curto circuitos

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Cálculos de Curto-Circuito Trifásico

Alexandre de Oliveira Goulart e Gabriela Torllone de Carvalho Ferreira Engenharia Elétrica – 1o. Período Professor: Rodney Josué Biezuner Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear

1. Introdução

era um dispositivo para fazer analogias elétricas, representando o circuito elétrico mas em uma escala bastante reduzida

Com o desenvolvimento da eletrônica, os circuitos elétricos, tal como as aplicações para os mesmos, começaram a ficar cada vez maiores e, conseqüentemente, mais complexos. Desta forma, todos problemas relacionados à sistemas elétricos, em meados da década de 50, eram resolvidos à mão ou com o uso de um “analisador de redes”. Este instrumento

Uma opção para a investigação de circuitos elétricos seria através de métodos matriciais que, embora existissem, eram inviáveis em virtude da falta de recursos computacionais realmente eficientes. Isso restringiu as investigações de circuitos a pequenos sistemas de equações, envolvendo somente matrizes muito pequenas. Porém, com os avanços nas ferramentas computacionais (entres elas está o computador digital), um método que até então se restringia apenas a um instrumento de pesquisa pode se revelar eficiente para a análise e solução de sistemas elétricos de maior porte: os métodos matriciais.

2. O problema e seu modelamento

Quando o computador começou a ser usado em grande escala, os cálculos de fluxo de carga que antes eram feitos à mão puderam ser realizados mais facilmente, porém os primeiros programas de computador escritos para análise de circuitos apenas automatizaram estes métodos manuais.

Isso subtilizava a capacidade do computador. O primeiro programa que realmente teve sucesso foi o desenvolvido por Ward e Hale, que criaram um algoritmo que descreve o circuito elétrico através de um método interativo de Newton modificado. Após isso, os programas que surgiram implementaram o algoritmo de Gauss-Seidel.

Todos esses algoritmos utilizam os dados do circuito sob a forma matricial, onde cada matriz guarda características como impedância, capacitância e tensão.

condições de curto circuito seguiram um desenvolvimento semelhante

Tudo isso foi desenvolvido para a análise de problemas de fluxo de carga. Além desse problema, circuitos sob

3. Cálculos de Curto-Circuito Trifásico

Pode-se considerar um circuito elétrico, em condições de curto-circuito, como um sistema alimentado por várias fontes (geradoras) com uma única carga ligada ao sistema no nó sujeito ao curto-circuito. As correntes normais de carga dos consumidores são usualmente ignoradas, pois são pequenas em comparação à corrente de curto-circuito. Esta simplificação não afeta a precisão do estudo de curto-circuito. Isto é equivalente à análise estrutural de uma ponte apoiada em vários pilares e sujeita a uma só carga concentrada, desprezando-se os pesos dos vários elementos da própria estrutura. O restante deste texto se concentra na análise dos problemas de circuitos, mas deve-se lembrar que as técnicas aqui desenvolvidas aplicam-se igualmente às estruturas.

A análise completa de curto-circuito de um sistema pode ser feita por simples operações aritméticas, assim que as tensões dos nós tenham sido determinadas para uma condição de falta particular. Coombe e Lewis determinaram as tensões no nó em estudos de curto-circuito pelo procedimento interativo de Gauss-Seidel desenvolvido por Ward e Hale para a solução dos problemas normais de fluxo de carga [1,2]. O método é pouco conveniente para estudos de curto-circuito, pois cada condição de falta exige uma solução interativa. Uma análise completa de um sistema com mil nós (barras) pode exigir cerca de vinte e trinta mil condições de falta, cada uma das quais teria que ser resolvida por um procedimento interativo completamente diferente.

A análise de curto-circuito de sistemas elétricos muito grandes é feita da maneira mais eficiente, usando-se a matriz Z-barra [3].

