Baixe calc...leto - calculo com geometrica analitica earl swokwoski capitulo19 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Capítulo 19 MARRON Books EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO As equações diferenciais têm ampla apli- cação na resolução de problemas complexos sobre movimento, crescimento, vibrações, eletricidade e magnetismo, aerodinâmica, termodinâmica, hidrodinâmica, energia nu- clear é todo tipo de fenômeno físico que envolva taxas de variação de quantidades va- riáveis. No começo deste texto, resolvemos certos tipos de equações diferenciais separando va- riáveis e aplicando a integração indefinida. A Seção 19.1 contém exemplos adicionais e exercícios que envolvem tais equações sepa- ráveis. Maisadiante estudaremos outros tipos. que podem ser resolvidos sistematicamente por meio de técnicas « fórmulas padrão. Em- bora tais equações sejam mais gerais que as equações separáveis, são, ainda assim, muito particulares. Nas aplicações modernas que envolvem a colocação de satélites em Órbita ou o envio de naves espaciais a partes distan- tes do sistema solar, as equações diferenciais são extremamente complicadas, utilizando- se supercomputadores para obter aproxima- ções das soluções. O material deste capítulo não tem a pre- ——— tensão de constituir um tratado sobre o assun- to-serve apenas como uma introdução a este vasto e importante ramo da matemática. Há cursos e livros específicos devotados inteira- mente so estudo das equações diferenciais. 19.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SEPARÁVEIS ILUSTRAÇÃO Se y é uma fanção dexen é um intei o positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolvax,y.3",3", 3! é chamada uma equação diferencial deordem a EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDEM 3 Nas Seções 5.1 e 7.6 já abordamos sucintame gões diferenciais. Recordemos que uma função f (ou / (x) solução de uma equação diferencial se a subsituição de y por f(x) resulta em uma identidade para todo x cm algum intervalo. Por exemplo, a equação diferencial temasolução fe)=2"-8:+0 para todo real C, pois a substituição de y por f (x) conduz à identidade 6x? — 5 = 6x? 5, Denominamos f(x) = 2º 5x + C asolução geral de y" = 6x5, pois toda solução é desta forma. Obtém-se uma solução particular atribuindo a C valores espe- cíficos. Para ilusirar,se C = 9, temos a solução particular y —5x, Às vezes, impóem-se condições ini E uma solução particular, conforme exemplo a EXEMPLO 1 E Dada a equação diferencial y* (a) ache a solução gerel e ilustre-a graficamente | Cop. 19 Equações diferenciais 610 SOLUÇÃO (a) Por integração indefinida, indo valores especificos a C, o que nos conduz »; à família de parábolas ilustradas na Figura 19.1. As equações dife exemplo ocorrem na a detalhe nas Seções 19.3-19, EXEMPLO 2 Mostre que a equação diferencial y'” y=c, para todos os números reais C, e C.. SOLUÇÃO Diferenciando y duas vezes, temos Substituindo, (sc et+ ou (SC ES-25C,e8 + (2578 -25Ce 8) = 0 Como o membro esquerdo é zero Cs *: é uma solução de ) ara todo x, segue: 5y=0. A solução ) + Cr * no Exemplo 2 é a solução geral de yº"— O beervêque à egueanalicia até ordem 2 que asolução geral contêmdus constantesarbirárias (chamadas parâmetros) C, eC, À definição precisa geral envolve o conceito de ra 194 SOLUÇÃO Diferenciando implicitamente a equação dada, obtemos x+6y=0 0 y “5 Logo, o coeficiente angular da tangente em um ponto arbitrá (x, 9) de cada uma das elipses é y' = — x/(33). Se dyldx é o coeficiente angular da tangente em uma trajetória ortogonal correspondente, então deve ser igual ao inverso negativo de y”. Isto nos dá a seguinte equação diferencial para a família de trajetórias ortogonais by de” x Separando as variáveis, temos dE y Ox Integrando e escrevendo a constante de integração como In [fl, obtemos Inbj=3inhd + la [= In fee] Segue-se que y = lx? é uma equação da família de trajetórias ortogonais. Na Figura 19.4 esboçamos vários membros da fa- mília de elipses e as correspondentes trajetórias ortogonais. 16 (p= 4) de+ (By +) dy =0 Nyss-leg-y 18 (4a (+) de= 0 19. tYde- Et dy=0 2 cosxdy-ydx=0 nar p+ta = np-yê=y Bxtgy-y'secx=0 o 24 + yéÔ ny 25 Esenxde-coszdy=0 26 senycosx d+ (1 + sen x) dy=0 Exeres. 27.34: Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaça a condição dada y=Iqundox=3 -Iquandor=9 29 xdy-(e+ Me! de= O; y=2 quando. 30 seezyde-costxdy= 0: p= a/6 quendox= ais 31 (xy sa)de + VIT Ay 00; y= 1 quandox=O 22xdy VIT 6eeO; Iquandox=t 33 cotxdy-(L +) de= quandox=0 3 eseyde- e dy=0; =Oquandox=0 0 — Cap 19 Equações diferenciais 685 s2-y 36 xy=€ sj=e 38y=0? ao y=cê “0 y=ces Exeres. 41-42: Se uma equação diferencial de forma y' =f(x,9) tem condição incialyp= 4 em = ae se b > a, então sua solução em x = b pode ser aproxima- da pelos seguintes estágios, chamados método de Euler. 1 Sejaa=x,ex,<..<x,= bonde n é um inteiro exmx= (ban =hpank=0,1,2.. 1 2 FaaxsA 3 Sean + HG) 4 Seh-Oentãoyny,emx=b. (s) Para a equação diferencial dada com a condição inicial yo» em a = 0, use o método de Euler com n = para aproximar y em x » 1. (5) Resolva a equa- ão diferencial e ache o valor exato de yem x = 1. aty=y s2y=1y Exeres. 43-44: Um método mais preciso do que o empregado nos Exercícios 41-42 é o método de Heun (ouométodo de Euler melhorado), no qual a fórmula do estágio 3 é substituída por Jy,a=Ja + 5h Uso + Cr oe Ae Faça os exercícios seguintes uilizando este método. EXERCÍCIOS 19.1 veres. 1.47 (4) Ache à solução geral da equação Hferencial e ilustre graficamente. (b) Ache a solu- ;ào particular que satisfaz a condição y = 2 quando 0 Yueres diferem Sra dy 6 y43r=0; y=Ce% rapa yncro 8 pradyroag!-3y=0; ya CÊ 4 9 om Ga m+r=O; 10 yE =x; Eseres. 11-26: Resolva a equação diferencial. NI secxdy-2yd:=0 122 dy-esciy de 13 xdy-yár=0 UU GH)d+O+d=0 15 3ds+(y+5)4=0 Exeros. mília de curvas. Descreva os gráficos. 43 Parte (a) do Exercício 41 : Ache as trajetórias ortogonais da fa- 44 Parte (3) do Exercício 42 49.