Volume de Solidos por Revolução

Volume de Solidos por Revolução

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Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 141

Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é um sólido:

a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices.

b) S é uma região limitada. Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo, cilindro)

8.2.1- Sólidos de Revolução - Método do Disco

Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira:

Dada uma região R plana e l uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo plano de R. Girando-se R em torno de l, forma-se uma região chamada de sólido de revolução.

Girando o gráfico de uma função f(x) tem-se:

R l

Área plana 1

S l

Sólido gerado pela Rotação.

ab x

y = f(x)

Área plana 2 dV = πr2 dx dV = π[f(x)]2 dx

V = π∫ b

Cálculo do elemento de volume

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Exercícios

1) Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2].

2) Achar o volume gerado pela função f(x) = 22xa− em [-a, a]

V = πaa3 que é o volume da esfera gerada!!!

12 x

y = x3

Área plana 3 x r

Elemento de volume

Sólido gerado pela rotação do semi-círculo

-aa x

Semi-círculo em rotação

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Uma região plana pode ser girada em torno do eixo y ao invés do eixo x, e novamente um sólido de revolução será gerado.

2dyrque é o volume do sólido

Exercícios 1) Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4].

V = 8π = 25,13 unid. de vol.

O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este método surge quando a área de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que f(x) > g(x), para todo x∈[a,b].

Área plana girando em y

R y x b x = g(y) y dy r = x = g(y)

Sólido de revolução da área plana em torno de y

Seção plana parábola girando em y

02 x

y = x2 x =y x

Sólido gerado pela Parábola de revolução

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O elemento de volume do anel é dado por:

de forma que o volume todo é dado por:

ba b a

Note que o vão interno é descontado pela subtração dos dois volumes.

Exercício 1) Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela rotação da região entre y = x2 e y = x + 2.

Sol: Faço f(x) = x + 2 e g(x) = x2(pois f(x) > g(x)) Pontos de Intersecção: f(x) = g(x) → x2 = x + 2, isto é:

x y

Sólido de revolução Área entre parábola e reta em revolução.

y = x +2 f(x)

a b x

g(x) y dx

Anel projetado f(x) x g(x)

Sólido gerado pela revoluçãoÁrea plana em revolução

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