Metodos Basicos da Analise de Estruturas

Metodos Basicos da Analise de Estruturas

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2.1. Classificação de modelos de estruturas reticuladas

Conforme mencionado no Capítulo 1, este livro está direcionado para a análise de estruturas reticuladas, isto é, de estruturas formadas por barras. Esta seção faz uma classificação dos tipos de modelos de estruturas reticuladas de acordo com o seu arranjo espacial e de suas cargas. Também são definidos sistemas de eixos globais da estrutura e de eixos locais das barras. Para cada tipo de estrutura são caracterizados os tipos de esforços internos e as direções dos seus deslocamentos e rotações.

A Figura 2.1 mostra um exemplo de um quadro ou pórtico plano. Um quadro plano é um modelo estrutural plano de uma estrutura tridimensional. Este modelo pode corresponder a uma “fatia” da estrutura, ou pode representar uma simplificação para o comportamento tridimensional. Estruturas deste tipo estão contidas em um plano (neste livro é adotado o plano formado pelos eixos X e Y, como mostra a Figura 2.1) e as cargas também estão contidas no mesmo plano. Isso inclui forças com componentes nas direções dos eixos X e Y e momentos em torno do eixo Z (que sai do plano).

14 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha

O quadro plano da Figura 2.1 tem um solicitação externa (carregamento) composta por uma força horizontal P (na direção de X) e uma carga uniformemente distribuída vertical q (na direção de Y). Também estão indicados na figura as reações de apoio, que são compostas de forças horizontais e verticais, e por um momento em torno do eixo Z.

P qxC∆xD∆ yC∆yD∆ zCθzDθ zBθ

Figura 2.1 – Eixos globais, cargas, reações, deslocamentos e rotações de um quadro plano.

A Figura 2.1 também indica a configuração deformada da estrutura (amplificada de forma exagerada) com as componentes de deslocamentos e rotações do nós (pontos extremos das barras). A simplificação adotada para modelos estruturais de quadros planos é que não existem deslocamentos na direção transversal ao plano (direção Z) e rotações em torno de eixos do plano da estrutura. Portanto, um quadro plano apresenta somente as seguintes componentes de deslocamentos e rotação:

→x∆deslocamento na direção do eixo global X;

→y∆deslocamento na direção do eixo global Y;

→zθrotação em torno do eixo global Z.

As ligações entre as barras de um pórtico plano são consideradas perfeitas (ligações rígidas), a menos que algum tipo de liberação, tal como uma articulação, seja indicado. Isto significa que duas barras que se ligam em um nó tem deslocamentos e rotação compatíveis na ligação. Ligações rígidas caracterizam o comportamento de pórticos e provocam a deformação por flexão de suas barras.

Os esforços internos de um quadro plano também estão associados ao comportamento plano da estrutura. Neste tipo de estrutura, existem apenas três esforços internos em um barra de um pórtico plano, definidos nas direções dos eixos locais da barra, tal como indicado na Figura 2.2:

→Nesforço normal (esforço interno axial) na direção do eixo local x;

Luiz Fernando Martha – Conceitos Básicos de Análise Estrutural – 15

→=yQQesforço cortante (esforço interno transversal) na direção do eixo local y; →=zMMmomento fletor (esforço interno de flexão) em torno do eixo local z.

x y

Figura 2.2 – Eixos locais e esforços internos de uma barra de quadro plano.

Esforços internos em uma estrutura caracterizam as ligações internas de tensões, isto é, esforços internos são integrais de tensões ao longo de uma seção transversal de uma barra. Esforços internos representam o efeito de forças e momentos entre duas porções de uma estrutura reticulada resultantes de um corte em uma seção transversal. Os esforços internos correspondentes de cada lado da seção seccionada são iguais e contrários, pois correspondem uma ação e a reação correspondente. A relação entre tensões e esforços internos vai ser discutida no Capítulo 3.

Uma treliça é uma estrutura reticulada que tem todas as ligações entre barras articuladas (as barras podem girar independentemente nas ligações). A Figura 2.3 mostra uma treliça plana com suas cargas e reações. Na análise de uma treliça as cargas atuantes são transferidas para os seus nós. A conseqüência disso, em conjunto com a hipótese de ligações articuladas, é que uma treliça apresenta apenas esforços internos axiais (esforços normais de tração ou compressão).

Figura 2.3 – Eixos globais, cargas, reações e esforço interno normal de uma treliça plana.

Muitas vezes, a hipótese de ligações articuladas é uma simplificação para o comportamento de uma treliça, pois muitas vezes não existem articulações nos nós. Esta

16 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha simplificação se justifica, principalmente, quando os eixos das barras concorrem praticamente em um único ponto em cada ligação. Nesse caso, o comportamento da estrutura de dá fundamentalmente a esforços internos axiais (esforços cortantes e momentos fletores são pequenos na presença de esforços normais).