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM Definição (19.1) É frequente a ocorrência do tipo de equação diferencial descrito abaixo no estudo de fenômenos físicos. " " Urma equação diferencial linear de primeiraordem é uma equação da forma 7 +P(y)y= 00) onde P e Q são funções contínuas, E + Pay =0 um fator integrante Teorema (19.2) | A equação diferen de primcica ordem y' + P(X)y | O() pode ser transformada em uma equação diferencial de H áveis multiplican | pelo fator integrante e 10) EXEMPLO 1 n a forma do Teorema (19.1), com elo Teorema (19.2), duzir um EXEMPLO 2 Resolva a equação dife: SOLUÇÃO expressar a *, obtemos Jeulo com Geometria Analítica Cop” quetema forma dadaem (19.1) com Pla) =5/: PeloTeorema(19:2), nad a SUB er bl o ef é um fator integrante. Se x > O, então W=s.sx<o, Jejº =—xº. Em qualquer caso, à multiplicação por If de ambos às membros da forma padronizada dá spesdy=-28 ae Integrando ambos osmemirosdavlima equação, temos asolução ou, equivalentemente, D,(º)) fostes +C EXEMPLO 3 Resolva a equação diferencial =secx+Ixcost vas SOLUÇÃO a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Pelo Teorema (19.2), com P(x) x estende o etobasl = [sec x] é um fator integrante. Multplicando ambos os membros da equação diferencial por Jeca e desprezando o sinal de valor absoluto, obtemos y'secx+ pseontga= secl x + Decos x sec ou D,ysecx) =sedx+ Integrando ambos os membros, obtemos & solução (implícita) yseex=tgx+2+C Finalmente, multiplicando ambos os membros da última equa- ão por lee x = cos x, obtemos a solução explícita enx+ (+) cosa i Ponto de liberação a | se | | ' Figura 19.5 cop19 Equações diferenciais 649 O fopio Equeçõee ie sá utilizamos a integração indefinida para estabelecer leis de movimento para corpos em quedaivre, admitindo que a resistência do ar pudesse ser desprezada (ver Exemplo 8 da Seção 5.1). Esta suposição é válida para pequenos objetos em movimento lento; o em muitos casos a resistência do ar deve serlevadaem ca, Esta força de ato em geral aumenta com à velocidade do objetoemqueda Noexemplo, estabeleceremos a leide movimento Sara um corpo em queda, na hipótese de a resistência do ar ser Aseamente proporcional à velocidade do corpo. EXEMPLO 4 Deixa-se cair de um balão um objeto de massa mm. Ache a distância que o objeto pescorte em «segundos, ee é força de resistência do é direzamente proporcional à velocidade do objeto. SOLUÇÃO Inscoduzamos umeixo vertical comadireção positiva parabaixo E 4 origem no ponto de liberação, conforme º Figura 195. (queremos determinar a distância s(y da origem ao objeto no instante £. A velocidade do objeto é v = sº(1) e o módulo da leração é a = dvidr = 5"(0). Seg € a constante gravitacional. e cbjeto é atraído para a terra com uma força! de magnitude mg. Por hipótese, a força de resistência do ar é ks, para uma a qune À, e esta força é diretamente oposta 28 movimento. que a fora para baixo F que atua sobre o objeto é mg como a segunda lei do movimento de Nevtana. F=ma= a, chegamos à seguinte equação diferencial dy mem ivalentemente dk, ou, equivalentemente, “a, Denotado por ca constante Kim, a equação pode escrever-se Ee dt 8 que é uma equação diferencial de primeira ordem com t como aeriável independente. Por (19:2), eSfetines é um fator integrante. Multiplicando por e! ambos os membros da equação, obtemos ab 4 cety = ge! a cd = ge 19.3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM A definição seguinte é uma generatiza o de (19.1) Definição (19.3) | Uma equação diferencial linear de ordem né usa equação da forma onde f, fo, -., f, é k são funções de uma v. mesmo domínio. Se k(y | homogênea Se Hx) x | não-homogênea de (19.3). Restringi rdem em que f, ef, Teorema (19.4) CS) + Cota) é uma solução, para todos os reais Ce DEMONSTRAÇÃO Como f (x) e g() são soluções de y”" + by" + qr =0, ++ ()=0 (0) +cg(z)= 0 +elG fo) + Cel] =0 ANE ao (ed + (oO =f()ey=g(2) são soluções de y"! + by! + cy = siável, com o | O para todo x, a equáção é algum à eqvião dede | O, então Definição (19.5) Teorema (19.6) Pode-se mostrar que, seas soluções fe g do Teorema (19.4) gozam da propriedade que f(x) x Cg(x) para todo real C g(x) não éidenti ão geral da equaç +0y=0. Assim, para determinar a Solução geral, basta achar duas tais funções fe g e aplicar (19.4), Em nossa pesquisa de uma s utilizaremos y = e”* como solução. "= mers seguesequey=e "té Pebyrg=0, 0)! ame"! e me + bmers ou, como e ** x 0, se e somente se m+b A última equação é de grande soluções de y"”+ by" + ân a ma pesquisa de nome especial. equação auxiliar da equação dif 4 Oémttbm+c=0. = Oe tem ão auxiliar substituindo, porm ey por 1. Como à a tem duas raízes reais dis ou duas raízes 1 duas raízes comp das. O próximo teorema é uma consegãé após a prova do Teorema (19.4). [ | Se as raízes m, m, da equ são reais é distintas, | então a solução geral de y”" + by" + cy =0€ | =C, PE de EXEMPLO 1 Resolva a equação diferencial y SOLUÇÃO q A equação auxiliar é m? - 3m (im = Sm + 2) =0. Como as raizes m e distintas, segue-se, do Teorema (1 Clculo com Geomerria Teorema (19.7) E doa meti a solução | Se à equação auxiliar tem a raiz dupla m, então à solução | DEMONSTRAÇÃO Pela fórmula quadrática, as raízes de nº + bm + € E 0 são m = (cb a vb, — 402 Seby-4c=0, então m é uma raiz. ciupla e obtemos m = b/2, ou 2m + b = 0. Conor satisfaz a equação auxiliar, y = e" é solução da equação diferencial. De o coma observação que segue a demonstração do Teose ça (19.4), basta mostrar que es também é solução. Substituin- do y por xe” na equação” + by" + ey= O,oblemos (mes 4 mixer) + bqmeere + en)+ ext = (mi 4 bm + x QD =0xe+08"=0 como queríamos demonstrar. EXEMPLO 2 Resolva a equação diferencialy”—6y' + 9y=0 SOLUÇÃO A equação auxiliar m?-6m +9=0 ou, equivalentemente, (em — 3)? 