Baixe Apostila Limites e outras Notas de estudo em PDF para Informática, somente na Docsity! METROPOLITANO DE ENSINO - IME FACULDADE METROPOLITANA DE MANAUS – FAMETRO DEPARTAMENTO DE QUÍMICA Apostila de Cálculo I Limites Curso: Sistemas de Informação 2º. período Prof. Alysson Roberto Manaus, Março de 2012 LIMITES DE UMA FUNÇÃO Introdução Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido mas que jamais pode ser ultrapassado. Exemplos: a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha. b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o limite de carga que este suporta. c) No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita. É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido mas do qual pode- se aproximar tanto quanto se desejar. Definição Dizemos que o limite da função f (x) quando x tende a a é igual ao número real L se, e somente se, os números reais f (x) para os infinitos valores de x permanecerem próximos de L, sempre que x estiver muito próximo de a. Indica-se: lim f (x) = L x F 0A E a Exemplos: 1) Consideremos o gráfico da função f : RF 0A E R, definida por f (x) = x + 2 De acordo com o exposto, podemos dizer que: • O limite de f (x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos: lim f (x) = 5 x F 0A E 3 - • O limite de f (x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos: lim f (x) = 5 x F 0A E 3 + Em vez das duas indicações anteriores, podemos utilizar a seguinte representação única. lim f (x) = 5 x F 0A E 3 Lê-se: O limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5. 2) Consideremos também o gráfico da função f : RF 0A E R, definida por : x se x ≤ 3 f (x) = x + 2 se x > 3 lim [ f(x) – g(x)] = lim f(x) – lim g(x) = L – M x F 0 A E a x F 0 A E a x F 0 A E a Ex.: a) lim x² - 1 = x F 0 A E 3 b) lim (x³ + 4x² - 5x) = x F 0 A E 1 4ª) Limite do Produto O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é: lim [ f(x) . g(x)] = lim f(x) . lim g(x) = L . M x F 0 A E a x F 0 A E a x F 0 A E a Ex.: a) lim 4x² = x F 0 A E 3 b) lim [(x² + 1) . (x + 3)] = x F 0 A E 1 5ª) Limite do quociente O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o limite do divisor for igual a zero), isto é: lim f(x) = lim f(x) = L (M F 0B 9 0) x F 0 A E a g(x) lim g(x) M Ex.: a) lim (x + 3) = x F 0 A E 2 (x + 4) b) lim x² + 1 = x F 0 A E 1 x + 3 6ª) Limite da potência O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função, isto é: lim [f(x) ] n = [lim f(x)] n = L n (L >0) x F 0 A E a x F 0 A E a Ex.: a) lim (5x)² = b) lim (x² + 1)³ = x F 0 A E 1 x F 0 A E 1 7ª) Limite da raiz O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função, isto é: lim = = (L F 0B 30, n par) x F 0 A E a x F 0 A E a Ex.: a) lim = x F 0 A E 1 b) lim = x F 0 A E 2 Atividades 1) Calcule os seguintes limites, utilizando as propriedades estudadas: a) lim 3 = f) lim (5x² - 3x + 1) = k) lim (3x – 1) 10 = x F 0 A E 2 x F 0 A E 3 x F 0 A E 1 