Apostila criação de gráficos

Apostila criação de gráficos

Apostila de Construção de Gráfico

em

Por: Danilo Menezes de Oliveira Machado

Introdução

Antes de criarmos gráficos de funções, devemos entender o que é uma função.

No caso deste minicurso, teremos funções de duas variáveis x e y, onde x é a variável independente e y a variável dependente de x.

Sejam e dois conjuntos não vazios e uma relação de emEssa relação é uma
elemento do conjunto

Definição de função função de em quando a cada elemento do conjunto está associado um e apenas um

Domínio, contradomínio e imagem de uma função

contradomínio da função. Para cada, o elemento chama-se imagem de pela
função ou o valor assumida pela função parae o representamos por (lê-se: de

Dada uma função de em , o conjunto chama-se domínio da função e o conjunto , ).

Um sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos perpendiculares,e , que
têm a mesma origem

Coordenadas Cartesianas (eixo vertical ou eixo das ordenadas)

(origem) O(eixo vertical ou eixo das abscissas)

Onde, o eixo y representa o contradomínio e o eixo x representa o domínio.

Exemplos: 1- Determine o Domínio, contradomínio e imagem das seguintes funções:

b) c) d) e) f)

Construção de Gráficos

Para representar um ponto, devemos analisar o que cada uma das coordenadas representa
eixo

Representação de Pontos num plano cartesiano representa todos os valores do eixo , e representa todos os valores do Exemplos:

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)

1- Marque os pontos no plano cartesiano: 2- Agora para vocês alunos, identifiquem cada um dos pontos do exemplo 1.

Toda função é um conjunto de pares ordenados. Onde é uma função de () e é a variável
independente. No caso de uma reta temos:

Gráficos de função polinomial do 1º Grau (Reta) Para criar o gráfico deste tipo de função basta encontrar 2 pontos.

Exemplos:

a)
b)
c)
d)
e)
f)

1- Reproduza as funções em um plano cartesiano Solução:

b) c) d) e) f)

No caso da reta, se temos um gráfico, para determinar a equação que determina a função da reta, devemos utilizar a seguinte equação:

Ondee , são coordenadas de um ponto qualquer presente na reta e o valor de , conhecido

como coeficiente angular da reta, é simplesmente a tangente do ângulo de inclinação desta reta.

Ondee , são pontos da reta
A funçãodada por , com , e reais e determina-se função

Gráficos de função polinomial do 2º Grau (Parábola) polinomial do 2º grau ou função quadrática. Os números representados por , e são os

coeficientes da função. Note quetemos uma função do 1º grau ou função constante.

O gráfico deste tipo de função é a parábola, uma curva da família das cônicas, ou seja, derivada por um corte realizado sobre um cone.

Para criar o gráfico deste tipo de função devemos procurar pontos específicos, tais como vértice (ponto que a parábola muda seu crescimento ou decrescimento) e ponto de interseção com os eixos coordenados.

Não basta apenas encontrar esses pontos, devemos conhecer e entender a ideia de como funciona uma parábola, tais como sua amplitude, seu crescimento e decrescimento, sua concavidade.

Método de Bhaskara

, assim

Para definir os pontos que intersectam os eixos fazemos:

, assim E para encontrar o vértice, temos:

e

Exemplo:

a)
b)
c)
d)

1- Construa o gráfico das funções: Solução:

a) Encontramos os pontos:

e Logo o gráfico:

b) Encontramos os pontos: e Logo o gráfico:

e

c) Encontramos os pontos: Logo o gráfico:

a) Neste caso, não possuímos valores reais para a formula de Bhaskara, o que nos indica que a parábola não intersecta o eixo x:

, nota-se que este ponto esta acima do eixo x, e como a parábola não corta este eixo, logo, esta tem concavidade para cima.

Logo o gráfico:

Tendo a função quadrática, ao derivarmos esta, temos:
Sea função é crescente
Sea função é decrescente
E, determina o .

Método da Derivada

Analisando o crescimento e o decrescimento da função já concluímos sua concavidade, mas caso esta definição não esteja clara, faremos a derivada segunda, ou segunda derivada.

Seo é ponto de máximo e a concavidade é para cima

Se o é ponto de mínimo e a concavidade é para baixo

Exemplos:

a)
b)
c) –
d)

1- Construa o gráfico das funções: Solução

a)e
Assim, oé um ponto de máximo.
b)e

logo a concavidade para baixo, logo a concavidade para cima, Assim, o é um ponto de mínimo.

c)e
Assim, oé um ponto de máximo.
d)e

logo a concavidade para baixo,

Assim, oé um ponto de máximo.

logo a concavidade para baixo,

Este método requer o uso de derivadas, por tanto só o aplicamos no ensino superior, onde realmente aprendemos o calculo diferencial e integral.

