemas em alguns passos, para compreender melhor o que está acontecendo em cada situação. Normalmente teremos três passos, conforme descrito a seguir: a) isolamento dos corpos (diagrama de forças); b) construção das equações dinâmicas; c) solução das equações dinâmicas. Vamos analisar um exemplo bem simples para treinar o uso desses passos: Passo-a-passo Vamos supor que Gaspar queira colocar um pacote de feno no sótão do celeiro de sua pequena fazenda. Esse pacote tem uma massa de 100 kg. Gaspar, que estava gordo nessa época, com uma massa de 80 kg, teve recomendação médica para não carregar muito peso e ficou preocupado com o peso do pacote. 9 A U L 9 A U L A3º passo - Solução das equações dinâmicas Usando a equação do pacote de feno, temos T = Pfeno T = mfeno · g = 100 kg · 10 m s2 = 1.000 N Com a equação da roldana: S = 2 T S = 2 · 1.000 N = 2 000 N E com a equação para Gaspar: T = PGaspar Com isso, Gaspar pode prever que a força que o teto faria para sustentar o sistema é igual ao dobro do peso do feno (S = 2T). Mas houve um problema: a força que Gaspar teria que fazer é, no mínimo, igual ao peso do feno. Que vantagem houve em usar uma roldana (T = Pfeno )? Houve uma vantagem: agora basta que Gaspar se pendure na corda para que a feno fique suspenso, pois seu próprio peso pode servir como uma força para sustentar o feno (T = PGaspar ). Mais uma vez aparece um problema, pois a última equação nos diz que, no mínimo, Gaspar precisa ter o mesmo peso que o pacote de feno: Pfeno = T = PGaspar Mas Gaspar tem uma massa de apenas 80 kg, o que significa um peso de 800 N. Ou seja, Gaspar não conseguiu resolver seu problema. Mas ele não desistiu, logo começou a pensar num jeito de não ter que fazer tanto esforço. Finalmente surgiu uma idéia! Passo-a-passo Gaspar resolve colocar mais uma roldana em jogo, e faz o seguinte desenho. Gaspar fica muito animado com sua idéia e rapida- mente começa a trabalhar na previsão da força que ele terá de fazer. Assim, começa o primeiro passo: 1º passo - Isolamento dos corpos (diagrama de forças) Pelo desenho de Gaspar, é possível ver que o pacote de feno permanece na mesma situação. O que temos de novo é a segunda roldana e mais um pedaço de corda, que prende a segunda roldana no teto do celeiro. Figura 3 9 A U L A Feito o desenho, ele rapidamente passa ao segundo passo. 2º passo - Construção das equações dinâmicas Gaspar, então, montou as equações dinâmicas, usando a segunda lei de Newton: Rfeno = mfeno · a = T1 - Pfeno = 0 Rroldana 1 = mroldana 1 · a = T + T - T1 = 0 Rroldana 2 = mroldana 2 · a = S - T - T = 0 RGaspar = mGaspar · a = PGaspar - T = 0 3º passo - Solução das equações dinâmicas Temos, então, que T1 = Pfeno T1 = mfeno · g = 100 kg · 10 m s2 = 1.000 N T1 = 1.000N 2 T = T1 T = T1 2 = 1000 2 T = 500 N S = 2 T S = 2.500 S = 1000 N Gaspar, agora, começa a estudar seus resultados. O primeiro resultado é que a força que Gaspar terá que fazer na corda (T) é igual a 500 newtons, ou seja, é a metade da força no caso anterior. PGaspar PFeno T1 T T G T T T T Figura 4 → S1 9 A U L AA parede terá que resistir, na primeira roldana, a uma força de 500 newtons e, na segunda roldana, a uma força de 1.000 newtons. Certamente, com seu peso de 80 kg, Gaspar poderá levantar o pacote de feno, basta que ele se pendure na corda, será o suficiente para que o pacote suba! Gaspar pôde, usando as leis de Newton, prever que força ele teria que fazer usando um sistema de roldanas. Certamen- te o valor encontrado não será exatamente o que ele vai encontrar quando for construir o sistema real, pois foram feitas algumas aproximações, como considerar a massa da corda e da roldana iguais a zero, e desprezar o atrito da roldana com seu eixo de rotação, mas com todas essas aproxi- mações, Gaspar ainda fará uma força menor do que o peso do pacote de feno. Que força Gaspar teria de fazer se