b) lim 3x = g) lim (4x³ + 2x + 6) = l) lim = x F 0 A E 2 x F 0 A E 0 x F 0 A E 4 c) lim 3x5 = h) lim (x4 + x + 3) = m) lim = x F 0 A E 2 x F 0 A E - 2 x F 0 A E 1 d) lim x = i) lim 3x + 2 = n) lim (2x – 5)4 = x F 0 A E 5 x F 0 A E 3 x – 1 x F 0 A E 1 e) lim x4 = j) lim (x² - 2x) 5 = o) lim x² + 4 = x F 0 A E 2 x F 0 A E 2 x F 0 A E 3 x – 1 2) Calcule os limites: a) lim (2x² - 3x + 1) = e) lim 2x³ = x F 0 A E 2 x F 0 A E 2 b) lim 1 = f) lim (x³ – 5) = x F 0 A E - 3 x² + 1 x F 0 A E 4 c) lim = g) lim 4x² – 2x = x F 0 A E - 2 x F 0 A E 3 x – 1 Limite de um polinômio Uma das conseqüências das propriedades dos limites é a regra para obter o limite de uma função polinomial, que pode ser obtida por substituição. f(x) = axo + a1x + a2x² + ... + anxn Exemplos: 1) lim (3x² - 5x + 2) = x F 0 A E 2 2) lim x² + 2x – 3 = x F 0 A E - 3 4x – 3 3) lim 2x² – x + 1 2 = x F 0 A E 1 3x – 2 4) lim = x F 0 A E - 2 Obs.: A casos em que chegaremos a uma indeterminação matemática e teremos que fatorar e simplificar a função, antes de efetuarmos a substituição, porque ela não é definida para aquele valor de x. 5) lim x² – 4 = x F 0 A E 2 x² – 2x 6) lim x² – 64 = x F 0 A E 8 x – 8 F0 40 Exercícios 1) Calcule os seguintes limites: a) lim (3x4 – 2x³ + 4x² + 5) = x F 0 A E 2 Limites Infinitos Ampliaremos agora o conceito de limite, introduzindo o elemento infinito, que representamos por ∞. O símbolo ∞ não representa um número, portanto, não se efetuam com ele as operações que realizamos com os números reais. Vejamos alguns exemplos: 1º exemplo: Seja o gráfico da função f(x) = Quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce indefinidamente superando qualquer valor arbitrário que fixamos, isto é, y tende a mais infinito e indicamos: lim 1 = + ∞ x F 0 A E 0 + x Quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y decresce indefinidamente, isto é, y tende a menos infinito e indicamos: lim 1 = – ∞ x F 0 A E 0 - x Observe que não existe lim f (x) porque os limites laterais são diferentes. x F 0 A E 0 A partir do mesmo gráfico, podemos concluir que: * Quando x cresce indefinidamente, o gráfico quase encosta no eixo x, isto é, y tende a zero: lim 1 = 0 x F 0 A E + ∞ x * Quando x decresce indefinidamente, o gráfico quase encosta no eixo x, isto é, y tende a zero: lim 1 = 0 x F 0 A E - ∞ x Obs.: Se n F 0C E IN* e se f: IR* F 0 A E IR é a função definida por f(x) = 1 , então: xn lim f (x ) = lim 1 = 0 x F 0 A E F 0 B 1 ∞ x F 0 A E F 0 B 1 ∞ xn 2º Exemplo: Seja o gráfico da função f (x) = x: f (x) A partir do gráfico, podemos concluir que: * Quando x tende a mais infinito, y tende a mais infinito, isto é: lim x = + ∞ x F 0 A E + ∞ * quando x tende a menos infinito, y tende a menos infinito, isto é: lim x = – ∞ x F 0 A E - ∞ F0 40 Exercícios 1) Calcule os limites: a) lim 3 = j) lim x³ = x F 0 A E 0 + x x F 0 A E - ∞ b) lim 5 = k) lim x4 = x F 0 A E 0 - x x F 0 A E + ∞ c) lim 7 = l) lim x5 = x F 0 A E + ∞ x x F 0 A E + ∞ d) lim 2 = m) lim 3 – x = x F 0 A E - ∞ x x F 0 A E 0 - x² e) lim 11 = n) lim 1 = x F 0 A E 0 - x² x F 0 A E 2 + x - 2 f) lim _ 5 = o) lim 1 = x F 0 A E + ∞ x x F 0 A E 5 - x - 5 g) lim 2x = p) lim x8 = x F 0 A E + ∞ x F 0 A E - ∞ h) lim ( - 5x) = q) lim (- 9x) = x F 0 A E - ∞ x F 0 A E + ∞ i) lim x² = r) lim _ 2 = x F 0 A E - ∞ x F 0 A E - ∞ x4 Limite da função polinomial para x F 0A E F 0 B 1 ∞ Consideremos o limite lim ( 5x4 + 8x³ + 3x + 6). Como x tende a + ∞, temos que x não é igual x F 0 A E + ∞ a zero e, portanto, podemos escrever: lim ( 5x4 + 8x³ + 3x + 6) = lim x4 5 + 8 + 3 + 6 = lim 5 x4 = + ∞ x F 0 A E + ∞ x F 0 A E + ∞ x x³ x4 x F 0 A E + ∞ Logo, o limite da função polinomial quando x F 0A E + ∞ é igual ao limite do seu termo de maior grau. Exemplos: a) lim (x5 + x² – x + 1) = x F 0 A E - ∞ b) lim (4x³ – 2x² + x – 1) = x F 0 A E + ∞ c) lim (– x³ + x² + 2) = x F 0 A E - ∞ d) lim x³ + x² – x + 1 = x F 0 A E + ∞ x² + x – 1 e) lim x² + x + 1 = x F 0 A E - ∞ 3x² + x – 1 F0 40 Exercícios 1) Determine os limites: a) lim (– 3x³ + 2x² – x + 1) = h) lim x + 1 = x F 0 A E + ∞ x F 0 A E - ∞ x – 1 b) lim (– 2x11 + x² + x ) = i) lim 2 x + 3 = x F 0 A E - ∞ x F 0 A E + ∞ 5x5 +x² + 1 c) lim (x7 + x² – x + 1) = j) lim 6 x4 + x³ + x = x F 0 A E - ∞ x F 0 A E - ∞ x² + x + 1 d) lim (2x³ – 5x² + 2x – 3) = k) lim 3 x² + x + 2 = x F 0 A E + ∞ x F 0 A E + ∞ 2x² – x + 1 e) lim x5 + 1 = l) lim 3x5 + x4 + 8 = x F 0 A E + ∞ x5 – 1 x F 0 A E + ∞ – 2 x11 + x + 1 f) lim 2 x² + x + 1 = m) lim 8x + 1 = x F 0 A E + ∞ x³ + 2x² + x – 1 x F 0 A E + ∞ 4x – 5 g) lim x³ + x² + x + 1 = n) lim – 2 x² +5 = x F 0 A E - ∞ 7x³ + 2x² – x + 2 x F 0 A E - ∞ 6x + 1 F0 40 Exercícios Complementares 1) Calcule o valor dos seguintes limites: a) lim ( 7x² – 9x + 4 ) = x F 0 A E 3 Então, 4) Calcular Fazendo a divisão de por , para simplificar, temos: Então, Observação: Poderíamos ter fatorado o numerador pela “diferença de cubos” Assim, teríamos: Depois, simplificaríamos: E, então, calcularíamos o limite desejado: 5) Calcular Fazendo a divisão de polinômios (numerador pelo denominador): Como a divisão não é exata, temos que simplificar a fração algébrica pela fatoração do numerador e do denominador. Assim: Resolvendo a equação (numerador): Fatorando: Resolvendo a equação (denominador): Fatorando: Substituindo os trinômios fatorados no limite, temos: 6) Calcular Fazendo , temos que: , logo: , então Exercícios 1) Calcule: a) b) c) d) 2) Calcule os seguintes limites: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 3) Calcule: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 4. O é igual a A) 1/9. B) 1/27. C) 1/243. D) 1/243. E) 1/54. 5) Se , então é igual a: A) 0 B) 1 C) D) E) 6) (FGV-71) O limite, é igual a: A) não existe B) 4 C) 0 D) 2 E) 7) O é igual a: A) B) C) 0 D) 1 E) 8) vale a) 7e b) e7 c) 7 – e d) 7 + e e) 7e Respostas: 1) a) b) c) - 1 d)