3.1 Descrição da matriz Z-barra

A matriz Z-barra contém as impedâncias no ponto de cada nó com relação a um nó de referência escolhido arbitrariamente. A impedância no ponto de um nó é a impedância equivalente entre ele e a referência. A matriz Z-barra contém também a impedância de transferência entre cada barra do sistema e cada outra barra, com relação ao nó de referência. As impedâncias de transferência são determinadas calculando-se as tensões que existiriam em cada uma das outras barras do sistema, com relação à referência, quando uma barra em particular recebe uma injeção de corrente de uma unidade (veja a Fig. 3.1).

A equação matricial que relaciona a matriz Z-barra às correntes injetadas nos nós e às tensões dos nós, é a equação 3.1 a seguir:

Reconheceu-se logo que, se a matriz Z-barra usando como barra de referência escolhida a barra comum atrás das reatâncias transitórias do gerador estivesse disponível, a análise completa do circuito poderia se facilmente feita com pouca computação adicional. Lembrado-se que um circuito em condições de falta poderia ser considerado como tendo somente uma corrente nodal, a equação matricial pode ser escrita como na equação 3.2 abaixo:

Z11Z12 Z13 ... Z1k ... Z1n
Z21Z22 Z23 ... Z2k ... Z2n
Zk1Zk2 Zk3 ... Zkk ... Zkn
Zn1Zn2 Zn3 ... Znk ... Znn

0 0 .. .. Ik .. 0

E1 E2 .. .. Ek .. En onde o circuito está sujeito a uma única injeção de corrente Ik aplicada no nó k, que é a barra sujeita à condição de falta. Obviamente, a coluna k permite a determinação do perfil de tensões do circuito quando ocorre um curto-circuito no nó k, desde que Ik tenha sido, ou possa ser determinada. O elemento Zkk é a impedância no ponto da barra k. Os elementos fora da diagonal Zik são impedâncias de transferência entre as outras barras e a barra k.

Fig 3.1. Impedância no ponto: Ek - r = IZkk ; Ik = 1,0; Zkk = Ek - r. Impedância de transferência: Ik=1,0; Eir = IZik; Zik = Eir

Nos cálculos de curto-circuito é usual admitir que todos os geradores ligados ao circuito estão operando com uma tensão de 1,0 p.u. atrás de suas reatâncias internas. Este ponto comum atrás das reatâncias dos geradores é usado como referência. Portanto, pode-se considerar o circuito como sendo alimentado por uma única fonte comum (veja a Fig. 3.2).

Fig. 3.2 Representação simplificada do sistema para estudo de curto-circuito.

O uso de 1,0 p.u. de tensão atrás da reatância interna da máquina pode ser justificado pela aplicação do teorema de

Helmholtz-Thévenin. A tensão de circuito-aberto antes da falta no ponto de falta é de aproximadamente 1,0 p.u. e pode, portanto, ser tomada como sendo este valor. A impedância de curto-circuito do sistema a partir do ponto de falta é determinada pela impedância dos elementos do circuito (incluindo as impedâncias internas das máquinas), com as fontes, que são nulas, e a corrente devido a uma fonte de tensão superposta que reduz a tensão no ponto de falta para zero. Esta tensão é, obviamente, igual ao negativo da tensão antes da falta, sendo portanto, igual a –1,0 p.u. da terra à barra comum atrás das reatâncias transitórias.

Quando qualquer nó é curto-circuitado, fica ligado à terra. A tensão total é, portanto, aplicada entre o nó de referência e o nó sujeito à condição de falta. Por exemplo, para uma falta no nó 6, o diagrama pode ser desenhado como mostra a Fig. 3.3.

Como os elementos da matriz Z da equação 3.2 são as impedâncias no ponto (elementos da diagonal) e as impedâncias de transferência (elementos fora da diagonal), com relação à barra de referência as tensões da Eq. 3.2 são todas medidas em relação ao nó de referência atrás das reatâncias transitórias do gerador. O nó de referência está, portanto, a um potencial zero em relação a si próprio, mas está a tensão total em relação à terra no sistema real.

Fig. 3.3 O nó 6 está em condição de curto-circuito.

A tensão obtida da Eq. 3.2 para a barra sob condição de falta é a tensão total dos geradores em relação à referências.

