Som: Funções Trigonométricas, Intensidade, Potência e Pressão Sonora, Adição de Sons., Notas de estudo de Engenharia Elétrica

Baixe Som: Funções Trigonométricas, Intensidade, Potência e Pressão Sonora, Adição de Sons. e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! 2 PARTE I 5 1 Introdução: o que é som? 5 2 Velocidade de propagação 5 3 Comprimento de onda, freqüência, amplitude e fase 6 4 Funções trigonométricas 9 5 Intensidade, potência e pressão sonora 11 7 Adição de sons 14 8 Projeção sonora 15 9 Interações sonoras 16 9.1 Sobreposição 16 9.2 Refração 16 9.3 Absorção 18 9.4 Reflexão 19 9.5 Interferência 19 9.6 Ondas estacionárias 19 9.5 Difração 21 10 Timbre 23 11 Domínios temporal e espectral 24 12 Análise e síntese espectral 25 13 A Série Harmônica. 28 14 O espectro e as formas de onda. 29 15 A teoria clássica do timbre 31 PARTE II 33 1. Introdução à Psicoacústica 33 2. A anatomia do ouvido 33 2.1 O ouvido externo. 34 2.2 O ouvido médio. 34 2.3 O ouvido interno. 35 3 A percepção de alturas: bandas críticas. 36 Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo Acústica 3 4 Consonância e dissonância. 37 5 A percepção de amplitudes e alturas: as gamas de sensibilidade à pressão e freqüências. 39 6 A percepção de volume e as curvas de Fletcher-Munson 39 7 Localização auditória 41 7.1 Diferença Interaural de Tempo (DIT) 41 7.2 Diferença Interaural de Intensidade (DII) 41 8 Reverberação natural 42 8.1 Tempo de reverberação 43 8.2 Dependência de freqüência 43 8.3 O atraso da primeira reflexão 43 8.4 O crescimento da densidade de ecos 43 8.5 Distância 43 9. Sistemas de afinação 44 BIBLIOGRAFIA 47 Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 7 Os fenômenos ondulatórios podem ser estudados em sua forma mais simples, para se ganhar um entendimento dos seus constituintes mais básicos. A forma mais simples de onda sonora é aquela descrita por funções harmônicas do tipo senoidal, que possuem uma característica periódica, isto é, repetem-se em um certo intervalo de tempo.Veremos, também, que todo e qualquer fenômeno ondulatório longitudinal, seja ele periódico ou não, pode ser decomposto em um número de unidades deste tipo. A onda periódica senoidal é derivada do movimento circular. Se plotarmos em um gráfico o movimento de uma roda, vamos obter uma representação análoga (similar) a um movimentode partículas em um meio que equivale a onda sonora senoidal (fig. 1). É preciso fazer notar, imediatamente, que nenhum som natural produz uma onda senóide pura, apesar de alguns, como o do diapasão, aproximarem-se muito dessa forma de onda. A senóide é resultado de um movimento circular no tempo. Desta senóide pode se dizer muitas coisas: que ela se repete em um período T (em segundos, normalmente); que ela tem uma amplitude de deslocamento A, ou seja que ela varia de 0 até + ou - A (fig.2); e que quando se propaga no espaço, ela tem um comprimento de onda ?, que é a medida de espaço entre dois momentos idênticos da onda (geralmente em metros) (fig.3). Lembremos que, em se tratando de uma onda sonora, ela deverá se propagar pelo meio em uma velocidade constante. Dizer que esta onda se repete em um período T de tempo é a mesma coisa, em um raciocínio inverso, que dizer que há uma freqüência de acontecimentos ou repetições em um período de tempo. Pode-se dizer que essa freqüência de acontecimentos é de uma vez por período, o que nos traz a definição de outra quantidade importante para o estudo de ondas: a freqüência que é o inverso do período, f = 1 /T . Ela é geralmente medida em 1/segundos (s-1), e no caso específico de ondas periódicas como a senóide, em ciclos por segundo, que é a definição da medida chamada Hertz (Hz). A freqüência f (ou o período) e o comprimento de onda ? relacionam-se através da velocidade de propagação V, pelo produto V = f?. A última quantidade que deve ser definida quanto às senóides é a da fase (fig.2), que determina a posição inicial de uma onda, ou a posição do começo do movimento. Ela é medida em graus ou em radianos, por ser relacionada com o ângulo inicial do movimento. Nos exemplo acima, a fase é zero graus, pois o ângulo inicial do movimento, medido do centro da circunferência, é zero. Podemos então observar estas quantidades de uma forma gráfica. Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 8 Tomando-se uma onda periódica senoidal como modelo, podemos mapear alguns dos parâmetros apresentados acima com qualidades sensorias humanas. A amplitude de uma onda de pressão correlaciona-se diretamente com a nossa percepção de intensidades sonoras, por exemplo sons mais intensos serão resultado de uma maior amplitude de variação da pressão do meio (ou seja um deslocamento maior das moléculas). A freqüência, e por conseqüência o período e o comprimento de onda, relaciona-se com a percepção de alturas (ou seja o quão grave ou agudo um som é). Certos valores de freqüências são convencionalmente equivalentes às notas musicais ocidentais, por exemplo 440 Hz é o lá de concerto, usado para a afinação de instrumentos. Em ondas sonoras mais complexas, a correlação entre freqüência e altura é mais problemática. Veremos, mais adiante, questões mais complexas relativas à correlação dos parâmetros físicos com as qualidades subjetivas que são percebidas pelo ouvido, cujo estudo pertence à psicoacústica. Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 9 4 Funções trigonométricas Já foi mencionado anteriormente que as ondas mais simples são do tipo senoidal. Estas ondas podem ser descritas por uma classe de funções matemáticas chamadas harmônicas, a qual as funções trigonométricas pertencem. O seno de um ângulo é definido como a razão dos dois lados de um triângulo retângulo contendo aquele ângulo em um dos seus vértices (fig.4). Um ângulo, representado no exemplo pela letra ?, é uma porção de um ciclo, pode ser medido em graus, indo de 0 a 360, ou em radianos, medida linear baseada no número p = 3,141592..., a razão entre os comprimentos do diâmetro e da circunferência de qualquer círculo. Dizemos então que 2p radianos equivale a um círculo completo, pois um raio é a metade do diâmetro (p = circ/diam = circ/2*raio; logo circ = 2*p*raio = 2p radianos, se o raio = 1). Então temos uma medida que relaciona ângulos e raio.O seno é a razão do cateto oposto ao ângulo e da hipotenusa de um triângulo retângulo: sen? = cateto oposto a ? / hipotenusa Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 12 quantidade tri-dimensional, por isso temos que levar em conta a área quando se fala em transmissão de energia, isto é temos que definir uma quantidade em termos de watts por unidade de área. Essa quantidade é chamada de intensidade sonora, que nos dá uma medida da densidade da potência de um som propagando em um direção particular. A intensidade sonora representa o fluxo de energia por unidade de área. Pode variar em uma escala que é maior que um milhão de milhões (10-12 ).Por esta causa e pela maneira em que percebemos o volume sonoro, a intensidade é expressada em um escala logarítmica Existem dois modos principais de percepção, logarítmico e linear. Dizemos que a percepção é logarítmica quando é baseada em uma razão de valores. Neste caso, por exemplo, a variação de 1 para 2 é percebida como a mesma que 2 para 4, ou 4 para 8, pois é baseada em uma razão 1:2. Da mesma forma as intensidades são percebidas logarítmicamente, pois a variação de .001Wm-2 para .01 Wm-2, é percebida como a mesma que acontece entre .1 e 1.0 Wm-2. Além da intensidade, a freqüência também é percebida logaritmicamente, pois os intervalos entre notas são baseados em razões entre valores de freqüência. Por exemplo, um salto de oitava equivale a razão 2:1. Já a percepção linear é baseada na diferença entre valores, a variação de 1 para 2 é percebida com a mesma que de 7 para 8, por exemplo. A variação de distância é algo que percebemos linearmente. A escala logarítmica usada aqui é baseada na razão entre a densidade de potência real e uma intensidade de referência (1 picowatt por metro quadrado, 10-12Wm-2 ): SIL = nível de intensidade sonora Ir = o fluxo de potência sonora real (em Wm -2 , Watts por metro quadrado) Iref = o fluxo de potência sonora de referência (10 -12Wm-2 ) O fator de 10 aparece pois faz do resultado um número em que uma variação de número inteiro produz uma mudança que é aproximada à menor variação que o ouvido humano pode perceber. Uma mudanca de fator 10 na razão da densidade de potência é chamada de bel. Na equação do nível de intensidade sonora, isso provocaria uma variação de 10 no resultado (SIL = 10log1010 = 10). Então uma mudança equivalente a uma unidade inteira (um número inteiro) é chamada de decibel (dB). O nível de potência sonora (PWL ou SWL), por sua vez é a potência sonora total irradiada em todas as direções pela fonte sonora. É similarmente expressado como o logaritmo de uma razão, em decibeis, entre a potência sonora real e uma potência sonora de referência de 1 picowatt (10-12W): ) I I (10=SIL ref rlog ) W W (10=SWL ref rlog Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 13 SWL = nível de potência sonora Wr = potência sonora real (em W) Wref = potência sonora de referência (10 -12W ) O nível de potência sonora mede a potência sonora total gerada por uma fonte arbitrária, e não depende do contexto acústico. O nível de pressão sonora (SPL) é a medida mais usual quando se fala em amplitude da onda sonora, por duas razões: pela sensibilidade do ouvido às variações de pressão e por ser uma quantidade simples de ser medida. A pressão sonora para fontes sonoras reais pode variar de menso de 20 microPascais (20 x 10-6 Pa) até mais que 20 Pa (1 Pa = 1 Nm-2). Esses dois níveis de pressão correspondem mais ou menos ao mínimo de audição (20µPa) e ao limiar da dor (20 Pa), para o ouvido humano, a 1Khz de freqüência. Se compararmos o valor para o mínimo da audição humana com a pressão média atmosférica de 100000 Pa, observamos como é alta a sensibilidade do nosso ouvido. Por causa das caracteristícas da audição humana, o nível de pressão também é expresso numa escala logarítmica. Ela é baseada na razão entre a pressão sonora real e o limiar da audição a 1 Khz (20mPa): SPL = nível de pressão sonora Pr = a pressão sonora real (em Pa) Pref = a pressão sonora de referência (20 µPa) O multiplicador de 20 serve a dois propósitos: fazer do resultado um número em que uma variação de número inteiro seja aproximadamente o mínimo possível de mudança percebida pelo ouvido humano, e prover alguma equivalência às medições de intensidade sonora. Se há apenas uma onda de pressão sonora no ponto de medição, isto é nenhuma interferência devida a reflexões, etc, o nível de intensidade sonora (SIL) é aproximadamente equivalente ao nível de pressão sonora (SPL). E toda variação medida em SIL será equivalente a variação em SPL, em qualquer caso, uma mudança de 10dB em SIL resultará em uma mudança de 10dB em SPL. A cada 6 dB de mudança, um som dobra de intensidade. Isso é facilmente verificado pela relação abaixo: SPL40µPa = 20 log10 (40µPa/20µPa) = 20log10 (2) = 20 X .3 = 6dB ) P P (20=SPL ref rlog Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 14 7 Adição de sons Nestas considerações sobre a amplitude dos sons, pensávamos somente em sons simples de fonte única. Observaremos agora alguns pontos sobre a soma de sons, que pode ser entre: a) sons correlacionados: no caso onde sons provêm de várias fontes relacionadas entre si. Neste caso várias fontes seriam derivadas de uma só. Exemplos: fontes relacionadas por uma reflexão simples, onde o atraso em tempo de uma fonte para outra é pequeno; fontes eletroacústicas, onde sons são tocados por vários alto-falantes, que recebem o mesmo sinal, mas estão separados no espaço. b) sons não-correlacionados: onde os sons vem de fontes não relacionadas entre si. Exs.: reflexões mais complexas, instrumentos tocando juntos, vozes num coral, etc.. Quando os sons são correlacionados, a amplitude ou nível de pressão sonora total é a soma das amplitudes das fontes. Por causa da periodicidade das ondas, é importante notar que a pressão de diferentes fontes poderá ter sinais diferentes (positivo, negativo), dependendo de sua fase relativa: se dois sons estão em fase, suas amplitudes são somadas; por outro lado, se dois sons estão em fase oposta (1800 ou p), suas amplitudes são subtraídas. O primeiro caso é chamado interferência aditiva e o segundo, subtrativa. Quando os sons não são correlacionados, devemos efetuar a soma dos quadrados das amplitudes de pressão envolvidas. Para obter o resultado desta soma como pressão, precisamos calcular a raiz quadrada do valor total: E então, para N fontes não-correlacionadas: Por último, devemos notar que para se realizar uma soma de amplitudes de pressão expressas em decibéis (dB), não podemos simplesmente somar os valores. Estes são medidos em uma escala logarítmica, portanto uma simples soma não obterá o resultado correto. É preciso, então, converter esses valores de volta as suas razões de amplitudes. Se precisamos de um resultado em decibéis, devemos converter de volta o resultado obtido na soma. (t)P...