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Estimativa Estatística-Media, Notas de estudo de Estatística

ESTATÍSTICA

Tipologia: Notas de estudo

2012
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Compartilhado em 24/04/2012

adriana-cristina-carrenho-6
adriana-cristina-carrenho-6 🇧🇷

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Baixe Estimativa Estatística-Media e outras Notas de estudo em PDF para Estatística, somente na Docsity! 6 – Estimativa da Média  A estimativa é um processo em que uma amostra é selecionada, mede-se as estatísticas necessárias, como por exemplo, a altura média e desvio padrão da amostra. Então é feita uma inferência, ou seja, um processo de generalização, dizendo que a partir da média da amostra será possível concluir que ela será a média da população. Em outras palavras, com os dados da amostra tira-se conclusão da população. Neste processo de inferência, quando se retira uma amostra da população, deseja-se obter uma amostra que seja representativa da população, então temos dois casos distintos de processo de retirada: com reposição e sem reposição. O que mais interessa em inferência é o processo de amostragem sem reposição. No processo de amostragem sem reposição quando o tamanho da amostra é muito menor do que o tamanho da população e no processo de amostragem com reposição, considera-se o caso de população infinita. Neste caso, de um modo geral, as probabilidades de retirada de cada elemento da população se mantêm inalteradas. No processo de amostragem sem reposição quando o tamanho da amostra é considerável em relação ao tamanho da população, considera-se o caso de população finita. Neste caso, de um modo geral, as probabilidades de retirada de cada elemento da população modificam-se e para corrigir esta distorção, utiliza-se o fator de correção finita. Existem dois tipos de estimativa, a estimativa pontual e a estimativa intervalar. Por exemplo, quando se fala que o brasileiro tem uma altura média de 1,72 m, estamos falando da estimativa pontual. Quando se fala que o brasileiro tem uma altura média que está entre 1,70 m e 1,74 m, estamos falando da estimativa intervalar. 6.1 – Estimativa Pontual da Média  Na estimativa pontual usamos os dados da amostra para calcular um valor de uma estatística que serve como uma estimativa de um parâmetro da população. A média da amostra x é um estimador pontual da média populacional μ. x=μ Exemplo 1 Vamos supor que para a população de estagiários na área de Administração, tenhamos selecionado uma amostra aleatória simples de 12 deles, em que desejamos saber qual a idade em que eles conseguiram o seu primeiro estágio em Administração, sabendo-se que a população tem um comportamento normal. 20 21 21 22 22 22 23 23 23 23 24 25 Qual a estimativa pontual da média da população? Solução Primeiro devemos calcular a média aritmética da amostra, então precisamos de n e ∑x. n = 12 e ∑ = 269x A média amostral será: 4,22 12 269 n x x === ∑ 1 A estimativa pontual da média populacional é de 22,4 anos, ou seja, supõe-se que os estagiários fazem o seu primeiro estágio em Administração com uma média de 22,4 anos. 6.2 – Estimativa Intervalar da Média  Existem dois casos de estimativa intervalar da média. - Quando do desvio padrão da população não é conhecido. - Quando do desvio padrão da população é conhecido Quando se fala em estimativa intervalar, deseja-se criar um intervalo da média da população a partir dos dados da amostra. É preciso encontrar o limite inferior da média (Li) e o limite superior da média (Ls) para um dado intervalo de confiança, que é a probabilidade da média da população estar dentro deste intervalo. Os valores de intervalo de confiança mais comuns são: 90%, 95% e 99%. O intervalo de confiança é também chamado de nível de confiança. Fixando um nível de confiança: 1 – α (probabilidade da média da população estar dentro do intervalo), tem-se que a média populacional estará entre um limite inferior (Li) e um limite superior (Ls), e α é o nível de significância (probabilidade da média estar fora do intervalo de confiança), conforme a figura a seguir. O