Cálculo, algebra linear

Cálculo, algebra linear

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Exemplos Resolvidos Calcule, utilizando as Leis do Limite, os limites abaixo

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Não podemos encontrar o limite substituindo diretamente x = 2, pois tornamos, dessa forma, o denominador nulo.

Fatorando o numerador como uma diferença de quadrados, temos:

Quando tomamos o limite quando x tende a 1, temos x≠1, e assim x – 1 ≠ 0. Logo, podemos cancelar o fator comum e calcular o limite, como se segue:

Por meio dos exemplos, podemos notar que se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f, então:

Exercícios Propostos Calcule os limites, se existirem:

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1.5. Limites no Infinito

Definição Seja f uma função definida e, algum intervalo (a , ). Então

Significa que os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L, tornando-se x suficientemente grande.

E lê-se “o limite de f(x), quando x tende ao infinito, é L”.

Note que existem várias formas de o gráfico de f aproximar-se da reta y = L (chamada assíntota horizontal), variando o valor de x, como ilustrado nas figuras 6, 7 e 8.

Exemplo Resolvido Queremos encontrar o limite abaixo:

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Para calcular limites no infinito, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x que ocorre no denominador. No nosso caso, a maior potência de x é x², então temos:

Exercícios Propostos Calcule os limites:

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1.6. Outros Limites 1.6.1. Limite Trigonométrico Fundamental

Do Limite Trigonométrico Fundamental, obtemos:

Exemplo Resolvido

Exercícios Propostos Calcule os limites:

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1.6.2. Limite Exponencial Fundamental

Exercícios Propostos Calcule os limites:

1.7. Continuidade

Definição Uma função f é contínua em um número a se,

Essa definição implicitamente requer três condições para a continuidade de f em a:

Se f não for contínua em a, dizemos que f é descontínua em a. Um ponto de descontinuidade de uma função é um ponto onde o gráfico apresenta uma interrupção (um buraco ou um salto).

Geometricamente, você pode pensar em uma função contínua como uma função cujo gráfico não se quebra. O gráfico pode ser desenhado sem remover sua caneta do papel.

Exercícios Propostos

Use a definição de continuidade e as propriedades dos limites para provar que a função é contínua em um dado número.

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Explique por que a função é descontinua no número dado.

2. Derivadas 2.1. Definição

A derivada de uma função f em um número a, denotada por f’(a), é

Se o limite existe. Escrevendo x = a + h, temos uma maneira equivalente de escrever a definição de derivada

Exemplo

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Exercícios Propostos

2.2. Interpretação Geométrica

A reta tangente a y = f(x) em (a, f(a)) é a reta que passa em (a, f(a)), cuja inclinação é igual a f’(a), a derivada de f em a.

A figura 9 ilustra a interpretação geométrica de uma derivada. 2.3. Derivadas de Funções Polinomiais e da Função Exponencial Natural

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