++(t)P+(t)P=(t)P n21total (t))P...++(t)P+(t)P(=(t)P 2 n 2 2 2 1total NP=)NP(=)P...++P+P(=P 2222 n Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 17 Exemplos: a) Normalmente a temperatura do ar reduz-se com a altura. Coma a velocidade do som é menor para o ar mais frio, o som tende a ser desviado da sua direção original, tendendo a tomar uma curvatura ascendente (Fig.6). Por isso, a percepção da intensidade desse som a nível do solo tende a diminuir bastante com a distância, mais do que previsto pelos cálculos mostrados anteriormente. b) Em certas situações menos comuns, o ar próximo ao solo está mais frio que aquele a certa altitude. Nesse caso, as ondas sonoras tendem a curvar-se de cima para baixo, incorrendo em sons mais intensos a uma grande distância da fonte (fig.7). Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 18 c) O vento tende a modificar a velocidade de propagação do som. A velocidade do som em um meio em movimento é a soma das velocidades do som (em um meio em repouso) e do próprio meio. Assim, o som tende a ter maior velocidade em direção ao vento, e tende a ser retardado em direção contrária. A direção de propagação também é afetada. Como o vento tende a ser maior quanto maior a altitude, as ondas em direção contrária ao vento tendem a ser curvadas para cima enquanto as em mesma direção tendem a ser curvadas para baixo (fig.8). 9.3 Absorção Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 19 Som é absorvido quando entra em contato com qualquer objeto físico. Isso acontece porque o objeto atingido tenderá a vibrar, dispersando energia da onda sonora, e também por causa da perda por fricção dentro do material. Em geral, materiais porosos, por causa da grande quantidade de área de interação disponível, tendem a ser os melhores absorventes de som. Por isso, lã de vidro, tecidos, cortiça, etc., são os melhores materiais para a absorção de som. 9.4 Reflexão Quando o som atinge uma superfície rígida ele tende a refletir-se de volta. Esse é o fenômeno básico da reflexão. Isso tende a gerar os efeitos conhecidos do eco e da reverberação. O eco é geralmente uma repetição simples com diferença de tempo de mais de .08 segundos do som original e de sua reflexão. Reverberação é um conjunto de reflexões rápidas e complexas em superfícies de um ambiente fechado. 9.5 Interferência O fenômeno da interferência ocorre quando dois sons correlacionados (por exemplo de duas fontes eletroacústicas idênticas) interagem entre si. A interferência ocorre quando, por alguma razão dois sons correlacionados atingem o ouvinte em intervalos de tempo diferentes, o que quer dizer, que vão atingi-lo com fases diferentes em seu ciclo de osciclação. Quando isso ocorre, dois tipos extremos e seus intermediários de interferência podem existir: a interferência aditiva (ou construtiva) e a interferência subtrativa (ou destrutiva). A interferência decorre diretamente da característica de sobreposição linear das ondas sonoras, onde a amplitude em um ponto é a soma das amplitudes das ondas que se sobrepõem. Os valores de amplitude de uma onda de pressão podem ter sinal negativo ou positivo. No caso da interferência construtiva, os sinais das ondas presentes num determinado ponto de espaço são do mesmo tipo (positivo ou negativo), e no caso da inteferência destrutiva os sinais são contrários. 9.6 Ondas estacionárias Ondas estacionárias ocorrem entre superfícies refletivas. O mais simples sistema em que isso pode ocorrer é como uma reflexão entre duas superfícies rígidas, como mostrado abaixo (fig.9). A onda estacionária realiza incessantemente o caminho entre os dois refletores, retraçando as mesmas posições que são relacionadas com alguns comprimentos de onda específico (e por conseqüência, Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 22 A difração acontece quando o som encontra um objeto que impede parte da passagem do som, jogando uma "sombra" em sua irradiação. Isso acontece por exemplo, em esquinas, em muros descontínuos, portas, etc.. O som tem a abilidade de se reconstruir e continuar se espalhando por difração, no entanto o grau de diifração do som depende de seu comprimento de onda, e assim de sua freqüência. Sons mais graves, com ondas mais longas têm uma quantidade maior de difração que aqueles sons mais agudos. Sons mais agudos tendem a ser direcionais, enquanto sons graves espalham- se melhor. Exemplos: a)Difração em um canto: b) Difração através de uma abertura: c) Difração em volta de um objeto Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 23 10 Timbre Até agora, estavamos considerando o nosso universo sonoro de uma forma limitada. Representávamos todos os fenômenos acústicos baseando nosso modelo sonoro nas ondas do tipo senoidal. Como vimos, este tipo de onda é obtido apenas de forma eletrônica. Já os sons da natureza são de uma natureza mais complexa.Se observarmos a representação de uma onda sonora, em um gráfico amplitude X tempo, produzida por um instrumento, como a viola (fig.16), veremos que ela difere muito da forma de onda do tipo senoidal (figs. 1, 2, 3 e 5). Isso pode nos dar uma pista com relação às diferenças qualitativas que percebemos entre os diferentes sons que percebemos. Outro aspecto interessante que é observado na comparação entre esses dois tipos de onda, é que ambos são periódicos, ou seja se repetem em um espaço de tempo. Essa característica comum significa que, para a nossa percepção, tanto o som senoidal, quanto o som do instrumento em questão vão possuir alturas definidas. Ou seja, em termos simples, sons periódicos são