exercicios algebra linear sistema linear

exercicios algebra linear sistema linear

(Parte 1 de 2)

Universidade Federal de Vi cosa

Centro de Ciencias Exatas Departamento de Matem atica

1. Escreva cada um dos sistemas abaixo na forma matricial:

2. Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o M etodo da Matriz Inversa:

3. Resolva os seguintes sistemas utilizando o M etodo de Gauss:

4. Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma unica solu c~ao; (i) in nitas solu c~oes; (ii) nenhuma solu c~ao:

5. Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado admita solu c~ao n~ao-trivial:

6. Determine os valores reais de a e b para que o sistema linear

tenha:

7. Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado seja compat vel.

mogeneo AX = 0 admite apenas a solu c~ao trivial.

9. Sejam

10. Determine a condi c~ao que os n umeros reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solu c~ao.

1. Considere o sistema linear cx + dy = f Mostre que:

(a) se ad − bc = 0, ent~ao o sistema tem uma unica solu c~ao, dada por

ad − bc ;

(b) se ad − bc = 0 e ac = bd = ef , ent~ao o sistema n~ao tem solu c~ao. (c) se ad − bc = 0 e ac = bd = ef , ent~ao o sistema tem in nitas solu c~oes.

12. Dado o sistema linear S :

(e) Se as respostas de (c) e (d) forem a rmativas, ent~ao responda: Por que isso ocorre?

13. Resolva os seguintes sistemas utilizando o M etodo de Gauss-Jordan. Classi que-os.

14. Determine k, nos seguintes casos, de acordo com o que se pede.

(a) De modo que o sistema linear

(b) De modo que o sistema linear homogeneo

tenha uma solu c~ao distinta da solu c~ao trivial.

15. Decida se a a rma c~ao dada e (sempre) verdadeira ou ( as vezes) falsa. Justi que sua resposta dando um argumento l ogico matem atico ou um contra-exemplo.

(b) ( ) Uma condi c~ao necess aria e su ciente para que o sistema linear AX = 0 tenha somente a solu c~ao trivial e que detA = 0.

(c) ( ) Todo sistema linear homogeneo admite a solu c~ao trivial.

(d) ( ) Se X1 e X2 s~ao solu c~oes do sistema linear AX = 0, ent~ao X1 − X2 e solu c~ao de AX = 0.

(e) ( ) Se C e uma matriz invert vel tal que CA = CB, ent~ao os sistemas lineares AX = b e BX = b s~ao equivalentes.

(f) ( ) Se A e uma matriz tal que ATA = A, ent~ao os sistemas lineares AX = b e A2X = b s~ao equivalentes.

16. Uma re naria de petr oleo processa dois tipos de petr oleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petr oleo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de re naria; j a o petr oleo com alto teor s~ao necess arios 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no setor de re naria. Se o setor de mistura est a dispon vel por 3 horas, e o setor de re naria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combust vel devem ser processadas de modo que os dois setores n~ao quem ociosos?

17. Um fabricante de pl astico produz dois tipos de pl astico: o normal e o especial. Para produzir uma tonelada de pl astico normal s~ao necess arias duas horas na f abrica A e 5 horas na f abrica B; j a na produ c~ao de uma tonelada de pl astico especial s~ao necess arias 2 horas na f abrica A e 3 horas na f abrica B. Se a f abrica A funciona 8 horas por dia e a f abrica B funciona 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de pl astico devem ser produzidas diariamente para que as duas f abricas se mantenham totalmente ocupadas?

18. Um nutricionista est a elaborando uma refei c~ao que contenha os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento

A cont em 2 unidades de prote na, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidrato. Cada grama do alimento B cont em 3 unidades de prote na, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. J a o alimento no alimento C encontramos 3 unidades de prote na, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refei c~ao deve fornecer exatamente 25 unidades de prote na, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantos gramas de cada tipo de alimento devem ser utilizados?

