Álgebra Linear - Apostilas - Engenharia Part1, Notas de estudo de Engenharia Matemática

Baixe Álgebra Linear - Apostilas - Engenharia Part1 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Matemática, somente na Docsity! Álgebra Linear Sérgio Luı́s Zani 2 SUMÁRIO 5 12.8 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 12.9 Operador Auto-adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 12.10Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6 SUMÁRIO Capı́tulo 1 Espaços Vetoriais 1.1 Introdução e Exemplos Neste capı́tulo introduziremos o conceito de espaço vetorial que será usado em todo o decorrer do curso. Porém, antes de apresentarmos a definição de espaço vetorial, passemos a analisar em paralelo dois objetos: o conjunto formado pelas funções f : R → R, denotado por F (R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem m com coeficientes reais que denotaremos por Mm(R), ou simplesmente, por Mm. A soma de duas funções f e g de F (R) é definida como sendo a função f + g ∈ F (R) dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x). Note também que se λ ∈ R podemos multiplicar a função f pelo escalar λ, da seguinte forma (λf)(x) = λ(f(x)), resultando num elemento de F (R). Com relação a Mn podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n, A = (aij)n×n e B = (bij)n×n, colocando A + B = (aij + bij)n×n, que é um elemento de Mn. Com a relação à multiplicação de A = (aij)n×n por um escalar λ ∈ R, é natural definirmos λA = (λaij)n×n, o qual também pertence a Mn. O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adição de seus elementos e multiplicação de seus elementos por escalares, têm comum? Vejamos: Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos números reais que, com relação a quaisquer funções f, g e h em F (R) e para todo λ, µ ∈ R, são válidos os seguintes resultados: 1. f + g = g + f ; 7 10 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS A sexta e a sétima propriedades relacionam as duas operações e são ambas conhe- cidas por distributividade. Um outro exemplo de espaço vetorial, além dos dois apresentados no inı́cio do texto, é o conjunto dos vetores como apresentados em Geometria Analı́tica munido da adição e da multiplicação por escalar. Dessa forma, o adjetivo vetorial utilizado na definição acima deve ser entendido de uma forma mais ampla, sendo uma referência aos elementos de V independentemente de serem ou não vetores. Talvez o exemplo mais simples de espaço vetorial seja o conjunto dos números reais com a adição e multiplicação usuais. Mais geralmente, para cada n ∈ N, podemos trans- formar o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais, Rn, em um espaço vetorial definindo a adição de duas n-uplas ordenadas, x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn), adicionando-se coordenada a coordenada, isto é, x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) e o produto de uma n-upla x = (x1, . . . , xn) por um escalar λ ∈ R por λx = (λx1, · · · , λxn). É uma rotina bem simples verificar que desse modo Rn é um espaço vetorial. Deixamos como exercı́cio esta tarefa. Verifique também que os seguintes exemplos são espaços vetoriais. 1. Sejam n ∈ N e V = Pn(R) o conjunto formado pelo polinômio nulo e por todos os polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais. Definimos a adição e a multiplicação por escalar da seguinte maneira: • Se p(x) = a0 + a1x · · ·+ anxn e q(x) = b0 + b1x · · ·+ bnxn são elementos de Pn(R) então p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x · · · + (an + bn)xn. • Se p(x) = a0 + a1x · · · + anxn é um elemento de Pn(R) e λ ∈ R então λp(x) = (λa0) + (λa1)x + · · · + (λan)xn. 2. Sejam A ⊂ R e F (A; R) o conjunto de todas as funções f : A → R. Se f, g ∈ F (A; R) e λ ∈ R defina f + g : A → R por (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (λf)(x) = λf(x), x ∈ A. Então, F (A; R) com esta adição e produto por escalar é um espaço vetorial. 1.1. INTRODUÇÃO E EXEMPLOS 11 3. O conjunto das funções contı́nuas definidas num intervalo I ⊂ R munido das operações de adição e multiplicação usuais (como aquelas definidas em F (I; R)). Notação: C(I; R). 4. O conjunto das funções com derivadas contı́nuas até ordem k ∈ N, (k é fixo) defi- nidas num intervalo aberto I ⊂ R munido das operações de adição e multiplicação usuais (como aquelas definidas em F (I; R)). Notação: Cn(I; R). 