apostila A Geometria no ENEM

apostila A Geometria no ENEM

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A Geometria no ENEM.

Ministrado por Cristiane Vinholes Jacomelli Coord. Prof.ª Dr.ª Edna Maura Zuffi

OUTUBRO DE 2010

Índice

Capítulo 1 – Por que devemos aprender Geometria? 5

Capítulo 2 – Alguns conceitos de Geometria Plana 6 2.1) Conceitos geométricos primitivos 6 2.2) Simetria 7 2.3) Isometria 9 2.4) Polígonos 10

2.5) Semelhança de figuras geométricas planas 12 2.6) Relações Métricas no Triângulo Retângulo 15 2.7) Medidas de comprimento de figuras planas 16 2.8) Área das figuras geométricas planas 17

2.9) Questões do ENEM envolvendo áreas de figuras planas 18

Capítulo 3 – Geometria Espacial 2 3.1) Sólidos Geométricos 2 3.2) Estudo de Sólidos Geométricos 24 3.2.1) Estudo do Prisma 24 3.2.2) Paralelepípedo Retângulo e cubo 24 3.2.3) Estudo da pirâmide 25 3.2.4) Estudo do cilindro 27 3.2.5) Estudo do cone 27 3.2.6) Tronco de cone circular reto 29 3.2.7) Estudo da esfera 29 3.2.8) Questões do ENEM envolvendo volume 30

Capítulo 4 – Geometria Analítica 4.1) Distância entre dois pontos 36 4.2) Calculando as coordenadas do ponto médio 36 4.3) Estudando a reta no plano cartesiano 36 4.4) Questões do ENEM 41

Referências Bibliográficas 43

Prefácio

Nesta apostila abordaremos questões de Geometria que caíram nas provas do Exame

Nacional do Ensino Médio. A partir delas, estudaremos as teorias envolvidas em suas resoluções.

No primeiro capítulo, trataremos de uma pequena contextualização histórica do uso da Geometria desde a Antiguidade, ressaltando a importância da mesma para os estudantes de hoje.

Em seguida, no segundo capítulo, iniciaremos com alguns conceitos de Geometria

Plana, que envolvem figuras planas, polígonos, áreas e simetria. Também teremos a resolução de algumas questões do ENEM envolvendo tais conhecimentos.

No capítulo seguinte, aprenderemos um pouco mais sobre os corpos no espaço, ou seja, trataremos de assunto da Geometria espacial como sólidos geométricos e cálculo do volume destes sólidos. Exploraremos como este assunto vem sendo abordado ao longo dos anos, nas provas do ENEM.

Por fim, no quarto capítulo veremos, brevemente, alguns conceitos de Geometria

Analítica que envolvem plano cartesiano e estudo de retas, seguidos de duas questões que caíram no ENEM.

Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe geometria é superior ao outro e adquire um vigor especial. (Pascal)

Capítulo 1: Por que devemos aprender Geometria?

A palavra Geometria tem origem grega, formada pelos radicais GEO (terra) e

METRIA (medida). Há 5.0 anos, era a ciência de medir terrenos, seus perímetros e suas áreas. Com o tempo tornou-se a parte da Matemática que estuda o espaço e as figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usadas para demonstrar a validade de cada teorema.

Neste minicurso, estudaremos algumas destas definições e propriedades que vão nos auxiliar a compreender e resolver questões que já apareceram nas provas do ENEM.

A geometria está muito presente no nosso dia-a-dia. Olhe ao redor e veja quantas figuras geométricas fazem parte da sala de aula, da sua casa, dos objetos do nosso cotidiano, etc. Por isso, as idéias geométricas são muito utilizadas na arquitetura, engenharia e em muitas outras áreas do conhecimento humano.

A geometria formal nasceu do desenho e foi criada pelos gregos, mas teve contribuições importantíssimas dos babilônicos e egípcios. A simples tarefa de levantar uma tenda no meio da floresta, talvez, obrigasse o ser humano a traçar algumas linhas no chão. Isso vale também para dividir terras férteis à beira dos rios, construir casas e templos, etc.

