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curto circuitos, Notas de estudo de Cultura

CURTO CIRCITOS, COMO ACONTECE

Tipologia: Notas de estudo

2012

Compartilhado em 19/03/2012

Amanda_90
Amanda_90 🇧🇷

4.6

(82)

139 documentos

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Baixe curto circuitos e outras Notas de estudo em PDF para Cultura, somente na Docsity! Cálculos de Curto-Circuito Trifásico Alexandre de Oliveira Goulart e Gabriela Torllone de Carvalho Ferreira Engenharia Elétrica – 1o. Período Professor: Rodney Josué Biezuner Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear 1. Introdução Com o desenvolvimento da eletrônica, os circuitos elétricos, tal como as aplicações para os mesmos, começaram a ficar cada vez maiores e, conseqüentemente, mais complexos. Desta forma, todos problemas relacionados à sistemas elétricos, em meados da década de 50, eram resolvidos à mão ou com o uso de um “analisador de redes”. Este instrumento era um dispositivo para fazer analogias elétricas, representando o circuito elétrico mas em uma escala bastante reduzida. Uma opção para a investigação de circuitos elétricos seria através de métodos matriciais que, embora existissem, eram inviáveis em virtude da falta de recursos computacionais realmente eficientes. Isso restringiu as investigações de circuitos a pequenos sistemas de equações, envolvendo somente matrizes muito pequenas. Porém, com os avanços nas ferramentas computacionais (entres elas está o computador digital), um método que até então se restringia apenas a um instrumento de pesquisa pode se revelar eficiente para a análise e solução de sistemas elétricos de maior porte: os métodos matriciais. 2. O problema e seu modelamento Quando o computador começou a ser usado em grande escala, os cálculos de fluxo de carga que antes eram feitos à mão puderam ser realizados mais facilmente, porém os primeiros programas de computador escritos para análise de circuitos apenas automatizaram estes métodos manuais. Isso subtilizava a capacidade do computador. O primeiro programa que realmente teve sucesso foi o desenvolvido por Ward e Hale, que criaram um algoritmo que descreve o circuito elétrico através de um método interativo de Newton modificado. Após isso, os programas que surgiram implementaram o algoritmo de Gauss-Seidel. Todos esses algoritmos utilizam os dados do circuito sob a forma matricial, onde cada matriz guarda características como impedância, capacitância e tensão. Tudo isso foi desenvolvido para a análise de problemas de fluxo de carga. Além desse problema, circuitos sob condições de curto circuito seguiram um desenvolvimento semelhante. 3. Cálculos de Curto-Circuito Trifásico Pode-se considerar um circuito elétrico, em condições de curto-circuito, como um sistema alimentado por várias fontes (geradoras) com uma única carga ligada ao sistema no nó sujeito ao curto-circuito. As correntes normais de carga dos consumidores são usualmente ignoradas, pois são pequenas em comparação à corrente de curto-circuito. Esta simplificação não afeta a precisão do estudo de curto-circuito. Isto é equivalente à análise estrutural de uma ponte apoiada em vários pilares e sujeita a uma só carga concentrada, desprezando-se os pesos dos vários elementos da própria estrutura. O restante deste texto se concentra na análise dos problemas de circuitos, mas deve-se lembrar que as técnicas aqui desenvolvidas aplicam-se igualmente às estruturas. A análise completa de curto-circuito de um sistema pode ser feita por simples operações aritméticas, assim que as tensões dos nós tenham sido determinadas para uma condição de falta particular. Coombe e Lewis determinaram as tensões no nó em estudos de curto-circuito pelo procedimento interativo de Gauss-Seidel desenvolvido por Ward e Hale para a solução dos problemas normais de fluxo de carga [1,2]. O método é pouco conveniente para estudos de curto-circuito, pois cada condição de falta exige uma solução interativa. Uma análise completa de um sistema com mil nós (barras) pode exigir cerca de vinte e trinta mil condições de falta, cada uma das quais teria que ser resolvida por um procedimento interativo completamente diferente. 