Sinais Senoidais - Tens-o e Corrente Alternadas

Sinais Senoidais - Tens-o e Corrente Alternadas

(Parte 1 de 4)

Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina Gerência Educacional de Eletrônica

SINAIS SENOIDAIS: Tensão e CCoorrrrenntte AAlltterrnnaaddaass

Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi

Terceira Edição Florianópolis – Março, 2006.

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica

Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi Versão 3.0 – 17 de março de 2006

Esta apostila é um material de apoio didático utilizado pelo autor nas suas aulas das disciplinas ministradas na Gerência Educacional de Eletrônica do Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina (CEFET/SC).

Este material não tem a pretensão de esgotar, tampouco inovar o tratamento do assunto por ele abordado. Tem por objetivo facilitar a dinâmica de aula, com expressivos ganhos de tempo, além de dar uma primeira orientação e compreensão aos alunos sobre o assunto abordado.

Este trabalho foi construído com base nas referências bibliográficas, citadas ao longo do texto, nas notas de aula e na experiência do autor na abordagem do assunto com os seus alunos.

Em se tratando de um material didático elaborado por um professor de uma Instituição

Pública de Ensino, são permitidos o uso e a reprodução do texto, desde que devidamente citada a fonte.

O aluno deve desenvolver o hábito de consultar, estudar e, se possível, adquirir a

Bibliografia Referenciada original para melhores resultados no processo de aprendizagem.

Quaisquer contribuições, correções e críticas construtivas a este trabalho serão bemvindas pelo autor.

Agradeço a todos aqueles que fizerem uso deste material, em especial aos meus alunos, razão deste material e do meu trabalho.

Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi mussoi@cefetsc.edu.br

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica

NOTA DO AUTOR2
1. TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS SENOIDAIS6
2. GERAÇÃO DE CORRENTE ALTERNADA7
2.1. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA7
2.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DO GERADOR DE CORRENTE ALTERNADA9
2.3 – TENSÃO E FREQÜÊNCIA DO GERADOR13
2.4 - GERADORES DE CORRENTE ALTERNADA16

Índice

SENOIDAL20
3.1. VALOR DE PICO:20
3.2. PERÍODO (T):21
3.3. FREQÜÊNCIA (F):21
3.4. FREQÜÊNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR (ω):2
3.5. FUNÇÃO MATEMÁTICA DA TENSÃO E DA CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL24
3.5.1. Tensão Instantânea:25
3.5.2. Corrente Instantânea:27
3.6. VALOR MÉDIO28
3.7. VALOR EFICAZ30
3.8. FATOR DE FORMA3
3.9. FASE INICIAL E DEFASAGEM ANGULAR3
3.10. OSCILOSCÓPIO36
3.1. EXERCÍCIOS:37
4. NÚMEROS COMPLEXOS41
4.1. PLANO CARTESIANO COMPLEXO41
4.2. FORMA RETANGULAR OU CARTESIANA43
4.3. FORMA POLAR45
4.4. CONVERSÃO ENTRE FORMAS46
4.4.1. Conversão de Retangular para Polar46
4.4.2. Conversão de Polar para Retangular47
4.5. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS48
4.5.1. Conjugado Complexo48
4.5.2. Recíproco ou Inverso de um número complexo49
4.5.3. Adição e Subtração de números complexos49
4.5.4. Multiplicação de números complexos49
4.5.5. Divisão de números complexos50
4.5.6. Potenciação de números complexos51
4.6. EXERCÍCIOS51
5. REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS54
5.1 INTRODUÇÃO54
5.2. FASOR56
5.3. REPRESENTAÇÃO FASORIAL COM NÚMEROS COMPLEXOS60
5.4. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS63
5.5. TABELA RESUMO6 6
5.6. EXERCÍCIOS:67

3. PARÂMETROS DA FORMA DE ONDA DA TENSÃO E DA CORRENTE ALTERNADA

6. RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS NOS ELEMENTOS PASSIVOS DE CIRCUITOS................................................................................................................... .....................70