Com o desenvolvimento da matemática, os desenhos começaram a não caber mais na tábua de argila, no papiro e, depois, nos papel. A precisão começou a ficar maior do que a capacidade de afiar do lápis: uma ponta mais grossa do que o estritamente necessário podia desvirtuar as coisas. No tempo das grandes navegações, usavam-se os compassos e as réguas para traçar o curso das caravelas e - até muito pouco tempo atrás - cartas náuticas ainda eram muito usadas.

Como pudemos observar, a Geometria surgiu para solucionar problemas práticos e por isso ela é de extrema importância para todos nós. Além disso, trabalhando com geometria desenvolvemos nosso raciocínio lógico, nossa capacidade de abstração e de estabelecer relações. Por isso, ela vem sendo cobrada no Exame Nacional do Ensino Médio desde sua primeira edição. E são esses os objetivos que buscaremos alcançar no decorrer deste Minicurso.

Capítulo 2 – Alguns conceitos de Geometria Plana

Neste capítulo definiremos algumas idéias geométricas mais elementares que usaremos no decorrer das aulas. Mesmo que alguns conceitos não apareçam explícitos nas questões do ENEM, eles são utilizados intuitivamente para chegar à solução.

2.1) Conceitos geométricos primitivos

A Geometria baseia-se nos chamados conceitos geométricos primitivos, ou seja, aqueles que não admitem definição, isto é, os conceitos que são aceitos por serem óbvios ou convenientes para uma determinada teoria, mesmo que sem uma apresentação formal através de palavras. Normalmente, em Matemática, os conceitos primitivos servem de base para a construção de postulados (ou axiomas) que formarão, por sua vez, a estrutura lógica e formal da teoria. Os conceitos geométricos primitivos são os seguintes:

2.1.1) Ponto: é o conceito geométrico primitivo fundamental. Euclides o definiu como "aquilo que não tem parte". Ou seja, para Euclides é o conceito de "parte", e não de "ponto", que é primitivo. Imagine o ponto o menor que você puder. Diz-se que o ponto não tem dimensão (é adimensional), ou seja, ele é tão ínfimo quanto quisermos, e não faz sentido mencionar qualquer coisa sobre tamanho ou dimensão do ponto. A única propriedade do ponto é a localização. Representa-se o ponto por uma letra maiúscula qualquer do alfabeto latino. 2.1.2) Linha ou curva: Imagine um pedaço de barbante sobre uma mesa, formando curvas ou nós sobre si mesmo: este é um exemplo de linha. 2.1.3) Reta: É uma linha infinita e que tem uma única direção. Uma reta é o caminho mais curto entre dois pontos quaisquer. 2.1.4) Semi-reta: Enquanto a reta é infinita para os dois lados, a semi-reta é infinita numa direção e finita na outra. 2.1.5) Segmento de reta: Enquanto a reta é infinita dos dois lados o segmento de reta termina em ambos os lados. 2.1.6) Plano: Você pode imaginá-lo como uma folha de papel infinita. Um plano é uma superfície plana que se estende infinitamente em todas as direções. Para definir um plano precisamos de pelo menos três pontos ou um ponto e uma reta. Costuma-se representar os planos pelas letras do alfabeto grego como alfa, beta * 2.1.7) Lugar geométrico: é um conjunto de pontos que satisfazem uma determinada propriedade. Um exemplo simples de lugar geométrico é a circunferência, que é o lugar geométrico de todos os pontos que guardam a mesma distância de um ponto chamado centro. 2.1.8) Ângulo: Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus.

2.2) Simetria

Um conceito bastante utilizado nas provas do ENEM é o de simetria, principalmente, ele aparece associado à arte. Veja a seguir o exemplo de uma questão.