5. O conjunto das matrizes m por n com coeficientes reais: Mm×n(R) munido de operações análogas àquelas definidas em Mn(R). Os espaços vetoriais acima envolvem operações com as quais você já deve estar familiarizado. O próximo exemplo é um pouco mais sofisticado do que os anteriores e por isso mostraremos as oito propriedades. Como conjunto tomaremos V = (0,∞), o semi-eixo positivo da reta real. Este conjunto quando agregado às operações usuais de soma e multiplicação não é um espaço vetorial, visto que não possui elemento neutro para a adição. No entanto, se para x, y ∈ V e λ ∈ R, definirmos a soma entre x e y por x ¢ y = xy, (o produto usual entre x e y) e o produto de x pelo escalar λ como λ ¡ x = xλ, então V se torna um espaço vetorial. De fato, verifiquemos uma a uma as oito propriedades: 1. x, y ∈ V temos x ¢ y = xy = yx = y ¢ x para quaisquer x, y ∈ V ; 2. x ¢ (y ¢ z) = x ¢ (yz) = x(yz) = (xy)z = (x ¢ y)z = (x ¢ y) ¢ z para quaisquer x, y, z ∈ V 3. se x ∈ V então, como 1 ∈ V, temos 1 ¢ x = 1x = x; observe que neste caso, 1 é o elemento neutro da adição, o qual denotaremos por o; 4. se x ∈ V, isto é, x > 0, então x−1 ∈ V e x ¢ x−1 = xx−1 = 1 = o; 5. λ ¡ (µ ¡ x) = λ ¡ xµ = (xµ)λ = xµλ = xλµ = (λµ) ¡ x para quaisquer x ∈ V e λ, µ ∈ R; 6. (λ + µ) ¡ x = xλ+µ = xλxµ = xλ ¢ xµ = (λ ¡ x) ¢ (µ ¡ x) para quaisquer x ∈ V e λ, µ ∈ R; 7. λ ¡ (x ¢ y) = λ ¡ (xy) = (xy)λ = xλyλ = (λ ¡ x) ¢ (λ ¡ y) para quaisquer x, y ∈ V e λ ∈ R; 8. 1 ¡ x = x1 = x para qualquer x ∈ V. 12 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 1.2 Propriedades Das oito propriedades que definem um espaço vetorial podemos concluir várias outras. Listaremos algumas destas propriedades na seguinte Proposição 1.5 Seja V um espaço vetorial. Temos 1. Para qualquer λ ∈ R, λ0 = 0. 2. Para qualquer u ∈ V, 0u = 0. 3. Se λu = 0 então λ = 0 ou u = 0. 4. Para quaisquer λ ∈ R e u ∈ V, (−λ)u = λ(−u) = −(λu). 5. Para qualquer u ∈ V, −(−u) = u. 6. Se u + w = v + w então u = v. 7. Se u, v ∈ V então existe um único w ∈ V tal que u + w = v. Prova: 1. Temos λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0 pelas propriedades EV3 e EV7. Utilizando as propriedades EV1 a EV4 e a notação da observação 1.3, obtemos 0 = λ0 + (−(λ0)) = (λ0 + λ0) + (−(λ0)) = λ0 + (λ0 + (−(λ0))) = λ0 + 0 = λ0, isto é λ0 = 0. 2. Temos 0u = (0 + 0)u = 0u + 0u, pela propriedade EV6. Utilizando as proprie- dades EV1 a EV4 e a notação da observação 1.3, obtemos 0 = 0u + (−(0u)) = (0u + 0u) + (−(0u)) = 0u + (0u + (−(0u)) = 0u + 0 = 0u, isto é, 0u = 0. 3. Se λ 6= 0 então pelas propriedades EV8 e EV5 e pelo item 1 desta proposição, u = 1u = (λ−1λ)u = λ−1(λu) = λ−10 = 0. 4. Utilizando a propriedade EV6 e o item 2 desta proposição, obtemos λu+(−λ)u = (λ + (−λ))u = 0u = 0. Pela observação 1.3, −(λu) = (−λ)u. Analogamente, utilizando-se a propriedade EV7, mostra-se que −(λu) = λ(−u). A prova dos outros resultados é deixada como exercı́cio. Capı́tulo 2 Subespaços Vetoriais 2.1 Introdução e Exemplos Definição 2.1 Seja V um espaço vetorial. Dizemos que W ⊂ V é um subespaço veto- rial de V se forem satisfeitas as seguintes condições: SV1 0 ∈ W ; SV2 Se u, v ∈ W então u + v ∈ W ; SV3 Se u ∈ W então λu ∈ W para todo λ ∈ R. Observação 2.2 Note que todo subespaço vetorial W de um espaço vetorial V é ele próprio um espaço vetorial. As propriedades comutativa, associativa, distributivas e EV8 são herdadas do próprio espaço vetorial V. O elemento neutro da adição é um elemento de W por SV1. Finalmente, se u ∈ W então −u = (−1)u ∈ W pelo item 4 da proposição 1.5 e por SV3. Observação 2.3 Obviamente {0} e V são subespaços vetoriais do espaço vetorial V. São chamados de subespaços vetoriais triviais. Observação 2.4 Note que W é subespaço vetorial de V se e somente se são válidas as seguintes condições: SV1’ 0 ∈ W ; SV2’ Se u, v ∈ W e λ ∈ R então u + λv ∈ W. 15 16 CAPÍTULO 2. SUBESPAÇOS VETORIAIS Vejamos alguns outros exemplos: Exemplo 2.5 Seja P∗n ⊂ Pn, dado por P∗n = {p(x) ∈ Pn; p(0) = 0}. Verifiquemos que P∗n é, de fato, um subespaço vetorial de Pn. 1. O polinômio nulo se anula em x = 0, logo, pertence a P∗n. 2. Se p(x), q(x) ∈ P∗n então p(0) + q(0) = 0 e, portanto, p(x) + q(x) ∈ P∗n. 3. se p(x) ∈ P∗n então λp(0) = 0 para qualquer λ ∈ R. Assim, λp(x) ∈ P∗n. Exemplo 2.6 Verifiquemos que S = {(x, y, z) ∈ R3; x + y + z = 0} é um subespaço vetorial de R3. 1. É claro que (0, 0, 0) satisfaz 0 + 0 + 0 = 0. 