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica

6.1. RESISTOR EM CORRENTE ALTERNADA70
6.1.1. Exercícios:75
6.2. CAPACITOR EM CORRENTE ALTERNADA75
6.2.1. Reatância Capacitiva Xc:80
6.2.2. Lei de Ohm para o Capacitor em Corrente Alternada81
6.2.3. Resposta em freqüência para o Capacitor84
6.2.4. Modelo do Capacitor Real85
6.2.5. Exercícios:85
6.3. INDUTOR EM CORRENTE ALTERNADA86
6.3.1. Reatância Indutiva XL:90
6.3.2. Lei de Ohm para o Indutor em corrente alternada92
6.3.3. Resposta em freqüência para o Indutor94
6.3.4. Modelo do Indutor Real95
6.3.3. Exercícios:96
6.4. IMPEDÂNCIA96
6.4.1. Diagrama de Impedâncias e Triângulo de Impedâncias101
6.4.2. Associação de Impedâncias:104
6.4.3. Tabelas-resumo106
6.4.4. Exercícios108
6.5. ADMITÂNCIA108
6.5.1. Associações de Admitâncias109
6.5.2. Diagrama de Admitâncias110
6.6. ANÁLISE DE CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA1
6.6.1. Análise de Circuitos RC1
6.6.2. Análise de Circuitos RL114
6.6.3. Análise de Circuitos RLC116
6.6.4. Exercícios:122
7. POTÊNCIA E ENERGIA ELÉTRICA EM CORRENTE ALTERNADA124
7.1. POTÊNCIA INSTANTÂNEA124
7.2. POTÊNCIA MÉDIA OU POTÊNCIA ATIVA127
7.3. ESTUDO DA POTÊNCIA NO RESISTOR, NO INDUTOR E NO CAPACITOR129
7.3.1. Potência no Resistor129
7.3.2 - Potência no Indutor Ideal132
7.3.3. Potência no Capacitor Ideal135
7.3.4. Potencia na Impedância de um circuito misto138
7.4. POTÊNCIA APARENTE E TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS140
7.4.1. Triângulo de Potências141
7.5. FATOR DE POTÊNCIA E ENERGIA143
7.5.1. Energia Elétrica144
7.6 - NOTAÇÃO COMPLEXA DA POTÊNCIA144
7.7. RELAÇÕES ENTRE P E Q E OS ELEMENTOS PASSIVOS R, L E C146
7.8. CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA:150
7.9. EXERCÍCIOS153
8. EXERCÍCIOS E PROBLEMAS PROPOSTOS156
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:170
ANEXOS171
A.1. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS172
A.2. DERIVADA173
A.3. MEDIÇÃO DA DEFASAGEM USANDO OSCILOSCÓPIO175
A.4. ESPECTRO DE FREQÜÊNCIAS176

4 A.5. SÉRIES DE FOURIER........................................................................................................................177

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica

A.6. TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA182
A.6.1. Transferência de Potência em Circuitos de Corrente Contínua182
A.6.2. Transferência de Potência em Circuitos de Corrente Alternada182
A.6.3. Exercícios Propostos:183
A.8. FATOR DE DESLOCAMENTO E TAXA DE DISTORÇÃO HARMÔNICA184

5 A9. INFORMAÇÕES RELEVANTES ..........................................................................................................185

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica

1. TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS SENOIDAIS

Uma forma de onda de um sinal de tensão ou corrente alternada é aquela onde a intensidade e a polaridade alteram-se ao longo do tempo. Em geral são sinais periódicos como as formas de onda apresentadas na figura 1.1 t t t

Figura 1.1 – formas de onda alternadas e periódicas

Uma Corrente Alternada (ICA) é aquela que inverte, periodicamente, o sentido no qual está circulando. Ela também varia a intensidade continuamente no tempo. Uma Tensão

Alternada (VCA) é aquela que inverte, periodicamente, a polaridade da tensão. Já Tensão ou Corrente Alternada Senoidal é aquela cuja forma de onda é representada por uma senóide.

Dizemos que é um sinal senoidal.

A forma de onda periódica mais importante e de maior interesse é a alternada senoidal de tensão e de corrente, porque a energia gerada nas usinas das concessionárias e a maioria dos equipamentos usam tensão e corrente alternadas senoidais.