estudo de estimativa intervalar da média geralmente é dividido em três etapas: a) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da população não é conhecido para pequenas amostras (n ≤ 30): distribuição t b) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da população não é conhecido para grandes amostras (n > 30): distribuição normal c) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da população é conhecido: distribuição normal a)  Estimativa  intervalar  para  a  média  populacional  quando  o  desvio  padrão  da  população não é conhecido para pequenas amostras (n ≤ 30): distribuição t  Para fazer estimativa intervalar, precisaremos dos seguintes dados da amostra: - Média da amostra: n x x ∑= 2 Desvio padrão amostral 11 917,20 112 12/269051.6 1n n/)x(x S 222 = − − = − − = ∑ ∑ S = 1,379 a) Intervalo de confiança de 95%. Estimativa da média n Stx ±=μ Só falta encontrar o valor de t que é função de α e do grau de liberdade. GL = n – 1 = 12 – 1 = 11 Se 1 – α = 0,95, então α = 0,05 Para GL = 11 e α = 0,05, o valor de t = 2,2010. (Anexo A) Substituindo os valores na estimativa da média, teremos: 12 379,12010,24,22 ±=μ 9,04,22 ±=μ Limite Inferior Li = 22,4 – 0,9 = 21,5 anos Limite Superior Ls = 22,4 + 0,9 = 23,3 anos Para um intervalo de confiança de 95%, a verdadeira idade média dos estagiários de administração estará entre 21,5 anos e 23,3 anos, para uma amostra de tamanho 12. b) Erro máximo de estimativa 9,0 12 379,1201,2 n Sterro === erro = 0,9 ano O erro máximo de estimativa é de 0,9 ano, para um intervalo de confiança de 95% e para um tamanho de amostra 12. Exemplo 3 A análise de uma substância para produto de beleza, sendo a variável de interesse o pH do produto, tem um comportamento normal, em que forneceu os seguintes resultados: 7,7 8,0 8,5 8,6 a) Construir um intervalo de confiança de 99% para a média dessa população. b) Calcular o erro máximo de estimativa para um intervalo de confiança de 99%. a) Intervalo de confiança de 99%. Neste caso o tamanho da amostra é 4, ou seja, n = 4. 5 A média desta amostra será: n x x ∑= 2,8 4 8,32 4 6,85,80,87,7x ==+++= A variância amostral será: ( ) 1n n/xx 1n )xx( S 222 2 − − = − − = ∑ ∑∑ ∑ = 8,32x e ∑ = 5,269x2 18,0 14 4/)8,32(5,269S 2 2 = − − = O desvio padrão será: 2SS = 424,018,0S == 1 - α = 0,99; então α = 0,01 GL = n -1 = 4 - 1 = 3 (graus de liberdade) 2,8x = e S = 0,424 Para α = 0,01 e GL = 3 t = 5,8408 (tabela do Anexo A) Utilizando a expressão adequada, ou seja, a distribuição t, teremos: 4 424,08408,52,8 ±=μ 24,12,8 ±=μ Limite Inferior Li = 8,2 – 1,24 = 6,96 Limite Superior Ls = 8,2 + 1,24 = 9,44 Para um intervalo de confiança de 99%, o pH médio de todos os produtos estará entre 6,96 e 9,44, para uma amostra de tamanho 4. b) Erro máximo de estimativa 4 424,08408,5erro = erro = 1,24 O erro máximo de estimativa é de 1,24, para um intervalo de confiança de 99% e para um tamanho de amostra 4.         6 b)  Estimativa  intervalar  para  a  média  populacional  quando  o  desvio  padrão  da  população não é conhecido para grandes amostras (n > 30): distribuição normal  Quando o desvio padrão da população é desconhecido, então se utiliza o desvio padrão da amostra. Para o caso de amostras grandes, geralmente acima de 30 elementos, pode-se utilizar a distribuição normal ao invés de utilizar a distribuição t. A estimativa da média da população é a média da amostra mais ou menos o erro. errox ±=μ Este erro é chamado de margem de erro ou erro máximo de estimativa, ou seja, é o afastamento máximo da média amostral em torno da média populacional. O erro é dado por n Szerro = Lembre-se que, neste caso, será utilizada a distribuição normal ao invés da distribuição t. Por isto que a variável t foi substituída pela variável z na fórmula do erro. Então: n Szx ±=μ Limite inferior erroxLi −= n SzxLi −= Limite superior erroxLs += n SzxLs += A probabilidade de a média populacional estar entre o limite inferior (Li) e o limite superior (Ls) é o intervalo de confiança (1 – α). α−=≤μ≤ 1)LL(P si α−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +≤μ≤− 1 n Szx n SzxP Exemplo 4 Seja X a duração