tivesse montado o sistema com mais uma roldana (Figura 5)? Observação Na primeira situação, Gaspar não conseguiria levantar o feno, pois, mesmo que ele se pendurasse na corda, seu peso era menor que o do pacote de feno. Na segunda situação, com o auxílio de mais uma roldana, a força necessária para levantar o pacote era menor que o peso de Gaspar; com isso, se ele se pendurasse na corda, o feno iria se levantar. Quando há um excesso de peso em um dos lados da corda, chamamos isso de contrapeso. Em várias situações em que temos uma só roldana, o contrapeso servirá como um grande auxiliar no levantamento de grandes pesos. Por exemplo, nos elevadores: Normalmente podemos ver como funciona um elevador de um edifício em construção, pois sua estrutura está à mostra. Observe a Figura 6: o elevador é sustentado por um cabo que vai até uma grande polia e volta, passando por um bloco de cimento; e vai direto a um motor de sustenta- ção, que se encontra no solo. Esse tipo de elevador carrega tanto material como pessoal de serviço e isso, de forma geral, exige muito do motor. Nesse tipo de situação, evita-se o uso de mui- tas roldanas, pois o espaço para colocá-las nem sempre está disponível. Para não exigir muito do motor, colocam-se os contrapesos, assim como está indicado na Figura 6. Passo-a-passo Algumas vezes durante o período de construção de parede, período no qual as paredes nos andares superiores são levantadas, os elevadores têm que subir carrega- dos de tijolos. Essa é a etapa de construção em que os elevadores são mais exigidos. Figura 5 Motor de Contra-peso Cabine do sustentação Figura 6 Cabine do elevador Elevador 10 A U L A Ou vai ou racha! Sempre que se empurra algum móvel pesado em casa, passa-se por um grande problema: além de termos que arrastar o móvel, o chão fica todo arranhado. Quando se tem um móvel com muitas coisas dentro, a primeira coisa que se faz é esvaziar o móvel, deixando-o totalmente vazio. Todos os copos, pratos e panelas são retirados. Mas nem sempre adianta, pois ele pode ser muito pesado, mesmo estando vazio. O enorme móvel tem que ser deslo- cado da cozinha para a sala, mas com seu peso, a tarefa se torna quase impos- sível! São chamados então os familiares, se ainda assim não for possível, são chamados, também, os amigos e mais os vizinhos, se necessário! Com essa multidão, o móvel mal saiu do lugar. Quando todos se cansaram, o tumulto logo virou uma grande festa. Os copos, que foram tirados do armário, rapidamente ficaram cheios de cerveja, num mar de piadas e brincadeiras com os amigos e vizinhos que há muito não conversavam. Esse problema foi resolvido com uma grande festa. Haveria outra maneira de resolver esse problema sem que fosse necessário dar uma festa? Em nossa vida diária, encontramos alguma forma de resistência sempre que queremos empurrar alguma coisa: um carro quebrado, ou, por exemplo, quando estamos num restaurante e uma pessoa não levanta a cadeira para sentar, mas a arrasta fazendo um barulho terrível; quando vemos uma criança brincando com o vento, colocando a mão para o lado de fora do carro em movimento; quando vamos à beira-mar e não conseguimos correr dentro da água com facilidade; ou, ainda, quando esquecemos de colocar óleo no auto- móvel e o motor trava. Podemos ver que existe, em quase todo movimento no nosso dia-a-dia, uma força contrária, que chamamos de força de atrito! Figura 1 10 A U L 10 A U L AEssa força está presente quando tentamos colocar um parafuso na parede e não conseguimos girá-lo mais. Pode ser encontrada quando um carro está na estrada e o vento que sentimos na janela é o mesmo ar que se choca contra o pára- brisa, exercendo uma força de resistência ao movimento do carro. Podemos ver, também, algumas formas de se tentar driblar o atrito; um exemplo, está na maior aerodinâmica dos carros de Fórmula 1. Temos outro nos nadadores