Cálculo vetorial e geometria analítica

Cálculo vetorial e geometria analítica

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1 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 1

A noção de vetor, que muitos matemáticos e físicos, já discutiam há muito tempo atrás, sua formalização com a Teoria do Cálculo Vetorial, é algo recente datado próximo ao final do século XIV e início do século X. Seu desenvolvimento da álgebra vetorial e da análise vetorial como conhecemos hoje foi revelado primeiramente em um conjunto de notas de aula feitos por J. Willard Gibbs (1839--1903) feito para seus alunos na Universidade de Yale. Gibbs nasceu em New Haven, Connecticut (seu pai também foi professor em Yale) e suas conquistas científicas principais foram em física, termodinâmica propriamente dita. Maxwell apoiava o trabalho de Gibbs em termodinâmica, especialmente as apresentações geométricas dos resultados de Gibbs e concluiu que vetores forneceriam uma ferramenta mais eficiente para seu trabalho em física. Assim, começando em 1881, Gibbs imprimiu por conta própria notas de aulas sobre análise vetorial para seus alunos, as quais foram amplamente distribuídas para estudiosos nos Estados Unidos, na Inglaterra e na Europa. Ao introduzir as teorias de Maxwell sobre eletricidade e magnetismo na Alemanha (1894), os métodos vetoriais foram defendidos e vários livros sobre análise vetorial em alemão se seguiram. Os métodos vetoriais foram introduzidos na Itália (1887, 1888, 1897), na Rússia (1907) e na Holanda (1903). Vetores agora são a linguagem moderna de grande parte da física e da matemática aplicada e continuam tendo seu próprio interesse matemático intrínseco.

1 Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial

Na natureza encontramos dois tipos de grandezas (físicas): as grandezas escalares e as grandezas vetoriais. Para se operar com as grandezas escalares são utilizadas as mesmas operações definidas no conjunto dos números reais. Para operar com grandezas vetoriais são necessárias outras operações e outras definições, também chamado de Cálculo Vetorial.

Grandeza Escalar: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário caracterizar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida.

Exemplos de grandezas escalares: 1) Massa: Se estamos interessados em dizer qual é a massa de um determinado corpo, basta dizer, por exemplo: um corpo com massa de 75 kg, onde, 75 é o módulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida. 2) Temperatura: Para você informar sobre a temperatura de um determinado ambiente, basta dizer, por exemplo: a temperatura do ambiente é de 36 oC, onde, 36 é o módulo da grandeza e oC (grau Celsius) a unidade de medida.

Grandeza Vetorial: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário caracterizar seu módulo e uma unidade de medida, direção e sentido.

Exemplos de grandezas vetoriais: 1) Força: Quando uma força é aplicada em um corpo, ela é aplicada com certa intensidade (seu módulo), numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo: uma força de intensidade 20 N (Newtons), na direção horizontal com sentido para direita.

2) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com certa velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo: uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), numa direção vertical com sentido para cima.

2 Vetor

Definição: Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos do espaço e representado pela "flecha" com abaixo. O ponto A (início da flecha) é a origem e B (a "ponta" ou "seta" da flecha) é a extremidade. Um segmento orientado do tipo (A,A) é chamado segmento orientado nulo.

Observe que, se A≠B, então (A,B) é diferente de (B,A). No caso do segmento orientado (B,A), B passa ser a origem e A a extremidade.

Dado um segmento orientado (A,B), vamos definir os seus três elementos básicos: módulo, direção e sentido.

(a) módulo: representa o tamanho ou comprimento do segmento orientado (A,B) que é definido como sendo do tamanho do segmento geométrico AB.

(b) direção: é a reta suporte que sustenta o segmento orientado (A,B), ou seja, se prolongarmos o segmento orientado além da sua origem e da sua extremidade através de uma reta tracejada, a reta obtida indica sua direção.

(c) sentido: o sentido do segmento orientado (A,B) é indicado pela "seta" da flecha que o representa.

Definição:

(a) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesmo comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm comprimentos iguais.

(b) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D), não nulos, são paralelos se eles tem a mesma direção, ou seja, se as retas suportes de ambos são paralelas.

