resumo inferencia 1

resumo inferencia 1

(Parte 1 de 6)

Resumo de Definições e TeoremasInferência Estatística Ence

Definição 1.1 População é uma coleção de objetos que possuem uma ou mais características de interesse.

Definição 1.1-a População consiste na totalidade das observações possíveis de um fenômeno em estudo.

Definição 1.2 Amostra é um subconjunto de observações selecionadas de uma população.

Uma amostra obtida através de uma seleção aleatória é denominada amostra aleatória. Uma amostra aleatória pode ser obtida,

(1) Com reposição. Consiste em selecionar aleatoriamente um objeto populacional, registrar a sua característica de interesse, e , a seguir, devolver o objeto à população, antes de selecionar um próximo objeto.

(2) Sem reposição. Os objetos são selecionados sucessivamente, sem reposição de cada objeto selecionado à população.

Em quaisquer dos casos, a seleção de uma amostra é uma experiência aleatória e cada observação na amostra é um valor observado de uma variável aleatória X. O conjunto de observações da população, conforme Definição 1.1-a, determina a distribuição de probabilidades da variável aleatória X. Daí, para seguimento do texto, adotaremos a seguinte definição de amostra aleatória,

Definição 1.3 Uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável aleatória X é um conjunto

12nX,X,...,X , de variáveis aleatórias independentes, todas com a mesma distribuição de X.

Uma amostra aleatória de tamanho n, considerada como um vetor ()12nXX,X,...,X= , define uma variável aleatória n-dimensional, com uma especificada função de distribuição

()12nFx,x,,x, e, por serem independentes as variáveis componentes da amostra,
escrevemos ()()()()12n12nFx,x,,xFxFx....Fx=, onde as funções de distribuição

()iFx, i= 1,2,3...,n são idênticas à função de distribuição de X.

À n-úpla ()n 12nx,x,...,xR∈ denominaremos realização da variável n-dimensional

()12nX,X,...,X, ou simplesmente “realização da amostra”.

2 Estatística Descritiva

Frederico Cavalcantiresumo inferencia 1.doc1

Resumo de Definições e TeoremasInferência Estatística Ence

Definição 2.1 Uma estatística é uma função das observações da amostra.

O termo estatística também se aplica convenientemente, à uma função das variáveis aleatórias componentes da amostra.

Vários outros exemplos de estatísticas de ordem são importantes. As variáveis 1nX e X, por exemplo, são por definição, o mínimo e máximo valor obtido na amostra, respectivamente, e podem ser representados alternativamente pela seguinte

Xmin X,X,...,X eXmax X,X,...,X

Em ambos os casos, a transformação é do tipo nRR→.

Uma outra estatística de ordem de grande utilidade é a chamada amplitude da amostra, definida por n1RX- X=. No exemplo numérico apresentado, os valores destas estatísticas de ordem foram: 1nX= 27 , X36 e R=9=

A mediana da amostra é definida pelo valor central (se existe um número ímpar de observações) ou a média dos dois valores centrais (se existe um número par de observações), na lista de observações ordenadas. Isto pode ser denotado por,

mediana

Xse n é impar

X1XXse n é par

A toda amostra, associamos a função de distribuição amostral, calculada por

()()n1Fxnúmero de observações que não excedem a xn =×

Esta função proporciona uma natural estimativa da função de distribuição da população e tem as propriedades de uma função de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória do tipo discreto. Por exemplo , ()nFx, possui momentos, e pelo menos os dois primeiros serão muito úteis no decorrer do texto. O primeiro momento é chamado de média amostral, representado por x, e calculado por n

A média amostral é uma observação da estatística “média da amostra”, função das variáveis aleatórias componentes da amostra, e, definida por

Frederico Cavalcantiresumo inferencia 1.doc2

Resumo de Definições e TeoremasInferência Estatística Ence

O segundo momento centrado em x, é chamado de variância amostral, representado por 2xs , e calculado por

x i i 1

1s x x

A variância amostral é uma observação da estatística “variância da amostra”, função das variáveis aletórias componentes da amostra, e, definida por

1S X X

A raiz quadrada positiva da variância amostral, é chamado desvio padrão amostral, representado por xs, e calculado por

No cálculo da variância , n quadrados do tipo ()2ixx− foram somados e o resultado dividido por n-1. Isto pode ser justificado pelo que desenvolveremos a seguir.

Como sabemos ()n i x x 0 −=∑, e por consequência, podemos obter quaisquer das n parcelas, conhecidas as demais. Por exemplo, a diferença ()nxx−, uma vez conhecidas as (n-1) primeiras diferenças. Assim somente as (n-1) primeiras quantidades estão livres para variar. Posteriormente, uma justificativa teórica mais relevante será estudada a respeito do assunto.

Em grandes amostras é muitas vezes conveniente apresentar as observações através de uma tabela de frequências. Nesta tabela as medidas ou observações originais são agrupadas da seguinte forma: distintos valores na amostra são ordenados, e, a cada valor, associa-se o número chamado frequência, correspondente ao número de vezes que ele ocorreu nas n observações. Supondo que dentre n valores, k sejam distintos, a tabela abaixo mostra o tipo de apresentação de dados em tabela de frequência comumente usado ix if i if x× ( ) 2 i ix x f−

kx kf k kf x× ( ) 2 k kx x f−

Frederico Cavalcantiresumo inferencia 1.doc3

Resumo de Definições e TeoremasInferência Estatística Ence ix∑ n

Neste caso, o cálculo da média e variância amostral são, respectivamente

i i i 1

1x x f

1s x x f

Os dados podem também ser agrupados em intervalos de classe , abrangendo a amplitude total da amostra. As observações em cada classe são representadas em geral pelo ponto médio, da respectiva classe.

3Distribuições de Amostragem

(Parte 1 de 6)

Comentários