da vida de uma peça de equipamento. Uma amostra de 100 peças que foram ensaiadas, forneceu uma duração média de 4.000 horas e um desvio padrão de 500 horas. a) Construa intervalos de confiança de 90%, 95% e 99% para a verdadeira média. b) Calcule o erro máximo de estimativa para os intervalos de confiança do item a. c) Qual o grau de confiança para uma vida útil média de 4.000 horas ± 75 horas, para uma amostra de tamanho 100. d) Qual a probabilidade de uma amostra ter uma vida útil média entre 3.900 horas e 4.120 horas? O problema não diz que a população tem comportamento normal, mas o tamanho da amostra é igual a 100, então quando o tamanho da amostra é maior do que 30, a distribuição das médias amostrais terá um comportamento normal (isto decorre do Teorema do Limite Central que será comentado logo adiante), sendo possível utilizar a distribuição normal. 7 Intervalo de Confiança 90% 95% 99% n = 50 117 139 182 n = 100 83 98 129 n = 200 58 69 91 Preste atenção à seguinte observação: quanto maior o intervalo de confiança, maior a margem  de erro e quanto maior o tamanho da amostra, menor a margem de erro.  d) Para o cálculo da probabilidade, temos o seguinte procedimento. Variável X       Variável Z       Tabela de Distribuição Normal       Cálculo da Probabilidade  Relação entre z e x: n/ x n/S xz σ μ− = μ− = Para x = 3.900 horas 2 50 100 100/500 000.4900.3 n/S xz −=−=−=μ−= O valor na tabela de distribuição norma para z = -2 (0,4772) Para x = 4.120 horas 4,2 50 120 100/500 000.4120.4 n/S xz ==−=μ−= O valor na tabela de distribuição norma para z = 2,4 (0,4918) Então: P(3.900 < x < 4.120) = P(-2,0 < z < 2,4) = 0,4772 + 0,4918 = 0,969 (96,9%) A probabilidade de uma amostra ter uma média entre 3.900 horas e 4.120 horas é igual a 96,9%. c)  Estimativa  intervalar  para  a  média  populacional  quando  o  desvio  padrão  da  população é conhecido: distribuição normal  Quando o desvio padrão da população é conhecido, ao invés de ser utilizado o desvio padrão da amostra, será utilizado o desvio padrão da população (σ ) e, conseqüentemente, a distribuição normal. Caso o tamanho da amostra seja menor ou igual a 30, é necessário que a população tenha um comportamento normal. Caso o tamanho da amostra seja maior do que 30, não é preciso conhecer o comportamento da população, pois a distribuição será normal. A estimativa da média da população é a média da amostra mais ou menos o erro. errox ±=μ Este erro é chamado de margem de erro ou erro máximo de estimativa, ou seja, é o afastamento máximo da média amostral em torno da média populacional. 10 O erro é dado por n zerro σ= Então: n zx σ±=μ Limite inferior erroxLi −= n zxLi σ −= Limite superior erroxLs += n zxLs σ += A probabilidade de a média populacional estar entre o limite inferior (Li) e o limite superior (Ls) é o intervalo de confiança (1 – α). α−=≤μ≤ 1)LL(P si α−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ +≤μ≤ σ − 1 n zx n zxP Exemplo 5 Num processo de fabricação, em que se calcula a quantidade média produzida de um determinado produto diariamente, sabe-se que o desvio padrão é igual a 5% em torno da média. Uma amostra de tamanho 20 foi selecionada, em que a média da amostra obtida é igual a 60. a) Construa um intervalo de confiança de 99% para a verdadeira quantidade média deste produto. b) É necessário fazer alguma suposição a respeito da população? Por quê? c) Calcule o erro máximo de estimativa. a) Construção de um intervalo de confiança de 99% para a verdadeira quantidade média deste produto. Como não sabemos o tamanho da população, é o caso de população infinita. Neste caso conhecemos o desvio padrão populacional percentual. 36005,0 =×=σ 99,01 =α− 495,0 2 1 = α− Z = 2,58 (Tabela do Anexo B) Substituindo este valor na equação, teremos: 7,160 20 358,260 n zx ±=±=σ±=μ Limite inferior Li = 60 – 1,7 = 58,3. Limite superior Ls = 60 + 1,7 = 61,7. Para um intervalo de confiança de 99%, a verdadeira quantidade média estará entre 58,3 e 61,7, utilizando uma amostra de tamanho 20. 