que raspam a cabeça e pernas para que os pêlos do corpo não atrapalhem seu movimento na água; ou, ainda, na criança que põe a mãozinha para fora da janela do carro e fica mexendo-a até encontrar a posição de menor resistência. São inúmeros os exemplos de nossa vida onde surgem as forças de resistência ao movimento. Mas vamos compreender o que ocorreu com o armário, usando as leis de Newton. Como vimos, o armário não se moveu; ou seja, na linguagem da Física, a soma das forças que estavam agindo sobre o armário era igual a zero. Podemos usar novamente os três passos que aprendemos nas aulas anteriores e, assim, estudar e propor alguma solução para o problema do armário. 1º passo - Isolamento No diagrama de forças que está na Figura 3, podemos ver quatro forças aplicadas ao armário: · a força de atração que a Terra exerce sobre todos os corpos que estão perto da sua superfície, o peso ( ρ PA); · a força ( ρF ) que as pessoas estão fazendo sobre armário; · a força que o chão faz para sustentar o armário ( ρN ), que chamamos de força normal, por ser uma força que está sempre perpendicular em relação à superfície de contato entre o corpo e o solo; · a força que o chão faz para impedir que o armário vá para frente ( ρ fat ), que chamamos de força de atrito. Vamos entender melhor a força de atrito: Força de atr i to A força normal e a força de atrito representam a resistência que o chão faz para impedir o movimento do armário. Existe uma correspondência entre essas duas forças. A força de resistência exercida pelo chão é uma força só, como podemos ver no diagrama ao lado: As forças que chamamos de normal e de atrito são, na verdade, os componen- tes da força de resistência (Figura 4). A força normal é a parte da força de resistência que impede que o armário desça, enquanto a força de atrito é a parte da força de resistência que impede que o corpo se desloque na direção da força F. Por isso, existe uma relação entre essas duas forças, ou seja, é possível mostrar que seus módulos são diretamente proporcionais: fat = mµ. N ou seja, se N aumenta, fat também aumenta. Figura 2 PA fat N F Figura 3 PA fat FR N F Figura 4 10 A U L A fat FR N fat FR N A constante µ nos informa se o solo exerce muito ou pouco atrito sobre o corpo que está em contato com ele. Ou seja, se µ é grande, temos um solo muito áspero, com muito atrito, enquanto se µ é pequeno, o solo é mais liso, com pouco atrito. µ grande -> fat grande e µ pequeno -> fat pequeno. N é constante nos dois casos! Mas o que ocorre com a força de atrito quando o corpo está parado? Atrito estático e atrito dinâmico Se não há alguém puxando ou empurrando o armário, não haverá motivo para que o solo impeça seu movimento (Figura 6); mas, se começamos a empurrar o armário com uma força pequena, que não é suficiente ainda para que ele se mova, (por exemplo, o armário sendo empurrado por uma pessoa), podemos ver que aparece uma força de atrito para impedir que o armário ande, e, à medida que mais pessoas vão empurrando, a força de atrito vai aumentando, até que, finalmente, um número suficiente de pessoas consiga empurrar o armário. Isso significa que a força de atrito parou de crescer. Podemos fazer um gráfico do comportamento da força de atrito em relação à força que está sendo aplicada no armário (Figura 7) Enquanto a força de atrito está aumentando, o armário não se move. Chamamos, nessa situação, o atrito de: atrito estático. Figura 5 PA N PA fat FR FR N F = Figura 6 Figura 7. Gráfico fat X F 0 Est‡tico Din‰mico 45° fat F 10 A U L AVimos nesta aula: l O conceito de força de atrito ( ρ fat ). l sua relação com a força normal ( ρ N ); que pode ser representada pela equação: Fat = µ N l vimos também como resolver situações em que o atrito atrapalha nosso serviço, ou seja, podemos planejar para antecipar as conseqüências do movimento de um corpo em situações