2. Se (x, y, z), (u, v, w) ∈ S então (x + u) + (y + v) + (z + w) = (x + y + z) + (u + v + w) = 0 e, portanto, (x, y, z) + (u, v, w) ∈ S. 3. se (x, y, z) ∈ S então λx + λy + λz = λ(x + y + z) = 0 para qualquer λ ∈ R. Assim, λ(x, y, z) ∈ S. Exemplo 2.7 Considere o seguinte conjunto S = {y ∈ C2(R; R); y′′ − y = 0} onde y′′ representa a derivada de segunda ordem de y. Verifiquemos que S é um subespaço vetorial de C2(R; R). 1. Claramente a função nula satisfaz 0′′ − 0 = 0; 2. Se y1, y2 ∈ S então (y1 + y2)′′ − (y1 − y2) = (y′′1 − y1) − (y′′2 − y2) = 0. Logo, y1 + y2 ∈ S. 3. Se y ∈ S e λ ∈ R então (λy)′′ − λy = λ(y′′ − y) = 0. Portanto, λy ∈ S. Deixamos como exercı́cio a verificação de que os seguintes exemplos são subespaços vetoriais dos respectivos espaços vetoriais. Exemplo 2.8 Sejam a1, . . . , an ∈ R e S = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn; a1x1 + · · · + anxn = 0}. Mostre que S é um subespaço vetorial de Rn. 2.2. INTERSEÇÃO E SOMA DE SUBESPAÇOS 17 Exemplo 2.9 O conjunto das funções contı́nuas da reta na reta, C(R; R), é um subespa- ço vetorial de F (R). Exemplo 2.10 O conjunto das funções f ∈ C([a, b]; R) tais que ∫ b a f(x)dx = 0 é um subespaço vetorial de C([a, b]; R). Exemplo 2.11 O conjunto das matrizes simétricas quadradas de ordem m com coefici- entes reais é um subespaço vetorial de Mm(R). Exemplo 2.12 Sejam m, n ∈ N com m ≤ n. Então Pm é um subespaço de Pn. 2.2 Interseção e Soma de Subespaços Proposição 2.13 (Interseção de subespaços) Sejam U e W subespaços vetoriais de V. Então U ∩ W é subespaço vetorial de V. Prova: 1. Como 0 ∈ U e 0 ∈ W então 0 ∈ U ∩ W ; 2. Se x, y ∈ U ∩ W e λ ∈ R então x + λy ∈ U e x + λy ∈ W. Portanto, x + λy ∈ U ∩ W. Observação 2.14 Note que o subespaço V ∩ W está, obviamente, contido em ambos subespaços: U e V. Questão: Com a notação da proposição acima, podemos afirmar que U∪W é subespaço vetorial de V ? Resposta : Não. Basta considerar V = R2, U = {(x, y) ∈ R2; x + y = 0} e W = {(x, y) ∈ R2; x − y = 0}. Note que (1,−1) ∈ U ⊂ U ∪ W e (1, 1) ∈ W ⊂ U ∪ W mas (1,−1) + (1, 1) = (2, 0) 6∈ U ∪ W. Se U e W são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V e V ′ é um subespaço de V que contenha U e W, isto é, U ∪ W ⊂ V ′ então V ′ terá que conter todos os vetores da forma u + w, u ∈ U e w ∈ W. Isto motiva a seguinte Definição 2.15 Sejam U e W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. Definimos a soma de U e W como U + W = {u + w; u ∈ U, w ∈ W}. 20 CAPÍTULO 2. SUBESPAÇOS VETORIAIS Proposição 2.24 Sejam U1, . . . , Un subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. En- tão V = U1⊕· · ·⊕Un se e somente se para cada v ∈ V existe, para cada j = 1, . . . , n, um único uj ∈ Uj tal que v = u1 + · · · + un. Prova: A prova é análoga à da proposição 2.19. Exemplo 2.25 Mostre que P2 é soma direta dos seguintes subespaços vetoriais U1 = {a0; a0 ∈ R}, U2 = {a1x; a1 ∈ R} e U3 = {a2x2; a2 ∈ R}. Dado p(x) ∈ P2, temos p(x) = a0+a1x+a2x2, para certos coeficientes a0, a1, a2 ∈ R. Assim, P2 = U1 + U2 + U3. Verifiquemos que a soma é direta. 1. Mostremos que U1 ∩ (U2 + U3) = {0}. Seja p(x) ∈ U1 ∩ (U2 + U3). Então existem a0, a1, a2 ∈ R tais que p(x) = a0 = a1x + a2x2. Se p(x) não fosse o polinômio nulo terı́amos um polinômio de grau 0, a0, coincidindo com um de grau no mı́nimo 1, a1x + a2x2, o que é um absurdo. Logo, p(x) = 0. 2. Mostremos que U2∩(U1+U3) = {0}. Seja p(x) ∈ U2∩(U1+U3). Então existem a0, a1, a2 ∈ R tais que p(x) = a1x = a0 + a2x2. Se p(x) não fosse o polinômio nulo terı́amos um polinômio de grau 1, a1x, coincidindo com um de grau 0 (caso a2 = 0) ou 2, a0 + a2x2, (caso a2 6= 0), o que é um absurdo. Logo, p(x) = 0. 3. Mostremos que U3∩(U1+U2) = {0}. Seja p(x) ∈ U3∩(U1+U2). Então existem a0, a1, a2 ∈ R tais que p(x) = a2x2 = a0 + a1x. Se p(x) não fosse o polinômio nulo terı́amos um polinômio de grau 2, a2x2, coincidindo com um de grau 0 (caso a1 = 0) ou 1, a0 + a1x, (caso a1 6= 0), o que é um absurdo. Logo, p(x) = 0. 2.3 Exercı́cios Ex. 2.26 Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso não sejam especificadas, as operações são as usuais. 1. V = M2(R), W = {( a b −a c ) ; a, b, c,∈ R } . 2. V = R4, W = {(x, x, y, y); x, y ∈ R} . 3. V = Pn(R), W = {p ∈ Pn(R); p(0) = p(1)} . 2.3. EXERCÍCIOS 21 4. V = Mn(R), dada B ∈ Mn(R), defina W = {A ∈ Mn(R); BA = 0} . 5. V = Rn, W = {(x1, x2, · · · , xn); a1x1 + · · · + anxn = 0} , onde a1, . . . , an ∈ R são dados. 