Um outro tipo de estrutura reticulada é a grelha. Grelhas são estruturas planas com cargas na direção perpendicular ao plano, incluindo momentos em torno de eixos do plano. A Figura 2.4 mostra uma grelha com uma carga uniformemente distribuída transversal ao seu plano. Neste livro é adotado que o plano da grelha é formado pelos eixos X e Y. Os apoios de uma grelha apresentam apenas uma componente de força, que é na direção vertical Z, e duas componentes de momento.

VB q z∆ xAM yAM xθyθ Figura 2.4 – Eixos globais, cargas, reações, deslocamentos e rotações de uma grelha.

Por hipótese, uma grelha não apresenta deslocamentos dentro do seu plano. A Figura 2.4 indica a configuração deformada da grelha (de forma exagerada), que apresenta as seguintes componentes de deslocamento e rotações:

→z∆deslocamento na direção do eixo global Z;

→xθrotação em torno do eixo global X;

→yθrotação em torno do eixo global Y.

Em geral, as ligações entre as barras de uma grelha são rígidas, mas é possível que ocorram articulações. Uma ligação articulada de barras de grelha pode liberar apenas uma componente de rotação, ou pode liberar as duas componentes.

Os esforços internos de uma barra de grelha estão mostrados na Figura 2.5, juntamente com a convenção adotada para os eixos locais de uma barra de grelha. São três os esforços internos:

→=zQQesforço cortante (esforço interno transversal) na direção do eixo local z;

→=yMMmomento fletor (esforço interno de flexão) em torno do eixo local y; →=xTTmomento torçor (esforço interno de torção) em torno do eixo local x.

Luiz Fernando Martha – Conceitos Básicos de Análise Estrutural – 17

M M x y z

Figura 2.5 – Eixos locais e esforços internos de uma barra de grelha.

É interessante fazer uma comparação entre as componentes de deslocamentos e rotações de quadros planos e grelhas, bem como entre os tipos de esforços internos. A Tabela 2.1 indica as componentes de deslocamentos e rotações que são nulas para quadros planos e grelhas. Observe que quando uma componente é nula para um quadro plano ela não é nula para uma grelha, e vice-versa. A tabela também mostra as diferenças entre os esforços internos de quadros planos e grelhas. Vê-se que os esforços normais são nulos para grelhas. Por outro lado, os quadros planos não apresentam momentos torçores. As barras de um quadro plano e de uma grelha apresentam esforços cortantes, mas eles têm direções distintas em relação aos eixos locais. O mesmo ocorre para momentos fletores.

Tabela 2.1 – Comparação entre quadro plano e grelha. Quadro Plano Grelha

Deslocamento em X x∆ 0=x∆ Deslocamento em Y y∆ 0=y∆

Deslocamento em Z 0=z∆ z∆ Rotação em torno de X 0=xθ xθ

Rotação em torno de Y 0=yθ yθ Rotação em torno de Z zθ 0=zθ

Esforço normal xNN= (x local) 0=N Esforço cortante yQQ= (y local) zQQ= (z local)

Momento fletor zMM= (z local) yMM= (y local) Momento torçor 0=T xTT= (x local)

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Finalmente, o caso mais geral de estruturas reticuladas é o de quadros ou pórticos espaciais. Um exemplo é mostrado na Figura 2.6. Cada ponto de um quadro espacial pode ter três componentes de deslocamento )e,,(zyx∆∆∆ e três componentes de rotação )e,,(zyxθθθ. Existem seis esforços internos em uma barra de pórtico espacial: esforço normal xNN=(x local), esforço cortante yQ (y local), esforço cortante zQ (z local), momento fletor yM (y local), momento fletor zM (z local), e momento torçor xTT= (x local).

zP xP zq

Figura 2.6 – Eixos globais e cargas de um quadro espacial.

2.2. Condições básicas da análise estrutural

No contexto da análise estrutural, o cálculo corresponde à determinação dos esforços internos na estrutura, das reações de apoios, dos deslocamentos e rotações, e das tensões e deformações. As metodologias de cálculo são procedimentos matemáticos que resultam das hipóteses adotadas na concepção do modelo estrutural.

Dessa forma, uma vez concebido o modelo de análise para uma estrutura, as metodologias de cálculo podem ser expressas por um conjunto de equações matemáticas que garantem a satisfação às hipóteses adotadas. Dito de outra maneira, uma vez feitas considerações sobre a geometria da estrutura, sobre as cargas e solicitações, sobre as condições de suporte ou ligação com outros sistemas e sobre as leis constitutivas dos materiais, a análise estrutural passa a ser um procedimento matemático de cálculo que só se altera se as hipóteses e simplificações adotadas forem revistas ou reformuladas.

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