onde haja atrito; l e outras situações em que o atrito nos ajuda a realizar movimentos ou tarefas. Exercício 1 Para pensar: nas fábricas de automóvel, são pintados carros de várias cores. O que aconteceria se a lataria do carro fosse muito lisa? A tinta se “prende- ria” na lataria? Exercício 2 Na figura abaixo, vemos um plano, que tem uma inclinação segundo o ângulo q com a horizontal. Qual será a inclinação máxima que o plano pode ter sem que a caixa escorregue ladeira abaixo? Suponha que a massa m da caixa seja igual a 100 kg e que o coeficiente de atrito estático µ seja igual a 0,5. Exercício 3 Um operário deseja empurrar uma caixa de 100 kg, sobre uma superfície de madeira, mas não sabe quanta força no mínimo terá que fazer para conseguir seu intento. Para descobrir, ele precisa obter o coeficiente de atrito estático entre o fundo da caixa e a superfície. Portanto, realiza a seguinte experiência: coloca a caixa sobre um pedaço de madeira e, com seu macaco hidráulico, vai inclinando o conjunto como vemos na figura abaixo. Finalmente, ele mede o ângulo em que a caixa começa a deslizar. Faz isso várias vezes e descobre um valor médio de 26,50, para o ângulo. Dadas essas informações, qual é o coeficiente de atrito entre a caixa e a madeira? 11 A U L A Vamos dar uma voltinha? 11 A U L A patinadora desliza sobre o gelo, braços estendidos, movimentos leves, música suave. De repente encolhe os braços junto ao corpo, gira velozmente como um pião, volta a estender os braços e pára por alguns instantes. O público, encantado, aplaude. Cristiana, comovida, assiste à cena pela televisão. Então, uma pergunta lhe ocorre. Por que sempre que giram desse jeito os patinadores encolhem os braços e, quando querem parar, voltam a estendê-los? Será que isso tem alguma coisa a ver com a Física? É claro que sim. Tudo tem a ver com a Física. Se ela fizer essa pergunta a um físico, ele provavelmente lhe dirá que a patinadora encolhe os braços para girar mais depressa, devido ao princípio da conservação do momento angular. É uma forma complicada de explicar uma idéia razoavelmente simples. Suponha que um corpo está girando e não há nenhuma ação externa atuando sobre ele. Quanto mais concentrada a massa desse corpo estiver no seu eixo de rotação, mais rapidamente ele pode girar, ou vice-versa. Se a distribuição da massa se afastar do eixo de rotação, ele vai girar mais lentamente. Observe a Figura 1a. Com os braços encolhidos, a massa da patinadora está mais concentrada junto ao seu eixo de rotação, por isso ela gira mais rapidamente do que com os braços abertos. Abrindo os braços, ela distribui sua massa de forma a afastá-la ao máximo do seu eixo de rotação. Assim, o seu movimento fica mais lento e mais fácil de parar. Uma demonstração experimental muito interessante pode ilustrar essa afirmação. Figura 1a 11 A U L A Observe a Figura 1b. Uma pessoa sentada numa cadeira giratória, segurando dois halteres com os braços estendidos, é posta a girar. Se ela encolher os braços, trazendo os halteres para junto do seu corpo, a rapidez do seu movimento de rotação aumenta. Se ela voltar a estendê-los, a rapidez diminui, sem que para isso tenha sido feita qualquer ação externa. Essa compensação entre rapidez de rotação e distribuição de massa é explicada pelo tal princípio da conservação do momento angular. Mas essas não são as únicas características interessantes do movimento de rotação. Um pião, por exemplo, só pode permanecer em equilíbrio en- quanto gira; as bicicletas só podem se manter em equilíbrio devido ao movimento de rotação de suas rodas. Veja na Figura 2 que, graças à rotação, o pião se mantém em pé sozinho, em equilíbrio, apoiado apenas numa extremidade do seu eixo. A própria Terra mantém constante a inclinação do seu eixo graças ao seu movimento de rotação. O movimento de rotação está sempre presente em nosso