1 A análise de curto-circuito de sistemas elétricos muito grandes é feita da maneira mais eficiente, usando-se a matriz Z-barra [3]. 3.1 Descrição da matriz Z-barra A matriz Z-barra contém as impedâncias no ponto de cada nó com relação a um nó de referência escolhido arbitrariamente. A impedância no ponto de um nó é a impedância equivalente entre ele e a referência. A matriz Z-barra contém também a impedância de transferência entre cada barra do sistema e cada outra barra, com relação ao nó de referência. As impedâncias de transferência são determinadas calculando-se as tensões que existiriam em cada uma das outras barras do sistema, com relação à referência, quando uma barra em particular recebe uma injeção de corrente de uma unidade (veja a Fig. 3.1). A equação matricial que relaciona a matriz Z-barra às correntes injetadas nos nós e às tensões dos nós, é a equação 3.1 a seguir: ZI = E Reconheceu-se logo que, se a matriz Z-barra usando como barra de referência escolhida a barra comum atrás das reatâncias transitórias do gerador estivesse disponível, a análise completa do circuito poderia se facilmente feita com pouca computação adicional. Lembrado-se que um circuito em condições de falta poderia ser considerado como tendo somente uma corrente nodal, a equação matricial pode ser escrita como na equação 3.2 abaixo: 0 0 .. .. Ik .. 0 E1 E2 .. .. Ek .. En onde o circuito es Obviamente, a co desde que Ik tenh da diagonal Zik sã Z11 Z12 Z13 ... Z1k ... Z1n Z21 Z22 Z23 ... Z2k ... Z2n ................................................... ................................................... Zk1 Zk2 Zk3 ... Zkk ... Zkn ................................................... Zn1 Zn2 Zn3 ... Znk ... Znn . tá sujeito a uma única injeção de corrente Ik aplicada no nó k, que é a barra sujeita à condição de falta. luna k permite a determinação do perfil de tensões do circuito quando ocorre um curto-circuito no nó k, a sido, ou possa ser determinada. O elemento Zkk é a impedância no ponto da barra k. Os elementos fora o impedâncias de transferência entre as outras barras e a barra k. Fig 3.1. Impedância no ponto: Ek - r = IZkk ; Ik = 1,0; Zkk = Ek - r. Impedância de transferência: Ik=1,0; Eir = IZik; Zik = Eir 2 São necessárias três diferentes rotinas para modificar a matriz para a adição de uma linha ao sistema, dependendo do tipo de linha a se adicionada. Uma linha de referência para uma nova barra Uma linha da referência para uma nova barra do sistema é identificada ao se verificar que uma das barras é a barra de referência e a outra barra não está incluída no sistema já construído. A corrente injetada na nova barra k, que está ligada por uma linha radial à referência, não produzirá tensão nas outras barras no sistema ( veja a Fig. 3.4). Uma injeção de corrente em qualquer barra do sistema que já tenha sido construído não produzirá nenhuma tensão nova na barra k . Todos os elementos fora da diagonal da nova fila e da nova coluna são, portanto, nulos. 0== kiik ZZ i k≠ (3.6) A impedância no ponto da nova barra é a impedância da nova linha que está sendo adicionada. O elemento da diagonal no novo eixo da matriz correspondente à barra k é dado pela Eq. 3.7. klinhaokk ZZ −= Para a adição de uma nova linha radial da referência a uma nova barra, aumente a matriz de uma fila e uma coluna de zeros. O elemento na diagonal deste novo eixo é a impedância da nova linha que está sendo adicionada. O número de barra k é adicionado à lista de barras que compõe o sistema. Fig 3.4. Adição de uma nova linha da referência à nova barra. Adição de uma nova linha radial a uma nova barra Uma linha radial ligando uma barra do sistema a uma nova barra é identificada ao observar que nenhuma das barras que descrevem a linha é a referência, e somente uma barra que descreve a linha está incluída no sistema. Uma injeção de uma unidade de corrente na barra q produz tensões em todas as outras barras do sistema idênticas às tensões que seriam produzidas se a corrente fosse injetada na barra p (veja a Fig. 3.5). pkqk ZZ = qk ≠ kpkq ZZ = (3.8) A impedância no ponto da barra q é igual a impedância no ponto da barra p mais a impedância da linha que está sendo adicionada (veja a Fig. 3.5). 