19. Um cooperativa produz tres tipos de ra c~ao: X, Y e Z, utilizando farelo de soja, gordura animal e milho.

Cada quilograma da ra c~ao A cont em 100 g de farelo de soja e 200 g de milho e n~ao cont em gordura animal; cada quilograma da ra c~ao B cont em 300 g de farelo de soja, 100 g de gordura animal e 400 g de milho; cada quilograma da ra c~ao C cont em 200 g de farelo de soja, 200 g de gordura animal e 100 g de milho.

Sabendo que a disponibilidade destes produtos na cooperativa nos meses de abril, maio e junho foi dada como na tabela abaixo. Pede-se para determinar qual a quantidade de cada tipo de ra c~ao foi produzido em cada um destes meses.

Quant./ Mes Farelo de Soja Gordura Animal Milho (em tonelada)

20. Num torneio de triatlon as competi c~oes: nado, corrida e ciclismo foram pontuadas com pesos x, y e z, respectivamente. A tabela abaixo apresenta a pontua c~ao dos quatro primeiros colocados em cada categoria e sua respectiva classi ca c~ao nal.

Nado Corrida Ciclismo Classi ca c~ao Geral

O terceiro atleta alegou que se as classi ca c~oes dos 1◦, 2◦ e 4◦ atletas estivessem corretas, ent~ao sua classi a c~ao estaria incorreta. Sabendo que a classi ca c~ao geral foi obtida pela m edia ponderada da pontua c~ao de cada uma das competi c~oes e supondo que o terceiro atleta est a correto determine:

(a) o peso de cada competi c~ao; (b) a classi ca c~ao do terceiro candidato.

21. No meu bairro h a tres cadeias de supermercados: A, B e C. A tabela abaixo apresenta os pre cos ( em reais por quilo) do produto X, do produto Y e do produto Z, nessas cadeias.

Produto X Produto Y Produto Z

Comprando-se x quilos do produto X, y quilos do produto Y e z quilos do produto Z em qualquer dos supermercados pagarei R$31;0. Determine x, y e z.

2. Uma rma fabrica dois produtos: A e B. Cada um deles passa por duas m aquinas: I e I. Para se fabricar uma unidade de A gasta-se 1h da m aquina I e 1;5h da m aquina I. Cada unidade de B gasta 3h de I e 2h de I. Quantas unidades de cada produto poder~ao ser fabricadas em um mes se, por motivos t ecnicos, I s o funciona 300 horas e I s o 250 horas por mes?

23. Dois metais x e y s~ao obtidos de dois tipos de min erios I e I. De 100Kg de I se obt em 3 gramas de x e 5 gramas de y e de 100Kg de I obt em-se 4 gramas de x e 2;5 gramas de y. Quantos quilos de min erio de cada tipo ser~ao necess arios para se obter 72 gramas de x e 95 gramas de y, usando-se simultaneamente os dois min erios?

24. Tres pessoas jogam juntas. Na primeira rodada a primeira perde para cada um dos outros dois a mesma quantia que cada um deles tinha no in cio do jogo. Na segunda rodada, a segunda pessoa perde para cada um dos outros a mesma quantia que eles tinham no nal da 1a rodada. Na terceira rodada, o 1◦ e o 2◦ jogadores ganham do 3◦ a mesma quantia que cada um tinha no nal da segunda rodada. Neste momento, os jogadores veri caram que cada um deles possui R$24;0. Quanto cada jogador tinha ao come car o jogo?

25. Uma ind ustria produz tres produtos, A, B e C, utilizando dois tipos de insumos, X e Y . Para a manufatura de cada quilo de A s~ao utilizados 1 grama do insumo X e 2 gramas do insumo Y ; para cada quilo de B, 1 grama do insumo X e 1 grama do insumo Y e, para cada quilo de C, 1 grama do insumo X e 4 gramas do insumo Y . O pre co da venda do quilo de cada um dos produtos A, B e C e de R$2;0, R$3;0 e R$5;0, respectivamente. Com a venda de toda a produ c~ao de A, B e C manufaturada com 1 quilo de X e 2 quilos de Y , essa ind ustria arrecadou R$250;0. Determine quantos quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos.

26. Cada ra c~ao cont em as seguintes unidades de prote nas (P), carboidratos (C) e gorduras (G).

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