Mas a maneira mais eficiente para se construir um gráfico é o uso dos dois métodos, onde você deriva encontrando a concavidade e os pontos de intersecção com os eixos.

Gráficos de função polinomial do 3º Grau ou maior ou função racional

Para construção deste tipo de gráfico, é interessante seguir uma sequencia de passos que facilitará o entendimento do funcionamento do gráfico (Método da Derivada):

1º passo – Encontrar a intersecção com os eixos x e y. (quando for fácil a resolução) 2º passo – Definir domínio e imagem, para calcular as assíntotas caso existam. 3º passo – Calcular a primeira derivada

Sea função é crescente
Sea função é decrescente
E, determina os pontos críticos da função

4º passo – Calcular a segunda derivada

Sea concavidade é para cima
Sea concavidade é para baixo
Edefine os pontos de inflexão, onde a concavidade muda.

5º passo – Encontrar os valores de y para cada x encontrado e construir o gráfico

Exemplo:

a)
b)
c)
d)
e)

1- Construa os gráficos: Solução

a)

1º passo

,

2º passo Domínio e imagem, todos os Reais.

3º Passo , fazendo o estudo dessa derivada,

Temos as abscissas

e , como pontos críticos desta função.

Com esses pontos críticos estudaremos o crescimento e decrescimento da função

Assim o esboço da função, sem concavidade definida é:

4º Passo , fazendo o estudo dessa derivada,

Temos a abscissa do ponto de inflexão

Assim o esboço da função, sem concavidade definida é:

Para

5º Passo ,

,

Para Para ,

b)

14 1º passo

,

2º passo Domínio e imagem, todos os Reais. 3º Passo , fazendo o estudo dessa derivada,

Temos as abscissas

e , como pontos críticos desta função.

Com esses pontos críticos estudaremos o crescimento e decrescimento da função

Assim o esboço da função, sem concavidade definida é:

4º Passo , fazendo o estudo dessa derivada,

Temos a abscissa do ponto de inflexão

Assim o esboço da função, sem concavidade definida é:

Para

5º Passo ,

,

Para

Para ,

c)

15 1º passo

,

2º passo Domínio e imagem, todos os Reais. 3º Passo , fazendo o estudo dessa derivada,

Temos as abscissas
,

e , como pontos críticos desta função.

Com esses pontos críticos estudaremos o crescimento e decrescimento da função

4º Passo , fazendo o estudo dessa derivada,

Temos a abscissa do ponto de inflexão
Para

5º Passo ,

Para
,
,

Para

Para ,

Para ,

d)
Domínio:/ e Imagem: .

1º passo difícil calcular 2º passo 3º Passo

, fazendo o estudo dessa derivada,

Temos a abscissa

, como ponto crítico desta função.

que, é abscissa da assíntota.

Com esse ponto crítico estudaremos o crescimento e decrescimento da função, devemos lembrar

Temos a abscissa do ponto de inflexão

4º Passo , fazendo o estudo dessa derivada,

Para

5º Passo ,

Para ,

e)
,
Domínio:/ e e Imagem

1º passo 2º passo 3º Passo

, fazendo o estudo dessa derivada,

Temos as abscissa, como ponto crítico desta função, porem pelo domínio da função esta

abscissa, não faz parte da função.

Vamos avaliar a função em relação a assíntota

Logo essa função não possui pontos críticos.

4º Passo , fazendo o estudo dessa derivada,

Temos a abscissa do ponto de inflexãoe . Onde este primeiro esta fora

do domínio da função.

Para,

5º Passo Para ,

Com essa Ideia, podemos reproduzir com eficiência qualquer tipo de gráfico através de sua função.

A funçãodada por (com e ) é denominada função exponencial de
base

Gráfico de Função Exponencial Temos 3 casos: 2º

A função exponencialdefinida por , com e , é bijetora. Nesse caso,

Gráfico de Função Logarítmica podemos determinar a sua função inversa.

Por definição de logaritmo, temos:

assim,

No caso da função exponencial temos dois casos:

Função Inversa

Toda função bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora pode ser invisível. Sobrejetora: é toda função onde seu contradomínio for igual sua imagem Injetora: é toda função que para cada valor de x existe apenas um valor de y.

Como acabamos de ver, a função exponencial e logarítmica são funções inversas. Observando o gráfico de ambas, em seus dois principais casos:

Função Trigonométrica

As funções trigonométricas tem uma particularidade, que é a periodicidade de sua função. As funções trigonométricas se “repetem” a cada ciclo formado. Lembrando que este minicurso não vem com intuito de ensinar trigonometria, e sim a criação de gráficos. Procurem os horários do curso de trigonometria.