relacionados com instrumentos afinados, e a freqüência dos ciclos inteiros de onda, que define a altura de determinadada nota, vai ser chamada de freqüência fundamental. A distinção entre freqüência e freqüência fundamental vai ser muito importante nos estudos que se seguirão. Existem é claro, os sons instrumentais ou não, que não têm altura definida. Para esses, em geral, veremos que a sua forma de onda é aperiódica, ou seja, que não possue um padrão audível de repetição. Por essas razão, esses sons não vão possuir uma freqüência fundamental audível, e por conseqüência, nenhuma altura definida. Para identificar os diversos sons produzidos tanto por instrumentos musicais como por outras fontes, utilizamos uma qualidade auditiva que chamamos de timbre, ou cor sonora, que é um atributo muito importante da acústica musical. Essa qualidade, como vimos acima está correlacionada com a forma da onda sonora. Em função disso é preciso investigar como essas ondas são complexas formadas para sabermos mais sobre os diferentes ons percebidos por nós. No estudo do timbre, precisamos aprender um outro tipo de representação para as ondas sonoras que vai ser tão útil quanto a representação da amplitude (de pressão) versus tempo, que temos utilizado correntemente. Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 24 11 Domínios temporal e espectral Até agora, nós temos representado graficamente o som como a variação da amplitude de pressão, produzida pelo movimento das moléculas de um certo ponto no espaço, em um certo espaço de tempo tempo. Assim pudemos estudar as definições de freqüência, período, amplitude, etc.. Essa representação é chamada domínio temporal ou do tempo,que equivale ao quanto certa quantidade (como a amplitude, varia no tempo). As diferentes formas de onda podem bem definidas dessa forma. A outra representação que podemos ter de uma onda sonora, relaciona a amplitude com a freqüência. Ou seja, em um eixo vertical temos a amplitude, que neste caso não é a amplitude instantânea de pressão da onda, mas o pico de amplitude, ou seja o máximo/mínimo que a amplitude de pressão pode ter, e em outro temos a freqüência (fig. 17). Essa representação é chamada de domínio espectral, das freqüências ou apenas espectro. Por que precisamos dessa representação para melhor entender o timbre? A resposta está relacionada com o fato, que já foi mencionado, de que as ondas mais simples, senóides, são unidades em que ondas complexas podem ser decompostas. Nesse caso, as freqüências das ondas senoidais são freqüências puras, que vão aparecer no nosso gráfico amplitude versus tempo, como uma barra vertical, de altura proporcional à sua amplitude de Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 27 Quando as freqüências das componentes de um som são relacionadas de uma forma simples, como múltiplos inteiros da freqüência fundamental, as componentes são chamadas de parciais harmônicos, ou somente harmônicos. Neste caso, o som terá uma uma freqüência fundamental audível, e conseqüentemente altura definida. Um som complexo cujas componentes mais significantes são N harmônicos poderia ser descrito pela seguinte função: f (t) = A0seno(? t + f 0) + A1seno(2? t + f 1) + A2seno(3? t + f 3) + ... + An-1seno(N? t + f n-1) Ou seja, uma soma de N senóides cujas freqüências são relacionadas por uma série de números inteiros (1, 2, 3, ... , N). Quando fazemos essa soma de senóides estamos fazendo o processo inverso da análise de Fourier, a síntese a partir das componentes harmônicas do som. Agora podemos contruir uma teoria provisória do timbre: o timbre de um som é relacionado com as Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 28 suas componentes senoidais. Estas componentes têm freqüências diferentes que podem ser relacionadas de forma simples, como múltiplos inteiros de uma freqüência fundamental, quando são chamadas de harmônicos. Quando as componentes senoidais não se resolvem como múltiplos de uma fundamental, temos sons mais complexos, que não possuem uma altura definida, e neste caso, os componentes são chamados de parciais inarmônicos. O espectro de um som, que determina seu timbre, é a representacão das freqüências destas ondas e suas amplitudes relativas. 13 A Série Harmônica. Uma das consequências das descobertas que fizemos é a descoberta de uma relação de números inteiros entre as freqüências de componentes senoidais de alguns sons de certos instrumentos musicais. De acordo com a nossa teoria provisória do timbre, a presença ou não de certos componentes é a razão pela qual percebemos diferentes timbres ou cores. Nós chamamos essas componentes de harmônicos, e o seu conjunto de série harmônica (fig. 20).. A série harmônica mostrada acima em notação musical tradicional é uma aproximação dos valores de freqüência para os dessa nossa notação, o que quer dizer que não vão corrresponder exatamente às freqüências para essas notas em certos instrumentos temperados (como o piano por exemplo). Estudaremos a razão isso quando falarmos de afinação e temperamento. A presença da série harmônica é evidente nos instrumentos de metal, onde ela é usada como meio de emitir as doze notas da nossa música ocidental. O que se vê quando analisamos a série é que há um espaçamento grande entre os primeiros harmônicos que vai se fechando à medida em que vamos subindo pela série, devido à natureza logarítmica do fenômeno das freqüências quando representado de modo linear, como é o caso da nossa notação tradicional de alturas. Lembremos que dizemos que a percepção se dá logaritmicamente quando é baseada na razão entre dois valores, como neste caso das freqüências onde as relações entre notas (intervalares) são percebidas como razões entre freqüências. Basta lembrar que para se pular de oitava temos que sempre multiplicar por dois a freqüência original, e se olharmos na série acima, as notas em oitavas ascendentes estão sempre relacionadas pela razão 2:1 (utilizando-se os números de ordem dos harmônicos, dados acima das notas na fig.20). Isso vale também para os outros intervalos, onde a sua forma pura vai ser dada pelas razões encontradas na série. Por exemplo: a quinta pura ascendente tem uma razão 3:2, retirada da nossa representação musical da série harmônica (fig.20), de dó (2, pois é o 2o harmônico) a sol (3o harmônico), o que quer dizer que se sabemos que a nota lá tem uma freq. Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 29 fundamental de 220Hz, para sabermos a freqüência da nota mi, quinta acima, multiplicamos aquele valor por 3/2, 220 X 3/2 = 660/2 = 330 Hz, logo a freqüência de um mi puro calculado a partir de um lá 220Hz, possue a freqüência de 330 Hz. E assim por diante podemos utilizar as outras razões da série harmônica correspondentes aos devidos intervalos para calcular suas relações puras de freqüência. Note-se que quando chegamos a harmônicos mais altos, alguns intervalos vão possuir diferentes razões (que se refletem em diferentes tamanhos), e esse problema é uma das razões por que existem diversos tipos de temperamento, que estudaremos adiante. 14 O espectro e as formas de onda. Falamos extensivamente que o timbre depende das componentes senoidais que estão presentes no som percebido. Isso quer dizer que devemos somar as ondas senoidais de diversas freqüências para obtermos o nosso som, essas componentes sendo relacionadas por números inteiros quando tivermos harnônicos. Ora, se somarmos diferentes ondas é claro que vamos alterar a forma da nossa onda original. Se ela inicialmente tinha uma forma senóide, dependendo de quais componentes, de sua amplitude relativa, nós vamos obter diferentes formas de onda que então estão correlacionadas com o timbre que percebemos. Falamos que o domínio das freqüências nos mostra a amplitude relativa das componentes de um som. Se temos a nossa onda com uma forma qualquer, podemos obter, através de cálculos matemáticos, as componentes senoidais dessa onda em um dado instante. Isso pode ser feito de várias formas, que são mais ou menos equivalentes. Uma delas é usando a transformada de Fourier, que é uma ferramenta muito útil para análise de espectro, que pode ser usada em conjunto com a transformada inversa de Fourier, para ressintetizar-se o som a partir de seus componentes senoidais. Outra maneira que podemos fazer é essa análise é com o uso de filtros, que como o próprio nome diz, filtram o espectro, deixando passar somente certas freqüências. Filtros são também muito utilizados para a modificação de sons, por isso os estudaremos em detalhe quando tratarmos de processamento de som. Alguns tipos comuns de formas de ondas com componentes harmônicas: Dente-de-serra: tem a forma descrita pelo nome (figs. 21). Possue todos os harmônicos com amplitudes relativas que caem segundo 1/número do harmônico, ou seja o primeiro harmônico tem amplitude 1/1, o segundo, 1/2, o terceiro, 1/3, etc.... Pode ser associada, de uma forma geral, com o timbre emitido por instrumentos de corda, como o violino. Triângulo: tem a forma triangular. Não possue harmônicos pares, a amplitude relativa de seus harmônicos decresce abruptamente, ela é inversamente proporcional ao quadrado do número do harmônico. Quadrada: tem a forma quadrada (figs. 18 e 19). Não possue harmônicos pares, e as suas amplitudes caem segundo 1/número do harmônico. Ela é associada com o som do clarinete. Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 32 instrumentos como o violino e o piano, e nas características de seus sons em termos de timbre, e veremos que suas envoltórias são bem características: o piano tem um ataque curto seguido por um período estável e uma queda longa, se deixarmos a nota solta; já o violino tem um ataque mais lento (observe que o som não é tão percussivo como o do piano) e um período estável de duração variável, e uma queda curta. Podemos inferir que diferentes maneiras de tocar (p.ex. diferentes golpes de arco) podem resultar em diferentes formas de envelope, e portanto em diferentes características sonoras.O envelope de amplitude, isto é, a maneira em que a amplitude de um som varia no tempo, é pois muito importante no modo como percebemos diferentes sons. Helmholtz descobriu também que sons que evocam um sensação definida de altura correspondem a ondas periódicas (ou seja ondas que sempre se repetem em um certo período de tempo). Ele estabeleceu que a forma dessas ondas tem grande influência no timbre percebido de um som. Para relacionar melhor a maneira em que forma de onda e timbre se relacionam, ele usou o legado teórico de Fourier, já citado acima, que provava que qualquer onda periódica pode ser decomposta em um conjunto único de componentes senoidais. Portanto qualquer forma de onda pode ser descrita em termos de suas componentes senoidais, e cada componente senoidal será caracterizada por três parâmetros: freqüência, amplitude e fase relativa à fundamental. Os dois primeiros parâmetros têm uma grande importância para a definição do timbre, enquanto as relações de fase têm um efeito menor na percepção do timbre. Foi mostrado anteriormente que um som então pode ter duas representações: a da onda (de pressão), amplitude X tempo; e a do espectro, amplitude X freqüência, onde podemos observar as componentes senoidais de um som. A conclusão de Helmholtz foi de que o espectro tem uma correlação muito simples com as qualidades timbíisticas do som. Por exemplo, a descrição qualitativa de um som brilhante correlaciona-se com espectros que possuem muita energia nas freqüências altas, ou seja componentes agudas com amplitudes bem significativas. Sons com harmônicos pares faltando são auditivamente relacionados com aqueles do clarinete. A maioria dos sons percussivos têm espectros que não são harmônicos (ou seja fora das relações de números inteiros), como por exemplo, os sinos, que possuem um espectro altamente inharmônico. Alguns instrumentos possuem harmônicos levemente "desafinados", o que contribue para a riqueza de certos timbres, como o piano. Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 33 Parte II 1. Introdução à Psicoacústica Psicoacústica é o estudo de como os seres humanos percebem o fenômeno sonoro. Aqui o interesse é a resposta subjetiva ao som em termos de sua altura, volume, duração, timbre e posição aparente. As categorias do estudo da psicoacústica não são estanques, pois existe considerável interdependência entre elas. Por exemplo, a nossa sensação de altura é dependente do tempo, e nossa percepção de volume varia consideravelmente com a freqüência e o timbre. É importante que se note que a maioria dos resultados obtidos no estudo da psicoacústica têm sido colhidos experimentalmente. Tais resultados são inferidos de testes em situações cuidadosamente preparadas, com um grupo de ouvintes, cujas respostas a estímulos sonoros são monitoradas e analisadas. Estes experimentos são geralmente baseados em comparação de dois sons diferentes, por meio de uma escala subjetiva de valores. Os ouvintes são questionados sobre o que ouviram, por exemplo, em termos de "mais alto" ou "mais brilhante", etc.. Muitas das descobertas da psicoacústica ainda residem no plano experimental, pois razões físicas ou anatômicas sobre a sua causa ainda não são conhecidas. No entanto os dados apresentados pela psicoacústica são muito importantes para o entendimento da relação entre a percepção humana e o ambiente sonoro que a envolve. 2. A anatomia do ouvido O ouvido externo é composto pela orelha, que é um orgão especializado em concentrar as ondas sonoras na cavidade do ouvido, e pelo canal auditivo. Este é um tubo de mais ou menos 3 cm de comprimento, fechado na parte interna pelo tímpano. Na parte interna deste está o que chamamos de ouvido médio, que é conectado ao fundo da garganta pelo tubo de eustáquio para que as mudanças na pressão atmosférica sejam equalizadas dos dois lados do tímpano e não causem distorção na atuação deste. O ouvido médio é composto de três ossículos: o martelo, a bigorna e o estribo, conectados como na figura 1, acima. Estas conexões não são rígidas. O martelo é conectado ao tímpano para se mover com ele. Do outro lado, o estribo está conectado a uma membrana chamada janela oval. O ouvido interno é a porção do ouvido que está além da janela oval. Consiste em parte de uma cavidade na estrutura óssea do crânio, chamada cóclea, cuja forma lembra um caracol, com quase três voltas. A cóclea, que na fig.1 é mostrada estendida para melhor visualização, é preenchida por um fluído incompressível chamado perilinfa, e dividida ao meio em sua largura por uma repartição chamada mebrana basilar. Esta então forma dois compartimentos longos, um dos quais é ligado aos ossículos do ouvido médio pela janela oval. O outro compartimendo é separado do ouvido médio pela janela circular. Os dois compartimentos estão interconectados por uma pequena abertura na membrana basilar no final de sua extensão, na extremidade da cóclea que é chamada de ápice. A outra extremidade deste orgão, conectada ao ouvido médio é chamada de base. Milhares de conexões nervosas estão ligadas à membrana basilar, que, recebendo os distúrbios mecânicos, transmitem informação ao cerébro. O conjunto de células que respondem aos estímulos mecânicos da membrana basilar, transformando-os Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 34 em impulsos nervosos é chamado de orgão de corti. A figura abaixo exemplifica a anatomia do ouvido (Backus, 1969): 2.1 O ouvido externo. A orelha tem a função de acentuar certas freqüências e nos ajudar a localizar as fontes sonoras. A sua forma ajuda o ouvido a perceber se o som está a frente ou atrás do ouvinte com boa acuidade, e também acima ou abaixo (com menor precisão). O ouvido externo como um todo ajuda a modificar o som que o penetra, devido a efeitos de ressonância, principalmente do canal auditivo, cuja freqüência de ressonância é por volta de 4KHz. A membrana do tímpano é fina e elástica, formando a divisão entre ouvido externo e ouvido médio. Ela converte as variações de pressão do ar, que constituem as ondas sonoras, em vibrações mecânicas no ouvido médio. 2.2 O ouvido médio. Os ossículos do ouvido médio formam um conjunto único, móvel, que transmite a energia aplicada no tímpano para a cóclea, o ouvido interno. As suas funções são duas: 1) transmitir os movimentos do tímpano sem perda de energia; 2) proteger o sistema auditivo dos efeitos danosos de sons muito altos. Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 37 característica áspera. d) Aumentando ainda mais a diferença, passamos a perceber os sons separadamente, mas ainda com uma sensação áspera. e) Finalmente, se aumentarmos suficientemente a separação dos sons, a sensação passará de áspera para suave. Não existe uma definição exata de onde os sons passam de fundidos para separados e também onde eles causam a mudança de uma sensação de aspereza para uma de suavidade. O ponto onde dois sons são ouvidos como separados pode ser pensado como o ponto onde dois picos separados de deslocamento são gerados na membrana basilar, em oposição a um só deslocamento. Nesse ponto, os picos ainda estão juntos o suficiente para interferir entre si, causando a sensação de aspereza. O ponto em que a sensação passa de áspera para suave é aquele em que os dois picos estão separados o suficiente para que não haja interferência entre eles. Esse ponto marca um extremo daquilo que chamamos banda crítica. A banda crítica é uma faixa de freqüências acima e abaixo de uma certa freqüência de um som puro que interferirá na percepção de outro som, se a freqüência deste estiver dentro daquela faixa. A banda crítica não é a mesma para todas as regiões de freqüências do espectro: ela é maior (mais larga) na região grave e mais estreita na região aguda. Em por volta de 100Hz, ela é de 7 semitons, descendo para abaixo de 4 semitons para sons acima de 200Hz, e diminuindo para um mínimo de 2 semitons a 2000Hz. Por essa razão algumas regras tradicionais de orquestração e harmonia determinam um espaçamento maior entre sons nos registros graves que nos registros agudos. E por outro lado, efeitos interessantes podem ser criados, justamente desobedecendo essa regra. Tudo isso tira vantagem de características de nosso mecanismo de percepção de alturas. 