A maior parte da energia elétrica consumida é gerada e distribuída na forma de tensão e corrente alternadas para os consumidores que são as residências, o comércio e, principalmente, as indústrias.

A principal razão pela qual a energia elétrica gerada e distribuída em grande escala ser em tensão e corrente alternadas é que ela apresenta uma facilidade tanto na geração como na transformação dos níveis de tensão (elevação ou redução). Para transportar a energia a longas distâncias é necessário elevar a tensão a níveis que chegam a 750kV, para reduzir as perdas no transporte (principalmente por Efeito Joule). Nos centros de consumo a tensão é novamente reduzida e distribuída aos consumidores.

Os motores de corrente alternada são construtivamente menos complexos que os motores de corrente contínua. Isto é uma grande vantagem pois, reduz custos e cuidados com a manutenção. Por isso são os mais baratos e os mais usados nos equipamentos.

Outra importante razão é a característica típica de comportamento dos circuitos elétricos e seus elementos passivos (R, L e C) quando submetidos a sinais senoidais. O tratamento matemático permite que os mesmos teoremas de análise de circuitos de corrente contínua (C) possam ser aplicados à análise de circuitos com sinais alternados senoidais.

Além disso, os sinais senoidais de tensão e de corrente são muito estudados porque são, em muitos casos, a base para vários outros sinais. Isto quer dizer que muitos sinais podem ser analisados pela combinação de mais de um sinal senoidal.

O objetivo desta apostila é apresentar o processo de geração da corrente alternada senoidal e especificar as suas características, parâmetros e terminologias, bem como processos matemáticos para análise do comportamento dos elementos passivos (resistor, capacitor e indutor) em circuitos de corrente alternada senoidal.

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica

2. GERAÇÃO DE CORRENTE ALTERNADA

No estudo do Eletromagnetismo já foram vistos os princípios da Indução

Eletromagnética. Para entender a produção de uma onda (sinal) senoidal devemos conhecer bem os princípios das tensões e correntes induzidas:

2.1. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

Quando a região onde um circuito elétrico se encontra apresenta uma variação de fluxo magnético, surge nesse circuito, uma corrente elétrica. Este fenômeno é chamado de indução eletromagnética.

Esta corrente induzida circuila no circuito devido à uma diferença de potencial (tensão), chamada de força eletromotriz induzida (FEM), ou simplesmente, tensão induzida.

A indução eletromagnética é regida por duas leis: Lei de Lenz e Lei de Faraday, já estudadas.

A Lei de Faraday diz que a Fem (tensão) induzida média em um circuito é igual ao resultado da divisão da variação do fluxo magnético numa bobina com N espiras pelo intervalo de tempo em que ocorre, com sinal trocado. Ou seja, quanto mais o fluxo variar num intervalo de tempo, tanto maior será a tensão induzida.

t Ne Δ onde: e – força eletromotriz induzida (tensão induzida) [V]

Δφ/Δt – taxa de variação do fluxo magnético no tempo [Wb/s] N – número de espiras.

A Lei de Lenz diz que o sentido da corrente induzida é tal que origina um fluxo magnético induzido, que se opõe à variação do fluxo magnético indutor.

c) Ímã se afastando

NS Corrente I b) Ímã se aproximando

Corrente I NSNS a) Ímã parado não induz corrente

Corrente Nula ( I = 0 )

Figura 2.1.1 – Indução Eletromagnética

Por exemplo, na figura 2.1.1 a aproximação do imã provoca um aumento do fluxo magnético perto da bobina. Conseqüentemente começa a circular, na bobina, uma corrente que cria um campo magnético com polaridade inversa ao do imã. O campo criado tenta impedir

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica a aproximação do imã, tenta parar o imã, para manter o fluxo magnético constante (variação de fluxo nula). Quando o ímã se afasta, o efeito é contrário e a corrente induzida tem o seu sentido alternado.

Um condutor se movimentando num campo magnético também produz variação de fluxo magnético e sofre, consequentemente, indução magnética de corrente.

