Baixe matemtica financeira e outras Notas de estudo em PDF para Eletromecânica, somente na Docsity! A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 1 Disponível no Xerox e no Quiosque Apostila de Matemática Financeira Prof. Davi Riani Gotardelo Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) 2010.2 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 2 Conteúdo CAPÍTULO 01 – OPERAÇÕES COM MERCADORIAS 1. Cálculos de lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou de venda ............................................ 4 1.1. Vendas com lucro .................................................................................................................... 4 1.2. Vendas com lucro sobre o preço de custo .............................................................................. 5 1.3. Vendas com lucro sobre o preço de venda ............................................................................. 6 1.4. Vendas com prejuízo ............................................................................................................... 6 1.5. Vendas com prejuízo sobre o preço de custo. ........................................................................ 6 1.6. Vendas com prejuízo sobre o preço de vendas ...................................................................... 7 2. Abatimentos e aumentos sucessivos ...................................................................................... 8 2.1. Abatimentos sucessivos .......................................................................................................... 8 2.2. Aumentos sucessivos ............................................................................................................ 10 3. Exercícios .............................................................................................................................. 11 CAPÍTULO 02 – JUROS 2.1. Conceito ................................................................................................................................ 12 2.2. Unidade de medida ............................................................................................................... 12 2.3. Taxa de juros ......................................................................................................................... 12 2.4. Diagrama de capital no tempo .............................................................................................. 12 2.5. Juros Simples ........................................................................................................................ 13 2.6. Juros compostos ..................................................................................................................... 19 2.7. Convenção linear e exponencial para períodos não inteiros .................................................. 22 3. Exercícios .............................................................................................................................. 25 CAPÍTULO 03 – DESCONTO 3.1. Desconto simples .................................................................................................................. 33 3.1.3. Desconto bancário ............................................................................................................... 35 3.1.4. Relação entre os descontos : racional e comercial. ............................................................ 37 3.2. Desconto composto ............................................................................................................... 37 3.2.1. Desconto composto racional ................................................................................................ 37 4. Exercícios .............................................................................................................................. 39 Agradecimento especial à querida Prof. Silvinha, que me ensinou os primeiros passos da Matemática, por gentilmente ter cedido o material para confecção dessa apostila. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 5 1.2. Vendas com lucro sobre o preço de custo Desenvolvendo a fórmula: V = preço de venda C = preço de custo L = lucro i = taxa unitária de lucro V = C + L onde L = iC logo, V = C + iC V - C = iC i C CV ou C CV i Exemplo: Uma loja de departamentos coloca à venda uma determinada mercadoria com um lucro de 13% sobre o preço de custo da mesma. Determine o preço de venda sabendo-se que esta mercadoria custou R$230,00. i = 13% = 0,13 C = 230 V = ? Como C CV i , então 230 230 13,0 V 0,13 x 230 = V - 230 29,90 = V – 230 29,90 + 230 = V V = 259,90 Resposta. O preço de venda é de R$ 259,90. ou 230 + 0,13 x 230 = 230 + 29,90 = 259,90 ou ainda, 230 100% x 113% x = 230(113) : 100 x = 259,90 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 6 1.3. Vendas com lucro sobre o preço de venda Desenvolvendo a fórmula : V = C + L onde L = iV logo, V = C + iV V - iV = C i V CV ou V CV i Exemplo. O dono de uma loja de eletrodomésticos comprou uma mercadoria por R$689,00 e quer vendê-la com um lucro de 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser o valor de venda dessa mercadoria? i = 25% = 0,25 C = 689 V = ? V CV i V V 689 25,0 0,25V = V - 689 0,25V - V = - 689 V (0,25 - 1) = - 689 -0,75V = - 689 ( - 1) 0,75V = 689 75,0 689 V V = 918,67 Resposta. O valor de venda dessa mercadoria deverá ser de R$918,67. 1.4. Vendas com prejuízo Analogamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com prejuízo sobre o preço de custo ou de venda. 1.5. Vendas com prejuízo sobre o preço de custo. Desenvolvendo a fórmula: V = preço de venda C = preço de custo P = prejuízo Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 7 i = taxa unitária de prejuízo V = C - P onde P = iC logo, V = C - iC V - C = - iC i C CV ou C CV i Exemplo. Um aparelho de jantar foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo-se que esse aparelho custou R$300,00, qual foi o preço de venda? i = 40%= 0,40 C = 300 V = ? Como a fórmula de prejuízo sobre o preço de custo é C CV i , temos: 300 300 40,0 V -0,40 x 300 = V - 300 - 120 = V - 300 -120 + 300 = V V = 180 Resposta. O preço de venda desse objeto foi de R$180,00. ou 100% - 40% = 60% então, se 100% 300 60% x x = 300 x 60 : 100 x = 180 1.6. Vendas com prejuízo sobre o preço de vendas Desenvolvendo a fórmula: V = C - P onde P = iV então, V = C – iV V - C = - iV i V CV ou V CV i Exemplo: Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 10 Uma fatura de R$8.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos de 10% e 8%. Qual o valor líquido a pagar? i1 = 10% = 0,1 i2 = 8% = 0,08 PV = 8.000 L = ? a1 = PV x i1 = 8.000 x 0,1 = 800 logo, L1 = 8.000 - 800 = 7.200 a2 = L1 x i2 = 7.200 x 0,08 = 576 logo, L2 = 7.200 - 576 = 6.624 Se fizermos pela fórmula, temos: L = 8.000 (1 - 0,1) (1 - 0,08) L = 8.000 (0,9) (0,92) L = 6.624 Resposta. O valor líquido a pagar é de R$6.624,00. 2.2. Aumentos sucessivos Para aumentos sucessivos temos que: No lugar do valor líquido (L) teremos o montante ou valor futuro (FV) e como são aumentos, iremos adicionar as taxas ao invés de subtraí-las como no desconto. Logo, nossa fórmula de aumentos sucessivos será: FV = PV (1 + i1) (1 + i2) ... ( 1 + ik) Exemplo. Sobre um artigo de R$2.500,00 incide um imposto federal de 7% e um estadual de 3,5%. Determine o preço final desse artigo. i1 = 7% = 0,07 i2 = 3,5% = 0,035 FV = 2.500 (1 + 0,07) ( 1+ 0,035) FV = 2.500 (1,07) (1,035) FV = 2.768,62 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 11 3. Exercícios 3.1 - Operações sobre mercadorias 1 – Uma televisão foi revendida por R$859,00, dando um prejuízo de 20% sobre o custo. Quanto havia custado? 2 – Quanto por cento sobre o custo se perdeu, ao se vender por R$238,00 um objeto que custou R$280,00? 3 – Vendendo um imóvel por R$150.000,00 tive um prejuízo de 17% sobre o preço de venda. Por quanto comprei? 4 – Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$540,00 tendo perdido 20% do preço de venda? 5 – Vendi uma loja por R$32.000,00. Se tivesse vendido por mais R$1.999,00, meu lucro seria de 40% sobre o preço da nova venda. Qual foi o meu lucro? 6 – Certa mercadoria foi vendida por R$3.232,00 com um prejuízo de 8,7% sobre o preço de compra. Por quanto deveria ser vendida, para dar lucro de 12% sobre o preço de custo? 3.2 - Abatimentos e aumentos sucessivos 1 – Calcule o líquido de uma duplicata no valor de R$8.600,00 que sofreu a redução de 15% sobre este valor e, em seguida, outro abatimento de 8% sobre o líquido da primeira redução. 