4 Consonância e dissonância. A base psicoacústica para a percepção de dois sons como dissonantes ou não é relacionada com a nossa discussão a respeito das bandas críticas. O padrão estabelecido para a consonância ou dissonância de dois sons senoidais é: a) Quando suas freqüências são iguais, sons são consonantes perfeitos. b) Quando suas freqüências são separadas por mais de uma banda crítica, são consonantes. c) Quando suas freqüências são separadas por valores entre 5% e 50% da banda crítica, o intervalo é dissonante. d) A maior dissonância ocorre quando o intervalo entre esses sons é 1/4 de banda crítica. Poucos instrumentos musicais alguma vez produzem ondas senoidais, mas os resultados acima podem Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 38 ser usados para avaliar a consonância de intervalos em sons complexos. Para estes, cada harmônico até por volta do sétimo contribue para a percepção geral de consonância ou dissonância do intervalo. Potanto podemos medir a consonância geral de dois sons, com base na contribuição de cada harmônico até o sétimo. Exemplos: 1) Grau de consonância de duas notas em intervalo de quinta (3:2), a freqüência fundamental da nota inferior sendo igual a 220 Hz (Howard & Angus, 1995). 2) Primeiros sete harmônicos da nota mais grave Harmônicos da nota mais aguda Diferença de freqüências Freqüência média Banda Crítica da freqüência média Metade da Banda Crítica da freqüência média CONSONANTE consonante dissonante DISSONANTE 220 440 330 110 385 65 32.5 consonante 660 660 0 Uníssono CONSONANTE 880 1100 990 110 1045 133 66.5 dissonante 1320 1320 0 Uníssono CONSONANTE 1540 1650 110 1595 193.3 96.7 dissonante Para o exemplo acima, consideramos que se os harmônicos mais próximos estão em uníssono, eles são CONSONANTES. Se estão separados por mais de uma banda crítica (ou seja se estão fora da banda crítica de uma freqüência média entre eles), são consonantes. Se estão dentro da banda crítica da freqüência média, mas fora da metade dessa banda crítica, são dissonantes. Se estão dentro da metade da banda crítica da freqüência média, são DISSONANTES. Como resultado dessas considerações, o intervalo de quinta tem uma quantidade maior de consonâncias que dissonâncias, e pode ser considerado consonante. E como complemento, abaixo é mostrado como o intervalo de segunda pode ser considerado dissonante. 2) Grau de consonância de duas notas em intervalo de tom (9:8), a freqüência fundamental da nota inferior sendo igual a 220 Hz (Howard & Angus, 1995). Primeiros sete harmônicos da nota mais grave Harmônicos da nota mais aguda Diferença de freqüências Freqüência média Banda Crítica da freqüência média Metade da Banda Crítica da freqüência média CONSONANTE consonante dissonante DISSONANTE 220 247.5 27.5 234 50.7 25.4 dissonante 440 495 55 477 74.7 32.5 dissonante Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 39 660 742.5 82.5 701 97.1 48.6 dissonante 880 1100 990 110 1050 133 66.5 dissonante 1320 1237.5 82.5 1280 158 79.1 dissonante 1540 1485 55 1510 184 92 DISSONANTE 5 A percepção de amplitudes e alturas: as gamas de sensibilidade à pressão e freqüências. Diz-se que o ouvido humano possue em geral, uma sensibilidade em freqüências de 20 a 20K Hz. Se observarmos atentamente, veremos que existe uma variação muito grande entre indivíduos. A capacidade de percepção de freqüências muda com o processo do envelhecimento. Por exemplo, uma criança saudável possue o limiar agudo de 20 KHz, que pela idade de 20 anos pode ter caído para por volta de 16 Khz, e até a 8000 Hz, ao final da vida. A sensibilidade do ouvido a sons de diferentes freqüências varia em um gama muito grande de valores de pressão. Em geral o som mais baixo que se pode ouvir por volta de 4000 Hz é aproximadamente 10 micropascais, e o som mais alto, antes do limiar da dor é equivalente a 20 Pascais. Essa gama, entre o som mais baixo e o som mais alto, é equivalente a um número muito grande: 2 000 000. Por essas razões,e pelo fato de que percebemos os sons logaritmicamente, é que usamos a escala de decibeis, e se calcularmos o nivel de pressão sonora com relação ao limiar da audição, teremos então um gama de 120 dB, entre o som mais baixo e o som mais alto. Esta variação, de 0 a 120, é mais conveniente para ser usada. O limiar de audição varia com a freqüência. O ouvido é muito mais sensível na sua região média, que aos seus extremos. Já o limiar da dor é constante para todas as freqüências. Por isso, a gama completa de 120 dB entre o som mais baixo e o mais alto só ocorre em uma pequena porção do espectro. 6 A percepção de volume e as curvas de Fletcher-Munson Embora o volume que percebemos está correlacionado com a amplitude de pressão de uma onda sonora, a relação entre estes dois parâmetros é mais complexa. Como um efeito psicoacústico, o volume é afetado tanto pela natureza como pelo contexto dos sons. Outra dificuldade nas medidas de volume é ofato de que elas são dependentes da interpretação individual de cada pessoa. A amplitude de pressão não nos dá um valor direto do volume percebido. De fato, é possível que uma onda com maior amplitude de pressão ser percebida como tendo menor volume que uma onda com maior amplitude. Na verdade, a sensibilidade ao volume do ouvido varia com a freqüência. Em 1933, dois pesquisadores, Fletcher e Munson, mediram a sensibilidade do ouvido humano a diferentes Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 42 e 500 Hz, mas são inefetivas acima de 1400Hz, já a DII atua bem acima de 500Hz e seu efeito cresce com a freqüência, de modo que a 6KHz, a diferença de intensidade pode chegar a 20 dB para um som lateral. Na região entre 500 e 1400 Hz as informações dadas pelas DII e DIT relacionam-se de uma maneira complexa. Em geral, no caso de sons naturais, as pistas dadas por elas correlacionam-se bem, o que não é o caso de sons de fonte eletrônica. 