Há três condições fundamentais que devem existir antes que uma tensão possa ser produzida por magnetismo.

De acordo com estas condições, quando o condutor (ou condutores) se MOVER através de um campo magnético de maneira que as linhas de campo o atravesse, elétrons DENTRO DO CONDUTOR serão estimulados em uma direção ou outra. Assim, uma força eletromotriz, ou tensão elétrica, é induzida (criada).

Sabemos que:

onde:

φ - fluxo magnético [Wb] B – intensidade do campo magnético [T] A – área do condutor [m2] θ - ângulo de incidência da linhas de campo no condutor [o ou rad]

Ou seja, o fluxo magnético depende da intensidade do campo magnético, da área do condutor atingida pelas linhas do campo magnético e do ângulo em que estas linhas atingem o condutor.

O sentido da corrente induzida num condutor em movimento dentro de um campo magnético pode ser dado pela Regra da Mão Direita (Regra de Fleming), como indica a figura 2.1.2.

Figura 2.1.2 – Determinação do sentido da corrente induzida com o uso da Regra da Mão Direita [2].

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica

As figuras 2.1.3 e 2.1.4 indicam algumas situações de indução de corrente num condutor e o seu sentido, em função da polaridade magnética e do sentido do movimento do condutor.

Corrente

Induzida Nula (a)

Corrente Induzida

Máxima (b)

Corrente Induzida (c)

Figura 2.1.3 – Movimento de um condutor dentro de um campo magnético. A amplitude da corrente induzida depende do ângulo no qual o condutor corta as linhas de fluxo [2].

(a) (b) (c) Figura 2.1.4 – Mudar a direção do movimento ou a polaridade do campo muda o sentido da corrente induzida [2].

2.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DO GERADOR DE CORRENTE ALTERNADA.

Um gerador de corrente alternada funciona com base na indução de força eletromotriz num condutor em movimento dentro de um campo magnético. Para entender o seu funcionamento considere-se o esquema da figura 2.2.1, onde uma espira gira dentro de um campo magnético, gerando uma tensão (FEM) e uma corrente induzidas.

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica

Eixo Espira

Terminais da Espira

Sentido de rotação Figura 2.2.1 – Gerador de Corrente Alternada Elementar: espira girando num campo magnético

A figura 2.2.2(a) ilustra , passo a passo, a indução de uma corrente na espira do gerador de corrente alternada elementar da figura 2.2.1.

Em t1 os condutores a e b estão se movimentando paralelamente ao fluxo magnético (com sentidos opostos). Como nenhuma linha de fluxo é cortada θ=0O=180O, nenhuma tensão ou corrente é induzida.

No instante t2, o movimento dos condutores já corta as linhas de fluxo magnético em um determinado ângulo θ e uma tensão é induzida e esta proporciona uma corrente induzida com o sentido indicado, dado pela regra da mão direita.

No instante t3 o movimento dos condutores corta as linhas de fluxo perpendicularmente (ângulo de 90o) e a variação do fluxo é máxima. A tensão induzida é máxima e, portanto, há o pico de corrente induzida.

Em t4, o movimento dos condutores corta as linhas de fluxo magnético em um determinado ângulo e uma tensão menor é induzida. Como o ângulo é complementar a θ2 a tensão induzida é igual a do instante t2.

Em t5 os condutores a e b estão novamente se movimentando paralelamente ao fluxo magnético (com sentidos opostos) e nenhuma tensão ou corrente é induzida.

Neste ponto, a primeira meia volta da espira produziu a forma de onda de corrente induzida apresentada na figura 2.2.2(b). O eixo vertical indica a intensidade da corrente (ou da tensão) induzida em cada instante. O eixo horizontal indica os instantes de tempo ou o ângulo do movimento da espira no campo magnético.

com a variação do ângulo devido ao movimento de giro da espira no campo magnético, o fluxo φ tem uma variação senoidal e, portanto, como a tensão induzida depende da variação do fluxo, ela assumirá um comportamento também senoidal.

