Conjuntos Resolvidos ITA IME

Conjuntos Resolvidos ITA IME

TEORIA DE CONJUNTOS–ITA/IME Exercícios Resolvidos

Esta seleção foi feita para que você, candidato, possa ter sua carga de estudos direcionada ao concurso que deseja.

O tema abordado aqui é básico e, por vezes, deixado de lado pelos candidatos. Nos concursos do ITA e do IME a teoria de conjuntos sempre é cobrada e vale a pena se aprofundar neste tópico. Bons estudos!

Exercício Resolvido 1: (ITA 2010) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer:

Destas, é(são) falsa(s) a) apenas I. b) apenas I. c) apenas II. d) apenas I e I. e) nenhuma.

Solução: Letra E

I. Verdadeira. (Propriedade Distributiva)

I. Verdadeira. Temos que ()=∩X\YXY. Logo:

Exercício Resolvido 2: (ITA 2006) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, ≥n1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: ∈⇒⊂∨⊂A,BS(AB)(BA). Então o número máximo de elementos que S pode ter é:

a)2n-1 b) n/2 se n é par e (n+1)/2 se n é ímpar c) n+1 d) 2n-1 e) 2n-1+1.

Solução: Letra C

Considere agora ⊂SP(U)com >+n(S)n1. Como qualquer subconjunto de U possui, no máximo, n elementos, então pelo Princípio da Casa dos Pombos, existem ⊂X,YScom ≠∧=XYn(x)n(Y). Sendo assim, é impossível termos ⊂∨⊂(XY)(YX). Logo, nenhum conjunto com mais de n+1 elementos possui a propriedade pedida.

Solução:

Devemos provar que se ∈∩21x(S), então ∈∩12x(P). Porém, sabe-se que:

Exercício Resolvido 4. Sejam P1, P2, Q1, Q2 propriedades referentes a um conjunto universo U. Suponha que P1 e P2 são tais que qualquer elemento de U possui uma propriedade ou outra. Suponha também que Q1 e Q2 se excluem mutuamente.

Em primeiro lugar devemos observar que ()()⇒⇔⊂PQPQ

Temos que:

P U i Q i P Q i PQ iv

Suponha então, por absurdo, que ∃∈∉11xQxP

i x Q iv x P

Comentários