11 b) É necessário fazer alguma suposição a respeito da população? Por quê? Sim, é preciso que a população tenha um comportamento normal, pois para tamanhos de amostra menores do que 30, a distribuição amostral só será normal se a população for normal. c) Erro máximo de estimativa. 7,1 20 358,2 n ze ==σ= O erro máximo de estimativa será igual a 1,7. Um resumo dos três casos de estimativa de média estudados é dado a seguir. 1o Caso: não se conhece o desvio padrão da população, ou seja, têm-se somente os dados da amostra e o tamanho dela é menor ou igual a 30, então neste caso utiliza-se a distribuição t. 2o Caso: não se conhece o desvio padrão da população, ou seja, têm-se somente os dados da amostra e o tamanho dela é maior do que 30, então neste caso utiliza-se a distribuição normal padronizada (variável z). 3o Caso: conhece-se o desvio padrão da população, ou seja, têm-se os dados da amostra e o desvio padrão da população; neste caso utiliza-se da distribuição normal padronizada (variável z). Para se utilizar a distribuição t ou a distribuição normal padronizada, é necessário que a população tenha um comportamento normal. Quando a população não tem um comportamento normal, é necessário que o tamanho da amostra seja maior do que 30, pois a distribuição das médias amostrais terá um comportamento normal e isto é decorrente do Teorema do Limite Central. Teorema do Limite Central  1o)  População  Normal: quando a população tem um comportamento normal, independentemente do tamanho da amostra escolhido, a distribuição das médias amostrais terá um comportamento normal. 2o)  População Não­Normal: quando a população não tem um comportamento normal, a distribuição das médias amostrais terá um comportamento normal para tamanhos de amostra grandes e isto acontece para tamanhos de amostra maiores do que 30. Distribuição das Médias Amostrais: é conjunto formado a partir de uma população com N elementos de todas as amostras possíveis de tamanho n. Então se calcula a média de cada amostra e monta-se uma tabela da média da amostra e da sua probabilidade de ocorrer (freqüência relativa) e com isto, tem-se da distribuição das médias amostrais, que pode ser colocado em um gráfico da probabilidade em função da média amostral. A figura a seguir mostra o comportamento normal da distribuição das médias amostrais de uma população não normal, conforme o tamanho da amostra aumenta. 12 Exemplo 6 Uma agência independente deseja fazer uma pesquisa amostral a respeito do consumo médio em centros de compra (Shopping Center), para isto deseja estimar o tamanho da amostra, sendo que em pesquisas anteriores, o desvio padrão manteve-se em torno de R$ 35,00. Calcule o tamanho da amostra para as seguintes margens de erro e utilize um intervalo de confiança de 95%. a) e = R$ 2,00. b) e = R$ 5,00. c) e = R$ 10,00. a) Tamanho de amostra para e = 2. 1 - α = 0,95, então (1 - α)/2 = 0,475 ⇒ este é o valor a ser procurado dentro da tabela (Anexo B) da distribuição normal padrão para encontrarmos o valor de z. A tabela do Anexo B fornece o valor de z = 1,96 para o valor tabelado de 0,475. Usando a fórmula para tamanho de amostra, temos: · , · · n = 1.176,49 Para um erro de R$ 2,00, o tamanho da amostra será igual a 1.177. Observação: deve-se arredondar o tamanho da amostra sempre para o próximo número inteiro acima do valor calculado. b) Tamanho de amostra para e = 5. , · · n = 188,24 Para um erro de R$ 5,00, o tamanho da amostra será igual a 189. c) Tamanho de amostra para e = 10. , · n = 47,06 Para um erro de R$ 10,00, o tamanho da amostra será igual a 48. O exemplo a seguir mostra os tamanhos de amostra para o caso do exemplo 6, acrescentando os intervalos de confiança de 90% e 99%. Os dados de tamanho de amostra serão mostrados na tabela a seguir. Intervalo de Confiança 90% 95% 99% Erro = 2 834 1.177 2.039 Erro = 5 134 189 327 Erro = 10 34 48 82 15 Conclusão: conforme a margem de erro aumenta, o tamanho da amostra diminui e conforme o intervalo de confiança aumenta, o tamanho da amostra aumenta. 16 EXERCÍCIOS Intervalo de Confiança – Pequenas Amostras (distribuição t) 6.1 De uma população normal, foi obtida uma amostra aleatória com os seguintes dados: 7, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 17. a) Qual é a média da amostra? b) Qual é o desvio padrão da amostra? c) Qual é a estimativa pontual da média da população? d) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média da população. e) Calcule o erro máximo de estimativa. 6.2 De uma população normal, foi obtida uma amostra aleatória com os seguintes dados: 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16. a) Qual é a média da amostra? b) Qual é o desvio padrão da amostra? c) Qual é a estimativa pontual da média da população? d) Construa um intervalo de confiança de 90% para a média da população. e) Calcule o erro máximo de estimativa. 6.3 Uma amostra de 15 observações de uma população normal resultou em uma média amostral de 30 e um desvio padrão amostral de 6. a) Construa um intervalo de confiança de 90% para a média da população. b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média da população. c) Construa um intervalo de confiança de 99% para a média da população. d) Calcule a margem de erro para os intervalos de confiança dos itens anteriores. e) O que acontece com a margem de erro quando se aumenta o intervalo de confiança. 6.4 Uma amostra de 20 observações de uma população normal resultou em uma média amostral de 50 e um desvio padrão amostral de 15. a) Construa um intervalo de confiança de 90% para a média da população. b) Construa um intervalo de confiança de 98% para a média da população. c) Construa um intervalo de confiança de 99,8% para a média da população. d) Calcule a margem de erro para os intervalos de confiança dos itens anteriores. e) O que acontece com a margem de erro quando se aumenta o intervalo de confiança. 6.5 Uma amostra constituída de 12 medidas de preço de um determinado produto apresentou uma média de R$ 45,48 e um desvio padrão amostral de R$ 10,23. a) Determinar os limites de confiança de 95% para o verdadeiro preço do produto. b) Determinar os limites de confiança de 99% para o verdadeiro preço do produto. c) Calcule os erros de estimativa dos itens a e b. 6.6 Registraram-se os valores 6,7; 9,2; 7,6; 8,0 e 5,8 segundos, obtidos em cinco medições do tempo de parada no pit stop dos carros de Fórmula 1. Determinar os limites de confiança de: (a) 90% e (b) 99%, para o tempo real de parada no pit stop. Calcule os erros de estimativa. Leve em consideração que o tempo tem um comportamento normal. 6.7 Em quatro leituras experimentais de um comercial de 30 segundos, um locutor levou em média 31,8 segundos com uma variância amostral de 5,76 segundos ao quadrado. Construir os limites de confiança para a média. Dado α = 20%. Calcule a margen de erro. 17 d) Calcule a margem de erro para um intervalo de confiança de 95%. e) Nesta amostra, qual é a porcentagem de pessoas com até 23 anos? 6.17 Um determinado produto tem valor médio amostral de R$ 32,70 e uma variância amostral de 21,16 reais ao quadrado. Sabe-se que os preços têm um comportamento normal e o tamanho da amostra utilizada foi igual a 15. a) Qual o erro máximo de estimativa para um intervalo de confiança de 80%? b) Construa um intervalo de confiança de 80% para o verdadeiro preço médio do produto 6.18 Uma pesquisa foi realizada para verificar ao inflação nos últimos 12 meses, de acordo com cada Instituto, sendo que os valores estão na tabela dada a seguir. Considere para efeitos de cálculo que os valores abaixo são uma amostra e que a inflação tem um comportamento normal. Instituto Inflação nos últimos 12 meses (%) INPC 3,12 IGP-M 4,26 IGP-DI 3,79 IPC (FIPE) 3,08 ICV (Dieese) 2,90 IPCA (IBGE) 3,02 CUB 4,33 a) Calcule a inflação média da amostra. b) Calcule o desvio padrão da amostra. c) Qual a estimativa pontual da média? d) Construa um intervalo de confiança de 95% para a inflação média de toda a população. e) Calcule a margem de erro para um intervalo de confiança de 95%. 6.19 Uma pesquisa foi realizada para verificar a temperatura máxima em algumas cidades do Estado de São Paulo, conforme a tabela abaixo. Considere para efeitos de cálculo que os valores abaixo representam uma amostra e que a temperatura tem um comportamento normal. Cidade Temperatura Máxima (oC ) Araçatuba 35 Bauru 34 Campos do Jordão 26 Jundiaí 32 Piracicaba 33 Ribeirão Preto 33 Santos 32 Ubatuba 32 a) Calcule a temperatura média da amostra. b) Calcule o desvio padrão da amostra. c) Qual a estimativa pontual da média? 