6. V = Mn×1(R), W = {X ∈ Mn×1(R); AX = 0} , onde A ∈ Mm×n é dada. 7. V = Pn(R), W = {p ∈ Pn(R); p′(t) = 0,∀t ∈ R} . 8. V = Mn(R), W = { A ∈ Mn(R); At = A } . 9. V = Mn(R), W = { A ∈ Mn(R); At = −A } . Ex. 2.27 Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, jus- tificando sua resposta. isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa. 1. Se W1 e W2 são susbespaços de um espaço vetorial V então W1∪W2 é subespaço de V. 2. Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Então W1∪W2 é subespaço de V se, e somente se, W1 ⊆ W2 ou W2 ⊆ W1. (Sugestão: mostre que se W é subespaço de V e x0, y0 ∈ V são tais que x0 ∈ W e y0 6∈ W então x0 + y0 /∈ W e use-o.) Ex. 2.28 Em cada item abaixo encontrar os subespaços U + W e U ∩ W , onde U, W são subespaços do espaço vetorial V indicado. 1. U = { x, y) ∈ R2; y = 0 } , W = { (x, y) ∈ R2; x = 2y } , V = R2. 2. U = {( a 0 0 b ) ; a, b ∈ R } , W = {( 0 c 0 d ) ; c, d ∈ R } , V = M2(R). 3. V = P3(R), U = {p(t) ∈ V ; p′′(t) = 0} , W = {q(t) ∈ V ; q′(t) = 0} . Ex. 2.29 Verifique em cada um dos itens abaixo se V = U ⊕ W. 1. V = R2, U = { (x, y) ∈ R2; 2x + 3y = 0 } , W = { (x, y) ∈ R2; x − y = 0 } . 22 CAPÍTULO 2. SUBESPAÇOS VETORIAIS 2. V = M3(R), U =      a b 0 0 0 c 0 0 d   ; a, b, c, d ∈ R    , W =      0 0 e f g 0 h i 0   ; e, f, g, h, i ∈ R    . 3. V = P3(R), U = {p(t) ∈ P3(R); p(1) = p(0) = 0} , W = {q(t) ∈ P3(R); q′(t) = 0,∀t ∈ R} . Ex. 2.30 Em cada um dos itens abaixo, dado U subespaço de V , encontrar o subespaço suplementar de U , isto é, o subespaço W de V tal que V = U ⊕ W. 1. V = R3, U = {(x, y, 0); x, y ∈ R} . 2. V = P3(R), U = {p(t) ∈ P3(R); p′′(t) = 0,∀t ∈ R} . 3. V = M3(R), U = { A ∈ M3(R); At = A } . 4. V = M2×1(R), U = {X ∈ M2×1(R); AX = 0} , onde A = ( 1 1 0 1 ) . 3.2. GERADORES 25 1. Se u ∈ S então u = 1u ∈ [S]; 2. Se u ∈ [S] então existem α1, . . . , αn ∈ R e u1, . . . , un ∈ S tais que u = α1u1 + · · · + αnun. Como S ⊂ T temos u1, . . . , un ∈ T e, portanto, u ∈ [T ]; 3. Pelo item 1 desta proposição, [S] ⊂ [[S]]. Seja u ∈ [[S]]. Segue da definição que u é uma combinação linear de elementos de [S], mas como cada elemento de [S] é uma combinação linear de elementos de S resulta que u é uma combinação linear de elementos de S, ou seja, u ∈ [S]; 4. Pelo item 1, S ⊂ [S]. Seja u ∈ [S]. Então u é uma combinação linear de elementos de S. Como S é um subespaço vetorial, esta combinação linear é um elemento de S; 5. Seja u ∈ [S ∪ T ]. Por definição, existem α1, . . . , αn, β1, . . . , βm ∈ R e u1, . . . , un ∈ S e v1, . . . , vm ∈ T tais que u = α1u1 + · · · + αnun + β1v1 + · · · + βmvm = (α1u1 + · · · + αnun) + (β1v1 + · · · + βmvm) ∈ [S] + [T ]. Reciprocamente, se u ∈ [S] + [T ] então u = v +w com v ∈ [S] e w ∈ [T ]. Dessa forma, existem α1, . . . , αp, β1, . . . , βq ∈ R e v1, . . . , vp ∈ S e w1, . . . , wq ∈ T tais que u = v + w = α1v1 + · · · + αpvp + β1w1 + · · · + βqwq ∈ [S ∪ T ]. Definição 3.8 Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existir um subconjunto finito S ⊂ V tal que V = [S]. São exemplos de espaços vetoriais finitamente gerados: 1. Pn(R) = [1, x, . . . , xn]; 2. Rn é gerado por e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1). 3. Mm×n(R) é gerado pelas matrizes Ekl = (δ (k,l) i,j ), k = 1, . . . , m, l = 1, . . . n, onde δ (k,l) i,j = { 1 se (i, j) = (k, l) 0 caso contrário . 26 CAPÍTULO 3. COMBINAÇÕES LINEARES Exemplo 3.9 Seja P(R) o espaço vetorial formado por todos os polinômios. Afirma- mos que P(R) não é finitamente gerado. Note que Pn(R) ⊂ P(R) para todo n ∈ N. Se P(R) fosse finitamente gerado existi- riam polinômios p1(x), . . . , pn(x) tais que P(R) = [p1(x), . . . , pn(x)]. Seja N o grau mais alto dentre os polinômios p1(x), . . . , pn(x). É evidente que xN+1 não pode ser es- crito como combinação linear de p1(x), . . . , pn(x) e, assim, xN+1 6∈ [p1(x), . . . , pn(x)] = P(R). Uma contradição. Note que [1, x, x2, . . . ] = Pn(R). Exemplo 3.10 Seja V um espaço vetorial gerado por u1, . . . , un. Mostre que se, por exemplo, u1 é uma combinação linear de u2, . . . , un então V é gerado por u2, . . . , un. Devemos mostrar que qualquer u ∈ V se escreve como uma combinação linear de u2, . . . , un. Sabemos que existem α1, . . . , αn ∈ R tais que u = α1u1 + · · · + αnun e existem também β1, . . . , βn−1 satisfazendo u1 = β1u2 + · · · + βn−1un. Combinando estas informações, obtemos u = α1(β1u2 + · · · + βn−1un) + α2u2 + · · · + αnun = (α1β1 + α2)u2 + · · · + (α1βn−1 + αn)un ∈ [u2, . . . , un]. Exemplo 3.11 Sejam U = {(x, y, z, t) ∈ R4; x − y + t + z = 0} e V = {(x, y, z, t) ∈ R 4; x+y−t+z = 0}. Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços vetoriais: U, V, U ∩ V e U + V. 1. Se (x, y, z, t) ∈ U então y = x + z + t e, portanto, (x, y, z, t) = (x, x + z + t, z, t) = x(1, 1, 0, 0) + z(0, 1, 1, 0) + t(0, 1, 0, 1), isto é, U = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1)]. 2. Se (x, y, z, t) ∈ V então t = x + y + z e, portanto, (x, y, z, t) = (x, y, z, x + y + z) = x(1, 0, 0, 1) + y(0, 1, 0, 1) + z(0, 0, 1, 1), isto é, V = [(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)]. 3.3. EXERCÍCIOS 27 3. Se (x, y, z, t) ∈ U ∩ V então { x − y + t + z = 0 x + y − t + z = 0, que implica em x = −z e y = t. Desse modo, (x, y, z, t) = (x, y,−x, y) = x(1, 0,−1, 0) + y(0, 1, 0, 1) e, portanto, U ∩ V = [(1, 0,−1, 0), (0, 1, 0, 1)]. 4. Como U + V = [U ] + [V ] = [U ∪ V ], temos que U + V = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)] = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1)]. Observe que (1, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 1) + (0, 1, 1, 0) − (0, 0, 1, 1) e, portanto, U + V = [(0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1)]. Veremos mais adiante que este é o número mı́nimo de geradores para o subespaço U + V. 3.3 Exercı́cios Ex. 3.12 Para cada um dos subconjuntos S ⊆ V , onde V é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por S, isto é, [S]. 1. S = {(1, 0), (2,−1)} , V = R2. 2. {(1, 1, 1), (2, 2, 0)} , V = R3. 3. S = { 1, t, t2, 1 + t3 } , V = P3(R). 30 CAPÍTULO 3. COMBINAÇÕES LINEARES Capı́tulo 4 Dependência Linear 4.1 Introdução e Exemplos Definição 4.1 Dizemos que uma seqüência de vetores u1, . . . , un de um espaço vetorial V é linearmente independente (l.i., abreviadamente) se a combinação linear α1u1 + · · · + αnun = 0 só for satisfeita quando α1 = · · · = αn = 0. Observação 4.2 Note que se α1 = · · · = αn = 0 então α1u1 + · · · + αnun = 0, porém, a recı́proca nem sempre é válida. Basta ver que, por exemplo, em R2 temos (0, 0) = 1(1, 1) + 1(−1,−1). Observação 4.3 A noção de independência linear para a seqüência u1, . . . , un equivale a dizer que se βi 6= 0 para algum i ∈ {1, . . . , n} então β1u1 + · · · + βnun 6= 0. Definição 4.4 Dizemos que uma seqüência u1, . . . , un de um espaço vetorial V é line- armente dependente (l.d., abreviadamente) se não for linearmente independente. Observação 4.5 A definição de dependência linear para a seqüência u1, . . . , un é equi- valente a dizer que é possı́vel encontrar números reais α1, . . . , αn não todos nulos tais que α1u1 + · · · + αnun = 0. Exemplo 4.6 O, u1, . . . , un ⊂ V é uma seqüência l.d., onde O é o elemento neutro do espaço vetorial V. Basta verificar que 1O + 0u1 + · · · + 0un = O. 31 32 CAPÍTULO 4. DEPENDÊNCIA LINEAR Exemplo 4.7 Verifique se a seqüência (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) é linearmente inde- pendente em R3. É preciso verificar quais são as possı́veis soluções de α(1, 1, 1) + β(1, 1, 0) + γ(1, 0, 0) = (0, 0, 0). Isto equivale a resolver o sistema      α + β + γ = 0 α + β = 0 γ = 0, que possui como única solução, α = β = γ = 0. Logo, a seqüência acima é l.i.. Exemplo 4.8 Considere os vetores em R3 dados por u1 = (x1, y1, z1), u2 = (x2, y2, z2) e u3 = (x3, y3, z3). Encontre uma condição necessária e suficiente para que os vetores u1, u2, u3 sejam linearmente independentes. Vejamos, os vetores acima serão l.i. se e somente se α1u1+α2u2+α3u3 = 0 apresentar como única solução α1 = α2 = α3 = 0. Isto é equivalente a que o sistema      α1x1 + α2x2 + α3x3 = 0 α1y1 + α2y2 + α3y3 = 0 α1z1 + α2z2 + α3z3 = 0 possua solução única e, como se sabe, isto é equivalente que a matriz   x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3   possua determinante diferente de zero. Note que as colunas desta matriz são formadas pelos coeficientes de u1, u2 e u3. O mesmo resultado vale se colocarmos os coeficientes dos vetores u1, u2 e u3 como linhas. Por quê? 4.3. EXERCÍCIOS 35 Proposição 4.17 Se u1, . . . , un são l.i. em um espaço vetorial V e u1, . . . , un, un+1 são l.d. então un+1 é combinação linear de u1, . . . , un. Prova: Existem β1, . . . , βn+1 não todos nulos tais que β1u1 · · · + βnun + βn+1un+1 = 0. Agora, se βn+1 = 0 então a expressão acima ficaria β1u1 · · · + βnun = 0. Ora, os vetores