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ÍNDICEI
LISTA DE TABELASI
1 INTRODUÇÃO1
2 PERCENTAGENS2
2.1 ACRÉSCIMOS E ABATIMENTOS SOBRE PREÇOS INICIAIS E FINAIS2
2.2 ACRÉSCIMOS E ABATIMENTOS SUCESSIVOS6
3 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA10
3.1 O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA10
3.2 AS TAXAS DE JUROS1
3.3 DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA12
4 O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES13
4.1 JUROS SIMPLES13
4.2 MONTANTE SIMPLES14
4.3 TAXAS15
4.4 DESCONTOS SIMPLES15
4.4.1 Cálculo do Desconto Simples Comercial16
4.4.2 Cálculo do Valor Atual Comercial17
5 O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA19
5.1 MONTANTE E JUROS DE UM ÚNICO PAGAMENTO19
5.2 DESCONTO20
5.3 TAXAS DE JUROS COMPOSTOS20
5.4 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES20
5.5 TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS21
5.6 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO MISTA2
5.7 EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA23
6 SÉRIES UNIFORMES26
6.1 CLASSIFICAÇÃO, ELEMENTOS E CÁLCULOS26
6.2 SÉRIES ANTECIPADAS26
6.3 SÉRIES IMEDIATAS28
6.4 SÉRIES DIFERIDAS29
6.5 SÉRIES GRADIENTES30

ÍNDICE 6.6 DECOMPOSIÇÃO DE FLUXOS DE CAIXA 32

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7 SISTEMAS DE FINANCIAMENTO3
7.1 SISTEMA DO MONTANTE34
7.2 SISTEMA DO JURO ANTECIPADO (DESCONTOS)34
7.3 SISTEMA FRANCÊS OU SISTEMA PRICE35
7.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES36
8 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE FINANCIAMENTO E INVESTIMENTO39
8.1 MÉTODOS DE ANÁLISE40
8.1.1 Método do Custo Anual40
8.1.2 Método do Valor Presente Líquido45
8.1.3 Método da Taxa Interna de Retorno50
8.2 CLASSIFICAÇÃO DE ALTERNATIVAS53
8.2.1 Alternativas Singulares53
8.2.2 Alternativas Múltiplas53
8.2.3 Alternativas com Vidas Econômicas Diferentes54
ANEXOS5
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VALOR PRESENTE DE UM PAGAMENTO56
VALOR FUTURO DE UM PAGAMENTO57
VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA58
VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA59
FATOR DE CONVERSÃO DE SÉRIE GRADIENTE PARA IMEDIATA60
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1. Introdução

Tornou-se lugar comum afirmar que, no Brasil, a grande maioria das empresas fecha suas portas ao final dos cinco primeiros anos de operação e parece ser consenso entre professores, consultores e administradores que as dificuldades na obtenção e administração do capital de giro respondem pela quase totalidade dessas baixas.

Sabe-se, também, que a maior parte do tempo destinado à administração das empresas brasileiras é dedicada à administração financeira. De fato, o ambiente econômico e financeiro nacional não perdoa os amadores. Altos níveis de concentração de renda, taxas de juros estratosféricas e carga tributária extorsiva constituem entraves seriíssimos à atividade econômica que tornam o dia a dia da gestão empresarial um desafio gigantesco.

Nesse contexto, o conhecimento da matemática comercial e financeira, mais que nunca, é fundamental para a administração nas mais diversas áreas.

Do cálculo das comissões de vendas, à avaliação de projetos alternativos de investimento, buscou-se, neste trabalho, apresentar as poderosas ferramentas da matemática comercial e financeira com uma preocupação permanente com a linguagem acessível e com a sua utilidade prática. Sempre que possível, buscou-se utilizar uma nomenclatura idêntica à das calculadoras financeiras, de modo a facilitar a compreensão e o uso daqueles instrumentos.

Nos anexos apresentam-se tabelas de índices que têm o objetivo de possibilitar cálculos rápidos para algumas taxas e prazos e, ainda, uma tabela prática para cálculo de prazos entre datas.

Espera-se oferecer um instrumento de aprendizado e consulta que possa auxiliar nossos alunos e treinandos na ampliação e consolidação de seus conhecimentos e na sua evolução profissional.

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2. Percentagens

Uma percentagem é um número relativo, que pode ser utilizado para comparar grandezas de qualquer espécie: volume, área, peso, etc.