Considere os vetores abaixo e note que, conforme as definições acima temos:

- Os segmentos orientados (A,B) e (E,F) têm o mesmo módulo, mesma direção (são paralelos) e o mesmo sentido;

- Os segmentos orientados (A,B) e (G,H) têm módulos diferentes, direções diferentes (não são paralelos) e sentidos diferentes;

- Os segmentos orientados (E,F) e (D,C) tem módulos diferentes, mesma direção (são paralelos) e sentidos opostos.

"seta": sentido de (A,B) reta suporte: direção de (A,B) módulo:AB B

Definição: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se forem de mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Indica-se a equipolência entre (A,B) e (C,D) por: (A,B)~(C,D).

OBS: Decorre da definição que: (a) se ambos os segmentos forem nulos então eles são equipolentes;

(b) equipolente a um segmento orientado nulo, somente outro segmento orientado nulo.

Proposição: A relação de equipolência é uma relação de equivalência, ou seja, quaisquer que sejam os segmentos orientados (A,B), (C,D) e (E,F):

(a) (A,B)~(A,B)(Propriedade Reflexiva)
(b) (A,B)~(C,D)⇒(C,D)~(A,B)(Propriedade Simétrica)

Proposição: Considere os segmentos orientados (A,B) e (C,D). Se (A,B)~(C,D)⇒(A,C)~(B,D).

Definição: Dado o segmento orientado (A,B), a classe de equipolência de (A,B) é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (A,B). O segmento orientado (A,B) é o representante da classe.

OBS: Decorre da definição de classe de equipolência o que segue:

(a) Todos os segmentos orientados pertencentes a uma classe de equipolência são equipolentes entre si. O próprio (A,B) é um deles, pela propriedade reflexiva;

(b) Se (C,D) pertence à classe de equipolência de (A,B), então (A,B) pertence à classe de equipolência de (C,D), devido a propriedade simétrica. Na verdade, essa duas classes coincidem, pois quem for equipolente a (C,D) será equipolente a (A,B), e vice-versa, pela propriedade transitiva;

(c) Qualquer segmento pertencente a uma classe de equipolência pode ser o seu representante.

Definição: Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se (A,B) é um segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante será indicado por AB ou simplesmente por uma letra minúscula, por exemplo v . Logo,

OBS: Deve estar claro que, se os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes, então os vetores AB e CD são iguais. Cuidado para não usar a expressão "vetores equipolentes", pois a equipolência é uma relação entre segmentos orientados, não entre vetores;

Portanto, o vetor vAB =, com um significado geométrico, nada mais é que um objeto matemático representado por um segmento orientado.

Assim, o vetor v , tem o ponto A como origem e B é sua extremidade. Outras notações são usadas para denotar o vetor v , como: AB(sempre a origem primeiro e depois a extremidade) ou a notação: AB−(a extremidade menos a origem). Logo, podermos escrever: ABABv−== . O vetor representado pelo segmento orientado

(A,A) será chamado de vetor nulo e denotado por 0.

Para definirmos bem o vetor é necessário caracterizar seu módulo, direção e sentido. Como estamos representando o vetor por um segmento orientado, essas noções já foram introduzidas. Então:

Módulo: é o tamanho do vetor, ou seja, o comprimento do segmento orientado

Direção: é a reta suporte que sustenta o vetor.

Sentido: é indicado pela seta do segmento orientado.

reta suporte que indica a direção do vetor v do vetor

Uma particularidade entre os vetores, e muito importante, é que vetores paralelos têm a mesma direção, assim como os segmentos orientados que os representam. Na figura abaixo, os vetores têm a mesma direção (são paralelos), têm módulos (tamanhos) diferentes, a e c têm o mesmo sentido e b tem sentido oposto

Vetores que têm o mesmo módulo, a mesma direção (paralelos) e o mesmo sentido são chamados de vetores iguais. Na figura abaixo os vetores são iguais.

OBS: Existe uma definição muito mais ampla do conceito de vetor (não necessariamente geométrica) que envolve uma gama bastante variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc. Inicialmente, trabalharemos apenas com o vetor como definido acima.

3 Operações com vetores

3.1 Adição: Considere os vetores u e v , cuja soma vu +, é determinada da seguinte forma: Adotar um ponto A qualquer e, com origem nele, traçar o segmento orientado (A,B) que representa o vetor ABu= . Utilizar a extremidade B para traçar o segmento orientado (B,C) que representa o vetor BCv= . O vetor representado pelo segmento orientado (A,C) é, por definição, o vetor soma de u com v , isto é,

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