u1, . . . , un são l.i. e, assim, deverı́amos ter também β1 = · · · = βn = 0. Uma contradição. Proposição 4.18 Sejam u1, . . . , un vetores l.i. em um espaço vetorial V. Então cada vetor v ∈ [u1, . . . , un] se escreve de maneira única como v = α1u1 + · · · + αnun. Prova: Basta mostrar que se α1u1 + · · · + αnun = β1u1 + · · · + βnun então αj = βj , j = 1, . . . , n. Temos (α1 − β1)u1 + · · · + (αn − βn)un = 0 e como u1, . . . , un são l.i. então αj − βj = 0, isto é αj = βj , para todo j = 1, . . . , n. 4.3 Exercı́cios Ex. 4.19 Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o subconjunto S do espaço vetorial V é l.i. ou l.d. 1. S = {(1, 2), (−3, 1)} , V = R2. 2. S = { 1 + t − t2, 2 + 5t − 9t2 } , V = P2(R). 3. S = {( −1 1 0 0 ) , ( 2 0 −1 0 )} , V = M2(R). 4. S = {(1, 2, 2,−3), (−1, 4,−2, 0)} , V = R4. 5. S =      1 2 0 3 0 1 0 0 2   ,   −1 −1 −1 0 0 0 1 1 1   ,   0 0 0 10 5 7 −1 0 1      , V = M3(R). 36 CAPÍTULO 4. DEPENDÊNCIA LINEAR Capı́tulo 5 Base, Dimensão e Coordenadas 5.1 Base Definição 5.1 Seja V 6= {0} um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é uma seqüência de vetores linearmente independentes B de V que também gera V. Exemplo 5.2 Os vetores de B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} formam uma base de R3. Vê-se facilmente que os vetores de B são l.i. e que todo (x, y, z) ∈ R3 se escreve como (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). Exemplo 5.3 Os vetores e1, · · · , en ∈ Rn onde e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) formam uma base de Rn. Ex. Resolvido 5.4 Mostre que (1, 1) e (1,−1) formam uma base de R2. Resolução: É preciso mostrar que estes vetores são l.i. e que todo ponto de R2 se escreve como combinação linear de (1, 1) e (1,−1). No entanto, se mostrarmos que todo ponto de R2 se escreve de maneira única como combinação linear de (1, 1) e (1,−1) já estaremos mostrando as duas propriedades ao mesmo tempo. (Por quê?) Seja (x, y) ∈ R2. O nosso problema se resume em mostrar que existe um único α ∈ R e um único β ∈ R satisfazendo (x, y) = α(1, 1) + β(1,−1) = (α + β, α − β). Esta última expressão é equivalente ao seguinte sistema linear { α + β = x α − β = y. 37 40 CAPÍTULO 5. BASE, DIMENSÃO E COORDENADAS Proposição 5.12 Em um espaço vetorial de dimensão m qualquer seqüência de vetores com mais de m elementos é linearmente dependente. Corolário 5.13 Todo subespaço vetorial de um espaço vetorial de dimensão finita tam- bém tem dimensão finita. Prova: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e W um subespaço vetorial de V. Se W tivesse dimensão infinita, pela proposição 5.11, existiria uma infinidade de vetores linearmente independentes em W. Como estes vetores também são linearmente independentes em V, o número deles deveria ser menor do que a dimensão de V (pela proposição 5.12). Uma contradição. Exemplo 5.14 dim Rn = n. Exemplo 5.15 A dimensão de P(R) é infinita. Veja o exemplo 3.9. Exemplo 5.16 dimPn(R) = n + 1. Basta notar que os polinômios 1, x, . . . , xn formam uma base de Pn(R). Exemplo 5.17 dimMm×n(R) = mn. Note que o as matrizes Ak,l = (δ k,l i,j )1≤i≤m 1≤j≤n , k = 1, . . . , m, l = 1, . . . , n onde δk,li,j = { 1 se (i, j) = (k, l) 0 se (i, j) 6= (k, l) formam uma base de Mm×n(R). Exercı́cio 5.18 A dimensão do espaço das matrizes quadradas e simétricas de ordem n é n(n + 1)/2. Teorema 5.19 (Completamento) Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Se os veto- res u1, . . . , ur são l.i. em V com r < n então existem ur+1, . . . , un tais que u1, . . . , ur, ur+1, . . . , un formam uma base de V. 5.3. DIMENSÃO DE SOMA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS 41 Prova: Como r < n existe ur+1 ∈ V tal que u1, . . . , ur, ur+1 são l.i., pois caso contrário os vetores u1, . . . , ur formariam uma base de V, o que é impossı́vel pois dim V = n > r. Se r + 1 = n então u1, . . . , ur, ur+1 formam uma base de V que contém L. Se r + 1 < n então é possı́vel encontrar ur+2 ∈ V tal que u1, . . . , ur, ur+1, ur+2 são l.i., pois caso contrário a seqüência u1, . . . , ur, ur+1 seria uma base de V, o que é impossı́vel pois dimV = n > r + 1. Repetindo os argumentos acima, encontramos vetores ur+1, ur+2, . . . , ur+k, onde r + k = n, de forma que u1, . . . , ur, ur+1, . . . , ur+k são l.i. e, como dim V = n = r + k, segue que esta seqüência de vetores é uma base de V que contém os vetores u1, . . . , ur. Exemplo 5.20 Encontre uma base do R3 que contenha o vetor (1, 1,−1). Como a dimensão de R3 é três, precisamos encontrar dois vetores, (a, b, c), (x, y, z), que juntamente com (1, 1,−1) sejam l.i.. Porém, pelo exemplo 4.8, sabemos que isto é equivalente ao determinante de   1 a x 1 b y −1 c z   que é dado por x(b + c)− y(a + c) + z(b− a) seja diferente de zero. Há uma infinidade de possibilidades para que isto aconteça. Por exemplo, tomando (a, b, c) = (0, 1, 1) e (x, y, z) = (0, 0, 1). 