5 linhapqppqq ZZZ += (3.9) Um novo eixo é adicionado à matriz correspondente à nova barra q. Os elementos fora da diagonal da nova fila e coluna são iguais aos elementos da fila e coluna da barra p do sistema existente. O elemento da diagonal é obtido da Eq. 3.9. A barra q é adicionada à lista de barras do sistema. Fig. 3.5. Adição de uma linha radial de uma barra do sistema a uma nova barra. Adição de uma linha de fechamento de laço Uma linha de fechamento de laço é identificada pelo fato de que ambas as barras que descrevem a linha estão incluídas na lista de barras do sistema construído. A adição de uma linha de fechamento de laço não produz um novo nó no sistema, que forneceria um novo eixo para a matriz. Há, entretanto, uma nova descrição. A resposta do sistema à introdução de uma unidade de corrente no laço criado pela adição desta nova linha é uma restrição que deve ser satisfeita. A injeção de uma unidade de corrente na barra p faz com que apareçam tensões em cada barra dos sistemas idênticos aos elementos da coluna p da matriz Z (veja a Fig. 3.6). A injeção de uma corrente de –1,0 na barra q produz tensões nas barras do sistema iguais aos elementos da coluna q da matriz Z, mas de sinal oposto. Uma corrente de laço igual à unidade pode ser considerada como um conjunto de correntes de Ip= 1,0 e agindo simultaneamente. As tensões que aparecem nas barras do sistema são iguais à diferença das colunas correspondentes às barras p e q, como dado na Eq. 3.10. 0,1−=Iq Z11 Z12 ... Z1p ... Z1q ... Z1n ................... Z2p ... Z2q ... Z2n ................... Z3p ... Z3q ............ ........................................................ ................... Znp ... Znq ... Znn 0 0 Ip = 1,0 Iq = -1,0 0 Z1p – Z1q Z2p – Z2q .... .... Znp - Znq (3.10) 6 Fig. 3.6. Simulação de uma linha de fechamento de laço por duas correntes injetadas. A tensão que deve ser introduzida no laço para causar a circulação de uma unidade de corrente no laço criado pela adição de uma nova linha pode ser calculada por 3.11 como fica evidenciado na Fig. 3.7. )( linhapqlaçolaço ZZpqZqqZpqZppIE +−+−= (3.11) A impedância no ponto do laço, é determinada fazendo-se em 3.11. laçolaçoZ − 0,1=laçoI linhapqpqqqpplaçolaço ZZZZZ +−+=− 2 (3.12) Fig. 3.7. Determinação da impedância no ponto do laço. Um eixo de laço é adicionado à matriz Z da Eq. 3.10 na qual iqiplaçoi ZZZ −=− i laço≠ (3.13) qipiilaço ZZZ −=− laçoi ≠ (3.14) 7 Fig. 3.9. A matriz do circuito é construída montando-se o sistema linha por linha e modificando-se a matriz para refletir a alteração nas impedâncias equivalentes do circuito com a adição da linha. A lista de linhas já foi reordenada a partir de uma lista aleatória para uma seqüência tal que seja possível ligar cada linha ao sistema, quando ela for selecionada da lista para processamento. Adição da primeira linha. A primeira linha deve sempre ser uma linha ligada à referência. Assim, a linha 0-1 pode ser a primeira linha a ser processada. Neste ponto, nenhum circuito, nem matriz e nem elementos na lista de barras do sistema para determinar o tipo de linha e o algoritmo a ser usado. Vê-se que a linha está ligada à referência e a barra 1. A barra 1 é comparada com a lista de barras do sistema. Nesta altura, ainda não há nenhuma barra no sistema. A linha é, portanto, um caso degenerado da adição de uma linha a partir da referência até uma nova barra (veja a Fig. 3.4). É impossível adicionar uma fila e uma coluna de zeros à matriz, pois ainda não há nenhuma matriz neste ponto. O elemento da diagonal do novo eixo é a impedância da linha que está sendo adicionada. A nova barra é adicionada `a lista de barras. Após adicionada a primeira linha, temos: 1 Matriz 1 [0,01] lista de barras 1 O diagrama do sistema é mostrado a seguir. A matriz mostra que uma unidade de corrente injetada na barra 1 faria aparecer nesta uma tensão de 0,01 medida em relação à barra de referência. Adição da segunda linha. A próxima linha (0-2) é selecionada da lista de dados para processamento. O exame dos números de barra 0 e 2 e a comparação com a lista de barras do sistema mostram que esta linha vai da barra de referência (0) a uma nova barra 2. É também um linha do primeiro tipo. Aumente a matriz com uma fila e uma coluna de zeros. O elemento da diagonal do novo eixo é a impedância da nova linha. Adicione a barra 2 à lista de barras. 