0, tem uma raiz dupla 3. Logo, pelo Teorema (19.7), a solução geral é y=C t+ Caet= AC +CA) Podemos também considerar 3 equação diferencial de segunda ordem da forma atá by =0 com a» 1. É possível obtermos à forma indicada nos Teoremas (19.6) e (19.7) dividindo ambos os membros pora entretanto, é mais simples utilizar a equação auxiliar amê+bm+c=0 éonformê ilustrado no exemplo a seguir EXEMPLO 3 Resolva a equação diferencial 6" =" +2w = 0. Funções dez =a + bi (19.8) Cop 19 Equações diferencicis 657 SOLUÇÃO A equação auxiliar é mê — Im + 2= 0 ou, equivalentemente, (em — 1XBm — 2) = 0. Logo as raízes sãom, = Sem = 5 Pelo Teorema (19.6) à solução geral da equação dada é y=€, Tm AA Ce ta Resta considerarmos o caso final em que as raízes da equação auxiliarm?+ bm+c=0dey” + by' + cy=0são números complexos da forma onde s et são números reais e É =— 1. Podemos antecipar, pelo Teotema (19.6), que a solução geral da equação diferencial é cute + Cloe Para definir expoentes complexos, devemos estender al- guns conceitos do cálculo de modo à abranger funções cujos domínios incluam números complexos. Como um desenvolvi- to completo exige métodos avançados, limitarnos-emos às idéias básicas. : Na Seção 11.8 vimos como certas funções podem ser representadas por séries de potências. Podemos facilmente es- endar as definições e teoremas do Capítulo LL às séries infinitas. que envolvem números complexos. Como isto é válido, utiliza- des as representações (11.45) em séries de potências para definir €, sen 2 e cos z para todo número complexo z, como à seguir. WQe-t+z+ au Z ACT Ren | Fórmula de Euler (19.9) Aplicando ag resultado seguinte, designado em homenagem ao matei suiço Leonhard Euler (1707-1783). [ se 2 €umnómero complexo, | diloass+isaa E] As leis dos expoentes são válidas para os números complexos. Jém disco, as fórmulas para derivadas podem ser estendidas a funções de uma variável complex: onde z é um número complexo. Se a equação auxiliar de 3º + by" 4 cy = Otemreizes complexas ti então a solução peral desta equação pode ser escrita nas seguintes formas equivalentes: Por exemplo, D et « ke“, ye Cesta Ce ye Cen ss Comi «CEC! (CET + Ce Podemos simplificar ainda mais aplicando a fórmula de Especialmente, por (19.9), ESucos e +isenm e e ucoste-isente donde decorre que é cos tr = É Fazendo C, = C, = ! no que precede e aplicando então à fórmula de cos 2x, obtemos « Les(2 cos &) = e! cos & Teorema (19.10) EXERCÍCIOS 19.3 = Copl9 Equações diferenciais 659 ;* cos bx é uma solução particulas de y”” + by" + Fazendo C, ==, = 2 somos conduzidos à solução particular yo sn m Sto constitui uma demonstração parcial do | Sea equação auxiliar m? + bm + c = O tem raízes complexas | conjugadas sx 1, então a solução geral de” + ly" + cy =0 é |” y=es(C coste+Cysen ne) EXEMPLO 4 Resolva a equação diferencial y SOLUÇÃO As raízes da equação ausil 107" 44170. mê -10m +41 =0são 20 + (00 = 16% | 10 = Si m Aplicando o Teorema (19.10), obtemos à solução geral da equação diferencial: ESC, cos dx + C, sen dx) 9 yreavip ao 118" +2y-15=0 Resolva a equação diferencial re 648 ay" +20 +259=0 Pesyay=0 Exeres, 23-30: Ache a solução particular da equação isfaça as condições indicadas. y=0ey'=2quandox = 0 -4y+447=0 -w'-3=0 lo com Geometria Analítica Cap. 19 Enunciamos sem demonstração três regras para achar uma solução-tentativa de uma equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. (Ver textos sobre equações diferenciais para uma abordagem mais extensa. deste tópico.) Teorema sobre soluções aby + “ en não É raiz da equação aux particulares (19.14) xiste uma solução particular daforma. ou) conâmerycoraplexo + inãoé solução da equação aliar mit 4 bm s/e = 0, então existe uma solução particular da forma Ae coste+ Be sente" o - A parte () do Teorema (19.4) já fi aplicada na resolução do Exemplo 3. Nos exemplos a seguir ilustramos as partes (i) e (ii EXEMPLO 4 Resolvay”! -3y'-18y=xet. SOLUÇÃO Como a equação auxiliar mê — 3m— 18 = O tem as raízes 6 e=— segue-se, da seção precedente, que a solução geral de '" = 3 -18y=0é Cerco” Como 4 não é raiz da equação auxiliar, vemos, pelo Teorema (19.14), que existe uma solução particular da forma p= (44 Bet Diferenciando duas vezes, temos p= (MA + 4Bx + Bet ne (164 + 168 + 8BJe“ A substituição na equação diferencial dada conduz à (164 + 16Bx+ BB)" 344 + ABr + BISA + Bee Cap.19 Equações diferenciuis 665 que se reduza —144+5B-14Bx=x Assim, y, é uma solução, desde que -144458=0 e -I4B=1 assim,B « -GeA = — É: Conseqiientemente, seca cid = = (6 + 1éxjet Aplicando o Teorema (19.12), obtemos a solução geral y=GE+C, ee (5 + Léo EXEMPLO 5 Resolva a equação y" — 10y' + 41y=sen x SOLUÇÃO No Exemplo 4 da seção precedente obtivemos à solução geral ye= AC, cos dx + Co senda) a equação complementar. De acordo com o Teorema (19.14) coms=0 e t= 1, procuramos uma solução particular da forma y,=4 cosx+Bsenx Como A cosx—Bse »p=-A senx+Beosx ey, a substituição na equação precedente dá = A cosx- B sen x + 104 sen x— 108 cos x + 514 cos x +41Bsenx=senx que pode escrever-se como (404 — 108) cosx + (LOM + 408) sen. Consequentemente, y, é uma solução, desde que qt A q e 104+408 404 108 = Asolução deste sistema de equações é A = meB= gp centão, 1 a 1 Ed 1 cos x + dg sen x = qo(cos à 4 sen x) 6tó Cálculo com Geometria Analítica Cap. 19 Assim, à solução geral é y = eS(C, cos 4x + C, sen 4x) + ils (cosx + 4 sen x) EXERCÍCIOS 19.4 ção diferencial pelo o dos parêmeiros Exercs, 1-10: Resolva a eq método da vais 1 20: Prove a identidade, se L € 0 operador peas (19:11) e, 3, & São funções de. Gy) =L0) Eseres. 