Percebam que a função seno e cosseno, possui um domínio pertencendo aos Reais, enquanto sua imagem varia de -1 a 1. Veja:

Conhecendo alguns valores da função seno, observe o gráfico e analise. Observe que a partir de ou obteremos os mesmo valores, para um novo ciclo.

Conhecendo alguns valores da função cosseno, observe o gráfico e analise.

Observe, então que o domínio vem de menos infinito ate infinito positivo em ambas as funções e a imagem varia de -1 a 1.

em relação ao domínio:/

A função Tangente por ser uma função que depende de seno e cosseno, terá uma particularidade e a imagem são todos os Reais.

Sabemos que
e a

, nota-se que a cotangente é inversamente proporcional a tangente, logo sua função também é :

Falando em função inversamente proporcional, não podemos esquecer da secante e cossecante, que são funções inversamente proporcionais ao cosseno e seno respectivamente:

Vamos perceber que o domínio da função secante e cossecante é igual ao domínio das funções tangente e cotangente respectivamente, porem a imagem destas é justamente oposta a imagem do seno e do cosseno.

Veremos as funções seno e cossecante:

Veremos as funções cosseno e secante: Note, que as imagens são complementares.

Função “transladada e ampliada”

Função Transladada

A função transladada é, na verdade, toda aquela função que permanece com sua característica intacta, porem em uma posição diferente do gráfico.

a)

Exemplos: Demonstrarei em mesmo plano cartesiano a função como está e de forma transladada: b)

c)

26 d)

Função Ampliada

a)

A função ampliada permanece em sua posição de origem porém com uma “amplitude diferente”. Exemplo: b)

c)

28 d)

a)
b)

Exemplos de funções transladadas e ampliadas:

Qualquer função pode ser transladada ou ampliada, note que ao alterar o gráfico e a função, alteramos também o domínio e a imagem.

Denomina-se função modular à funçãodefinida por:
Unindo as duas funções
e
obtêm

Função Modular

Para o melhor entendimento de uma função modular, darei alguns exemplos, de forma a detalhar o procedimento usado para a exposição da função em plano cartesiano com perfeição, facilitando o entendimento e compreensão de todos:

a)

Exemplos: A principio deve-se analisar a função de

criando seu gráfico na forma:
Note que, pois está em módulo, somando a constante 2, assim todo valor nomeado a
será positivo e adicionado a 2. Logo, o gráfico será relacionado a reta, onde para todo valor

forma sem levar em conta o modulo, negativo de x este será espelhado de forma positiva.

b)

A principio deve-se analisar a função de

criando seu gráfico na forma:
Note que nesse caso temos, ou seja, . Assim podemos perceber que toda função

forma sem levar em conta o modulo, é maior que zero, , logo a função é reflexiva em , para todo valor de .

c)
escrito como
Analisando o módulo, temos que, então para todo valor de , deve ser

Como feito nos itens a) e b), deve-se inicialmente conhecer a função sem o uso do modulo, que em verdade pode ser refletido para o valor positivo de y. Porém nesse caso temos que a função modular esta deslocada duas unidades para o sentido negativo.

d)

Novamente devemos promover a função sem o modulo, assim faremos o gráfico

. Note que, para todo
valor, a função é refletida para o

valor positivo da função.

Perceba, que para todo valor de , a função reflete o valor desta para .

e)
Usando a função

3 percebemos

esta em, temos que , ou seja,
. Logo para todo valora função

que a função é ampliada. E como o modulo é reflexiva.

f)

De forma análoga teremos o mesmo processo realizado para este e para os demais gráficos:

Perceba que para o gráfico da letra e) a reflexividade funciona eme para a letra f) a

reflexividade da função está presente em .

g)

Perceba que esta função é a mesma da letra d), deslocada 3 unidades para baixo em relaçao ao eixo x.

h)
Neste caso a função é toda maior que zero

Veja que , assim

. Com uso da ideia de logaritmo:

onde a função deve ser reflexiva,

i)

Fazendo a função :

No caso da função, notamos que e para todo a função se reflete.
j)
Veja que nesse caso toda a função deverá ser positiva pois, assim temos:
k)
Fazendo
, percebe-se que é a funçãotransladada para
E para o caso em questão perceba que apenas função seno é positiva, logoreflete sobre eixo
gerador da função, no caso
l)
próprio eixo gerador da função seno, neste caso temos toda a função maior que zero, ou

No caso anterior tínhamos o modulo sobre a função seno, onde fazia o gráfico refletir sobre o

, assim para todo

seja, , conhecendo as funções trigonométricas sabemos que e , teremos as reflexões de forma a função ficar positiva.

m)
Devemos observar que a função

, já tem seu gráfico criado no item k), assim observe que no caso em questão teremos , ou seja, toda a função é positiva

Perceba que a ideia de função modular é apenas a reflexão da função entorno do eixo , ou , ou e . O que dependerá do estudo do domínio e da imagem da função.