2 – Uma pessoa comprou um automóvel de R$15.800,00 ( preço de tabela ) com desconto de 2,5%. No dia seguinte, vendeu o automóvel pelo valor de 2% acima do preço de tabela. Qual foi a taxa percentual de lucro total dessa pessoa? 3 – Qual será o valor líquido de uma fatura de R$36.000,00 que recebe descontos sucessivos de 2%, 5% e 4% ? Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 12 Juros 2.1. Conceito Juro é a remuneração dada a qualquer título de capitalização, ou seja, pelo uso do capital empregado, ou pela aplicação do capital em atividades produtivas, durante um certo período e à uma determinada taxa. Esse intervalo de tempo usado na aplicação do capital à uma referida taxa, é denominado período financeiro ou período de capitalização. 2.2. Unidade de medida Os juros são fixados através de uma taxa percentual, que sempre se refere à uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia, etc.. 2.3. Taxa de juros A taxa de juros mede o custo da unidade de capital, no período a que se refere. Essa taxa é fixada no mercado de capitais pela variação entre as forças que regem a oferta de fundos e a procura de créditos. É a razão entre os juros pagos ou recebidos e o capital aplicado, num determinado período de tempo. 2.4. Diagrama de capital no tempo Os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo. Esse fluxo é mais conhecido na prática como fluxo de caixa e é geralmente representado por um diagrama convencional de setor. QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO Juros Simples e Compostos: quando se usa qual? O que é o juro? CONCEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE CAPÍTULO Juros Simples Juros Compostos Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 15 b) Observe que dados três valores da fórmula de juros simples ( j = PV.i.n ), podemos obter o quarto valor, por simples transformação algébrica. PV = in J J = PVin PVn J i PVi J n ou ainda, J = FV - PV 2.5.2. Cálculo do juro exato Denomina-se juro exato aquele que é obtido quando o período n está expresso em dias e quando é adotada a convenção de ano civil (365 dias). Jk = 365 i J = 365 PVin Exemplo. Determine o juro exato de um capital de R$10.000,00 que é aplicado por 40 dias, à taxa de 36% ao ano. Je = 365 4036.0000.10 xx Je = 394,52 Resposta. O juro exato é de R$394,52 Obs. Se o juro fosse comercial ficaria assim: Jc = 360 4036.0000.10 xx Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 16 Jc = 400,00 Nota. Nas mesmas condições de aplicação o juro comercial é maior que o juro exato. Jc > Je Notações. a) Obtemos o juro exato usando o número exato de dias (365 dias = ano civil ou 366 dias = ano bissexto). b) Ano bissexto: Um ano é bissexto quando o seu número é divisível por 4(um número é divisível por 4, quando seus dois últimos algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4). Ex: 3.700 ou 3.732 2.6.1.3. Períodos não inteiros Podem ocorrer situações em que o prazo de aplicação não seja um número inteiro de períodos a que se refere a taxa dada, sendo então necessário se considerar frações de períodos, para que não se cometa erro no valor final. Exemplo: Qual é o juro e qual é o valor futuro de um capital de R$45.000,00 aplicado à taxa de juro simples de 18% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses? 1 a solução: Transforma-se o tempo em semestre: 5 anos e 9 meses = 69 meses que dividido por 6 (um semestre tem 6 meses) dará um período de 11,5 semestres. Logo, n = 11,5 semestres i = 18% ao semestre = 0,18 PV = 45.000 a) J = ? J = PV.i.n J = 45.000 x 0,18 x 11,5 J = 93.150 b) FV = ? FV = PV + J FV = 45.000 + 93.150 FV = 138.150 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 17 2 a solução: Transformar o período e a taxa em meses. n = 5 a . e 9 m. = 69 meses i = 18% a . s. = %3 6 18 a . m. a) J = PV.i.n J = 45.000 x 0,03 x 69 J = 93.150 b) FV = PV + J FV = 45.000 + 93.150 FV = 138.150 3 a solução: A solução pode ser obtida em duas etapas: a) Calcula-se o juro relativo à parte inteira. b) Calcula-se o juro relativo à parte fracionária, determinando primeiramente a taxa proporcional a este período. O juro total será a soma do juro referente à parte inteira com o juro da parte fracionária. O valor futuro ou montante será a soma do capital com o juro total. 5 anos = 10 semestres 9 meses = 1 semestre e 3 meses 5 anos e 9 meses = 11 semestres e 3 meses (1) Cálculo do juro semestral. J1 = 45.000 x 0,18 x 11 = 89.100 (2) Cálculo da taxa proporcional ao trimestre e do juro trimestral. 1 semestre = 2 trimestres ik = k i ik = 2 18,0 ik = 0,09 J2 = 45.000 x 0,09 x 1s = 4.050 (3) Cálculo do juro total. Jt = J1 + J2 Jt = 89.100+4.050 = 93.150 (4) Cálculo do valor futuro. FV = PV + J FV= 45.000 + 93.150 = 138.150 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 20 2.6.1 - Cálculo do valor futuro ou montante FV1 = PV0 (1+i) = 20.000(1,125) = 22.500 FV2 = FV1 (1+i) = 22.500(1,125) = 25.312,50 FV3 = FV2 (1+i) = 25.312,50(1,125) = 28.476,56 Se, FV1 = PV0(1+i) FV2 = PV1(1+i) onde PV1 = FV1 então, FV2 = PV0(1+i).(1+i) = PV0 (1+i) 2 FV3 = PV0 (1+i) 2 .(1+i) = PV0 (1+i) 3    FVn = PV0 (1+i) n-1 (1+i) = PV0 (1+i) n Portanto, FVn = PV(1+i) n 2.6.2. Cálculo do valor presente Se FVn = PV (1+i) n então, PV = n n i FV )1( ou PV = FVn (1+i) -n 2.6.3. Cálculo do juro Como juro é a diferença entre o valor futuro e o valor presente, temos: J1 = FV1 - PV = 22.500 - 20.000 = 2.500 J2 = FV2 - PV = 25.312,5 - 20.000 = 5.312,50 J3 = FV3 - PV = 28.476,56 -20.000 = 8.476,56 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 21    Jn = FVn - PV Substituindo FVn por PV(1+i) n , temos, Jn = PV(1+i) n - PV Colocando PV em evidência, Jn = PV [ (1+i) n - 1] Exemplo Um empréstimo de R$4.500,00 foi feito para um prazo de 7 meses, à taxa de 2,3% ao mês. Calcule o valor futuro , os juros e, novamente o valor presente dessa aplicação. PV = 4.500 n = 7 m . i = 2,3% = 0,023 a .m . a) Valor futuro FV = PV (1+i) n FV = 4.500 (1+0,023) 7 FV = 4.500 (1,023) 7 FV = 4.500 (1,17254) FV = 5.276,45 Pela HP - 12C 4.500 CHS PV 2,3 i 7 n FV = ? b) Juros J = PV [(1+i) n - 1] J = 4.500 [(1,023) 7 - 1] J = 4.500 [ 1,17254 - 1] J = 4.500 [0,17254] J = 776,45 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 22 c) Valor presente PV = ni FV )1( PV = 500.4 17254,1 45,276.5 )023,1( 45,276.5 7 conforme foi demonstrado anteriormente. Pela HP - 12C 5.276,45 CHS FV 2,3 i 7 n PV = ? 2.7. Convenção linear e exponencial para períodos não inteiros Nem sempre o prazo das operações financeiras é um número inteiro, com relação à taxa. Adota-se, então duas convenções para se trabalhar com estes períodos não inteiros. 2.7.1. Convenção linear É aquela que admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e juros simples para a parte fracionária. ).1()1( k m iiPVFV n onde k m corresponde ao período fracionário. Exemplo. Seja um capital de R$100.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano, pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcule o montante desse empréstimo pela convenção linear. PV = 100.000 n = 4a . m = 9m. k = 12 i = 18%= 0,18 a .a . ).1()1( k m iiPVFV n Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 25 3. Exercícios Juros 1 - Transforme em taxa percentual: a) 0,009 b) 21,365 c) 8 d) 2,11 e) 0,18 f) 0,05 2 - Transforme em taxa unitária: a) 6,5% b) % 8 1 5 c) 13% d) 0,2% e) 215,5% f) 4.568% Juros simples 1 - Um capital de R$ 740,00 aplicado por um ano e meio, rendeu R$ 2.264,40 de juros simples. Encontre a taxa mensal correspondente a essa aplicação. 2 - Tomou-se emprestada a quantia de R$ 3.250,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor dos juros a serem pagos? 3 – Quantos dias, um capital de R$ 7.500,00 , aplicado a 30% ao bimestre, leva para produzir R$ 14.812,50 de juros simples? 4 – A importância de R$ 860,00 foi aplicada em 10 de janeiro de 2000, à taxa de 54,75% ao ano e produziu em seu vencimento, juros simples de R$ 96,75. Em que data ocorreu o vencimento da aplicação? ( Use ano civil, ou seja, 365 ou 366 dias). 5 – Robson pediu a uma financeira um empréstimo de R$ 3.580,00 por 25 dias. A financeira concordou em emprestar, desde que ele devolvesse R$ 4.922,50. Qual foi a taxa de juros cobrada? 6 – Uma loja vende uma TV colorida de 41 polegadas por R$ 7.250,00 a vista, ou em 5 parcelas mensais iguais de R$ 1.885,00. Qual a taxa de juros mensal que essa loja está cobrando? 7 – Apliquei 1/3 do meu capital a 18% ao mês e o restante a 22,5% ao mês. Decorridos 2 ano e 5 meses obtive R$ 8.586,90 de juros simples pelas duas aplicações. De quanto era o meu capital inicial? 