21-22: A solução de uma equação diferenc da forma"! = f (1,9) com cos 19 HC) =CLG) 20 LG emma p ema = h pode ser aproxi por meio da fórmula y, 2, «o n= 1, onde fls) para k = 0,1, 2, h=(b-a)/nex mas kh Se h-0, então y, é uma aproxim jo de y em x = x,. Use esta fórmula com ne Sea = Oparaaproxi As vibrações nos sistemas mecânicos são causadas por forças A corda de um violino vibra quando tocada, uma viga de aço vibra quando atingida por um martelo e uma ponte vibra se uma banda a atravessa em passo cadenciado, Nesta seção utilizaremos equações diferenciais para analisar vibrações que podem ocorrer em uma mola. extemas. De acorco com a lei de Hooke, a força neces: distender uma mola de y unidades além de seu compr natural é f9, onde k é um número real positivo chamado cons- tante da mola. A força restauradora da mola é - ky. Suponha- mos que, com um peso IW anexo, uma mola, em posição de forio, sofra uma distensão de uma distância /, além de seu imento natural 4, conforme ilustrado na Figura 19.7. Se & é uma constante gravitacional e vm É à massa do peso, então Figura 19.7 w de equiliori mg e, na posi ou mg Figura 19.8 Vibração livre, não-amortecida (19.15) 19 Eq es diferenciais 667 Suponha que o peso seja puxado para baixo e liberado. Consideremos a reta coordenada com origem na posição de equilíbrio e a direção positiva para baixo, conforme Figura 19.8, onde y é a coordenada do centro de massa do peso após 1 os. A força F que atua Jobr do sua acelera- é a é dada pela segunda 1 to de Newton na, Admitindo o movimento não-amortecido — isto é, não etardadora externa —e que o pesose mova em um meio sem atrito, vemos que embros desta equação somos EXEMPLO 1 Se um peso de massa m est mostre que o movimento é harmônico simples. Ache o desloca. mento se 0 peso da Figura 19.8 é puxado de uma dist para baixo e em se; SOLUÇÃO Denotando kfm por 3), pod Assoluções da equação auxiliar m +! = Osão «ti Logo, pelo Teorema (19.10), a solução geral é $ Ccos t+ C, sen tr se que o peso está em movimentoha: fcio 26 da Seção 4.7). aico simples (ver o é puxado a distância 1, e liberado com velocidade zero, então, em (= 0, cq+cs ou ra 19.9 Movimento harmônico dy Com 4. Jomo E WC, sen qt + WC; cos ct, temos também (em += 0) 0=aC()+ucÃ) ou CG Logo, o deslocamento y do peso no instante r é y=Lcoswt Este tipo de movimento já foi estudado no texto (ver Exemplo 3 da Seção 4.7). A amplitude (deslocamento máximo) é L, é o período (tempo de uma vibração comple- ta) 627/00 = 2x Vm7E. A Figura 19.9 éum gráfico típico deste tipo de movimento. To EXEMPLO 2 Um peso de 8 Newtons faz com que uma mola se distenda 2 dm além de seu comprimento natural. O peso é então puxado mais 0,5 dm para baixo e liberado com uma velocidade inicial (para cima) de 6 dim/seg, Ache uma fórmula para o deslocamento do peso em um instante arbitrário £. SOLUÇÃO Pela lei de Hooke, 8 , ou k= 40. Se y é o deslocame do peso a partir de sua posição de equilfrio no instante iventão, de acordo com (19.15), Como W = mg, segue-se quem = W/g = sa; = 05815. Logo dy, 40 ar 0815 0 ” 0 =» TE +49,08y=0 “Tal como na solução do Exemplo 1, a solução geral é y=C, cos 40+C; sen 401 Em t= 0 temos y = 0,05, e, portanto, c,=0,05 Como É = —40C, sen 40 + 40C, cos 40 de 1 : e dyldt= 0,6 em t= O, obtemos K Cop.19 Equações diferenciais 669 É. 0015 Logo, o deslocamento no instante (é dado por y= 0,05 cos 40t- 0,015 sen 40% Consideremos em seguida o movimento de uma mola em presença de uma força amortecedora (ou força de atrito) como caso em que o peso se move em um fluido (ver Figura 19.10) A situação de um amortecedor de automóvel é uma boa ilustca- ão. Admitiremos que a direção da força amontecedora seja posta à do movimento e que a força seja ditetamente propor cional à velocidade do peso. Assim a força amortecedora écada por — c(áyfdo) para uma constante positiva c. De acordo com à egunda lei de Newton, à equação diferencial que descreve o movimento é Figura 19.10 Força amortecedora. 4 & ma = —ky ck ividindo por m e reagrupando os termos, obtemos a seguinte equação diferencial: vibração livre, amortecida (19.16) EXEMPLO 3 Discuta o movimento de um peso de massa m emvibração livre, amortecida. SOLUÇÃO Tal como no Exemplo 1, seja km = 0º, Para simplificar asraízes ga equação auxiliar, fazemos também cl = 2. Com esta notação, podemos escrever (19.16) como d dê cw ruy=o As raízes da equação auxiliar m?+ 2pm + w?= O são =2p + Vá - to . 2 --paYp Astrês possibilidades seguintes paras raízes correspondem aos três tipos de movimento do peso: =0,0up?-w?<0 pP-ut>0,9 ce. Pode-se mostrar que, sen é 1 a» (Int) pode sei também diretam: entretanto, é ilustrar as soluçõe: is simples. Em Ajustamos em s apareça x” em | qua 1 ficientes, vemos que (n + 2x + 1 2 3 ade) + VIR dy = 0 4 yesgpees 19.7 EXERCÍCIOS DE REVISÃO 6 (yeBdreydr=o 4 culo com Geometria An Copo O Qessy=cos 14y"+7-6=0 sra tg=0 16y!=6"+259=0 18 Dim + sx 2 y'-y'-6y nytsay=0 da pÕ=0 Baer iyder VIDE dy a se y de tosa m-0 et de-csexdy=O cotr dy= (= cosa) de 30 y" + 10º +25 yayeer=tgr 34y"-y'-20y=26* a população de pássaros de uma ilha experimenta “crescimento sazonal descrito por dy/dt= (3 sen >), onde ré o tempo em anoset=0O corresponde «o começo da primavera. À migração para dentro é para foca da ilha também é sazonal. À taxa de “sigração é dada por M() =2.000 sen 2x pássaros. por ano. Logo, à equação diferencial completa para a população é = (3 sen 2x0)y + 2,000 sen Zu de Resolva-a em relação a y, se em 1=O a população é 500. Determine a população máxima. Uma jarra contém 10 roles de gás À e, quando aquecida, a velocidade das moléculas de gás au- sentam, formando-se um segundo gás B. Quando uas moléculas de gás colidem, formam-se duas Moléculas de gás B. À taxa dyldr à qual se forma O gás B é proporcional a (10 —)) o número de pares de moléculas de gás A. Estabeleça uma fórmula para y, se y = 2 moles após 30 segundos. yay=dcosz 37 Em química, usa-se à notação À + B == Y para denotar à produção de uma substância Y em con- seqiiência da interação de duas substâncias Ac Sejam « e b as quantidades iniciais de 4 e É, respectivamente, Se, no instante 4, a concentração de Y é y = / (9), então as concentrações de A « E são a -f(0 e b- (0) respectivamente. Se a taxa à qual ocore a produção de Y é dada por dy/dt = ka - Mb = 3) para uma constante positiva k, e se 510) = 0, determine f (9). 38 Seja y = f (0) a população, no instante 4 de uma coleção tal como insetos ou bactéria. Se ataxa de csescimento dyldt é proporcional a y — isto é, se ide = cy, c constante positiva - então f(9 = f(0)e (ver teorema 7.33). Na maioria dos Casos a taxa de crescimento depende de recursos “isponfveis, como suprimento de alimentos e, à medida que t se torna grande, f (1) começa à decrescer. Para descrever este tipo de variação populacional, costuma-se usar a equação da le? logística do crescimento dyidt = Xe — by), com € é b constantes positivas. (3) SerO) (0) Ache lim fd) determine (9) (0) Mostre que / (0) é crescente se f (0) <clb) e decrescente se f (9) > cl). (8) Estoce um gráfico típico de f. (Um gráfico deste tipo é chamado curva logística.) 