No sistema real, a barra curto-circuitada está com um potencial nulo em relação à terra. Esta diferença de tensões, depende do ponto de referência tomado, não deve causar nenhuma dificuldade, mas deve ser levada em consideração ao se expressar os resultados de um cálculo:

mpgpEE−=1 onde Ep é a tensão da barra p com a terra como referencia, como seria medida no sistema real; Ep é a tensão obtida do cálculo matricial da Eq. 3.2 e é medida em relação à barra de referência atrás das reatâncias transitórias do gerador.

Quando a barra k está sob condições de curto-circuito, a restrição de que a tensão total seja aplicada à barra k pode ser satisfeita injetado-se a corrente Ik, que é determinada pela Eq. 3.3:

k Z I1=

A corrente total de falta para qualquer barra é, portanto, obtida tomando-se o recíproco do elemento diagonal correspondente da matriz Z. As tensões que aparecem nas outras barras do sistema, quando a barra k está em condições de falta, dependem das impedâncias de transferência dadas pelos elementos fora da diagonal da coluna k da matriz Z-barra. Por exemplo, a tensão com relação à referência na barra p para um curto-circuito na barra k seria dada pela Eq. 3.4.

k pkp Z

A corrente que vai da barra p à barra q pela linha p-q, cuja impedância é Zlinha pq, é dada pela Eq. 3.5:

kkqlinhap pkqk pq Z ZZI 1−

A corrente de falta total para uma falta em qualquer barra é obtida pela Eq. 3.3 e a corrente em qualquer linha para um curto-circuito em uma barra particular é obtida pela Eq. 3.5. A análise completa do sistema é obtida por estas operações aritméticas simples, logo que a matriz Z tenha sido obtida.

3.2 O algoritmo de construção da matriz Z

Calcular a matriz de impedâncias no ponto e de transferência para um sistema elétrico de transmissão completo seria totalmente impossível. Entretanto, é possível, de maneira bastante simples, modificar a matriz Z de um sistema para a adição de uma única linha. Desta maneira, o sistema pode ser construído começando-se com uma única linha de transmissão, adicionando-se uma linha de cada vez, modificando-se a matriz para cada linha adicionada, e construindo o sistema desejado e a matriz que corresponde ao sistema [3].

Preparação de dados

Desenha-se um diagrama do sistema. Os pontos de junção, onde duas ou mais impedâncias de linhas de transmissão de transformadores ou de geradores são ligadas, recebem um único número de barra (nó). O número zero é reservado para a barra de referência. Em estudos de curto-circuito, a barra de referência é escolhida como sendo o ponto comum atrás de todas as reatâncias dos geradores.

Os dados são preparados descrevendo-se cada elemento do sistema de transmissão pelas duas barras nos terminais da linha e sua impedância em uma base p.u. comum. Estes dados dão sequenciados por um algoritmo, partindo de uma ordem aleatória para uma seqüências, de maneira que, à medida que cada linha é selecionada da lista de dados para processamento, é possível ligá-lo ao sistema previamente construído. A primeira linha na lista deve ser uma linha que liga a referência a alguma barra do sistema, de maneira a fornecer uma trajetória até a referência para a corrente injetada em qualquer nó do sistema que está sendo construído. Cada linha selecionada da lista deve pertencer a um dos três tipos:

1- Uma linha da referência para uma nova barra. 2- Uma linha radial de uma barra existente para uma nova barra. 3- Uma linha entre duas barras já incluídas no sistema (linha de fechamento de laço).

São necessárias três diferentes rotinas para modificar a matriz para a adição de uma linha ao sistema, dependendo do tipo de linha a se adicionada.

Uma linha de referência para uma nova barra

Uma linha da referência para uma nova barra do sistema é identificada ao se verificar que uma das barras é a barra de referência e a outra barra não está incluída no sistema já construído.

A corrente injetada na nova barra k, que está ligada por uma linha radial à referência, não produzirá tensão nas outras barras no sistema ( veja a Fig. 3.4).

Uma injeção de corrente em qualquer barra do sistema que já tenha sido construído não produzirá nenhuma tensão nova na barra k . Todos os elementos fora da diagonal da nova fila e da nova coluna são, portanto, nulos.

0==kiikZZi k≠

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