20 d) Construa um intervalo de confiança de 98% para a temperatura média de toda a população. e) Calcule a margem de erro para um intervalo de confiança de 98%. 6.20 Uma pesquisa amostral foi realizada em alguns bancos a respeito das tarifas bancárias cobradas. A tabela abaixo mostra os bancos e o valor cobrado pelo talão de cheques enviado pelo correio. Bancos Tarifa (R$) Banco do Brasil 6,00 Bradesco 5,80 Caixa Econômica Federal 4,50 HSBC não cobra Itaú 6,00 Nossa Caixa não cobra Real não cobra Safra 3,60 Santander Banespa 5,95 a) Calcule a tarifa média da amostra. b) Calcule o desvio padrão da amostra. c) Qual a estimativa pontual da média? d) Construa um intervalo de confiança de 99% para a tarifa média de toda a população. e) Calcule a margem de erro para um intervalo de confiança de 99%. Intervalo de Confiança (distribuição normal) 6.21 Foram retiradas 36 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para a amostra, uma média de 50 mm e um desvio padrão de 3 mm. a) Construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%. b) Calcular os erros de estimação para os níveis de confiança do item a. c) Qual o grau de confiança para que a verdadeira média tenha uma medida de 50 ± 0,75 mm? d) Para uma amostra de tamanho 50, calcule a probabilidade de uma média amostral estar acima de 51 mm. e) Para uma amostra de tamanho 50, calcule a probabilidade de uma média amostral estar abaixo de 50,5 mm. 6.22 Uma amostra de 40 alunos forneceu os dados da idade deles em anos, quando fizeram a sua primeira faculdade. Os dados estão logo a seguir. 37 23 19 22 33 34 34 19 20 23 23 21 30 25 36 20 20 35 34 38 25 34 20 25 25 28 22 34 20 37 22 21 23 24 30 20 26 41 43 30 a) Calcule a média da amostra. b) Calcule o desvio padrão da amostra. c) Faça uma estimativa pontual da idade média dos alunos. d) Construa um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira idade de ingresso dos alunos na faculdade. e) Calcule o erro de estimativa para o intervalo de confiança de 95%. 21 6.23 As alturas dos alunos de uma faculdade têm distribuição normal. Foi retirada uma amostra aleatória de 100 alunos obtendo-se 172x = cm e S = 9 cm. a) Construir um intervalo de confiança 85% para a verdadeira média. b) Construir um intervalo de confiança 92,5% para a verdadeira média. c) Calcule os erros de estimativa para os intervalos de confiança dos itens a e b. d) Com que grau de confiança pode-se dizer que a altura média dos alunos será de 172 ± 1,5 cm, utilizando uma amostra de tamanho 100? e) Para uma amostra de tamanho 100, calcule a probabilidade de uma altura média da amostra estar entre 170 cm e 173 cm. f) Para uma amostra de tamanho 50, calcule a probabilidade de uma altura média da amostra estar entre 170 cm e 173 cm. 6.24 Os custos mensais de uma amostra de 64 pequenas empresas têm uma média de R$ 20.300,00 e um desvio padrão de R$ 6.800,00. a) Qual a estimativa pontual do custo médio mensal? b) Construa um intervalo de confiança de 92% para o custo médio de todas as pequenas empresas. c) Construa um intervalo de confiança de 98% para o custo médio mensal de todas as empresas. d) Calcule os erros de estimativa para os intervalos de confiança dos itens b e c. e) Com que grau de confiança pode-se dizer que o custo médio será de R$ 20.300,00 ± R$ 1.300,50, utilizando uma amostra de tamanho 64? f) Para uma amostra de tamanho 64, calcule a probabilidade de um custo médio da amostra estar abaixo de R$ 19.000,00. g) Para uma amostra de tamanho 64, calcule a probabilidade de um custo médio da amostra estar acima de R$ 20.900,00. 6.25 Suponha que você deseja estimar a média do valor de vendas, por estabelecimento varejista, durante o último ano, de um determinado produto. O número de estabelecimentos varejistas é bastante grande. Determinar o intervalo de confiança de 95%, dado que os valores de vendas são considerados normalmente distribuídos, sendo que foi utilizada uma amostra de tamanho 49, com média de R$ 3.425,00 e desvio padrão de R$ 400,00. 