49 Use uma equação diferencial para descrever todas as funções tais que à tangente em um ponto arbi- trário P(x, y) do gráfico seja perpendicular ao seg” mento de reta que une P à origem. Qual é o gráfico e uma solução típica da equação diferencial? 40 A equação diferencial seguinte ocorre no estudo al eletrostático em regiões esféricas: Determine a solução V(O) que satisfaça as condi- ções iniciais V(al2) = O e V(a/4) = Vo APÊNDICE MAKRON Books [INDUÇÃO MATEMÁTICA O método de prova conhecido como indução matemática pode ser usado para mostrar que certas afirmações ou fórmulas são Vesdadeiras para todos os números inteiros positivos. Por exemplo, se n é um número inteito positivo, denotemos por P, à afirmação (of =ey onde xe y são números reais. Assim, P, representa à afirmação (9)! my! P, denota (19 = 2, P; É (9) ma ee É tíail morar que P pP, é P, são afirmações verdadeiras + Mas, como o conjunto de números inteiros positivos é infinito, toma-se impossível Verificar a validade de P, para todos os números inteiros positivos A prova de que P, é verdadeira requer o princípio seguinte. — | Se a cada inteiro positivo 1 está associada uma afirmação em E rem Princípio da indução | matemática P então todas as afirmações P, ão verdadeiras, desde que | sejam satisfeitas as duas condições seguintes: (7 P, é verdadeira Do: Se'P, é verdadeira para k inteiro positivo, | P, ., também é verdadeira. Pasa compreender melhor este princípio, consideremos uma coleção de afirmações PRB, Epa P, que satisfazem as condições (1) e (i). Por (9 P, é verdadeira Pos (i), sempre que uma afirmação P, é verdadeira, a próxima afirmação P, , também é verdadeira. Como P, é verdadeira, P,tambémo é por (. Mas, se P, é verdadeira, então, por qi) vemos que também o será a próxima afirmação Py. Muis uma 67 vez, se P, é verdadei de-se argúis qu ra, pois pod ntão Pt maneira, sen P,éverd atingindo eventualmente P, certamente a torna plausível. O pr avançada por meio de po Ao aplicar o pr seguimos os dois passos a Passo 1 Most Passo2 SuporP, sa ré É desnec de P, pá cesso dos dois passos que Passo 1 Fazendo Nossa objetivo é 142+3+ Pela hipótese de soma dos k prim la para as rmula para à à possa ser i res de 1, co s O número dos k + 1 primeiros (k + 1)a cada ui n=lemP é verdadeira (+ D= indução, já temos uma inteiros positivos. Lo dos membros da hipó +ke(p+ = Kk+1) ais isto é , Calao com GeomériaAnlca Apto Como lim f(x) = L e lim g(2) = M, os números 6x) = L| e Ii) -M| podem tornar-se arbitrariamente pequenos escolhendo-se x suficientemente próximo de a. Em particular, eles podem tornar-se menores do que e Assim, existem 6, > O e 5, > O tais que seo<|-al<ô, então |f(a) -L|<e2 e (4) SeO<ft-al<ô, então |g() -M|< e. Denotando por à o menor dos dois números à, e À,, então, sempre que 0 <Jt=a| <ô, as desigualdades em (4) envolvendo f(t) é gla) são ambas verdadeiras. Consequentemente, se O<ft-al < à, então por (4) e (3), [69 + gl) =(L+M<e2+e2=e2 que é a afirmação (1). (i) Mostremos primeiro que, se k é uma função e (6) Selim Atx) = O, então lim f(x)M2)=0. Como lim, ., (2) =L, segue-se da definição (2.4) (com €= 1) que existe um 6, > 0 tal que se O <|s- a] <, então [fx) -L|<1 e daí também Ueal= fc) =L + Lls|ft) 24 ie 1+ Consegiientemente, (6) Sed<|t-a|<ô, então |f(x) ko] <(L+ ED Como lim K69) = 0, para todo e > O, existe um ô, > O tal que 7 " ão |k(x) - 0] < E. (M se0<k-al<ô, então 6) -0 epi Denotando por o menor dos números ô, e Ô, então, sempre que 0 <Jx- al <ô, ambas as desigualdades (6) e (7) são verdadeiras e, consequentemente, Ele + DT Portanto, seo<|t-al<8, então Vl) k()-0<e, o que prova (5). Apêndice 685 SE Consideremos em seguida a identidade Fl) LM = FNE) MJ + MUS = LI. Como lim[g()-M]=0, segue-se de (5), com Ha) = 86) >M, que lim f()LgC) -M] = O. Além disso, dim M6) =1]=0 e então, por (8), lim [f6) gls) -LM] “0. A última afirmação é equivalente alim Sgt) = LM. (8) Basta mostrar que lim 1/g(%) = 1/M, porque, feito isto, o resultado desejado pode ser obtido aplicando-se (ii) ao produto f(x) - 1/g(x). Consideremos Como lim g(:)=M, existe um 8,>0 tal que se O<fe- a] <8, então 86%) - MI < |MZ. Consequentemen- te, para todos esses x, p= gt) + 04-56 =|) |+1M-g6)] «Ig +|M|2 e, portanto, tm] “E etstal.os aj Levando na equação (9) obtemos E Bo) M Novamente, como lim, 00) 2 «arg Isto) =M deste que O ck cal cê, ea 80) = M, segue-se que para todo €>0, existe um 8,>0 tal que (1) Seo<[e-a|<ô,, então It) - ne É Denotando por à o menor dos números 8, € d então ambas as desigualdades (10) e (11) são verdadeiras. Assim, seo<|x-a|<b,.e EA es BM o que significa que lim 1/g(x) = LM. Teorema (2.13) DEMONSTRAÇÃO Sejam a > O e numir todo €>0, existe um 8 > O tal que seO<|x-a]<ô, en ou, equivalentemente, (1) Se-dex-acdex=a entio-e< Ve- Va <e Basta provar (1) see < Va, então o mesmo Ô pode s: post abaixo: Va -e<Vz<Va +e (a -exeWarer (a-e-a<x-a<Wa+er também O é a primeira - upon ar. Neste caso, - a e V=3 são positivos e, iração, podemos Assim, para todo € > ( “Teorema do sanduíche” (2.15) Teorema (2.18) ou, equis se Oelx-al<ô, enio|VE-Va|<e ualdades implicam lim Vz = Va. | Seja f(x) = (3) < g(%) para todo x em um intery contendo à, exceto possivelme: à o próprio a — o aberto ] | | | Setim f()=L= lim g(x), então lim AG) DEMONSTRAÇÃO a todo e > O existem um 5, > 0 e 5,>0 tais que se0ejx-a|< bento fla) -Li<e, a) segejx-a|<ben og) -L<e que D<jx-a|<ô, a envolvem « são verdadeiras; isto é, ce<flm)-L<ec -exgi) temente, se 0<|x-a|<6, en y L-e<ft) e (1) <L + e, Como f(x) s ha) = gta), se O<|x-a|<5, ex L-e<ha)<L+eou,eq queríamos provar Se k é um número racional positivo e c é um número rea arbitrário, então | deste que x DEMONSTRAÇÃO Para aplicar (2.16) na demonstração de que lim (cx!) =, devemos mostrar que, para todo e > 0, existe um número positivo N tal q) uto com Geometria Analítico rio Analítica Apêndice oma (2.24) ns) ad E = o IO10 pre b-8, Figura 3 Apêndi Se cm 0, qualquer N> O serve. Se c = 0, as quatro desigualdades seguintes são equivalentes para x > O: geo Bo banto ll cof A última desigualdade nos dá uma chave para à escolha de N. Fazendo N = ([c|[e)'!, vemos que, sempre que x>N, a quarta (e, assim, a primeira) desigualdade é verdadeira, que é o que quertamos mostrar. Demonstra-se de maneira análoga a segunda parte do teorema. ———————— Se lim g(9) = b e se f é contínua em b, então di, fgt) = 16) M E 69) LU E DEMONSTRAÇÃO A função composta f(g(x)) pode ser representada geometrica- mente por meio de três retas reais [,1'e 1”, conforme Figura 2 A cada coordenada — x na reta | corresponde à coordenada gx) em E e, por sua vez, f(g(2)) em !”