Sistemas de Numeração

Sistemas de Numeração

(Parte 1 de 7)

Fernando Manuel Mendes de Brito Almeida

Sistemas de Numeração Precursores do Sistema Indo-Árabe

Tese submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obtenção do grau de Mestre em Ensino da Matemática

Orientada por Carlos Manuel Monteiro Correia de Sá

Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Departamento de Matemática Pura Agosto / 2007 i AGRADECIMENTOS

Ao Professor Doutor Carlos Manuel Monteiro Correia de Sá manifesto a minha profunda gratidão pela disponibilidade, pelo posicionamento crítico, pelo incentivo e pela compreensão que me concedeu ao longo da concretização deste estudo.

Fernando Manuel Mendes de Brito Almeida

Dissertação de Mestrado Universidade do Porto, 2007

A noção de número e as suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Essa faculdade permite-lhe reconhecer que algo muda numa pequena colecção quando um objecto lhe é retirado ou acrescentado, sem que ele tenha testemunhado directamente essa alteração.

Ao curso da história estarão indubitavelmente associados os sistemas de numeração, o desenvolvimento do conceito de número e as práticas de cálculo e medição (Cousquer, 1992). Na realidade os números são-nos tão familiares que raramente pensamos como é que eles apareceram (Crossley, 1987). Mas tal como refere Robson (2001), não nos poderemos deixar seduzir pelo pensamento de que uma matemática simples tem necessariamente uma história simples.

Encetaremos então um percurso pela história de alguns dos sistemas de numeração, convictos de que a história das ciências abre as nossas ideias fechadas sobre as nossas disciplinas e sobre o nosso tempo, fundando seguramente uma cultura (Serres, 1991).

Neste trabalho efectua-se uma análise descritiva de alguns sistemas de numeração precursores do sistema indo-árabe, nomeadamente, os sistemas de numeração babilónico, hieroglífico egípcio, ático, romano e hindu. E neste trajecto, por algumas das fascinantes etapas do pensamento matemático, poderemos constatar que a descoberta da numeração de posição escapou à maioria dos povos da história (Ifrah, 1994). De facto, tal não ocorreu na matemática grega mas sim no subcontinente indiano, apenas tendo chegado à Europa alguns séculos depois (Flegg, 1974a).

No capítulo I efectua-se um breve enquadramento do conceito de número e da numeração no decurso da história da matemática.

Nos capítulos I, II e IV apresentam-se os sistemas de numeração babilónico, ático e hindu, analisam-se as concepções que essas civilizações tinham do número e estudam-se as principais características de cada um destes sistemas.

Apresentam-se ainda os anexos I e I destinados, respectivamente, a uma abordagem sucinta do sistema hieroglífico egípcio e do sistema romano.

Fernando Manuel Mendes de Brito Almeida

Master Dissertation Oporto University, 2007

The notion of number and its extraordinary generalisations are intimately connected to the history of humanity. In all periods of the human evolution, even in the remotest ones, we find out that Man already had the sense of the number. That skill allows him to recognise that when an object is taken from or added to a small collection, something changes, even if He hasn’t witnessed that alteration directly.

The numerical systems, the development of the number concept and the practices of calculation and measurement will be undoubtedly associated with the course of history (Cousquer, 1992). In reality, numbers are so familiar to us that we rarely think of how they have appeared (Crossley, 1987). But as Robson (2001) refers, we should no longer be seduced into thinking that simple mathematics necessarily has a simple history.

We will begin a route throughout the history of some of the numerical systems, convinced that the history of sciences will open up closed minds about our disciplines and about our time, founding surely one culture (Serres, 1991).

In this work we will bring out a descriptive analysis of some of the numerical systems precursors of the Indo-Arabic system, namely, the Babylonian, the Egyptian hieroglyphic, the Attic, the Roman and the Hindu ones. In this route through some of the most fascinating stages of the mathematical thought, we will be able to realise that the discovery of the place-value notation eluded the majority of peoples in history (Ifrah, 1994). In fact, such did not occur in Greek mathematics but it did in the Indian subcontinent, arriving in Europe only some centuries later (Flegg, 1974a).

In chapter I a brief framing of the number concept and numeration in the course of the mathematics history will take place.

In chapters I, II and IV we will present the Babylonian, Attic and Hindu numerical systems, will analyse the conceptions that those civilizations have of number and will study the main characteristics of each one of those systems.

We will present the annexes I and I which will briefly approach the Egyptian hieroglyphic and the Roman systems, respectively. .

vii Índice

AGRADECIMENTOS i APRESENTAÇÃO i ABSTRACT v ÍNDICE vii

1.1. A história da escrita versus a história da numeração
1.2. O conceito de número
1.3. Os sistemas de numeração
1.4. A história da matemática versus a educação matemática

CAPÍTULO I – A IMPORTÂNCIA DA NUMERAÇÃO 1 1. A matemática, a história e o número

2.2.1. A numeração suméria
2.2.2. O sistema babilónico
2.3.1. A ausência do zero
2.3.2. Os números fraccionários
2.3.3. A ausência da vírgula
2.3.4. O carácter aditivo no interior de cada ordem de
unidades
2.3.5. Outras características

CAPÍTULO I – O SISTEMA BABILÓNICO 9 2.1. Contexto histórico e geográfico 2.2. Sistemas de numeração na Mesopotâmia 2.3. Características do sistema posicional babilónico

3.1.1. O alfabeto grego
3.1.2. Períodos e fontes da matemática grega

CAPÍTULO I – O SISTEMA ÁTICO 35 3.1. Contexto histórico e geográfico

3.1.3. Concepções
3.2.1. Sistemas de numeração usados pelos gregos
3.2.2. Os incomensuráveis
3.2.3. O misticismo numérico
3.3.1. Os sistemas monetários

viii 3.2. Os números na Matemática Grega 3.3. Caracterização do sistema ático 3.4. Os problemas e as limitações do sistema

4.1.1. A escrita
4.3.1. Os numerais kharosthi
4.3.2. Os primeiros sistemas brahmi

CAPÍTULO IV – O SISTEMA HINDU 61 4.1. Contexto histórico e geográfico 4.2. Matemática: algumas considerações gerais 4.3. Os números na matemática hindu 4.4. O sistema posicional hindu 4.5. Considerações adicionais

ANEXO I – O SISTEMA HIEROGLÍFICO EGÍPCIO 81

I.1. A escrita na civilização egípcia I.2. O sistema de numeração hieroglífico I.3. Os sistemas de escrita posteriores ao hieroglífico

ANEXO I I – O SISTEMA ROMANO 89

I.1. O sistema de numeração I.2. Os princípios aditivo e subtractivo 89 92

BIBLIOGRAFI A 94

“O homem da guerra deve aprender a arte dos números ou ele não saberá como dispor as suas tropas.” Platão (citado em Horng, 2000, p. 37)

1. A matemática, a história e o número

São muitas as civilizações da Antiguidade, como as dos babilónios, egípcios, gregos, chineses e hindus, que criaram os seus próprios sistemas numéricos. Os maias, que viveram na América Central em tempos mais recentes, também desenvolveram um modo interessante de registar números. É importante observar que estas civilizações não vieram umas depois das outras. Pelo contrário, muitas coexistiram durante séculos e, embora localizadas em regiões diferentes, mantiveram contacto umas com as outras.

Com a excepção dos maias, que habitavam a América, as civilizações da Europa,

Oriente e Médio Oriente, trocavam mercadorias e conhecimentos. O intercâmbio cultural, que também envolveu os conhecimentos matemáticos daqueles povos, reflectiu-se nas formas de contar e de escrever os números. Assim a matemática, enquanto actividade humana há já algumas centenas de anos (Davis, 1995), deve ser olhada fundamentalmente como um produto da sociedade. A sua história fica incomensuravelmente mais rica se estudarmos as culturas que a produziram e onde e quando tal tenha acontecido. (Robson, 2000, p. 155)

Reciprocamente, a história da matemática faculta-nos as raízes humanas dos conteúdos abordados (Swetz, 1994). Será então importante estarmos cientes que “nenhum assunto perde mais do que a matemática na tentativa de dissociá-lo da sua história” (Glaisher citado em Man-Keung, 2000, p. 3).

A Ciência pode ser encarada sob dois aspectos diferentes. Ou se olha para ela tal como vem exposta nos livros de ensino, como coisa criada (…), ou se procura acompanhá-la no seu desenvolvimento progressivo, assistir à maneira como foi sendo elaborada, e o aspecto é totalmente diferente – descobrem-se hesitações, dúvidas, contradições, que só um longo trabalho de reflexão e apuramento consegue eliminar, para que logo de seguida surjam outras hesitações, outras dúvidas, outras contradições. (Caraça, 1998, p. xi)

Ainda segundo este mesmo autor, encarada desta forma, a ciência aparece-nos como um organismo vivo, impregnado de condição humana, com as suas forças e as suas fraquezas e subordinado às grandes necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pela libertação (p. xi).

Sendo o processo de contagem uma das duas grandes problemáticas características da matemática (a outra problemática seria a das situações espaciais) (Bkouche, 2000), é nossa intenção fazermos o estudo de alguns sistemas de numeração precursores do sistema indo-árabe. Coloca-se aqui a questão de sabermos por onde e como começar. Estaremos no entanto cientes que os sistemas de numeração, as práticas de cálculo, as práticas de medição e o desenvolvimento do conceito de número estão ligados ao curso da história. Estão igualmente ligados às concepções místicas sobre os números, os cálculos astrológicos e cálculos astronómicos. (Cousquer, 1994, p. 4)

Ao examinarmos os sistemas de numeração estaremos também a ter uma percepção do desenvolvimento do conhecimento matemático, a possibilidade de analisar os procedimentos utilizados, conhecer a utilização que era dada à matemática e o tipo de problemas que foram importantes para os nossos antepassados. Estaremos assim conscientes da importância da informação que nos é transmitida pelos velhos textos matemáticos.

Eles fornecem-nos uma visão da cultura e da época em que foram escritos e dão-nos pistas das forças que moldaram e controlaram as preocupações matemáticas (Swetz, 2000a, p. 1).

Na opinião de DAmbrósio (citado em Saraiva, 1999), a matemática é e permanecerá uma ciência da demonstração. É bom, porém, não esquecer que “são as épocas e os lugares que impõem o grau e o rigor da formalização” (p. 10).

1.1. A história da escrita versus a história da numeração

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