5.3 Dimensão de Soma de Subespaços Vetoriais Proposição 5.21 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Se U e W são subespa- ços vetoriais de V então dim (U ∩ W ) + dim (U + W ) = dimU + dimW (5.22) Prova: Lembre que todo subespaço de um espaço vetorial de dimensão finita tem tam- bém dimensão finita. Sejam v1, . . . , vm elementos de uma base de U∩W. Como estes vetores são l.i. e per- tencem a U, pelo teorema 5.19, existem u1, . . . , up ∈ U tais que u1, . . . , up, v1, . . . , vm 42 CAPÍTULO 5. BASE, DIMENSÃO E COORDENADAS formam uma base de U. Por outro lado, v1, . . . , vm também pertencem a W e pelo mesmo teorema é possı́vel encontrar w1, . . . , wq ∈ W de modo que w1, . . . , wq, v1, . . . , vm formem uma base de W. Com a notação usada, temos dim (U ∩ W ) = m, dimU = m + p e dimW = m + q. Sendo assim, a fim de mostrarmos que 5.22 é válida, é necessário e, na verdade, suficiente mostrar que dim (U + W ) = m + p + q. Para tanto, basta mostrarmos que os vetores u1, . . . , up, w1, . . . , wq, v1, . . . , vm (5.23) formam uma base de U + W. Mostremos primeiramente que eles geram U+W : dado v ∈ U+W existem u ∈ U e w ∈ W tais que v = u + w. Como u é uma cominação linear de u1, . . . , up, v1, . . . , vm e w é uma cominação linear de w1, . . . , wq, v1, . . . , vm segue que v = u + w é uma cominação linear de u1, . . . , up, v1, . . . , vm,1 , . . . , wq. Portanto, U + W = [u1, . . . , up, v1, . . . , vm,1 , . . . , wq]. Verifiquemos que os vetores em 5.23 são l.i.. Suponha que α1u1 + · · · + αpup + β1w1 + · · · + βqwq + δ1v1 + · · · + δmvm = 0, (5.24) ou seja U 3 α1u1 + · · · + αpup + δ1v1 + · · · + δmvm = −β1w1 + · · · − βqwq ∈ W. Logo, −β1w1 − · · · − βqwq ∈ U ∩ W = [v1, . . . , vm]. Conseqüentemente, existem γ1, . . . , γm tais que −β1w1 − · · · − βqwq = γ1v1 + · · · + γmvm, ou seja, β1w1 + · · · + βqwq + γ1v1 + · · · + γmvm = 0. Como w1, . . . , wq, v1, . . . , vm são l.i., pois formam uma base de W, segue-se que γ1 = · · · = γm = β1 = · · · = βq = 0. Assim, a equação 5.24 se reduz a α1u1 + · · · + αpup + δ1v1 + · · · + δmvm = 0 e como u1, . . . , up, v1, . . . , vm são l.i., pois formam uma base de U, segue-se que α1 = · · · = αp = δ1 = · · · = δm = 0, donde se conclui que os vetores de 5.23 são linearmente independentes. 5.4. COORDENADAS 45 então (α, α + β + γ, β, γ) = (0, 0, 0, 0) que implica em α = β = γ = 0. Vejamos agora o caso do subespaço V : se α(1, 0, 0, 1) + β(0, 1, 0, 1) + γ(0, 0, 1, 1) = (0, 0, 0, 0) então (α, β, γ, α + β + γ) = (0, 0, 0, 0) que implica em α = β = γ = 0. Passemos agora a U ∩ V : se α(1, 0,−1, 0) + β(0, 1, 0, 1) = (α, β,−α, β) = (0, 0, 0, 0) que implica em α = β = 0. Pela proposição 5.21 temos dim (U + V ) = 3 + 3 − 2 = 4. Como (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1) geram U + V segue-se do fato da dimensão deste subespaço ser quatro que formam uma base para U+V. Como a dimensão de R4 também e U + V ⊂ R4, temos pela proposição 5.25 que U + V = R4. Note que esta soma não é direta. 5.4 Coordenadas Sejam V um espaço vetorial finitamente gerado e B uma base de V formada pelos ve- tores u1, . . . , un. Como B é uma base de V, todo elemento de u ∈ V se escreve como α1u1 + · · · + αnun, com os coeficientes α1, . . . , αn ∈ R. Pela proposição 4.18, os co- eficientes α1, . . . , αn são unicamente determinados pelo vetor u. Estes coeficientes são denominados coordenas de u com relação à base B. Representaremos as coordenadas de u com relação à base como uB =    α1 ... αn    B ou, simplesmente, por    α1 ... αn    46 CAPÍTULO 5. BASE, DIMENSÃO E COORDENADAS quando B estiver subentendida. Exemplo 5.29 Mostre que os vetores (1, 1, 1), (0, 1, 1) e (0, 0, 1) formam uma base de R 3. Encontre as coordenadas de (1, 2, 0) ∈ R3 com relação à base B formada pelos vetores acima. Já sabemos que dim R3 = 3. Para verificar se os vetores acima formam uma base de V, basta verificar se eles são l.i.. Utilizando