. Queremos provar que fte(a)) tem o limite f(b) quando x tende para c. Em termos da Definição (2.4), devemos mostrar que, para todo e > 0, existe um 50, tal que (1) se0<|x-c|<8, então | (ga) |- fl) <e Comecemos considerando o intervalo (f(b) - e, f(b) + e)em exibido na Figura 3. Como f é contínua em by lira f(2) = /(b) e então, conforme ilustrado na figura, existe um p número ô, > O tal que (3) selz-b|>ô, emão | fio)- Sb) Ie. 580 bes Figura 4 -— “Teorema (3.143) Teorema (5.165 Em paicula, fazendo z = g(t) em (2), segue-se que (6) selgo)-b]<5, então | Sgt) - fbl<e Era seguida, voltando nossa atenção para o intervalo (b-5,b+8) em ! é usando à definição de lim g()=b, chegamos ao fato ilustrado na Figura 4 — que existe um d>0 tal que (4 sed<|x-cl<ô então |g6)-bI< Finalmente, combinando (4) e (3), vemos que se Ocjx-c|<ôento| figtu)-fb)I<e, que é a conclusão (1) desejada. o — Se n é um inteiro positivo e f(x) = x!”, então | | pose bas | DEMONSTRAÇÃO Pela Definição (3.5) f6)= 4= Consideremos a identidade ota (u 0) (tuo ue A Vc) Se u =, então pr ER Fazendo um (t+h)'" é v=x!", obtemos ee ato (e+i)=x 1 Trees e RT Fazendo h — 0, temos 1 E ai + 1 Lam -arusra Denotemos uma partição de [a, c) por P,, de [c, b [a, b) por P. Denc arbitrárias assoc que para então |R, (1, +1)]|<e Teorema (5. +R)-(I,+ 2, +R)-( +19] (isto com Geomena Aneica. Ante -orema (7.6) Segue-se que R, <1- (1/2) = 1/2 < O, uma contradição. Ponta to, à suposição | < O é falsa e, então, 1=0. contínua e crescente em [a, b), então f tem uma wa e crescente em DEMONSTRAÇÃO Se f é crescente, então f é um-a-um e, então, f”! existo. Pee provar que f”! é crescente, devemos mostar que sem; <w 6 La), f(b)), então fm) «< fm) em [a, b). Daremos uma prova indireta deste fato. Suponhamos fu) sf). Como f é crescente, seguesse que (97) = SU“) ex então, w, < wy O que é uma contradição. Consegientemente, Fm) <fr it Provamos em seguida que f-! é contínua em Uta), f(b)] Lembremos que y = f(x) se e somente se x = 430). Em parti- cular, se y, está em um intervalo aberto (f(a), f(b)), denotemos porx, o número no intervalo (a,b) tal que yo = flxgh OM equivalentemente, x, = f” 0). Queremos mostrar que [o tim 110) = 50) =x, a, A Figura 5 exibe uma representação geométrica de f e de sua inversa f”!. O domínio (a, b] de f é representado por pontos deixasse o domínio La), f(b)] de £"?, por pontos no eixo y Figura 9 web TO 6) Po Figura 6 Teorema (17.35) si mereça Apêndice 697 As setas de um eixo para o outro representam valores funcionais, Pata provar (1), consideremos um intervalo asbitrário (ms exç+o) pura 50. Basta achar um intervalo (o,= 8,34 + 8), do tipo esboçado na Figura 6, tal que, quando está em (= 8,3% + 8) 110) está em (x, - é, x, + €). Podemos admitir que, — é € x, + € estejam em [a, b]. Conforme a Figura 7, sejam 8, = yy= Sto 6) é 8y= [06,4 0) Jo Como f define uma correspondência um-a-um entre os números nos intervalos (8, 6,244 6) é 09-8,3%+ 84) 08 valores funcionais de $ que corespondem à números em (y,- 8,+3o + 89) devem estar em (%,- 6,2, + 6): Denotemos por 8 o menor dos números 6,e 8, Segue-se que, se y está em O, 8,3p+ 8), então 6) está em (x, - 6,2, + €) que É o que queríamos provar. 1 1 10 sra * Tarot * iobp—d— es 16) Figura 7 A continuidade nos pontos extremos f(a) e f(b) do domínio de f-! pode ser provada de maneira análoga, utilizando-se limites laterais. Se x=flu,v),y=8(4,v) é uma transformação de coordenadas, então A tsapde dy = f] FE t ) G du d A medida que (uv) percorre a fronteira K de S uma vez no sentido positivo, o ponto correspondente (x, y) percorre & fronteira CdeR uma vez, seja no sentido positivo (quando é escolhido o sinal “mais"), seja no sentido negativo (quando é escolhido o sinal “menos"). hipóteses sobre a transformação, as equ a curva C no plano ay são mésricas pai 2) = fica) = SONO, (0) astsb. Poder em (1) por meio de sub Para simplificar a Ho) = GUAM curva K no pleno-o. Assi Por simplicidade, us v)). Para a escoli fm due Ndo com nc E Aplicando o teorema de G: M dus Nde Lev a Definição (17.34) do Jacobisno, temos do [iG to) Combinando esta fórmula com (1) e (3). obtemos o resultado do em conta o fato de que 56; Pudu+ dese HI TABELAS ções Trigonométri 100 | 151 | SO rogo | 15 so 0599 | 153% ss 049 | 1518 s7 ossos | 1,50 6 s 008 87 | 11.450 | 0996 ss 6 ouos | 0105 | 9814 | 0995 | 1465 sa 1 02 sis | os | 189 $ 0139 mis | osso 1a no Nica +Stojus há Formas que envolvem a + bu “7 pude atesta cemmla tha +o ss [Ee Att aeb na 16 A s fato tulit|re o fo este | sc 1 st o+pglnlasbu|+C 8 s udu (2 a ss [tdi 2 (pu -20) Var bar o ideia 1ê du Es Ê - sabuyfa eba + so iii o 6 +38? » du 1 Seta s [oft=tn +C, se a>0 1 femea Neta Peg VEL +, se a<0 E im [Sette 26eel att b s 2 E 2 Tor buf?-na grid] sl +bu) j F Narbu 2na +) bQn+)) Nou (nu Apêndice 705 e lu cenuque-s corn em eosnan-in Eotuuve (ujBouowenpese —s u [zen + 1ên]+C Te 101 Sus pps s+41 re n.+€ rRRRR Cslcuto com Geometria umas hiperbólicas. [senhu du=coshu+C vs eoshu cu senhu + C fighudu=Incoshu st C 106 ou du= a] sent 7 fehudo= os fescha duma lghgul+€ mm fsestungtude comu du =-esehu+C Formas que envolve RESPOSTAS DOS o EXERCÍCIOS DE NÚMERO ÍMPAR Não são dadas as respostas de exercícios que exigem 47 (0) A segiência parece con demonstrações longas. aproximadamente. “9 ()x=3 55x, = 3178571429, = 3162319422, CAPÍTULO 11 +” > si (a)B 4 (110 EXERCÍCIOS 1141 EXERCÍCIOS 11.2 1 3 055 16º 717" 26" 737 43 1,15 1,01, 1,001; 0001/54 ; NE nco na 16181 2 355 up seo ED ND 9 Ce aco a DDD 4% nal sp ne o of ses aco aLGO 7 3 43 (8) 10,000 em 45.000 em B; 20.000 em C AS (a) A sequência parece convergir para 1 51 S= 4,06 (3) Use a indução matemática; 1 x, = 3162277661, 3, = 3162277660 3 a 7 m mn +1 5 ()-nZ= nd ns (ln(r+D) ni Bene 290 ND ecessário investigação adicional 49 (6) 021037; 0226720; 026940 (990265 53 Não prove; faça a, = Ley 33 (Use (a =x 12 1 + Le uma fórmula 23 (a) Usei — x) 2 t 9 V- 1,0); F2,0k 1 do ângulo metade 11.11 EXERCÍCIOS DE REVISÃO CAPÍTULO 12 . E . sp ses 10 o a N ud DD asa , : E 9D ZAC 3 ce EXERCÍCIOS 12.1 nc ne a ce 35 € 39 0.158 Exeres 0,5x10 150508 170158 19 0,296 non s7 0,189 61 incosx=ta[ Na 2 (a)p= lah Clculo com Geometrio Analítica Fupé=1500-3) voe gres Om 19 (+2,280,-03) 1 1 EXERCÍCIOS 12.2 1 Vc 3,0 Fe V5,0) 3 MO,= 4) F(0,+2v3) ty f v(ebo (cama) p : os ' 9 V4,2 3,2) uW-3,=4, 1) F(4,2V5,2) F-3=V7,1) ay v ai Co t ne 13 V5,2=5); F(5,2=V2]) y 25275m VE qavmE-mE 33 Sx-6y=-28;60+5y=3 as (a) (e 1,540;0,618) 37 864 41509 x 10 km? * com Respostas dos exercícios de número impor 717 15 U-2,-5=3); F(-2,-5=345) 3 v-5+25, 1; e(rs=ivmsa) sa ef, v5 (6409-218) — fia = As (2107-498) ] ] de EXERCÍCIOS 12.3 1 Ve 3,0); Fte vT3,0) 3 MO, 3) F(0,=13) Ê 1 (6,252) F(6,2=2VI0) ay 1 sj . ES g 1 ! 29 Os gráficos têm as mesmas assíntotas. 1 t 4 31 Comum sistema coordenado como o do Exemplo 5, as coordenadas do mavio são (Som. 100) = (155,5; 100). - I e 5 / E E (— na N - 3 o e 94 no AD E ZA 3 / 3V ); Fl /] Vs / ( ê N i a 69 Coordenadas polares aproximadas (1,75, = 0,85), (4,49; 1,77) e (5,7652935). É EXERCÍCIOS 13.4 a gal iai 557 (E -1)= 5 Is s2 so si 3 2 ' nº E is aponta dep? 2 o ; =dP,P)ey= 0-0, see a Substituindo na lei dos cossenos, C=al+b? 13 f, a (sec O) do + f 2ab cos , obtemos a fórmula. eg) 2 ma 18 [5 ltacor- pre 1 (8 fo Até cos 20P - 5) a 2 orgao E Lgcos oP ms) JS, q0Pd0+) q (tc0s20) e] 9 4a 192242V5-1408 0 2 AVS-S=2IA 5x 65 Use (13.10) 2 1 43 -022 7 Simetica em relação so eixo polar. x 10 25 E pntareeng q VIS = 417 nvit-e)-A 92 NE 3524 41 sab tiger arado 3942 as javi+e-363 EXERCÍCIOS 13.5 15, ape 3 3, hipérbole Respostas dos exercicios de 1192+82+129-36=0 13 80-y+36:+36=0 1542 +1x-9=0 17 32447 +8x-16=0 19 425 + 367 -36 = 0, excluído (= 3,0) 2 re - 2 de 3+e a 1-4sen8 DrcTecos 6 a 1+sen8 29-25 313 nf Dieuoa as Tal é js 39 avize an 2 (T-cosô 13.6 EXERCÍCIOS DE REVISÃO CAPÍTULO 14 EXERCÍCIOS 14.1 1v3 190 7 61,80; 19,02 (TIA AATATASAArASaanaaana a '5 Cóleulo com Geometria Analítica 15 Seae btêm a mesma direção. 7 O circulo de centro (x, 9) é rio EXERCÍCIOS 14.2 (VI QB1-1) (55 o Feb) (5 (25 3) (130) OE) (9 var (g3vT (9(2,-6,8) (90-20) (961,14) (-22,42,9) av 9 ()si-2-3k — (0)2-6-7k (9 11-28-30k (VI (6) H(aisk (i+2-k (OSs-sk (VT (o) (25,-1) 17 (0) 28-30 + 12k (= (Og (U8-15)+ 09) 19 (=P ga PA (=) age sparis(e- Pes 3vz 2 (a) (xe D+ (4) +(2+6)=36 Dre DPG + (2 + 6) (Dea H(a+6=4 16 2 as teste(s-5) + DRAG tp=1 29 (21,152 31 (40,-4)4 33 (0,-20;2 35 Todos os pontos não exteriores à esfera de raio 1 ecentro na origem. 37 Todosos pontos não exteriores a um paralelepípe- do retângulo com centro na origem e arestas de comprimentos 2, 4 e 6 na direção dos eixos x, y e 2, tespectivamente. 39 Todosos pontos não exteriores a uma região cilin- dica de raio 5 e altura 6 com centro na origem e eixo ao longo do eixo-z, 41 Todos os pontos não situados em um plano coor- denado, +m ex, 43 Sugestão: Pe EXERCÍCIOS 14.3 133 ()-12 ()-125-99 7 ao =. 11 arccos ai = 97,5 6 . recos É. 63, 13 arccos 7, = 625 15 Sugestão: Use o teorema (1421). 17 3,5 arcos sds 62" 1974 2 arcos car = 482 82 é DE 351 27-43 = 693 Nm 29 10003 = 1.732 N-m 35 (a) Sugestão: a, =avi= Jafifilicosa. 47 Quando a e b têm mesma direção ou direções opostas, EXERCÍCIOS 14.4 1 (510,5) 3 (42,1) 5 -6-8+18k 7 0:+0]+0k=0 9 0i+0)+0k=0 11 Sugestão: Use o Corolário (14.31). 1 (12,-14,24:(16,-2,-5) Exeres. 15-18: c é um escalar não nulo. 15 (9) (13,7,5) mis N7 (a) o(-10,-8,-20) (vir 1 = 506 Bs nu EXERCÍCIOS 14.5 Nas respostas supõe-se que o domínio de cada pará- metro seja R. : pacteligerema sede 3 5 meSchyecaemmentoso (a), 298) [9 (Z E (o É =) 1 x=2-8t,y=0,2=5-28;(-18,0,0), estáno planoxz (so 2 7 9 x=-6-I,y=445,2=-3495 15-73) 13 Nãoseintercepiam 15 E 150- E) ss erso? o veces 0] ) sstesso" 8 M6-acem (quis )-60 eis 0 D(dz=4 Q=6 (9y=-7 NéeSyr=- Bye 2 r+4y-Sr=8 Nx+y-d Respostas dos exercícios de número tmpar 729 29 (3) 3 000) (060) 5 (0,10,0) » =, de ds a md pi ms 73 Céleuto com Geomerria Analítica 5 EXERCÍCIOS 15.3 Havs(i-d) esa becio m O omitida gráfico é uma semi-reta com a origs ciej+ MA +) 27 16-8] + 6% O; VE 19 (6) 18.054 km Eid e (avo E) 29 ( La (9)867 min a(gosa)iege+ +(tenk AA (o) 250 91 + (gre 750 E o q) SL sosom Dre Diem-js k ” Ssrepad 37 (145) sen + (28 4 3) cos 1; fi +49) sent (150 -Peosijis (BP -2) sente (E 2) cos ij + nt+(1=P) cos dk mu viiig 250, - 19 (9)1 (6) 2 (a) 2vã = (+) TAS to) (41) (o) 5 (a)cosii-sen dk; -sen di-cos dk (o) I XERCÍCIOS 15.5 "os r+ BL cost r+ 1) 4 6 6 dA" quê a gra Bs? Do Sora tra a E! (fest +? nt Ê Ana no rats DE 2+º gaia a -6Ssentcost a BL cost A ipa” (81 senê t+ 16 cost t+ 1.296)'2, (16 senf t+ BI cos" t+ 1) (51 sentr+ 16 coste = 120612, (1ósenira SLcos t+ 17 Da + (St 40) 24 (812); 2VIT=I6e nar (gp 64340) Mx=ny=lthr=dtr 10 03 3 + 32] + 4Pk, 65 + 1228, VE; Di + 3] 4, q) + 12k,v3s E 108 Vga OS = =21,009 PEER EXU 90 —8os 2t sen 2+sem tos (scosiZr+ senti? é 2jeos 2rcos t+ 2 sen2tsen À RE a ÊVS 186 23 (Ecos! 2r+ sen? / CAPÍTULO 16 EXERCÍCIOS 16.1 1 85-2,6-4 3 [vue] 5 (into Tazhs 2w3 í + MH yargr=a nBrssyp-Z=-1 25 (a) Elipses (9) Nenhuma (9) Nenhuma 27 (a) k> 8; nenhum 0<k<8; 0 ponto (0,0, 8); os. (b) Nenhuma (e) Nenhuma 29 (8) 3 (3) a(o 35 ZS NY 37 Nenhum; a origem; a esfera de centro (0, 0,0) e raio2. so os com intros copos Pos 41 Nenhum; o eixo-z, o cilindro circular reto tendo o eixo-z como eixo e raio 2. 