1 2 0,01 0 0 0,015 1 2 Matriz Lista de barras 1,2 O diagrama do sistema é mostrado a seguir. 10 A matriz mostra-nos que a injeção de uma unidade de corrente na barra 1, saindo pela referência, faz aparecer uma tensão nula na barra 2. a injeção de uma unidade de corrente na barra 2 produzirá uma tensão de 0,015 na barra 2 e uma tensão nula na barra 1. Adição da terceira linha. A próxima linha (1-2) é selecionada para processamento. O exame dos números da barra mostra que esta não é uma linha de referência. A comparação dos números das barras da linha com os números das barras do sistema, mostra que esta é uma linha do terceiro tipo (fechamento de laço). A matriz é aumentada de uma fila e uma coluna de laço tomando-se as diferenças das filas (e colunas) correspondentes às barras 1 e 2, Eq. 3.13. o elemento da diagonal é obtido pela Eq. 3.12. 1 2 laço 0,01 0 0,01 0 0,015 -0,015 0,01 -0,015 0,109 1 2 laço Lista de barras 1,2 Matriz O diagrama do sistema é mostrado abaixo Fig. 3.10 A matriz é reduzida pela aplicação da redução de Kron usando a Eq. 3.15 como já salientamos, a redução de Kron é grandemente simplificada quando nela está envolvido somente um eixo. Neste caso torna-se 1/Z e não é necessária a inversão de uma matriz. A modificação dos elementos não pertencentes à fila e à coluna do laço pode ser executada mais facilmente elemento por elemento que pela aplicação da Eq. 3.15 como uma equação matricial. 1 4 −Z Pode-se verificar facilmente que a modificação de um elemento, , é simplesmente: ijZ ___1___ Zlaço-laço Z´ij =Zij – Zi-laço Zlaço-j (3.23) 11 j laço Zij Zi-laço Zlaço-j Zlaço-laço i laço Fig. 3.11. elementos matriciais usados na modificação do elemento Zij pela redução de Kron A aplicação da Eq. 3.23 é usada para modificar todos os elementos não pertencentes ao eixo do laço na matriz. O eixo do laço é então eliminado. Z’11 = Z11 – Z1-laço ___1___ Zlaço-laço Zlaço-1 = = 0,01 – (0,01)(0,01) 0,109 = 0,01 – 0,00091743 = 0,00908257 Z’12 = Z12 – Z1-laço ___1___ Zlaço-laço Zlaço-2 = = 0 – (0,01)(-0,015) 0,109 = 0 + 0,00137615 = 0,00137615 Z’22 = 0,015 – (-0,015)(-0,015) 0,109 = 0,015 – 0,00206421 =0,0129359 12 Os elementos fora da diagonal são obtidos da Eq. 3.8 na qual q=4 e p=2. a fila correspondente à barra 4 é idêntica à fila da barra 2. 1 2 3 4 1 2 3 4 0,00906904 0,00124893 0,00004917 0,00137615 0,00124893 0,01173999 0,00046220 0,01173999 0,00004917 0,00046220 0,00482135 0,00046220 0,00124893 0,01173999 0,00046220 0,09573999 O diagrama do sistema é dado a seguir. Adição da sétima linha. Adição da linha 3-5 dá: 04182135,0037,000482135,0533355 =+=+= −linhaZZZ A coluna 5 é uma duplicata da coluna 3. 1 2 3 4 5 listas de Barras 1,2,3,4,5 1 2 3 4 5 0,00906904 0,00124893 0,00004917 0,00137615 0,00004971 0,00124893 0,01173999 0,00046220 0,01173999 0,00046220 0,00004917 0,00046220 0,00482135 0,00046220 0,00482135 0,00124893 0,01173999 0,00046220 0,09573999 0,00046220 0,00004917 0,00046220 0,00482135 0,00046220 0,04182135 Adição da oitava linha. A adição ao sistema da linha 1-6, que é uma linha ligando uma barra existente 1 a uma nova barra 6, é executada como indicado para a linha 3-5 na etapa 7 (linha do tipo 2). Adição da nona linha. A linha 6-7 é também uma linha do tipo 2, ligando uma barra existente 6 a uma nova barra 7. o processo é ilustrado na etapa 7. após a adição destas duas linhas a matriz é 1 2 3 4 0,00906904 0,00124893 0,00004917 0,00137615 0,00124893 0,01173999 0,00046220 0,01173999 0,00004917 0,00046220 0,00482135 0,00046220 0,00124893 0,01173999 0,00046220 0,09573999 0,00004917 0,00046220 0,00482135 0,00046220 0,00906904 0,00124893 0,00004917 0,00124893 0,00906904 0,00124893 