o exemplo 4.8 vemos que estes vetores são de fato l.i. pois a matriz   1 0 0 1 1 0 1 1 1   possui determinante igual a 1 6= 0. Agora, (1, 2, 0) = α(1, 1, 1) + β(0, 1, 1) + γ(0, 0, 1) = (α, α + β, α + β + γ) que é equivalente ao sistema      α = 1 α + β = 2 α + β + γ = 0 cuja (única) solução é α = 1, β = 1 e γ = −2. Desse modo, as coordenadas de (1, 2, 0) com relação à base B são dadas por   1 1 −2   B . Exemplo 5.30 Mostre que os polinômios 1, x, x2 − x formam uma base, B, de P2(R). Encontre as coordenadas de 1 + x + x2 com relação à base B. Encontre também as coordenadas deste mesmo polinômio com relação à base C formada pelos polinômios 1, x e x2. Pa verificar que 1, x, x2 −x formam uma base de P2(R) basta mostrar cada p(x) = a0 + a1x+ a2x 2 ∈ P2(R) se escreve de maneira única como combinação linear de 1, x 5.5. EXERCÍCIOS 47 e x2−x. Isto é equivalente a mostrar que a equação p(x) = α1+βx+γ(x2−x) possui uma única solução (α, β, γ) ∈ R3. A equação acima se escreve como a0 + a1x + a2x 2 = α + (β − γ)x + γx2, que é equivalente ao sistema      α = a0 β − γ = a1 γ = a2, que possui uma única solução dada por α = a0, β = a1 + a2, e γ = a2. Com isso em mãos, vemos que as coordenadas de 1 + x + x2 com relação à base B são dadas por   1 2 1   B . Note que com relação à base C formada por 1, x e x2 as coordenadas de 1 + x + x2 são dadas por   1 1 1   C . 5.5 Exercı́cios Ex. 5.31 Verificar em cada um dos casos se o subconjunto B do espaço vetorial V é uma base para V. 1. B = { 1, 1 + t, 1 − t2, 1 − t − t2 − t3 } , V = P3(R). 2. B = {( 1 1 0 0 ) , ( 2 1 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 2 )} , V = M2(R). 3. B = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)} , V = R4. Ex. 5.32 Encontrar em cada um dos itens abaixo uma base e a dimensão do subespaço W do espaço vetorial V. 1. W = { (x, y, z, t) ∈ R4; x − y = 0 e x + 2y + t = 0 } , V = R4. 50 CAPÍTULO 5. BASE, DIMENSÃO E COORDENADAS Capı́tulo 6 Mudança de Base 6.1 Introdução, Exemplos e Propriedades Como vimos no exemplo 5.30 as coordenadas de um elemento de um espaço vetorial podem variar quando se consideram bases distintas. O que passaremos a estudar agora é como esta mudança ocorre, ou seja, como é possı́vel encontrar as coordenadas de um vetor com relação a uma base sabendo-se suas coordenadas com relação a uma outra. Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Sejam B e C bases de V formadas pelos vetores b1, . . . , bn e c1, . . . , cn, respectivamente. Como B é uma base, existem αij ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ n tais que c1 = α11b1 + · · · + αn1bn ... cn = α1nb1 + · · · + αnnbn. Desta forma, as coordenadas de c1, . . . , cn, com relação à base B são, respectivamente, c1B =    α11 ... αn1    B , · · · , cnB =    α1n ... αnn    B . Reunimos estas informações sobre as coordenadas dos vetores da base C com relação à 51 52 CAPÍTULO 6. MUDANÇA DE BASE base B na seguinte matriz MCB =    α11 · · · α1n ... . . . ... αn1 · · · αnn    , cujas colunas são formadas pelas coordenas de c1, . . . , cn com relação à base B. A matriz MCB é chamada de matriz mudança de base da base B para a base C. Antes de mostrarmos a relação que existe entre MCB e as coordenadas de um dado ve- tor com relação às bases B e C, vejamos como podemos encontrar a matriz de mudança de base em um exemplo no R3. Exemplo 6.1 Considere a base B em R3 formada pelos vetores (1, 0, 1), (1, 1, 1) e (1, 1, 2). Considere também a base C formada pelos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Encontre MCB . Precisamos resolver (1, 0, 0) = α11(1, 0, 1) + α21(1, 1, 1) + α31(1, 1, 2) (0, 1, 0) = α12(1, 0, 1) + α22(1, 1, 1) + α32(1, 1, 2) (0, 0, 1) = α13(1, 0, 1) + α23(1, 1, 1) + α33(1, 1, 2) ⇐⇒ (α11 + α21 + α31, α21 + α31, α11 + α21 + 2α31) = (1, 0, 0) (α12 + α22 + α32, α22 + α32, α12 + α22 + 2α32) = (0, 1, 0) (α13 + α23 + α33, α23 + α33, α13 + α23 + 2α33) = (0, 0, 1). Um momento de reflexão nos poupará um pouco de trabalho neste ponto. Note que cada linha acima representa um sistema de três equações com três incógnitas e que a matriz associada a cada um destes sistemas é a mesma. O que muda são os nomes das variáveis e o segundo membro. Utilizando como variáveis x, y e z, basta resolvermos o seguinte sistema   1 1 1 0 1 1 1 1 2     x y z   =   a b c   onde a, b, c ∈ R. O sistema acima é equivalente a   1 1 1 0 1 1 0 0 1     x y z   =   a b c − a  