8 – Num período de 13 meses, apliquei R$ 6.200,00 e obtive R$ 4.836,00 de juros simples. Determine a taxa diária de juros desta aplicação. 9 – A quantia de R$ 1.780,00 foi aplicada à taxa de 42% ao ano, pelo prazo de 150 dias. Qual será o juro dessa aplicação, se for considerado: Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 26 a) juro comercial? b) juro exato? 10– Um capital de R$ 19.940,00 foi aplicado à taxa de 33% ao ano, no período compreendido entre 12/05 a 23/09 do mesmo ano. Qual o juro recebido?: 11 – Verificar se as taxas de 18% ao ano e 3% ao bimestre são proporcionais. 12 – A quantia de R$ 9.874,00 empregada a 180% ao ano, durante n meses, produziu R$ 10.367,70 de juros simples. Calcule n. 13 – Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. 14 – Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. 15 – Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre. 16 – Que importância deve ser aplicada durante 7 meses, à taxa de 3,5% ao mês, para se obter R$ 2.120,72 de juros? 17 – Qual o valor do capital que, aplicado durante dois anos e cinco meses, à taxa de 1,85% ao mês, rendeu R$ 81.869,90 de juros? 18 – Calcule o juro e o montante correspondente ao capital de R$ 8.000,00 ,em regime de juro simples, durante 1 ano e 3 meses, à taxa de 36% ao ano. 19 – Um capital de R$ 14.000,00 ,aplicado pelo prazo de 9 meses, rendeu a importância de R$ 3.528,00. Determine a taxa anual correspondente. 20 – A que taxa mensal deve ser aplicada a importância de R$ 66.000,00 para que , em 3 meses e 10 dias ,acarrete um juro de R$ 11.000,00? 21 – Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 125.880,00 que, à taxa de 0,8% ao mês, rendeu R$ 9.063,36. 22 – Durante quanto tempo deverá ser aplicada a importância de R$ 46.760,00 , à taxa de 25,2% ao ano, para se obter R$ 27.036,63 de juro? 23 - Um investidor aplica R$ 98.200,00 num prazo de 14 meses. Sabendo que irá precisar de algum dinheiro durante esse prazo, resolve fazer retiradas mensais do juro, deixando o principal para o final do prazo da aplicação. Qual deverá ser o valor de cada retirada, se o dinheiro foi aplicado à uma taxa de 7,8% ao mês? 24 – Um capital de R$ 10.500,00 rendeu R$ 1.225,00 de juro simples. Sabendo-se que a taxa de juro contratada foi de 42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88 , qual foi a data do vencimento? Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 27 25– Um investidor aplica 2/5 do seu capital a 4% ao mês e o restante a 45% ao ano. Decorridos 4 anos e 5 meses, recebe um total de R$ 798.000,00 de juro. Calcular o seu capital inicial. 26 – Uma pessoa aplica R$ 33.500,00 à 38,4% ao ano. Algum tempo depois, a taxa é aumentada para 4,5% ao mês. Determine o prazo em que vigorou a taxa de 4,5% ao mês, sabendo-se que em 10 meses os juros totalizaram R$ 12.462,00. 27 – Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 56.300,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses, a quantia de R$ 79.383,00. Determine a taxa anual cobrada. 28 – Uma imobiliária vende uma loja por R$ 25.350,00 à vista. A prazo, vende por R$31.445,25, sendo R$ 6.000,00 de entrada e o restante após 9 meses. Qual a taxa mensal de juros cobrada? 29 - Um investidor aplicou R$ 240.000,00 à uma taxa mensal de 26,1% ao mês, no dia 18/08/2002. Em que dia o investidor pode retirar o montante de R$ 288.024,00? 30 – Depositei certa importância a 8% ao ano. No final do 2 o ano, somei os juros ao capital e depositei a soma a 12% ao ano, recebendo no fim de quatro anos os juros de R$ 189.312,00. Qual foi a quantia inicialmente depositada? 31 – Calcular a taxa trimestral de juros, proporcional às seguintes taxas: a) 24% ao ano b) 36% ao biênio c) 6% ao semestre 32 – Determinar a taxa anual de juros, proporcional às seguintes taxas: a) 3% ao trimestre b) 27% ao quadrimestre c) 5% ao mês 33 – Calcular o juro simples, referente a um capital de R$ 1.000,00 , aplicado conforme hipóteses a seguir: Taxas de juros Prazo a) 17% ao ano 4 anos b) 26,8% ao ano 30 meses c) 30,8% ao ano 5 anos e meio d) 38% ao ano 4 anos e 8 meses 34 – Quanto tempo deve ficar aplicado um capital, para que as hipóteses abaixo sejam verdadeiras? Valor presente Valor futuro Taxa de juros a) R$ 800,00 R$ 832,00 16% ao ano b) R$ 1.200,00 R$ 2.366,00 2,2% ao mês Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 30 1 – Uma pessoa deve em um banco dois títulos: o primeiro no valor de R$ 2.700,00 para pagamento imediato e o segundo, no valor de R$ 9.580,00 para pagamento em 10 meses. Possuindo recursos para quitar sua dívida em 5 meses, determinar o valor desse pagamento único, considerando a taxa de 78% ao ano e a data atual. 2 – Um apartamento deve ser vendido à vista por R$ 48.000,00. A prazo, o proprietário propõe 3 pagamentos bimestrais iguais, sendo o primeiro em 60 dias. Se a taxa de juros é de 14,6% ao bimestre, qual seria então o valor dos pagamentos? 3 – Um vendedor que possui uma dívida de R$ 5.000,00 para ser paga daqui a dois meses, propõe a substituição dessa dívida pelo pagamento imediato de R$ 2.100,00 mais outro de R$ 3.500,00. Em quanto tempo o novo pagamento será efetuado, se for usada a taxa de 3,4% ao mês e a data focal zero? 4 – Dois títulos no valor de R$ 7.845,60 para 8 meses e R$ 10.950,80 para 11 meses vão ser substituídos por outros dois, no valor de R$ 15.790,00 para 15 meses e o segundo para 21 meses. Encontre o valor do segundo título, sabendo-se que a taxa usada foi de 4,5% ao mês e a data focal 15? 5 – Uma pessoa propõe a substituição de suas promissórias de R$ 1.500,00 e R$2.780,00, vencíveis respectivamente em 3 e 5 meses, por três outras, sendo as duas primeiras respectivamente de R$ 1.980,00 e R$ 1.300,00 , com prazos de 7, 8 e 12 meses. Supondo-se que a data focal seja a atual, e que a taxa de desconto aplicada nessa operação seja de 2,8% a. m., qual o valor da 3 o prestação? 6 – Dois títulos de R$ 100,00 e R$ 300,00 vencíveis em 30 e 60 dias respectivamente, foram substituídos por um outro vencível em 120 dias. Tomando-se a data 4 como focal, e a taxa de desconto de 2% a . m., qual o valor do novo título? 7 – O pagamento de uma motocicleta pode ser feito em três parcelas mensais de R$ 5.000,00 , R$ 6.000,00 e R$ 9.000,00 vencendo, respectivamente em 1, 2 e 3 meses. O gerente da loja, com a finalidade de aumentar as suas vendas, anuncia que quem quiser poderá dar uma entrada de R$ 6.000,00 e pagar o restante daí a 3 meses. Qual será o valor desse último pagamento, se a taxa for de 33% ao ano e a data focal for a da entrada? 8 – Quatro pagamentos mensais de R$ 100,00, vencendo o primeiro daqui a um mês, são substituídos por dois pagamentos iguais de R$ 202,38 sendo o primeiro para daqui a dois meses. Se adotarmos a data focal zero e a taxa de desconto de 30% a . a . , qual será a data da última parcela? 9 – Uma pessoa planejou comprar uma blusa e após 30 dias, um terno, de valores R$ 100,00 e R$ 180,00 respectivamente. O gerente da loja sugere que, embora a compra seja feita hoje e a seguinte após um mês, o cliente pague em 5 parcelas iguais, vencendo a primeira 3 meses após a compra do terno. Considerando a taxa de juro de 30% ao ano e a data focal a do vencimento da 5 a parcela, qual será o valor das parcelas? Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 31 10 – Um cliente planeja substituir seus três títulos de R$ 1.000,00 , R$ 2.000,00 e R$3.000,00 com prazos de vencimento para 30, 60 e 90 dias respectivamente, por um único título vencível em 180 dias. Qual será o valor desse título, uma vez que a taxa é de 36% ao ano e a data focal é a do vencimento do novo título? 11- Um comerciante descontou dois títulos em um banco: um de R$ 12.000,00 para 120 dias e outro de R$ 10.000,00 para 150 dias. desejando substituí-los por um título único para 90 dias, calcule o valor nominal desse título na data 3, sabendo-se que a taxa de 42%a .a . de desconto permanece inalterada. 12- Um micro empresário tem três títulos , de R$ 2.000,00 , R$ 10.000,00 e R$8.000,00 descontados em um banco e com vencimentos para 90, 150 e 180 dias respectivamente. Desejando substituí-los por dois outros de valores nominais iguais para 60 e 120 dias, calcule o valor comum na data zero, supondo-se que a taxa seja de 3,2% ao mês para as transações desse tipo. 13 – Tenho três títulos, cujos valores são de R$ 15.000,00 , R$ 20.000,00 e R$25.000,00 , com vencimentos para 60, 90 e 120 dias respectivamente, que foram substituídos por dois outros de valores iguais , vencíveis em 150 e 210 dias. Calcule o valor dos novos títulos, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3,5% a. m. e a data focal a do último pagamento a ser efetuado. 