Escher, um grande artista holandês, nasceu em 1898 e faleceu em 1970, deixando uma obra original e extraordinária. Os conceitos da Matemática, aliados à sua mente artística, aparecem em seus desenhos de ilusões espaciais, de construções impossíveis, nos quais a geometria se transforma em arte, ou a arte em geometria. Escher dedicou grande parte de seu tempo ao estudo das pavimentações do plano e trabalhou com a divisão regular do plano em figuras geométricas que se transfiguram, repetem-se, refletem-se e se rotacionam. Fundamentalmente, trabalhou com isometrias, as transformações no plano que preservam distâncias. No preenchimento de superfícies, Escher usava figuras concretas, perceptíveis e existentes na natureza, como pássaros, peixes, pessoas, répteis, etc.

Observe o passo a passo de uma de suas gravuras em que utiliza peixes. Na construção dessa gravura, o artista recorreu principalmente à: a) translação. b) simetria axial. c) simetria em relação a um ponto. d) rotação. e) reflexão. Para responder tal questão, precisamos definir o que é simetria e cada uma das alternativas apresentadas.

Em termos geométricos, considera-se simetria como a semelhança exata da forma em torno de uma determinada linha reta (eixo de simetria), ponto ou plano. Se, ao rodarmos a figura, invertendo-a, ela for sobreponível ponto por ponto, ela é simétrica. Dada uma imagem, a sua simétrica preservará o comprimento e o ângulo, mas nem sempre mantém a direção e sentido das várias partes da figura (embora isso possa acontecer em alguns casos). Simetrias são encontradas, freqüentemente, na natureza: olhe para o seu corpo, olhe para as imagens em um espelho, olhe as asas de uma borboleta, as pétalas de uma flor ou uma concha do mar. Veja exemplos abaixo.

Note que a reta que divide as figuras em pedaços semelhantes, é chamada de eixo de simetria. O eixo de simetria pode estar na vertical como nas figuras acima, na horizontal ou inclinado. Veja alguns tipos de simetria.

2.2.1) Simetria Axial Simetrias axiais ou em relação a retas são aquelas onde pontos, objetos ou partes de objetos são a imagem espelhada um do outro em relação à reta dada, chamada eixo de simetria. O eixo de simetria é a mediatriz do segmento que une os pontos correspondentes.

2.2.2) Simetria em relação a um ponto Dizemos que duas figuras são simétricas em relação a um ponto O, dito centro da simetria, quando cada um dos pontos de uma das figuras é o simétrico em relação à O, a um dos pontos da outra figura.

2.3) Isometria

A isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, mantém as distâncias entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura transformada são geometricamente iguais aos da figura original, podendo variar a direcção e o sentido. Os ângulos mantêm também a sua amplitude. Existem isometrias simples e isometrias compostas. As isometrias simples podem ser rotações, translações e reflexões.

2.2.3) Translação Transladar um objeto significa movê-lo sem girá-lo ou refletir. Cada translação tem um sentido e uma distância. Neste movimento, todos os pontos sofrem um deslocamento de mesma medida, na mesma direção. Ou seja, translação é o deslocamento paralelo em linha reta de um objeto ou figura.

2.2.4) Reflexão Refletir um objeto é como reproduzir sua imagem no espelho. A distância de um ponto ao espelho é igual à distância da imagem desse ponto ao espelho. Além disso, a imagem refletida no espelho é inversa à original, ou seja, a reflexão altera a orientação dos pontos do plano. O eixo de reflexão pode ou não interceptar a figura.

2.2.5) Rotação A rotação possui um ponto, onde todos os pontos do plano movimentam-se rodando a mesma medida em torno deste, que se chama ponto central. Por isso, é também conhecida como simetria central.

Você nota alguma semelhança entre as definições citadas? Agora que você conhece um pouco mais sobre simetria, tente responder a questão inicial.

2.4) Polígonos

Polígonos são figuras fechadas formadas por segmentos de reta, sendo caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. A figura é nomeada de acordo com o número de lados. Por exemplo, se a figura tem três lados é um triângulo, se tem quatro é um quadrilátero, se tem cinco é um pentágono e assim por diante.

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