6.26 Uma amostra de 40 alunos de uma população muito grande de alunos forneceu os dados da altura deles em cm. Os dados estão logo a seguir. 174 160 153 163 160 169 174 152 156 159 170 165 176 180 172 177 164 186 169 180 175 175 174 173 163 159 165 173 164 163 153 158 173 177 155 156 170 185 170 170 a) Calcule a média da amostra. b) Calcule o desvio padrão da amostra. c) Faça uma estimativa pontual da idade média dos alunos. d) Construa um intervalo de confiança de 90% para a verdadeira altura dos alunos na faculdade. e) Calcule o erro de estimação para o intervalo de confiança de 90%. 6.27 O departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa informou que o tempo de execução de tarefas que envolvem participação manual varia de tarefa para tarefa. Uma nova tarefa está sendo implantada na empresa. Uma amostra aleatória do tempo de execução de 49 destas novas tarefas forneceu o valor médio de 25 minutos e um desvio padrão de 8,5 minutos. 22 Anexo A – Distribuição t  Esta tabela fornece os valores de t que correspondem a uma área (α) - área da cauda direita mais a área da cauda esquerda e a um número específico de graus de liberdade. Graus de Área α Liberdade 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001 1 3,0777 6,3137 12,706 31,821 63,656 127,32 318,29 636,58 2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9645 9,9250 14,089 22,329 31,600 3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408 7,4532 10,214 12,924 4 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041 5,5975 7,1729 8,6101 5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 4,7733 5,8935 6,8685 6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 4,3168 5,2075 5,9587 7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995 4,0294 4,7853 5,4081 8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 3,8325 4,5008 5,0414 9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 3,6896 4,2969 4,7809 10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 3,5814 4,1437 4,5868 11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 3,4966 4,0248 4,4369 12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,4284 3,9296 4,3178 13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,3725 3,8520 4,2209 14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,3257 3,7874 4,1403 15 1,3406 1,7531 2,1315 2,6025 2,9467 3,2860 3,7329 4,0728 16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,2520 3,6861 4,0149 17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,2224 3,6458 3,9651 18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,1966 3,6105 3,9217 19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,1737 3,5793 3,8833 20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,1534 3,5518 3,8496 21 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,1352 3,5271 3,8193 22 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,1188 3,5050 3,7922 23 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,1040 3,4850 3,7676 24 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7970 3,0905 3,4668 3,7454 25 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,0782 3,4502 3,7251 26 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,0669 3,4350 3,7067 27 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,0565 3,4210 3,6895 28 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,0470 3,4082 3,6739 29 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,0380 3,3963 3,6595 30 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,0298 3,3852 3,6460 40 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 2,9712 3,3069 3,5510 60 1,2958 1,6706 2,0003 2,3901 2,6603 2,9146 3,2317 3,4602 120 1,2886 1,6576 1,9799 2,3578 2,6174 2,8599 3,1595 3,3734 ∞ 1,2816 1,6449 1,9600 2,3264 2,5759 2,8071 3,0903 3,2906 25 26 Anexo B – Tabela de Distribuição Normal  Esta tabela fornece os valores da distribuição normal padronizada de z = 0 até z = z. Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
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