14 – Sendo de 3% ao mês a taxa de desconto, dentro de quantos dias deverá vencer um título de R$ 2.000,00 a fim de que seja equivalente a um outro de R$1.600,00 vencível em 60 dias? 15 – Um comerciante contraiu uma dívida de R$ 37.300,00 para ser paga com dois títulos de mesmo valor, vencíveis em 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,7% ao mês, calcule qual será o valor nominal de cada título, na data 30 dias. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 32 Desconto 3. Desconto Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto. Portanto, desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes do seu vencimento. Os títulos de créditos mais utilizados em situações financeiras são:  nota promissória  duplicata  letra de câmbio Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:  que o devedor efetue o pagamento antes da data predeterminada;  que o credor necessite do dinheiro antes da data predeterminada. Em ambos os casos há um benefício que, obtido em comum acordo, recebe o nome de desconto. Essas operações são chamadas operações de desconto e o ato de efetuá-las chama-se descontar um título. Observa-se ainda:  data do vencimento -- fixado no título, para o pagamento (ou recebimento) da aplicação;  valor nominal ou futuro – valor indicado no título, a ser pago no dia do vencimento;  valor atual ou presente – líquido pago (ou recebido) antes do vencimento;  prazo – número de períodos compreendidos entre aquele em que se negocia o título e o do seu vencimento. Desconto é a quantia a ser abatida do valor futuro ou nominal, isto é, a diferença entre o valor futuro e o valor presente. QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO CONCEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE CAPÍTULO Desconto Simples Desconto Racional Desconto Comercial Taxa média Prazo médio Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 35 Valor atual comercial ou valor descontado comercial ou valor presente (PV) Vc = FV – dc dc FV Vc = PV Como dc = FV.i.n , temos: Vc = FV – FV.i.n Então: Vc = FV (1-in) ou PV = FV (1 - in) Exemplo: Um título de R$8.500,00 vai ser descontado, à taxa de 2,8% ao mês. Faltando 67 dias para o vencimento do título, determine:  valor do desconto comercial;  valor atual comercial. a) dc = FV.i.n dc = 8.500,00 . 30 028,0 . 67 dc = 531,53 b) PV = FV – dc ou PV = FV (1 – in) PV = 8.500 – 531,53 PV = 8.500 ( 1 – 30 028,0 . 67) PV = 7.968,47 PV = 8.500 ( 1 – 0,06253 ) PV = 8.500 ( 0,93747) PV = 7.968,47 Resp.: o desconto comercial será de R$ 531,53 e o valor descontado comercial será de R$ 7.968,47. 3.1.3. Desconto bancário O desconto bancário pode ser entendido como uma extensão do desconto comercial, acrescido de um taxa administrativa pré fixada h, cobrada sobre o valor nominal ou futuro, além de, na maioria das vezes, cobrar o encargo proveniente do IOF ( Imposto sobre Operações Financeiras), de responsabilidade do financiado. Sendo assim, a taxa bancária linear efetivamente cobrada é muito maior do que a contratada. Notações: Vb = valor atual ou valor descontado bancário. db = desconto bancário dc = desconto comercial h = taxa de despesas administrativas FV = valor nominal ou montante Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 36 n = número de períodos antes do vencimento i = taxa de desconto Valor do desconto bancário db = dc + FV.h Como dc = FV.i.n temos que: db = FV.i.n + FV.h db = FV ( in + h) Com o IOF, temos: db = FV ( in + h + IOFn) Valor descontado bancário Vb = FV – db Como db = FV ( in + h ) Vb = FV – FV (in + h) Vb = FV 1 – ( in + h ) ou PV = FV [1 - (in + h)] Exemplo: Um título de R$ 8.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 1,5% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 67 dias antes do seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 2,8% ao mês, qual o desconto bancário? Quanto recebeu o proprietário do título? a) desconto bancário db = FV (in +h) db = 8.500 ( 67. 30 028,0 + 0,015) db = 8.500 ( 0,06253 + 0,015) db = 8.500 (0,07753) db = 659 b) valor descontado bancário PV = FV 1 – (in +h) PV = 8.700 1 – 0,07753 PV = 8.500 (0,92247) PV = 7.841 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 37 Resp.: o desconto bancário foi de R$ 659,00 e o valor descontado bancário foi de R$ 7.841,00. 3.1.4. Relação entre os descontos : racional e comercial. Sabemos que: dr = in niFV 1 .. e que: dc = FV.i.n Logo, podemos substituir FV.i.n na 1 a fórmula por dc. Então, dr = in dc 1 ou dc = dr (1+in) Exemplo. O desconto comercial de um título descontado 67 dias antes do seu vencimento e à taxa de 2,8% ao mês é de R$ 531,53. Determinar o desconto racional. dc = 531,53 i = 0,028 a.m. n = 67 d dc = dr (1+in) 531,53 = dr (1+ 30 028,0 .67) dr = 062533,1 53,531 dr =500,25 Resposta – O desconto racional é de R$500,25 3.2. Desconto composto Desconto, no regime de capitalização composta é como no simples, corresponde à quantia a ser abatida do valor nominal antes do vencimento. O valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto. Utilizamos o desconto composto nas operações de longo prazo onde, o desconto simples pode ter resultados sem nexo. O desconto composto pode também ser comercial (praticamente não é usado no Brasil) e racional (que é o desconto usado entre nós). 3.2.1. Desconto composto racional É o desconto obtido pela diferença entre o valor futuro ou nominal e o valor presente ou atual de um compromisso, que seja saldado n períodos antes do vencimento, à uma determinada taxa. A) CÁLCULO DO VALOR PRESENTE OU ATUAL Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 40 12 – Uma empresa desconta uma duplicata de R$ 9.350,00 com vencimento a 7 meses. Se a taxa de desconto simples for de 36% ao ano e a taxa de serviço bancário for de 1,5% sobre o valor nominal do título, qual será o valor líquido recebido e a taxa efetivamente paga pela empresa? 13 – João tem uma dívida de R$ 63.000,00 que vence em 18 meses. Propõe pagar R$ 21.000,00 no fim de 7 meses e 5 dias e R$ 15.000,00, 3 meses e 18 dias depois. Quanto João deve pagar na data de seu vencimento de forma a liquidar a dívida? Considere a taxa de 63% ao ano. 14 – No desconto de um título é obtido um desconto racional de R$ 28.000,00. Considerando uma taxa de desconto de 30% ao ano e que o título foi resgatado 4 meses antes de seu vencimento, calcular o desconto comercial obtido. 15 – Calcular o valor de resgate (nominal) e a taxa de desconto efetiva de uma nota promissória resgatada 5 meses antes do seu vencimento, considerando-se que o banco desconta a Promissória por R$ 36.500,00 aplicando a taxa de 7% ao mês. 16 – Um título de R$ 280.000,00 é descontado em um banco 7 meses antes do vencimento, à taxa comercial de 7% ao mês. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal como despesas administrativas e o conhecido IOF (sobre o valor nominal) de 1,5% ao ano. Qual o valor líquido recebido pelo portador do título? 17 – Um banco cobra em seus financiamentos a taxa administrativa de 1,5% e uma taxa corrente de 38% ao ano. Que financiamento por 6 meses deverá um cliente pedir a este banco, se esta pessoa necessitar de R$ 35.600,00? 18 – Um título a vencer no dia 25/10/98 foi descontado no dia 30/08/98. Se o desconto comercial fosse de R$ 2.740,00 e a taxa fosse de 57% ao ano. Qual seria o valor nominal deste título? 19 – Uma duplicata de R$ 125.000,00 com 120 dias a decorrer até o seu vencimento foi descontada por um banco, à taxa de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ao cliente: a) de acordo com o conceito de desconto comercial; b) de acordo com o conceito de desconto racional. 20 – Determinar o valor nominal ou de face de um título com 144 dias para o seu vencimento que, descontado à taxa de 58% ao ano proporcionou um valor atual de R$ 77.400,00. Sabe-se que a operação foi feita de acordo com o desconto comercial. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 41 Taxa média e prazo médio 1 – Três capitais foram aplicados da seguinte maneira: o primeiro de R$ 5.000,00 em 20 dias a 5% ao ano, o segundo de R$ 8.750,00 a 6% ao ano, em um mês e meio e o terceiro de R$ 2.500,00 a 3% ao ano, durante 5 meses. Calcular a taxa média e o prazo médio. 2 – Três capitais são postos a juros: o primeiro de R$ 400,00 a 7% ao mês, o segundo de R$ 350,00 a 4% ao mês e o terceiro de R$ 250,00 a 3% ao mês, durante o período de um ano. Que taxa média se poderia aplicar? 