A percentagem (r) representa parte (p) de uma grandeza que foi dividida em cem unidades, que chamamos de principal (P). Fazendo uma regra de três, temos:

iPprPrPpr

Onde i é uma taxa e é igual à percentagem dividida por cem:

Exemplo: Calcular 8% de 560. Comentário: Podemos calcular utilizando a percentagem ou a taxa.

p ou

2.1 Acréscimos e abatimentos

O valor resultante de um acréscimo é chamado de valor bruto (B) e é igual ao principal mais a parte que foi acrescida. pPB+=

Nós já vimos que a parte é igual ao principal multiplicado pela taxa: iPp×=

Substituindo na equação anterior, temos:

)1( iPB ou iPPB

Da mesma forma, ao fazermos um abatimento, o valor resultante é o valor líquido (L), que é igual ao principal menos a parte que foi abatida.

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Como: iPp×=

Substituindo na equação anterior:

)1( iPL ou iPPL

2.2 Operações com mercadorias

Nos acréscimos como nos abatimentos, podemos considerar como principal tanto o preço inicial (Po), que é o preço antes da operação ou preço de custo, como o preço final (Pn) que é o preço depois da operação ou preço de venda. Isso costuma gerar muita confusão, pois um mesmo acréscimo ou abatimento pode ser representado por duas percentagens, uma calculada "sobre" o preço inicial e outra calculada "sobre" o preço final.

Assim, se o principal é o preço inicial, o que é mais comum, em um acréscimo o preço final é um valor bruto igual ao preço inicial mais o acréscimo:

)1()1( 0 iPPiPB n +×= +×= Em um abatimento, o preço final é um valor líquido igual ao preço inicial menos o abatimento:

)1()1( 0 iPPiPL n −×= −×= Porém, em certas ocasiões como no cálculo do ICMS, por exemplo, o principal é o preço final, isto é, o cálculo é feito sobre o preço que já inclui a operação. Nesse caso, em um acréscimo, o preço inicial é um valor líquido igual ao preço final menos o acréscimo:

Em um abatimento, o preço inicial é um valor bruto igual ao preço final mais o abatimento:

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5) A saca de café passou de US$ 40,0 para US$ 30,0. Qual foi a variação percentual?
margem que representa 20% do preço de venda. Calcule esse preço de venda
preço de custo. Calcular o preço de venda
prejuízo que representa 20% do preço de venda. Calcule esse preço de venda

1) Quanto é 8% de 1.253.897,3? 2) Quanto por cento 1.200 é de 8.0? 3) 1.0,0 são 3% de quanto? 4) A cotação da libra esterlina passou de R$ 1,86 para R$ 1,90. Qual foi a variação percentual? 6) A saca de café passou de R$ 75,0 para R$ 10,0. Qual foi a variação percentual? 7) O preço de venda de certa mercadoria representa um acréscimo de 15% sobre o preço de custo de R$ 5.80,0. Qual é o preço de venda? 8) O preço de venda de certa mercadoria é R$ 1.50,0 e representa um acréscimo de 25% sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo. 9) O preço de venda de certa mercadoria é de R$ 6.70,0, o que inclui uma margem que representa 25% desse preço de venda. Calcule o preço de custo. 10) O preço de custo de certa mercadoria é de R$ 8.0,0, o que permite vendê-la com uma 1) Uma mercadoria que custou R$ 12.0,0 foi vendida por R$ 16.0,0. Qual foi a margem sobre o preço de custo? Qual sobre o de venda? 12) O preço de venda de certa mercadoria é R$ 1.50,0 e resulta de um abatimento de 25% sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo. 13) Uma mercadoria custou R$ 9.0,0, o que obriga a vendê-la com um prejuízo de 30% sobre o 14) O preço de venda de certa mercadoria é de R$ 6.70,0 e resulta de um desconto de 25% sobre a venda. Calcule o preço de custo. 15) O preço de custo de certa mercadoria é de R$ 8.0,0, o que obriga a vendê-la com um

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2.3 Acréscimos e abatimentos sucessivos

Os acréscimos e abatimentos podem ser feitos de forma sucessiva. Isso quer dizer que, em uma série de Operações, cada operação é realizada de forma acumulada, "sobre" o resultado da operação anterior. Dessa forma, o bruto de cada acréscimo ou o líquido de cada abatimento passa a ser o principal da operação seguinte.