43 (a) círculos com centro na origem. ()2+7=100 45 Cinco; esferas com centros na origem; a força F é constante se (x, y, 2) se move ao longo de uma superfície de nível 47 (O) P=h4AP,k>0 (6) Uma curva de nível típica (ver figura) mostra as combinações de áreas e velocidades de “vento que resultam em uma potência fixa P =. (947 =36-10% 49 Exemplo: 511º e 175 lb são aproximadamente 180 cm e 80 kg. Pelo gráfico, temos uma área de aproximadamente 2,0 rm”, Usando a fórmula, ob- temos S = 1,996 mr. EXERCÍCIOS 16.2 1-5 31 50 709 Exercs, 11-20: A resposta dá equações de possíveis trajetórias, e seus valores resultantes, para usar em (164) 1 1x=0-5 p= Dem), p=02 By-2-mbe-Dãs 15y= EXERCÍCIOS 16.3 51) (1,3,) 6 Respostas dos exercícios de número impar 745 | Cálculo com Geometria Analítica e 2 4-x ff dae ff dyds=2 e é : 69 ff fear a o ff, menus ne edeey OS fmnaas Sendo ! sff aa it n-1380 | an fofo yes dy de= jsen16=-007 2a 8 LL mese 511,16 | 53075 pr - EXERCÍCIOS 17.2 g512 . 3 Llipdedo a ! 1 fo E E Uta 1 nfs, sh soda AE 60-20: = 159) dy de off senses ph “ pea) dy de ii linoaes drayed 3 Of ros te Ão, ea fode eh f seoaca Fa E A e : EXERCÍCIOS 17.4 [sds Ed, + a 33 0,42 EXERCÍCIOS 17.3 P N q JJ; J " - E siga : N : sa] a +( dx (1 a E ; e Z n2J=1 na - Ts 7 NV ! us f = SE 5 E sff (oe é p n jon 5 1 ng 23 A região delimitada pelos planos z = 0, = = 1, nz =3eos cilindros y = Vi=Z e =vITE. 25 A região sobo planoz = x + ye sobre a porção do plano-wy delimitada pela parábola y=xºe pela eta y=m 27 A região delimitada pelo parabo! pelosz=1ez=2. af Pes) dede dy 33 1,1685x 10ºkg 35 0,77 EXERCÍCIOS 17.6 3 29 Ace Ml -e?) neo mesto(VT+D-4In(VE-1)-2= 391; 6 13 (ô = densidade) (a) E mid Ojab To a (com cento fio em O) ! Í ! vel grais para MM ci, têm os mesmos limites, mas os integrandos são x(x? +27), y62+2") e 2x2 +27), respectivamente a; 1 a 7 alo para M, tem os mesmos limites, maso integrando éz.Porsimetria,X = 5 = 0. qr + = dy de das de dy de; a integral 2 tm). PA pm dy dz dx; as integrais para so Mo € M , têm 05 mesmos limites, mas os re São x,y e 2, respectivamente. (++) dy de mostar pes o o Exercs. 29-32: As respostas não são únicas. 2912 3113 EXERCÍCIOS 17.7 (a) Cilindro circular reto de raio 4 e eixo ao longo do eixo-z. (DO plano xy O plano paralelo ao plano-yx com intercepto-z -3 w Parabolóide com vértice (0, 0, 0) e abertura para cima. Cilindro circular reto com traço x? + (y = 3 no plano-y. OconeZ= 4? + 11 Esfera de centro na origem e raio 3. (x2 + y?) B de dy de Respostas dos exereteios de número impar 749 13 Cilindro comtraçoy?= 2eno plano-ay e geratrizes paralelas ao eixo-z. 1sP+7=4 17 3rcosB+rsenB-di= 12 x 19r=2 a si, "re barásárdo nf rasaraaas fg Epp “ra arddras 3 (8x efo 03) aj ntatô osies3e Lcd 5 Let 33 qr 3 gás mos E EXERCÍCIOS 17.8 1 (0)(0,2,205 5 (a) Esfera de centro O eraio 3. (b) Meio cone de vértice O e angulo no v (e) Semiplano com bordo no cixo-z e fazendo um ângulo de 5 com o plano-xz. 7 Eferade io 2e centro (0,0,2). 9 Planox=3 11 Esfera de raio 3 e centro (3,0,0) 13 Planoy=5 15 Cilindro circular teto de raio 5 e eixo 40 longo do lo com Ge o] 272 1 5 29 Ambas as integrais são iguais CAPÍTULO 19 st (0) EXERCÍCIOS 19.1 s16 7 Semé amassa do peso, então a const 1 yet+c 0) yasieo EXERCÍCIOS 19.2 eaforça amoneced “começa liberando-se m acima d it +99 EXERCÍCIOS 19.4 - is x+Cs 3 (0) y=N4 db) y="4 - a [+ TE [ = , fa Sy-at-sjra)a-3 Dy= Imçcs nyscuiya 3 xsear+cosx-Infenyj=C = ENC cos x + C, sen a) + 35 secs se r=C 1 ( e(Teosx=4 sena) My 9y=in(rrIna se | (sleulo com Geomerria analítica 19,7 EXERCÍCIOS DE REVISÃO xeosz+€!=C à rui s podeis secx+1gx enx+Ccosx 1 VIT arcsen x m ni ey=et+C “ ydrce ts 15 y=(C,+ Cat Wyscacê Di y= Cet CE AQ cosn+ nx) mn y-Letacer E ciissido se Iy-létecor ByoCE+CE TE e <P 15y- Lo, E = ary-etr enfia e cssa(i05m ) : ” qelsenx-cosa) ret = C ay Joss Cscz 23 y = inleexetaa]ix+C cscx-cotx 35 y 80 rom abfdtb=or ars 39 y dy + x dx-= 0; um círculo com centro na origem. MAKRON Books ÍNDICE ANALÍTICO A Aceleração, 309 centrípeta, 311 componente normal da, 333 componente tangencial da, 333 Ângulo, de dois vetores, 235, 333 Área como limite, 476 de uma superfície, 494 em coordenadas polares, 195 Assintota de uma hipérbole, 140 'ê Caminho, 363, 584 Campo vetorial, 560 circulação de um, 626 conservativo, 564 de forças, 560 divergência de um, 567, 620 estacionário, 560 fluxo de um, 612 irrotacional, 626 quadro inverso, 562 rotacional de ur, 626 rotação de um, 622 velocidade de um, 560 Caracol, 184 Cardióide, 184 Cauchy-Schwarz, desigualdade de, 237 Centro de curvatura, 325 Centro de massa de uma lâmina, 513 de um sólido, 507 Centróide de um sólido, S16 de uma região plana, 513. Cielóide, 167 Cilindro, 272 Cilindro eireular reto, 272 Cilindro elíptico, 273 Cilindro parabólico, 273 Cireutação, 626 Círculo de curvatura, 325 Coeficiente angular em coordenadas polares, 190 Coeficientes indeterminados, 663 Combinação linear, 220 Completude, propriedade de, 13 Componente normal da aceleração, 333 Componente tangencial da aceleração, 333 de um vetar, 579 Componentes de um vetor, 213, 220, 238, 239 Comprimento de arco, 197 “ como parâmetro, 320 Comprimento de uma curva, 176, 296 Cone, 278 Cônica(s), 111 degenerada, 11 diretriz de uma, 202 excentricidade de uma, 202 equação polar das, 204 foco de uma, 2 Coordenadas-x, 226 Derivada de uma função vetorial nula de Euler, 658 o (de com valores racionais, 290 Determinante, 244 Diagrama em árv . de uma fu Diferencial, definição, 556, 391 ' de uma fun ) Difere 3 Conv xtremos locais de uma, « 356 os de uma, 431 Cisco reserva, 203 Corvads Duplo produto vet N ( no espaço, 292 É orientação de uma, ' Extremo(s) ( a, 161, 292 de uma parcialmente suave, 166, inferi ( É ( pontos extremos de uma, 160 menor de p | simples fechada, 160 polar, 181 ( suave, 166, 293 rotação de, . translação de, transverso de uma hiper Elipse, 126 vértices de uma, 128 | de uma parád: n í do =