Como a tensão e a corrente induzidas dependem da variação do fluxo e este varia de acordo com o seno do ângulo de incidência das linhas no condutor da espira (φ = B.A.senθ) devido ao movimento giratório da espira, a forma de onda resultante é periódica a cada volta (cíclica) e tem a forma senoidal.

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica

N S θ = 0o

Δφ = 0 e = 0

Instante t1

N S θ ≠ 0o

Instante t2

N S θ = 90o

Δφ = máx e máx

Instante t3

N S θ ≠ 0o

Instante t4

N S θ = 0o

Δφ = 0 e = 0

Instante t5 a b b b

t1t2 t3 t4 t5
0o90o 180o

v(V) i (A) t (s)

(b) Figura 2.2.2 – Geração de Corrente: (a) primeira meia volta da espira [1]; (b) forma de onda do sinal gerado.

A figura 2.2.3 representa a segunda meia volta da espira. Nota-se que, do instante t5 para t6 a direção na qual o condutor corta o fluxo é invertida. Portanto, a polaridade da tensão induzida é invertida e, conseqüentemente, o sentido da corrente é alternado, formando, a partir daí, o semiciclo negativo da forma de onda, pelo mesmo processo anterior.

A figura 2.2.4 indica a forma de onda senoidal produzida pelo giro de 360o (2.π rad) de um condutor de uma espira em um campo magnético. O eixo vertical indica a amplitude da tensão (FEM) induzida.

O eixo horizontal pode representar o tempo que a forma de onda leva para completar um ciclo inteiro (período). Cada instante de tempo está relacionado com a posição angular do condutor no campo magnético. Quando o eixo horizontal indicar diretamente a posição angular em graus, chamamos de ângulo elétrico. A vantagem de se indicar o eixo horizontal em graus em vez de unidades de tempo é que os graus elétricos independem da velocidade com que a espira gira no campo magnético (e conseqüentemente da freqüência e do período).

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica

NS θ = 0o

Δφ = 0 e = 0

Instante t5

NS θ ≠ 0o Δφ ≠ 0 e ≠ 0

Instante t6

NS θ = 90o

Δφ = máx e = máx

Instante t7

NS θ ≠ 0o Δφ ≠ 0 e ≠ 0

Instante t8

NS θ = 0o

Δφ = 0 e = 0

Instante t9 a b b b

180o270o 360o
t5t6 t7 t8 t9

(b) Figura 2.2.3 – Geração de Corrente: (a) segunda meia volta da espira [1]; (b) forma de onda do sinal gerado.

A corrente alternada resultante do processo de indução magnética, no gerador estudado, tem a forma senoidal, isto é, a corrente varia no tempo periodicamente tanto em intensidade como em sentido, a cada 360o, como indica a figura 2.2.5. O mesmo ocorre para a FEM induzida: uma tensão que varia periodicamente, em intensidade e polaridade.

A amplitude da tensão e da corrente induzidas nas bobinas depende:

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica x x x x x

Tensão Induzida

Tempo

Figura 2.2.4 – Gerando uma onda senoidal através do movimento de rotação de um condutor dentro de um campo magnético [2].

i (A)

0o90o 180o 270o 360o

tempo para uma rotação (360o)

Período

Máximo (pico +)

Mínimo (pico -)

Figura 2.2.5 - Gráfico da corrente produzida pelo gerador.

2.3 – TENSÃO E FREQÜÊNCIA DO GERADOR

Observando as figuras 2.2.2 e 2.2.3 podemos concluir que o fluxo magnético na espira varia de um máximo positivo (+φ) em t3, a um máximo negativo (-φ) em t7, passando por zero durante meia volta da espira no campo magnético. Assim, a amplitude de variação do fluxo magnético na espira em meia volta é dado por:

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica

Essa variação ocorre durante um dado intervalo de tempo Δt. Considerando a quantidade de rotações por minuto (rpm), temos a relação:

Δt ⎯ ½ rotação

60s (1min) ⎯ n rotações assim:

No gerador das figuras 2.2.2 e 2.2.3 temos apenas dois pólos magnéticos produzindo um Δφ = 2φ em meia volta. Se tivermos um número p de pólos teremos:

(Parte 1 de 4)

Comentários