calculo

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Chapter 1 Aplicações da Integral Simples

1.1 Área de regiões planares

Seja R a região limitada pelo gráfico da função y = f(x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f(x) ≥ 0 para todo [a,b]. A área da região R é dado pela fórmula:

O R ba

Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.1: Área de regiões planares

a f(x) dx

Resumindo:

• Seja R a região delimitada pela curva y = f(x), f contínua em [a,b], pelas retas verticais x = a e x = b, e eixo x, então a área A de R é dado por

• Em particular se R é a região delimitada pela curva y = f(x), pelas retas verticais x = a e x = b, e eixo x, tais que f contínua em [a,b], f(x) ≤ 0 para a < x < c e f(x) ≥ 0 para c < x < b então a área A de R é dado por

• Seja R a região delimitada pela curva x = g(y), g contínua em [c,d], pelas retas horizontais y = c e y = d, e eixo y, então a área A de R é dado por

• Seja R a região delimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) interceptando nos pontos com abscissas x = a e x = b, então a área A de R é dado por

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Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.1: Área de regiões planares • Seja R a região delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) interceptando nos pontos com ordenadas y = c e y = d, então a área A de R é dado por

Exemplo 1.1. Calcular a área da figura do plano limitada pela curva y = tg x e o eixo x e tal que −π/3 ≤ x ≤ π/4.

Solução

Exemplo 1.2. Calcular a área da figura do plano limitada pela curva y = log2(x) e o eixo x e tal que 1/2 ≤ x ≤ 4.

Solução

Usando integração por partes

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Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.1: Área de regiões planares Exemplo 1.3. Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas

Solução

Para determinar os limites de integração fazemos a interseção das curvas: y = 2x2 + 10 e y = 4x + 16

1.1 Observação. Se f e g são funções contínuas em R, para calcular a área da região entre as curvas y = f(x) e y = g(x) necessitamos apenas conhecer os pontos de interseção entre as curvas e o sinal de f(x) − g(x). Não há necessidade de mais detalhes sobre o gráfico de f ou de g.

Exemplo 1.4. Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas y1 = x5 − x3 + 2x2 −x + 3 e y2 = x4 + x3 + 2x2 − x+ 3.

Solução

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Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.1: Área de regiões planares Logo,

Exemplo 1.5. Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas y2+y−1−x = 0 e y − x = 0.

Solução Neste exemplo convém tomar y como variável

independente e as funções x = f(y) = y2 + y − 1 e x = g(y) = y As interseções da parábola e da reta x = y2 +y −1 e x = y são os pontos (−1,−1) e (1,1).

x y

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Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.2: Exercícios 1.2 Exercícios

[1] Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: (1.1) y = lnx, x = 2 e o eixo Ox (1.2) x = 8 + 2y − y2, y = 1, y = 3 e x = 0

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Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.3: Volume de sólidos 1.3 Volume de sólidos

Introdução Volume de um cilindro reto Admitiremos inicialmente a definição de volume para cilindros retos:

Tomemos um plano α e uma região R deste plano, com área A limitada por uma curva fechada C. Consideremos uma reta r perpendicular ao plano α e tomemos a superfície cilíndrica tal que C seja sua diretriz e r uma geratriz (isto é, obtida pela reunião de todas as retas paralelas a r passando por algum ponto de C). Consideremos um plano, β, paralelo a α. A região do espaço limitada pela superfície cilíndrica e pelos dois planos é um cilindro de base R e altura h, sendo h a distância entre os dois planos. O volume do cilindro é, V = A.h. Dado um sólido, tomemos um eixo orientado OX e, para todo número real x, o plano perpendicular a OX em x (isto é passando pelo ponto de abscissa x do eixo). Suponhamos que:

• Para todo x ∈ R, o plano em x intercepta o sólido se, e somente, se x ∈ [a, b].

• Se x ∈ [a,b] a intersecção é uma região desse plano com área que indicaremos por A(x).

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Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.3: Volume de sólidos Se a função A(x), definida em [a,b], é contínua então o volume do sólido é:

a A(x) dx

Tomemos números x0,x1,x2,...,xn ∈ [a,b] tais que a = x0 < x1 < x2 << xn = b e
números a1, a2,, an tais que ai ∈ [xi−1, xi].

Dedução da fórmula: O cilindro cuja base é a intersecção do plano perpendicular ao eixo OX em ai com o sólido e cuja altura é (xi − xi−1) tem volume igual a A(ai)(xi − xi−1) e então

a A(x) dx

Chamaremos as intersecções do sólido com os planos perpendiculares ao eixo de seções planas do sólido transversais ao eixo OX ou de seções planas.

Exemplo 1.6. Calcular o volume de uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado 2 e cuja altura é 3.

Solução

Tomemos o eixo OY perpendicular ao plano da base da pirâmide, ortogonal a um dos lados da base e sua origem e orientação como indicados na figura ao lado.

Para todo y ∈ [0,3] a seção plana transversal a OY é um quadrado cujo lado varia com y e que indicaremos por L. Então a seção plana tem área A = L2 e o volume da pirâmide é dado por V = ∫ 3

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