dia-a-dia. Todos os veículos têm rodas, quase todas as máquinas têm eixos e polias que giram ligadas por correias e engrenagens. Infelizmente, nem todos os aspectos da rotação poderão ser estudados neste curso. Muitos exigem uma formulação matemática muito complicada, mas algumas noções básicas necessárias à sua compreensão serão vistas aqui. Rotação: um movimento periódico Imagine uma roda de bicicleta ou a polia de um motor girando. Durante esse movimento, cada ponto da roda ou da polia descreve circunferências, continu- amente. Em outras palavras, durante o movimento, cada ponto passa repetidas vezes pela mesma posição. Por isso, o movimento de rotação é considerado um movimento periódico. O número de circunferências, ou ciclos, descritos numa unidade de tempo é a freqüência desse movimento. Assim, se cada ponto da polia de um motor descreve 600 ciclos em 1 minuto, dizemos que essa polia gira com uma freqüência de 600 ciclos por minuto. Nesse caso, ao invés de ciclos, costuma-se dizer rotações. Logo, a freqüência é de 600 rpm (rotações por minuto). Se adotarmos o SI, a unidade de tempo deve ser o segundo. Portanto, como essa polia descreve 600 ciclos em 60 segundos (1 minuto), a sua freqüência será: 600 ciclos 60 segundos = 10 ciclos / s Figura 2 Figura 1b 11 A U L A Como no SI os ângulos são medidos em radianos, a unidade de velocida- de angular é rad/s. Assim, se um disco gira descrevendo um ângulo de 60º, que é igual a p/3 rad, num intervalo de tempo de 2 segundos, sua velocidade angular será: w = p 3 2 = p 6 rad/ s A rigor, essa é a velocidade angular média nesse intervalo de tempo. Entretanto, como vamos estudar apenas movimentos de rotação em que a velocidade angular é constante, não haverá, aqui, distinção entre velocidade angular média e velocidade angular instantânea. Ambas serão chamadas sim- plesmente de velocidade angular. Veja como se faz para transformar graus em radianos: Relações entre graus e radianos Sabe-se que p rad = 180º, logo 1º = p 180 rad . Então, para transformar um ângulo em graus para radianos basta multiplicar o seu valor por p 180 . Exemplo: 60° = 60 · p 180 rad = p 3 rad Para transformar radianos em graus, é só inverter o procedimento multiplicando por 180 p Exemplo: p 3 rad = p 3 · 180 p = 60° Se a velocidade angular de um disco for constante, ele descreve ângulos iguais em tempos iguais. Isso significa que o tempo gasto para dar uma volta completa, que corresponde a um ângulo de 360º ou 2p rad, será sempre igual. Portanto, o período e a freqüência do disco serão, também, constantes. Além disso é possível, nessas condições, relacionar essas três grandezas. Ao descrever uma volta completa, o disco varre um ângulo Dj igual a 2 p rad. Como o intervalo de tempo Dt para dar uma volta completa é igual ao período, T, a velocidade angular desse disco será: w = D j D t Þ w = 2 p T Mas f = 1 T , portanto, podemos escrever: w = 2 p · 1 T Þ w = 2 pf 11 A U L AMovimento Circular Uniforme Suponha que um disco gire com veloci- dade angular constante. Como vimos, a fre- qüência e o período também serão constantes. Nesse caso, cada ponto desse disco descreve um Movimento Circular Uniforme (MCU). Se você vir uma formiguinha apavorada agar- rada a um disco girando no seu toca-discos, você estará vendo a coitadinha descrever um movimento circular uniforme. Isso vale tam- bém, por exemplo, para qualquer ponto de uma polia ligada a um motor que gira com freqüência de rotação constante. Como se pode equacionar o movimento circular uniforme? Que variáveis devemos escolher para equacionar o movimento circular uniforme, lembrando que equacionar um movimento é estabelecer uma relação matemática entre duas de suas variáveis (posição · tempo, velocidade · tempo etc.). As mesmas variáveis do MRU ou do MRUV? A resposta é não. Em vez de uma equação da posição em função do tempo, por exemplo, será