0,00004917 0,00124893 1 2 3 4 5 6 7 15 5 6 7 0,00004971 0,00906904 0,00906904 0,00046220 0,00124893 0,00124893 0,00482135 0,00004917 0,00004917 0,00046220 0,00124893 0,00124893 0,00482135 0,00004917 0,00004917 0,00004917 0,13506904 0,13506904 0,00004917 0,13506904 0,13506904 Adição da décima linha. A linha 4-7 é uma linha de fechamento de laço, pois ambas as barras já constam do sistema. A fila e a coluna do laço são obtidas tomando-se a diferença das filas 4 e 7 e das colunas 4 e 7. o elemento da diagonal deste novo eixo é obtido da Eq. 3.12. =+−+= −− 74477744 2 linhalaçolaço ZZZZZ 084,0)00124893,0(230306904,009573999,0 +−+= O eixo do laço é eliminado como ilustrado nas etapas 3 e 5. Adição da décima-primeira linha. A linha 5-8 é uma linha do tipo 2 e sua adição é feita da maneira ilustrada na etapa 6. Adição da última linha. A linha 7-8 é uma linha de fechamento de laço. O método já foi ilustrado na etapa 3. Vê-se facilmente que, independente da complexidade do sistema, ela pode ser obtida por este método simples de adicionar uma linha de cada vez. A matriz completa do sistema-exemplo é dada para fins de referência. 1 2 3 4 0,00906904 0,00124893 0,00004917 0,00137615 0,00124893 0,01173999 0,00046220 0,01173999 0,00004917 0,00046220 0,00482135 0,00046220 0,00124893 0,01173999 0,00046220 0,09573999 0,00004917 0,00046220 0,00482135 0,00046220 0,00906904 0,00124893 0,00004917 0,00124893 0,00906904 0,00124893 0,00004917 0,00124893 0,00102639 0,00220239 0,00375267 0,01464439 1 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 0,00004971 0,00906904 0,00906904 0,00102639 0,00046220 0,00124893 0,00124893 0,00220239 0,00482135 0,00004917 0,00004917 0,00375267 0,00046220 0,00124893 0,00124893 0,01464439 0,00482135 0,00004917 0,00004917 0,03199261 0,00004917 0,13506904 0,13506904 0,01219496 0,00004917 0,13506904 0,13506904 0,02708638 0,03199261 0,01219496 0,02708638 0,06023255 16 Análise de faltas em um sistema Uma análise completa do sistema é possível tão logo a matriz Z do sistema tenha sido completada. Usando os valores que estão na matriz do sistema exemplo para fins de ilustração, considere uma condição de falta no nó 3. o elemento da matriz mostra que, se uma tensão daquele valor for aplicada entre a barra 3 e a referência, uma corrente total de 1,0 irá percorrer o circuito. A tensão total do gerador produzirá uma corrente que pode ser determinada considerando-se 00475959,033 =Z I’ = E’ I E (3.24) Onde I=1,0 quando E=0,00475959. deseja-se determinar I’quando E’=1,0. 10,210 00475959,0 0,1' ==I p.u. Este é o resultado que é obtido considerando-se a matriz 3.2 e a Eq.3.3. O valor total da falta pode ser obtido tanto em ampères, p.u., ou MVA dividindo os ampères-base, a unidade ou base MVA p.u. dos dados da linha pelos elementos correspondentes da diagonal da matriz (veja a Eq. 3.5). A contribuição de uma linha à falta é calculada usando-se a Eq. 3.5. a contribuição da barra 2 à falta é up ZZ ZZI linha .2,7)00475959,0)(122,0/()00055371,000475959,0(0,1 3332 3233 23 =−= − = − Nota: a base aqui foi 1,0 e a corrente está em p.u. Poderia também ser usados ampères-base ou MVA. Tensões nas barras durante uma condição de falta A tensão na barra 2 quando é injetada uma unidade de corrente na barra 3 é . A tensão na barra 3 neste instante é 0,00475959. a diferença de tensão é . Esta diferença ocorreria se a corrente fosse 1,0 mas a corrente de falta é 00055371,023 =Z ,000055371,0 =− 0042058800475959,03233 =− ZZ 33 1 Z conforme determinado. A diferença de tensão entre as barras 2 e 3 é, portanto, ..8835,0 00475959,0 00420588,0 33 3233 up Z ZZ == − mas a tensão da barra 3 em condições de falta é zero. Portanto, a tensão na barra 2 é = 0,8835. Abertura de uma linha durante um estudo Uma linha de um sistema pode ser aberta ou removida adicionando-se uma linha em paralelo à linha existente. A impedância da nova linha a ser adicionada é o negativo da impedância da linha original. São usadas as equações de fechamento de laço (Eqs. 3.12 e 3.13) e a eliminação do laço por uma redução de Kron (Eq. 3.15). 17
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