3 – Quatro capitais iguais estão aplicados: o primeiro a 60% ao ano, por 40 dias; o segundo a 70% ao ano, durante 50 dias; o terceiro a 50% ao ano durante 80 dias e o quarto a 40% ao ano por 30 dias. Qual a taxa média? 4 – Três capitais são postos a juros, à taxas iguais. O primeiro de R$ 10.000,00 durante 50 dias; o segundo de R$ 15.000,00 em 30 dias e o terceiro de R$ 25.000,00 em 25 dias. Determinar a que prazo médio poderíamos aplicá-los. 5 – Cinco capitais iguais são aplicados durante um mesmo prazo, à taxas de 3,5% ao mês, 12% ao mês, 15% ao mês, 8% ao mês e 9,5 % ao mês, respectivamente. Qual a taxa média? 6- Um comerciante deve a um terceiro, os seguintes capitais, a 10% ao ano: R$ 2.000,00 a 45 dias; R$ 5.000,00 a 60 dias; R$ 1.000,00 a 30 dias. Em que tempo poderá pagar tudo de uma só vez, de modo que dessa unificação de vencimentos, não advenha prejuízo nem para o devedor nem para o credor. 7 – A dívida de certa pessoa é dada por: R$ 15.000,00 a 60% ao ano, por 45 dias; R$ 10.000,00 a 10% ao ano, em dois meses; R$ 20.000,00 a 64% ao ano, em 100 dias. Calcular a taxa média, o prazo médio e o desconto total correspondentes ao pagamento de uma só vez, dos capitais devidos. 8 – Sabendo-se que o desconto comercial de três títulos, de valores iguais a R$12.700,00 , R$ 15.500,00 e R$ 6.900,00 com prazos de respectivamente 3, 5 e 7 meses, resultou num valor líquido de R$ 28.800,00 creditado na conta do cliente. Calcular a taxa média, o prazo médio e o desconto total. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 42 9 – Quatro capitais no valor de R$ 2.000,00, R$ 4.000,00 , R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00 foram emprestados a juros simples, pelos prazos de 15, 4, 10 e 7 meses, respectivamente. Sabendo-se que o principal mais os encargos serão pagos nos respectivos vencimentos e que o somatório dos montantes dessas quatro operações é de R$ 30.000,00 , calcular a taxa média e o prazo médio correspondentes a essas operações. . Método Hamburguês 1 – Uma empresa no seu extrato de conta corrente referente ao 1 o semestre de 96 apresentou a movimentação transcrita a seguir. Admitindo-se por hipótese que o banco em que essa empresa mantém conta, paga semestralmente juros de 12% ao ano sobre os saldos credores, calcular o valor dos juros creditados em 01/07/96. Data Histórico V / C Saldo N o dias PV h n h 14 / 01 / 96 depósito 5.000 C 19 / 01 / 96 depósito 10.000 C 10 / 02 / 96 cheque 3.500 D 24 / 02 / 96 Aviso/débito 500 D 13 / 03 / 96 depósito 1.150 C 08 / 04 / 96 cheque 11.850 D 20 / 05 / 96 depósito 3.725 C 21 / 06 / 96 cheque 2.960 D 2 – Um cliente de certo banco possui um cheque especial. Sabendo-se que esse banco cobra juros de 8,5% ao mês sobre os saldos devedores debitados mensalmente e que a movimentação da conta desse cliente durante o mês de abril de 98 é a transcrita a seguir, calcular o valor dos juros debitados no início do mês de maio. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 45 Taxas 4. Taxas 4.1 – Taxas Nominais Apesar de vermos que o juro só é formado no final de cada período, na prática vemos com freqüência anúncios do tipo:  juros de 64% ao ano, capitalizados mensalmente;  juros de 425% ao ano, capitalizados bimestralmente. Convencionou-se, então, chamar de taxas nominais essas taxas com capitalizações diferentes dos períodos anunciados nos juros. Portanto, taxas nominais são aquelas cujo período de capitalização não coincide com aquele a que se refere a taxa. Também, por convenção, adotou-se que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal. iK = k i Exemplo: 12% ao ano em 3 anos, capitalizados bimestralmente. K = 6 (bimestres em um ano). Logo, i6 = 0,12 / 6 = 0.02 ao bimestre. Como n = 3 anos = 18 bimestres Se precisássemos encontrar o valor futuro seria: FV18 = PV ( 1 + i6 ) 18 Exemplo: Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado por 3 anos a 24% ao ano, capitalizado trimestralmente. Qual é o valor futuro? QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO Taxa nominal Taxa efetiva Taxa Over Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 46 n = 3 a = 12 t. ik = 0,24 / 4 = 0,06 ao trimestre k = 4 ( trimestres ao ano) PV = 25.000,00 i = 24% ao ano = 0,24 FV = PV ( 1 + i k ) n FV = 25.000 ( 1 + 0,06 ) 12 FV = 25.000 ( 2,0122 ) FV = 50.304,91 Obs. Se a capitalização fosse anual, teríamos FV = 25.000 ( 1,24 ) 3 FV = 25.000 ( 1,90662) FV = 47.665,60 4.2. Taxa nominal efetiva A taxa nominal efetiva é a taxa anual equivalente à taxa do período de capitalização pedido. Temos: i = taxa nominal if = taxa efetiva n = número de capitalizações para um período da taxa nominal ik = taxa por período de capitalização Como, por definição, if é equivalente à ik e ik = i/k temos: 1 + if = ( 1 + k i ) k Logo, if = ( 1 + k i ) k – 1 Exemplo. Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado por 3 anos à taxa de 24% ao ano, capitalizado trimestralmente. Qual é a taxa efetiva? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 47 i/k = 0,24/4=0,06 n = 3 a = 12 t Como if = ( 1 + i/k ) k – 1 ìf =(1,06) 4 – 1 ìf = 1,26248 – 1 if = 0,26248 26,25% Obs. Encontrando o valor futuro podemos conferir com o exercício da taxa nominal. FV = 25.000 ( 1,26248) 3 FV = 25.000 (2,0122) FV = 50.304,91 Conforme o que havíamos conseguido com a taxa nominal. 4.3. Taxa real, aparente e de inflação Quando se realiza uma operação financeira, à uma determinada taxa, espera-se uma remuneração do capital utilizado na operação, à essa mesma taxa. Entretanto com a desvalorização das unidades monetárias, essa remuneração fica distorcida. Um índice de inflação busca medir indiretamente a desvalorização da unidade monetária , quando da aquisição de um determinado grupo de bens e serviços, em um dado período. 4.3.1. Cálculo das taxas real, aparente e de inflação A taxa aparente é aquela que vigora nas operações correntes. Quando não há inflação, a taxa real é igual a taxa aparente; mas, quando a inflação existe, a taxa aparente é formada pelos componentes da inflação e da taxa real. Notações. PV = valor presente ou capital inicial i = taxa aparente iinf = taxa de inflação ir = taxa real FV = valor futuro ou montante Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 50 Exercícios Taxa nominal 1 – Calcule o valor atual; de um título de valor nominal de R$ 11.200,00 com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizados semestralmente. 2 – Um título de valor nominal de R$ 15.000,00 foi resgatado 3 meses antes do seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido? 3 – O valor nominal de um título é de R$ 200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor de resgate, sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. 4 - Uma empresa toma emprestado em um Banco R$ 500.000,00 à taxa de 21% ao ano, com capitalizações quadrimestrais. Quanto deverá devolver ao final de 2 anos? Qual a taxa efetivamente cobrada pelo Banco? 5 - Quanto uma pessoa deve depositar em um Banco que paga 24% ao ano, com capitalizações bimestrais, para que ao fim de 5 anos possua R$ 200.000,00? Qual a taxa efetivamente paga pelo Banco? Taxas real, de inflação e aparente 1 - Qual a taxa real, num período de inflação de 17% e um ganho aparente de 34%? 2 - Uma pessoa aplicou um capital de R$ 12.500,00 durante 10 meses, à uma taxa de juros corrente de 13% ao mês. Sabendo-se que houve uma inflação de 5% ao mês, qual foi o ganho líquido na aplicação? Taxa over 1 - Uma operação com duração de 35 dias corridos, foi contratada à uma taxa over de 1,8% ao mês. Se durante esse prazo houve 22 dias úteis , calcular a taxa efetiva mensal e o montante ao término do prazo, considerando-se que foram aplicados R$100.000,00. 2 - Em uma aplicação de R$ 120.000,00 pelo prazo de 38 dias corridos correspondentes a 32 dias úteis foram resgatados R$ 126.500,00. Determinar o valor da taxa over mensal. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 51 Rendas certas ou Anuidades 5. Rendas certas ou anuidades Quando uma série de pagamentos tem valores variáveis e periodicidade diferente é necessário que se resolva como se cada aplicação ou pagamento fosse independente, o que acarreta, na maioria das vezes, uma sobrecarga de cálculos. À uma série de pagamentos ou recebimentos iguais, com intervalo de tempo iguais, chamamos de “ rendas certas ou anuidades” e, para elas temos mecanismos que facilitam a resolução dos cálculos. Denomina-se renda à sucessão de depósitos (capitalizações) ou de prestações (amortizações), em épocas diferentes, destinadas a formar um capital ou pagar uma dívida. Nas aplicações financeiras, quando o objetivo é constituir um capital em data futura, tem-se o processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se o processo de amortização. Pode ocorrer também o pagamento pelo uso sem que haja amortização, que é o caso dos aluguéis. As rendas ou anuidades, quanto à forma de pagamento ou de recebimento, podem ser de dois tipos:  rendas certas ou determinísticas: aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados, não dependendo de condições externas. Os diversos parâmetros como o valor dos termos, o prazo de duração, a taxa de juros, etc., são fixos e imutáveis (Matemática Financeira). Podem ser constituídas por aplicações iguais e em série, com a finalidade de se formar um montante num futuro pré estabelecido; prestações assumidas hoje, como forma de empréstimo; prestações de bens adquiridos; etc.. QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO CONCEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE CAPÍTULO Anuidades Amortização Composta Coeficientes de Financiamento Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 52  rendas aleatórias ou probabilísticas: ocorre quando, pelo menos um dos parâmetros é uma variável aleatória, isto é, não pode ser previamente determinada. O número de termos é indeterminado (Matemática Atuarial). Exemplo: Seguro de vida -- os valores de pagamentos (mensalidades) são certos; sendo aleatórios o valor do seguro a receber (causa da morte) e a data do recebimento (data da morte). 5.1 - Definições importantes  Anuidade ou renda certa: capitais (pagamentos ou recebimentos) referidos à uma dada taxa de juros i.  Termos da anuidade: valores que constituem a renda.  Período: intervalo de tempo entre dois termos.  Duração da anuidade: soma dos períodos.  Valor atual ou presente de uma anuidade: soma dos valores atuais dos seus termos, para uma mesma data focal, à uma mesma taxa de juros.  Montante ou valor futuro da anuidade: soma dos montantes dos seus termos, à uma mesma taxa de juros e uma mesma data focal. 5.2 - Classificação das anuidades Uma série de pagamentos ou recebimentos é representada por um fluxo de caixa. Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos . Quanto à periodicidade:  Periódicas: todos os períodos são iguais.  Não periódicas: os períodos não são iguais entre si. Quanto ao prazo:  Temporárias: a duração é limitada ( 1 ano, 5 anos ).  Perpétuas: a duração é ilimitada (seguros de vida). Quanto ao valor dos termos:  Constantes: todos os termos são iguais.  Variáveis: os termos não são iguais entre si. Quanto à forma de pagamento ou de recebimento:  Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 55 PV = PMT nn iiiii )1( 1 )1( 1 ... )1( 1 )1( 1 )1( 1 1321 Fazendo FPV(i,n) = nn iiiii )1( 1 )1( 1 ... )1( 1 )1( 1 )1( 1 1321 (lê-se : FPV = fator de valor presente ou FVA = fator de valor atual) Temos, PV = PMT . FPV (i,n) O valor de FPV é obtido pela soma dos termos de uma progressão geométrica (PG). Como a ordem das parcelas não altera a soma, temos: FPV(i,n) = 1231 )1( 1 )1( 1 )1( 1 ... )1( 1 )1( 1 iiiii nn , onde: )1()1.( )1( 1 )1( 1 : )1( 1 )1( 1 1 )1( )1( 1 2 2 1 1 ii iii q i i a i i a n n n 1 1 q aqa S nn Logo, FPV(i,n)= i i i ii i iii nnn )1(1 11 )1()1( 1)1( )1()1()1( 01 i i niFPV n)1(1 ),( Multiplicando ambos os termos da fração resultante por (1+i) n , temos: Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 56 n n n n n nnn ii i ii ii ii iii niFPV )1( 1)1( )1( )1()1( )1( )1()1()1(1 ),( 0 Conclusão: n n ii i niFPV )1( 1)1( ),( Esse fator FPV(i,n) é chamado "fator de amortização" e vem tabelado para diversos valores de i ou de n, nas tabelas financeiras. Exemplo. Um conjunto de sala de estar custa R$ 5.000,00 à vista; mas pode ser financiado sem entrada, em 10 prestações mensais iguais, à taxa de 3% ao mês. Calcule a prestação a ser paga pelo comprador. i = 3% a. m. = 0,03 a. m. n = 10 meses PV = 5.000,00 Se PV = PMT. FPV(i,n) então, PMT = ),( niFPV PV Como n n ii i niFPV )1( 1)1( ),( temos, FPV(3%,10) = 530297,8 040317,0 343916,0 )343916,1(03,0 1343916,1 )03,1(03,0 1)03,1( )03,01(03,0 1)03,01( 10 10 10 10 Calculando a prestação PMT = ),( niFPV PV = 15,586 530297,8 000.5 Resposta. O valor da prestação a ser paga é de R$ 586,15 5.3.3. Coeficientes de financiamento Fatores ou coeficientes de financiamento são números admencionais que multiplicados por PV transformam-se no valor de cada parcela de financiamento. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 57 As parcelas devem ser iguais entre si; mas, os períodos não precisam ser necessariamente iguais. Os coeficientes de financiamento são largamente usados no comércio, agências de turismo, operações de leasing e outros financiamentos onde a quantidade de valores presentes são grandes. Temos que PV.Cf = PMT logo, Cf = PV PMT . Substituindo PMT na fórmula ,vem Cf = PV niFPV PV ),( então, Cf = ),( niFPV PV . ),( 11 niFPVPV Como n n ii i niFPV )1( 1)1( ),( , temos Cf = n n ii i )1( 1)1( 1 Então, Cf = 1)1( )1( n n i ii Exemplo O gerente de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento por unidade de capital emprestado. O resultado da multiplicação do coeficiente pelo valor financiado é igual à prestação mensal. Sabendo-se que a taxa de juros da loja é de 4% ao mês, qual é o coeficiente unitário num financiamento de 6 meses? Cf = 1)1( )1( n n i ii Cf = 1265319,1 )265319,1(04,0 1)04,1( )04,1(04,0 6 6 190762,0 265319,0 050613,0 Este é o valor que , aplicado ao valor financiado dará o valor das 6 prestações mensais iguais, considerando a taxa de 4% ao mês. Obs. Se tivéssemos uma mercadoria com preço à vista de R$ 10.000,00, qual seria o valor de cada prestação, no prazo e taxa acima? Sabemos que a prestação é igual ao valor presente vezes o coeficiente de financiamento, logo: PMT = 10.000 x 0,190762 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 60 mensalmente de janeiro a agosto, do mesmo ano, para que seja possível efetuar tais retiradas, considerando uma remuneração de 3% ao mês sobre os depósitos? PMT = ? i = 3%= 0,03 a .m. n= 8 meses FV = 300.000 PV = PMT . FPV(i,n) FV = PMT . FFV(i,n) 100 100 100 J F M A M J J A S O N Pelo modelo básico teremos que o PV dos meses de setembro a novembro, na data 9 deve ser igual ao FV na mesma data dos meses de janeiro a agosto. Logo, FV = PV Como FV = PMT . FFV(i,n) e PV = PMT . FPV(i,n), temos: PMT . FFV(i,n) = PMT . FPV(i,n) Calculando FFV(3%,8) FFV(i,n) = i i n 1)1( logo, FFV(3%,8) = 892336,8 03,0 266770,0 03,0 1266770,1 03,0 1)03,1( 8 FPV(i,n) = n n ii i )1( 1)1( , logo FPV(3%,3) = 828595,2 032782,0 092727,0 )092727,1(03,0 1092727,1 )03,1(03,0 1)03,1( 3 3 Então, se PMT. FFV(3%,8) = 100.000 . FPV(3%,3) PMT (8,892336) = 100.000 (2,828595) PMT (8,892336) = 282859,5 PMT = 36,809.31 892336,8 5,859.282 Resposta. A quantia a ser depositada mensalmente deverá ser de R$ 31.809,36 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 61 5.4. - Anuidades antecipadas imediatas Nesse tipo de anuidades, os termos são exigíveis no início dos períodos. A primeira prestação é paga na assinatura do contrato (data zero). 5.4.1. Cálculo do valor presente PMT PMT PMT PMT PMT 0 1 2 n-2 n-1 Seja PV o valor atual de uma renda antecipada. Então, PV = 122 )1()1( ... )1(1 nn i PMT i PMT i PMT i PMT PMT Colocando R em evidência, temos: PV = ) )1( 1 )1( 1 ... )1( 1 1 1 1( 122 nn iiii PMT Como ) )1( 1 )1( 1 ... )1( 1 1 1 ( 122 nn iiii = FPV(n-1,i) concluímos que: PV = PMT [1+FPV(i,n-1)] ou ainda PV = PMT (1+i) . FPV(i,n) ou seja, o valor atual de uma renda antecipada de n termos. Exemplo. Calcule o valor presente de uma anuidade antecipada de 12 termos mensais de R$ 250,00, à taxa de 3% ao mês. PMT = 250 i = 3% = 0,03 a .m. n = 12 m. PV = PMT [ 1+ FPV(i,n-1)} Cálculo do FPV(i,n-1) PV = 250 [1+ FPV(3%,12-1)] FPV(3%;11) = 041527,0 384234,0 )03,1(03,0 1)03,1( 11 11 PV = 250 [1+ 9,252631] FPV(3%;11) = 9,252631 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 62 PV = 250 [10,252631] PV = 2.563,16 Resposta. O valor presente da anuidade é de R$ 2.563,16 Pela segunda fórmula, temos: PV = PMT(1+i).FPV(i,n) FPV(3%,12) = 04277,0 42576,0 )03,1(03,0 1)03,1( 12 12 PV = 250 (1,03) . 9,95398 FPV(3%,12) = 9,95398 PV = 2.563,15 5.4.2 - Cálculo do valor futuro O valor futuro ou montante de uma renda antecipada é o mesmo do montante do modelo básico, multiplicado por (1+i). Logo, FV = PMT.(1+i).FFV(i,n) Exemplo. Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o valor futuro ou montante da renda, sabendo-se que esta financeira paga juros de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. PMT = 100,00 i = 2% = 0,02 a .m. n = 5 m. FV = ? Se o depósito é feito no início de cada mês, a renda é antecipada; portanto, a fórmula é: FV = PMT.(1+i). FFV(i,n) Cálculo do FFV(2%;5) FV = 100 (1,02). FFV(2%;5) FFV(2%;5) = 02,0 104081,0 02,0 1)02,1( 5 FV = 100 .(1,02). 5,204040 FFV(2%;5) = 5,204040 FV = 530,81 Resposta. O valor futuro será de R$ 530,81. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 65 Tem-se que FV31 = PMT . FFV(i,n) então, FV31 = PMT . FFV(2%;16) como FFV(2%;16) = 18,639285 temos: FV31 = 400 (18,639285) FV31 = 7.455,71 Capitalizando-se o valor futuro FV31 até a data focal 40, temos: FV40 = 7.455,71 (1,02) 9 (Obs: 40-31 = 9) FV40 = 7.455,71 (1,195093) FV40 = 8.910,26 3 a opção Calcula-se, pelo modelo básico, o valor futuro de uma anuidade de 25 termos (40 termos menos os 15 primeiros que não são usados) , menos o valor futuro de uma anuidade de 9 termos (40 - 31 termos). FV = PMT [FFV(2%;25) - (FFV(2%;9)] FV = 400 ( 32,03030 - 9,754628) FV = 400 ( 22,275672) FV = 8.910,27 Resposta. O valor futuro será de R$ 8.910,27 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 66 Exercícios Anuidades - modelo básico. 1 – Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num “Fundo de Renda Fixa", durante 5 anos, para que possa resgatar R$ 200.000,00 no final dos 60 meses, sabendo-se que o fundo proporciona um rendimento de 2% ao mês? 2 – Quantas prestações de R$ 4.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao trimestre, para acumular um montante de R$ 100.516,08? Usar a tabela. 3 – A que taxa devo aplicar R$ 15.036,28 por ano para que eu tenha R$ 500.000,00 no final de 10 anos? Usar a tabela. 4 – Qual o valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou amortizado em 5 prestações mensais , iguais e sucessivas de R$ 100,00 cada uma? 5 – Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 3.500,00 cada uma, considerando uma taxa de 5% ao mês. 6 – Calcule pela tabela, o número de prestações semestrais de R$ 15.000,00 cada um, capazes de liquidar um financiamento de R$ 49.882,65, à taxa de 20% ao semestre. 7 – Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de R$ 1.000,00 por mês, à taxa de 3% ao mês? 8 – Quanto deverá ser aplicado a cada 2 meses, em um “Fundo de renda fixa”, à taxa de 5% ao bimestre, durante 3,5 anos, para que se obtenha, no final desse prazo, um montante de R$ 175.000,00? 9 – O Sr. Manoel Reis resolveu aplicar mensalmente a quantia de R$ 800,00, durante 5 anos, à uma taxa de 42,576% ao ano. Além das aplicações mensais, o Sr. Manuel Reis fará uma aplicação extra de R$ 3.000,00 no final de cada ano, isto é, no final do mês de dezembro, aproveitando parte do seu 13º salário. Qual o valor do montante no final do 60º mês, sabendo-se que a data base é final de dezembro do ano 20XY, e que a 1ª parcela será aplicada no final do mês seguinte? 10 – Mauro e Clara ficaram noivos e pretendem casar-se daqui a 20 meses. Como entendem ser mais aconselhável adquirir à vista o imóvel necessário, pretendem fazer aplicações mensais, cujo montante deverá ser sacado 3 meses antes do casamento, para a devida compra. Sabendo-se que: a) essa aplicação deverá render 2,75% ao mês; b) o montante desejado é de R$ 80.000,00 (valor que os mesmos destinam para o imóvel daqui a 17 meses); c) o casal aplicou hoje R$ 12.000,00. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 67 Indaga-se: qual o valor de cada uma das 17 prestações mensais, iguais e consecutivas, necessárias para totalizar o montante de R$ 80.000,00 no final de 17 meses? 11 – Quanto terei de aplicar mensalmente a partir de hoje, para acumular no final de 36 prestações, um montante de R$ 300.000,00 , sabendo-se que o rendimento firmado é de 34,489% ao ano e que as prestações são iguais e consecutivas? 12 – Um conjunto de som custa R$ 1.500,00 `a vista; mas pode ser financiado sem entrada, em 10 prestações mensais iguais, à taxa de 2,5% ao mês. Calcule a prestação a ser paga pelo comprador. 13 - Uma aparelhagem de som está acumulada nas seguintes condições: R$1.500,00 de entrada e 3 prestações mensais iguais de R$ 1.225,48. Calcule o preço à vista , sabendo-se que o juro cobrado pela loja de som é de 2,5% ao mês. 14 - Um carro está a venda por R$ 15.000,00 `avista. Pode também ser adquirido em prestações mensais de R$ 885,71 a 3% ao mês, de juros. Sabendo-se que as prestações vencem a partir do mês seguinte ao da compra, calcule o número de prestações. 15 - Uma loja vende uma mercadoria por R$ 2.000,00 à vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3,5% ao mês. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após um mês? 16 - Uma determinada loja vende uma mercadoria por R$ 3.000,00. É exigida uma entrada de 40% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 5% ao mês. Qual será o valor das prestações, se um cliente optar por 6 prestações iguais? 17 - Um carro está à venda por R$ 10.000,00 de entrada, mais 12 prestações mensais iguais a R$ 2.236,51. Como opção, a agência vende também em 24 prestações de R$ 1.613,16 sendo, nesse caso, exigida uma entrada de R$12.000,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa do mercado for de 3% ao mês? 18 - Uma loja vende uma mercadoria em 12 prestações mensais iguais a R$ 97,49 ou, em 24 prestações mensais iguais a R$ 51,50. Nos dois casos o cliente não dará entrada alguma. Sabendo- se que a taxa de juros do crédito pessoal é de 2,5% ao mês, pergunta-se: qual é o melhor sistema para o comprador? 19 - O gerente financeiro de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento por unidade de capital emprestado. O resultado da multiplicação do coeficiente pelo valor financiado é igual à prestação mensal. Sabendo-se que a taxa de juros da loja é de 3% ao mês, quais são os coeficientes unitários nas hipóteses de prazos abaixo? a) 6 meses b) 12 meses c) 18 meses d) 24 meses Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 70 15 – Qual depósito trimestral que, durante 4 anos consecutivos, produz um montante de R$ 200.000,00 após o último depósito? Considere a taxa de 10% ao trimestre. 16 – Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 400.000,00? Anuidades diferidas 1 - Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser quitado em 5 prestações mensais iguais e consecutivas. Sabemos que a 1ª prestação tem o seu vencimento 90 dias após a data do contrato e que a taxa de juros cobrada pelo Banco X é de 6% ao mês, calcular o valor das prestações. 2 - Antônio compra de um amigo, um apartamento cujo valor à vista é de R$150.000,00 nas seguintes condições: entrada de R$ 50.000,00 mais prestações mensais de R$ 18.598,04 com um ano de carência. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 4,5% ao mês, qual o número de prestações? 3 - Qual o valor atual ou presente de uma renda de 15 termos mensais de R$ 700,00 com três meses de carência, à taxa de 1,5% ao mês? 4 - Qual o valor presente de uma dívida que pode ser amortizada com 10 prestações mensais de R$ 500,00, sendo de 2% a taxa de juros e devendo a primeira prestação ser paga 3 meses depois de realizado o empréstimo? 5 - Uma divida de R$ 20.000,00 deve ser amortizada com 6 pagamentos bimestrais consecutivos, sendo de 4% ao bimestre a taxa de juros. Calcule esta prestação, sabendo-se que o pagamento da primeira delas deve ser efetuado 4 meses após a realização do empréstimo. Outras anuidades 1 - Qual o montante ao final de 6 trimestres, resultante da aplicação de 6 parcelas trimestrais de R$ 1.000,00 , R$ 4.000,00 , R$ 2.000,00 , R$ 6.000,00 , R$ 3.000,00 e R$ 5.000,00 à taxa de 10% ao trimestre, sendo a primeira aplicação feita no final do 1 o trimestre? 2 - Calcular o valor presente da série representada por 5 pagamentos mensais consecutivos de R$ 1.700,00 , R$ 3.000,00 , R$ 1.250,00 , R$ 2.300,00 e R$ 980,00 , considerando a taxa de 4% ao mês. 3 - Certa pessoa vende um carro a um amigo cobrando juros de 1% ao mês. O negócio foi feito da seguinte forma: R$ 5.000,00 de entrada; Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 71 R$ 4.000,00 no 1 o mês; R$ 6.000,00 no 2 o mês; R$ 1.000,00 no 3 o mês; R$ 3.000,00 no 4 o mês. Qual o valor do carro à vista, uma vez que estes pagamentos soldam toda a dívida? 4 - Uma dívida foi liquidada em 4 prestações anuais de R$ 37.551,02, R$ 12.500,00, R$ 113.800,00 e R$ 97.300,00, respectivamente, vencíveis no final de cada ano. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada foi de 40% ao ano, calcular o valor da dívida. 5 - Um empréstimo de R$ 6.500,00 será pago em 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, à uma taxa de 12% ao semestre. Pergunta-se: a) qual o valor de cada prestação se elas forem postecipadas; b) e se elas forem antecipadas; c) se houver uma carência de 3 meses, qual o valor de cada PMT? 6 - Um computador será pago em 7 prestações mensais , consecutivas e postecipadas, sendo as de ordem ímpar no valor de R$ 425,00 e as de ordem par no valor de R$ 640,00. Qual o valor desse computador à vista sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 1,8% ao mês? Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 72 Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos Segundo as práticas habituais, os empréstimos classificam-se em: de curto, de médio e de longo prazo. Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. Os problemas mais importantes num empréstimo de longo prazo dizem respeito à explicitação do sistema de reembolso adotado e ao cálculo da taxa de juros efetivamente cobrada. Existem várias maneiras de amortizar uma dívida, devendo as condições de cada operação estarem estabelecidas em contrato firmado entre o credor (mutuante) e o devedor (mutuário). Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam, basicamente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor do capital. 6.1. Definições básicas  Encargos financeiros – Representam os juros da operação, caracterizando–se como custo para o devedor e retorno para o credor.  Amortização – Refere-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente, através de parcelas periódicas (mensais, trimestrais, etc.).  Saldo devedor – Representa o valor do principal da QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO CONCEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE CAPÍTULO Sistema de Amortização Constante – SAC Price Sistema de Amortização Variável Sistema de Amortização Misto Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 75 7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00 8 60.000,00 10.000,00 9.812,30 19.812,30 9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50 10 40.000,00 10.000,00 7.008,80 17.008,80 11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00 12 20.000,00 10.000,00 4.205,30 14.205,30 13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50 14 -- 10.000,00 1.401,80 11.401,80 Total -- 100.000,00 133.166,50 233.166,50 6.2.3. SAC com carência de 2 anos e prazo de utilização não-unitário Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 50.000,00 -- -- -- 1 100.000,00 -- 7.008,70 7.008,75 2 100.000,00 -- 14.017,50 14.017,50 3 100.000,00 -- 14.017,50 14.017,50 4 100.000,00 -- 14.017,50 14.017,50 5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50 6 80.000,00 10.000,00 12.615,80 22.615,80 7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00 8 60.000,00 10.000,00 9.812,30 19.812,30 9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50 10 40.000,00 10.000,00 7.008,80 17.008,80 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 76 11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00 12 20.000,00 10.000,00 4.205,30 14.205,30 13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50 14 -- 10.000,00 1.401,80 11.401,80 Total -- 100.000,00 126.157,75 226.157,75 6.2.4. SAC com carência (2 anos) e capitalização de juros. Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 100.000,00 -- -- -- 1 114.017,50 -- -- -- 2 129.999,90 -- -- -- 3 148.222,60 -- -- -- 4 168.999,70 -- -- -- 5 90.000,00 10.000,00 92.689,30 102.689,30 6 80.000,00 10.000,00 12.615,80 22.615,80 7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00 8 60.000,00 10.000,00 9.812,30 19.812,30 9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50 10 40.000,00 10.000,00 7.008,80 17.008,80 11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00 12 20.000,00 10.000,00 4.205,30 14.205,30 13 10.000,00 10.000,00 2.803,30 12.803,30 14 -- 10.000,00 1.401,80 11.401,80 Total -- 100.000,00 155.768,30 255.768,30 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 77 6.2.5. SAC com carência (2 anos) com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor. Períodos (semestres) Saldo devedor Amortização Juros Prestação 0 100.000,00 -- -- -- 1 114.017,50 -- -- -- 2 129.999,90 -- -- -- 3 148.222,60 -- -- -- 4 169.000,00 -- -- -- 5 152.100,00 16.900,00 23.689,60 40.589,60 6 135.200,00 16.900,00 21.320,60 38.220,60 7 118.300,00 16.900,00 18.951,70 35.851,70 8 101.400,00 16.900,00 16.582,70 33.482,70 9 84.500,00 16.900,00 14.213,70 31.113,70 10 67.600,00 16.900,00 11.844,80 28.744,80 11 50.700,00 16.900,00 9.475,80 26.375,80 12 33.800,00 16.900,00 7.106,90 24.006,90 13 16.900,00 16.900,00 4.737,90 21.637,90 14 -- 16.900,00 2.369,00 19.269,00 Total -- 169.000,00 130.292,70 299.292,70 6.3. Sistema de amortização francês – SAF - PRICE Prestação. Utiliza-se o modelo básico PMT = ),( niFPV PV Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 80 Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 100.000,00 -- -- -- 1 114.017,50 -- -- -- 2 129.999,90 -- -- -- 3 148.222,60 -- -- -- 4 168.999,70 -- -- -- 5 160.267,53 8.732,17 23.689,53 32.421,70 6 150.311,40 9.956,20 22.465,50 32.421,70 7 138.959,70 11.351,80 21.069,90 32.421,70 8 126.016,70 12.943,00 19.478,70 32.421,70 9 111.259,40 14.757,30 17.664,40 32.421,70 10 94.433,50 16.825,90 15.595,80 32.421,70 11 75.249,10 19.184,40 13.237,20 32.421,70 12 53.375,50 21.873,70 10.548,00 32.421,70 13 28.435,70 24.939,80 7.481,90 32.421,70 14 -- 28.435,70 3.985,97 32.421,70 Total -- 169.000,00 155.217,00 324.217,00 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 81 Exercícios Amortizações. 1 – Um empréstimo de R$ 80.000,00 deve ser pago em 4 amortizações constantes anuais, sem carência. A taxa de juros contratada é de 8 % ao ano. Construir a planilha de financiamento. 2 – O Banco L & S emprestou R$ 240.000,00 pagos no ato, à taxa de 9% ao ano. O prazo total para a amortização do financiamento é de 3 anos e meio, incluindo-se 1 ano de carência. O pagamento de juros e das amortizações constantes deve ser semestral. Construir a planilha. 3 – Uma empresa recebe um financiamento de R$ 300.000,00 para ser pago em 6 prestações anuais, com 2 anos de carência, pelo Sistema Francês. Construir a planilha, considerando-se a taxa de juros de 20% ao ano. 4 – Usar o mesmo exemplo para 6 parcelas semestrais, com taxa efetiva. 5 – Usar ainda o exemplo 3 , com juros capitalizados e incorporados ao principal, para serem amortizados nas prestações. 6 – Um empréstimo de R$ 260.000,00 foi entregue pela financiadora em 2 parcelas iguais, defasadas em um ano. Com uma carência de 3 anos e uma taxa de juros de 16% ao ano, como ficaria a planilha? 7 – Qual será a 1 a prestação trimestral de um financiamento de R$ 50.000,00 com carência de 3 anos, tendo sido os juros capitalizados na carência? Considerando-se a taxa de juros de 16% ao ano, Sistema Francês – Tabela Price e 12 prestações – separar a parcela referente aos juros na primeira prestação. 8 – Uma empresa em fase de expansão, obtém de uma agência governamental, um financiamento de R$ 48.000.000,00 a ser liberado em três parcelas quadrimestrais seqüenciais, sendo de R$ 13.000.000,00 a primeira, de R$ 30.000.000,00 a segunda e de R$ 5.000.000,00 a terceira. Os encargos financeiros são basicamente os seguintes: a) taxa efetiva de juros de 9% ao ano; b) comissão de abertura de crédito de 0,5% sobre o valor do financiamento - valor esse cobrado quando da liberação da primeira parcela. O órgão financiador concede 4 quadrimestres de carência, sendo pagos juros durante a carência. O prazo total do financiamento será de 5 anos, o SAC como sistema de amortização adotado e as amortizações quadrimestrais. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0 Página 82 9 - Um empréstimo de R$ 70.000,00 será realizado à uma taxa de 26% ao ano, num período de 2 anos, com prestações quadrimestrais. Pergunta-se: a) qual o valor da 4 a amortização pelo SAC; b) qual o valor da 6 a prestação pelo SAF; c) qual o valor da 2 a prestação pela Tabela Price; d) qual o valor do 2 o saldo devedor, 2 a amortização, 2 o juro e 2 a prestação pelo SAF; e) quais os valores da amortização, do juro e da prestação de 2 o período pelo SAM; f) se o sistema utilizado fosse o SAA com pagamento de juros, quando seria efetuada a amortização, qual o seu valor e qual o valor da prestação nesse período?