mais útil uma equação do ângulo descrito em função do tempo, uma equação angular. Isso porque a posição não é uma variável muito conveniente, pois um móvel com MCU passa seguidamente pelo mesmo ponto. Isso não acontece com o ângulo D j que esse móvel descreve ou varre enquanto se movimenta. Os seus valores nunca se repetem. Cada vez que o móvel passa pelo mesmo ponto, o valor do ângulo é acrescido de 360º ou 2 p rad. Assim, é possível estabelecer uma relação matemática entre esse ângulo e o instante em que ele está sendo descrito, porque não existem dois ângulos iguais para instantes diferentes. Essa equação, conhecida como equação ou lei angular do MCU, é expressa por: j = j0 + wt Veja a dedução no quadro abaixo: Dedução da lei angular de um MCU Lembrando a definição de velocidade angular w = D j D t (1) é fácil ver, na figura, que D j = j - j0 (2), como D t = t - t0. Fazendo t0 = 0, temos D t = t (3), substituindo (1) e (2), em (3), obtemos: w = j - j t Þ j = j0 + w t onde j é o ângulo, ou fase, no instante t e j0 o ângulo ou fase inicial, no instante t0 = 0. Tr aje t—ri a da formiguinha Figura 5 0 t0 t Figura 6 11 A U L A Sabendo-se o ângulo descrito por um móvel num certo instante e o raio da circunferência descrita, é fácil determinar a posição de um móvel em MCU. Suponha, por exemplo, que a nossa pobre formiguinha, ainda mais apavo- rada, está presa a uma roda de bicicleta de 0,5 m de raio, que gira com um período constante de 2 s. Se acionarmos um cronômetro no instante em que o raio da roda em que está a formiguinha descreve um ângulo nulo, qual será a posição da coitadinha depois de 4,2 s? Para resolver esse problema, é preciso, inicialmente, determinar o ângulo descrito por esse raio no instante t = 4,2 s. Isso significa aplicar a lei angular do seu movimento e calcular o valor de j para t = 4,2 s. Para determinar a lei angular, j = j0 + wt, basta determinar o valor de w já que o ângulo inicial j0 = 0, conforme o enunciado (o cronômetro foi acionado quando o ângulo era zero). Lembrando que w = 2 p/T e T= 2s obtemos w = p rad/s. Assim, a lei angular do movimento do ponto A é: j = p t No instante t = 4,2 s o ângulo descrito é: j = p rad s × 4,2 s = p × 1800 p × 4,2 = 7560 Onde estará então a pobre formiguinha? É fácil, basta desenhar um ângulo de 756º, isto é, 2 · 360º + 36º e aí localizá-la. Veja a Figura 7. Velocidade de um ponto material em MCU Até agora só falamos em velocidade angular de um ponto material. É uma velocidade meio esquisita - ela sempre nos obriga a imaginar que existe um segmento de reta ligando o ponto ao centro da circunferência. Senão, não poderíamos falar em ângulos descritos ou varridos. Mas é claro que, estando em movimento, o ponto vai percorrer distâncias em intervalos de tempo, isto é, ele tem também uma velocidade. Essa é a sua velocidade (v), sem sobrenome, a que temos nos referido até aqui, no estudo dos outros movimentos. Muitos gostam de chamá-la de velocidade linear ou escalar para distingui-la da velocidade angular, mas isso não é necessário pois não estamos introduzindo um novo conceito. Se calcularmos o valor da velocidade v de um ponto material com MCU, vamos obter sempre o mesmo resultado. Isso porque esse ponto percorre distâncias (arcos de circunferência) iguais em tempos iguais. Em cada ciclo, por exemplo, o percurso é sempre o mesmo, o comprimento da circunferência. O tempo gasto para percorrê-la também, pois, nesse caso, o tempo é o período (T), e o período no MCU é constante. Aliás, a partir dessa observação, podemos obter uma expressão para o valor de v no MCU. Como o comprimento da circunferência é 2pr e o tempo para descrever 1 ciclo é igual ao período T, dividindo-se o comprimento do percurso, 2pr, pelo tempo gasto para descrevê-lo (T), tem-se o valor da velocidade. Logo: v = 2 pr T r = 0, 5m 36° Localiza•‹o da formiguinha Figura 7