Vamos imaginar uma série de acréscimos feitos de forma sucessiva, a partir de um principal. O bruto do primeiro acréscimo seria calculado por:

)1()1()1()1( 321323 iiiPiBB +×+×+×=+×= E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de acréscimos, poderíamos escrever que:

E se fossem vários acréscimos iguais, teríamos:

Como esses acréscimos são realizados sobre principais diferentes, o acréscimo total é sempre diferente do (maior que o) obtido pela simples soma das taxas. Isto nos leva à busca de uma taxa única que corresponda à aplicação de diversas taxas de forma sucessiva. Assim, o valor bruto produzido por essa taxa única de acréscimos (iua) será igual ao valor bruto produzido pelas diversas taxas de acréscimos sucessivos:

nuBB= sendo:

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Vamos imaginar, agora, uma série de abatimentos feitos de forma sucessiva, a partir de um principal. O líquido do primeiro abatimento seria:

)1()1()1()1( 321323 iiiPiLL −×−×−×=−×= E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de abatimentos, poderíamos escrever que:

E se fossem vários abatimentos iguais, teríamos:

Como os abatimentos sucessivos resultam em um abatimento total diferente da (menor que a) soma das taxas de abatimento, podemos calcular a taxa única que corresponde à aplicação de diversas taxas de abatimento sucessivas. O valor líquido produzido por essa taxa única de abatimentos, ou taxa única de descontos (iud) será igual ao valor líquido produzido pelas diversas taxas de abatimentos sucessivos:

nuLL= sendo:

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E, se fossem vários abatimentos iguais, teríamos:

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10%, 15% e 20% e foi vendida por R$ 150.0,0

1) Calcular o valor bruto de uma mercadoria cujo preço de fábrica é de R$ 1.20,0 por unidade e que sofre os acréscimos sucessivos de 3%, 5% e 7%. 2) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que sofreu, de forma sucessiva, os acréscimos de 5%, 3) Calcular o valor líquido de uma mercadoria que sofreu, sucessivamente, os abatimentos de 5%, 10%, 15% e 20% sobre o valor inicial de R$ 10.0,0. 4) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que foi vendida por R$ 50.0,0 após sofrer os abatimentos sucessivos de 10%, 20%, 30% e 40%. 5) Qual a taxa única que corresponde aos acréscimos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de forma sucessiva? 6) Qual a taxa única que corresponde aos abatimentos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de forma sucessiva? 7) Uma mercadoria cujo preço de fábrica é de R$ 15.0,0 sofre, de forma sucessiva, os acréscimos de 3%, 5%, 8% e um quarto que eleva o seu preço final a R$ 21.024,36. Qual a percentagem do o último acréscimo? 8) Ao comprar certa mercadoria por R$ 20.0,0, obtive os descontos de 15%, 20% e um terceiro. Os descontos foram realizados de forma sucessiva, sobre o preço da etiqueta de R$ 42.016,81. Qual a percentagem do último desconto? 9) O acréscimo total de 27,63% foi resultante da aplicação de cinco taxas iguais de forma sucessiva. Qual a percentagem dessas taxas? 10) O abatimento total de 2,62% foi resultante da aplicação de cinco taxas iguais de forma sucessiva. Qual a percentagem dessas taxas?

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3. Fundamentos da Matemática Financeira

3.1 O Princípio da Equivalência

O princípio fundamental da Matemática Financeira é o princípio da equivalência. O princípio da equivalência baseia-se no fato de que o dinheiro muda de valor no decorrer do tempo. Assim, uma determinada quantia teria significados econômicos diferentes em épocas diferentes, ainda que em ambiente não inflacionário. A partir desse raciocínio, podemos imaginar uma outra quantia, situada em época futura, que tenha o mesmo significado econômico, o mesmo valor, que certa quantia conhecida no presente. Em outras palavras, um Valor Futuro (FV) equivalente ao Valor Presente (PV) conhecido. Da mesma forma, podemos imaginar que exista, no presente, uma quantia com o mesmo valor que outra quantia conhecida no futuro, ou prevista. Em outras palavras, um Valor Presente equivalente ao Valor Futuro conhecido ou previsto.

A diferença entre o Valor Presente e o Valor Futuro é a parcela correspondente aos juros (j). Os juros podem ser definidos livremente como o aluguel do capital. Existem várias justificativas para os juros. Entre elas podemos citar a teoria da produtividade marginal do capital: o capital, associado aos outros fatores de produção, é, também produtivo. Como o capital é, então, um dos fatores de produção, os juros correspondem à remuneração do fator capital, da mesma forma, por exemplo, que os salários remuneram o fator trabalho. Outra teoria é a do preço do tempo ou abstinência de Böhm-Bawerk (escola psicológica austríaca) que diz que um capital emprestado é um bem presente que se dá em troca de um bem futuro. Como a expectativa de um bem futuro vale menos que a realidade do bem presente, os juros compensariam essa diferença. Assim, o Valor Futuro é o resultado da soma do Valor Presente com a sua remuneração sob a forma de juros:

jPVFV+=

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