Gráficos de funções não bijetoras

Nessa apostila já construímos gráficos de funções bijetora, as funções polinomiais de grau maior que 2, nenhuma dessas é bijetora, inclusive a função polinomial do segundo grau, como já foi dito, é uma função derivada de um cone.

Funções derivadas de um cone

Um corte efetuado por um plano de maneira ortogonal ao eixo central do cone gera uma circunferência com equação genérica:

Onde é o valor do raio da circunferência.

Um corte efetuado por um plano paralelo a geratriz do cone gera uma superfície em forma de parábola com equação:

Onde é a distancia do vértice a diretriz e ao foco.

Um corte efetuado por um plano formando um ângulo superior a 45° e inferior a 90° com o eixo central e gerador do cone, gera uma elipse de equação :

Onde e são o valor absoluto dos seus eixos.

Um corte efetuado por um plano paralelo ao eixo central do cone gera uma hipérbole de equação:

Onde e são o valor absoluto dos seus eixos.

a)

Exemplos:

A primeira coisa a ser feita é identificar a função em relação a uma dessas curvas anteriores, para isso devemos separar as variáveis e completar quadrados, como foi feito no curso de divisão de polinômios:

Perceba que e , logo:

O que representa uma circunferência de raio 2 e deslocada eme , assim o centro
da circunferência éVeja:
b)

De mesma maneira devemos separar as variáveis e completando quadrado, compreenderemos qual é a curva em questão:

Logo notamos que esta é uma circunferencia de raio e centro :

c) Completando quadrados e arrumando a equação:

Chamandoe , assim:
Uma hipérbole com amplitude em y e ponto de equidistância das duas curvas
d)

Organizando as variáveis:

Essa é uma hipérbole, similar a do exercício anterior, porem esta é centrada na origem e com amplitude em x.

e)

Organizando:

Circunferência centrada na origem de raio 2.

f)

40 Completando quadrado e organizando:

Uma parábola de vértice
g)
encontrada terá apenas o valor de

Perceba que nesse caso a raiz quadrada tem apenas o valor positivo, isso significa que a função

Circunferência de raio 3 e centrada na origem, porem como queremos apenas a parte positiva, o gráfico é uma semicircunferência superior:

a)

De maneira oposta, nesse caso temos a parte inferior de uma circunferência de raio 2 e centrada na origem:

b)

Organizando:

Perceba que esta é uma parábola, porém voltada para o eixo x positivo, e com vértice :

Função Trigonométrica Inversa

A função trigonométrica não é bijetora, logo não existe uma função inversa, porém se reduzirmos o domínio da função numa região que esta seja bijetora, daí sim teremos uma função inversa.

esta função é definida pela inversa da função
Tendo a função, para uma região onde esta é bijetora –

, assim temos:

Invertendo as variáveis para melhor definir a função inversa, temos:

Perceba que com essa inversão o domínio e a imagem também se invertem de forma simétrica:

esta função é definida pela inversa da função
permanecer uma função bijetora

Essa função tem o mesmo principio da função anterior, com detalhe que o dominio para , assim:

Trocando as variáveis:

é uma função inversa da função, para que realmente isso
aconteça, deve restringir o domínio para que aseja bijetora,

com

é a função inversa decom o domínio .
com

4 é a função inversa com domínio .

é a função inversacom domínio .

Exercícios

1- Identifique ao domínio, o contradomínio e a imagem das seguintes funções: a)

b)

46 c)

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

2- Identifique o domínio e a imagem das funções e construa o gráfico: h)

i)
j)
k)
l)
m)
n)
p)

o)

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

3- Faça um plano cartesiano e marque os pontos:

4- Identifique a inclinação das retas, e dê sua função: a) b) c) d)

a)
b)
c)
d)
e)
f)

5- Construa o gráfico das funções que passam pelos pontos:

a)
b)
c)

6- Construa o gráfico das funções: d)

e)

f)

a)
b)
c)
d)

7- Pelo Método de Bhaskara, faça o gráfico das funções:

f)

e)

a)
b)
c)
d)

8- Pelo Método da Derivada, faça o gráfico das funções:

f)

e)

a)
b)

9- Faça o gráfico das funções seguindo os passos propostos pelo Método da derivada: c) d) Nível muito difícil

e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)

10- Faça o gráfico das funções e de suas funções inversas, quando possível: g)

h)

i)

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

1- Faça o gráfico das funções modulares: 12- Identifique o domínio e a imagem das funções do exercício 1.

13- Identifique a cônica e trace seu gráfico: a)

c)

b) d)

f)

e) g) h) i)

14- Dê a imagem e o domínio das funções do exercício 13.

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

15- Construa os gráficos: i)

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