8 Reverberação natural Reveberação natural é produzida pelas reflexões de sons em superfícies, que dispersam o som, enriquecendo-o por sobreposição de suas reflexões. A quantidade e qualidade da reverberação que ocorre em um ambiente natural é influenciada por vários fatores, o volume e dimensões do espaço; o tipo, forma e número de superfícies com que o som se encontra. A figura abaixo mostra uma situação hipotética, uma sala sem móveis e com paredes perfeitamente lisas e sólidas. Energia acústica proveniente da fonte (F) espalha-se por todas as direções, e apenas uma pequena porção do som chega ao ouvinte (O). Ele também recebe várias imagens atrasadas do som original, refletidas pelas superfícies, que também aumentam o tempo em que o som é percebido. A amplitude de cada som é reduzida por uma quantidade que é inversamente proporcional à distância percorrida pelo som: as reflexões não só chegam mais tarde, como também possuem amplitudes menores que o som direto. O som reverberado terá um envelope que decai ao longo do tempo. A caracterização da reverberação natural de uma sala é uma tarefa complexa, pois a qualidade de reverberação não pode ser quantificada objetivamente. Quatro parâmetros são normalmente correlacionados com o caráter percebido da reverberação: tempo de reverberação, a dependência de freqüências do tempo de reverberação, o atraso da chegada da primeira reflexão e a taxa de Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 43 crescimento da densidade de eco. 8.1 Tempo de reverberação Indica a quantidade de tempo requerida para um som morrer a 1/1000 (-60 dB) de sua amplitude, após a fonte parar de emiti-lo. Isso não quer dizer diretamente a medida de tempo em que um ouvinte vai parar de ouvir um som após sua fonte silenciar, mas sim uma medida que é proporcional a isso. Esse fato depende muito em outros fatores, como a amplitude do som e a presença de outros sons. Se o tempo de reverberação é o suficientemente grande, o som sobrepor-se-á as suas reflexões criando uma textura densa. Estudos identificaram uma correlação entre o volume de uma sala e o seu tempo de reverberação: quanto maior o volume da sala, maior tende a ser o seu tempo de reverberação. A quantidade de superfícies absorventes ou refletivas também influenciará o tempo de reverberação. 8.2 Dependência de freqüência O tempo de reveberação não é uniforme através do espectro de freqüências. É mais ou menos definido que, em uma sala de concertos bem desenhada, as freqüências baixas são favorecidas, estas vão desaparecer mais lentamente que as altas. Sabe-se que materiais absorventes tendem a refletir freqüências baixas mais que as altas, e materiais altamente refletivos tendem a ter uma resposta mais igual ao longo do espectro. O vapor de ar também contribue para a atenuação de sons com alta freqüência, quanto mais um som viajar em um ar com alguma umidade, mais suas freqüências altas serão atenuadas. 8.3 O atraso da primeira reflexão Essa quantidade afeta muito a qualidade da reverberação percebida. Se a diferença de tempo entre o som direto e a sua primeira reflexão for muito grande ( > 50 msegs), então se ouvirá ecos distintos. Se o atraso for pequeno ( < 5 msegs) o ouvinte terá impressão de uma sala pequena. Uma diferença de 10 a 20 msegs é achada em boas salas de concerto. 8.4 O crescimento da densidade de ecos Após a primeira reflexão, a densidade de ecos tende a crescer rapidamente. Um ouvinte pode distinguir densidades de eco até o patamar de 1 eco/msegs. O tempo que o som leva para chegar a esse patamar influencia o caráter da reverberação, em uma boa situação ele é por volta de 100 msegs. Esse tempo é mais ou menos proporcional à raiz quadrada do volume da sala, portanto espaços pequenos são caracterizados por um rápido crescimento da densidade de ecos. 8.5 Distância O ouvinte geralmente recebe tanto sons diretos da fonte como imagens refletidas atrasadas do som original. A intensidade relativa dos sons diretos e suas reflexões é a informação primária sobre a distância em que a fonte sonora se encontra. Sons mais próximos possuem uma razão grande entre o som direto e suas reverberação, com o crescimento da distância, a quantidade de som direto diminui. Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 44 Em distâncias muito grandes, muito pouco do som é percebido diretamente. Uma pista adicional em distâncias grandes é a perda de componentes de pouca energia em um som, na maioria dos casos isso resulta na ausência de componentes de alta freqüência. Pelo fato de reverberação ser usada para a estimativa de distâncias, sons impulsivos e curtos são mais facilmente localizados, enquanto sons longos são mais difíceis (também pelo fato de que o ouvido estima a distância quase apenas durante o tempo de ataque de um som). 9. Sistemas de afinação Historicamente, as diversas culturas desenvolveram os seus próprios conceitos e regras para a organização dos sons e alturas. O conceito de escala é comum à várias culturas: a organização das alturas do contínuo em 'pontos discretos'. em uma certa proporção lógica. Em nossa cultura, o ponto de partida para o desenvolvimento de nossas escalas e para a base teórica foi dado na Grécia Antiga. Pitágoras estudou os modos de vibração de uma corda estendida e descobriu a relação matemática entre os harmônicos. Os primeiros sistemas de afinação foram baseados nos fenômenos relacionados coma série harmônica. Eles baseavam a relação das alturas nas razões dos diversos intervalos obtidas na série harmônica O sistema pitagórico basea-se nos intervalos de quinta e quarta, ou seja nas relações justas dadas pelos primeiros quatro sons da série harmônica, fundamental (1), oitava (2), quinta (3) e a 2a oitava (4). Com estes sons podemos obter os seguintes intervalos perfeitos: oitava (2:1), quinta (3:2) e quarta (4:3). Neste sistema, partindo-se do Dó, acha-se a quinta acima, 3:2 vezes a freqüência do dó, que é a nota Sol; depois, acha-se o Ré, quarta baixo deste sol, 3:4 vezes aquela freqüência; e assim por diante, achando o Lá, o Mi e o Si. Para se achar o Fá, pode-se partir do Dó oitava acima (2:1), achando-se a quinta abaixo dessa nota (2:3 vezes a freqüência daquele Dó). Para se obter a escala completa em todas as oitavas, basta repetir o esquema. Não obtemos, porém nenhum sustenido ou bemol. Quando usamos este método para se achar as 12 notas, uma coma, ou disparidade, resulta na afinação. Considere o círculo de quintas: C G D A E B F# C# D# A# E# B# A razão de freqüência entre dois sons adjacentes no círculo é 3:2, então B# pode ser representado por (3:2)12 . A relação entre o primeiro e o último som do círculo é : (3:2)12 : 1 = 129.74634 : 1 No entanto, a relação entre o primeiro C e um C sete oitavas acima (27 ), que deveria ser enarmônico daquele B#, e': 27 : 1 = 128 : 1 Portanto aquele B# acaba sendo mais alto que o C. A disparidade é claramente audível. Ela é chamada de coma pitagórica, podendo ser demonstrada pela seguinte razão: Acústica - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo