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Guias e Dicas
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Métodos de Análise da Estabilidade Transitória de SEE, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

Tese de Doutorado Acerca do referido assunto.

Tipologia: Notas de estudo

2012

Compartilhado em 17/05/2012

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Baixe Métodos de Análise da Estabilidade Transitória de SEE e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Métodos de Análise da Estabilidade Transitória de Sistemas de Energia Eléctrica João Pedro de Carvalho Mateus Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Júri Presidente: Prof. Paulo José da Costa Branco Orientador: Prof. José Pedro da Silva Sucena Paiva Co-orientador: Prof. Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro Vogais: Prof. José Manuel Dias Ferreira de Jesus Outubro 2010 V Resumo Esta dissertação aborda o tema da estabilidade transitória dos Sistemas de Energia Eléctrica. Mais concretamente, tem como objectivos apresentar o estado da arte no que toca a métodos de análise da estabilidade transitória dos SEE e implementar um método híbrido com o mesmo propósito. Relativamente à apresentação dos métodos já existentes, são referidas as principais características dos Métodos de Integração Numérica, Métodos Directos, Métodos Híbridos e Técnicas de Inteligência Artificial. Segue-se uma comparação entre estes, analisando vantagens e desvantagens. Quanto ao método implementado, procurou-se desenvolver um algoritmo capaz de calcular os tempos críticos de actuação das protecções para diferentes perturbações a ocorrer numa rede. Este método híbrido conjuga as vantagens dos Métodos Directos com as dos Métodos de Integração Numérica. Aos primeiros vai buscar a rápida análise enquanto que dos segundos obtém as possibilidades de modelação. Utiliza índices para avaliar a estabilidade transitória que permitem interromper o processo de integração das equações antes do tempo total de simulação ser atingido. Utiliza o critério das áreas iguais para estudar um modelo reduzido equivalente do sistema, constituído por uma máquina ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita, para o qual obtém o valor da margem de estabilidade transitória. Baseado nos tempos de actuação das protecções e no valor da margem de estabilidade transitória, estima o valor do tempo crítico que se pretende determinar através de processos de regressão linear. Para além da apresentação do método implementado são apresentados os resultados dos testes a que este foi sujeito. Palavras-chave: Estabilidade transitória de Sistemas de Energia Eléctrica, Métodos híbridos, Métodos de integração numérica, Critério das áreas iguais, Tempo crítico de actuação das protecções VII Abstract In this thesis it is studied the topic of Electric Power Systems transient stability. More specifically, it aims to present the state of the art regarding the methods of analysis of transient stability of EPS and implement a hybrid method with that objective too. In the presentation of the state of the art, the main characteristics of different methods are listed. The referred methods are Numerical Integration Methods, Direct Methods, Hybrid Methods and Artificial Intelligence Techniques. After this, a comparison between them is made, showing their advantages and disadvantages. In the development of the hybrid method, the objective was to obtain an algorithm capable of getting the critical clearing time for different disturbances occurring in an electrical network. This method combines advantages of direct formulations with those of hybrid formulations. From the first it gets de fast analysis, from the second it gets the modelling capabilities. The numerical integration process is interrupted using indexes that allow to know if the system is stable or not before the total simulation time. An equivalent model of the system, made of a single machine connected to an infinite bus, is studied using the equal area criterion, from which it is computed the transient stability margin. Using a linear regression, based on the values of the transient stability margin and respective clearing time of several simulations, the critical clearing time is computed. Besides the presentation of the hybrid method, the results of tests to which the method was subjected are presented. Keywords: Electric Power System transient stability, Hybrid methods, Equal area criterion, Numerical integration methods, Critical clearing time X 3.6. Conclusões .................................................................................................................. 35 4. Método híbrido implementado ................................................................................................ 37 4.1. Introdução dos dados .................................................................................................. 37 4.1.1. Barramentos ........................................................................................................ 38 4.1.2. Geradores ........................................................................................................... 38 4.1.3. Linhas de Transmissão ....................................................................................... 38 4.1.4. Transformadores ................................................................................................. 39 4.1.5. Contingências ...................................................................................................... 39 4.2. Cálculo dos valores pré-defeito ................................................................................... 39 4.3. Ciclo para determinação do tempo crítico .................................................................. 40 4.3.1. Índices de estabilidade e instabilidade ............................................................... 41 4.3.2. Identificação das máquinas críticas .................................................................... 43 4.3.3. Redução do sistema a uma máquina equivalente .............................................. 45 4.3.4. Cálculo da margem de estabilidade transitória ................................................... 47 4.3.5. Estimativa dos valores do tempo crítico ............................................................. 49 4.4. Resultados fornecidos ................................................................................................. 50 4.5. Ficheiros de código ..................................................................................................... 50 4.6. Conclusões .................................................................................................................. 51 5. Resultados computacionais .................................................................................................... 53 5.1. Testes computacionais ............................................................................................... 53 5.1.1. Resultados obtidos .............................................................................................. 53 5.1.2. Análise dos erros................................................................................................. 54 5.1.3. Correcções a implementar .................................................................................. 56 5.2. Exemplo de aplicação ................................................................................................. 57 5.3. Conclusões .................................................................................................................. 61 6. Conclusões e Propostas para trabalhos futuros ..................................................................... 63 6.1. Conclusões .................................................................................................................. 63 6.2. Propostas para trabalhos futuros ................................................................................ 65 Bibliografia .................................................................................................................................. 67 Anexo 1 ....................................................................................................................................... 69 XI Lista de Figuras Figura 2.1 - Esquema equivalente da máquina síncrona .............................................................. 5 Figura 2.2 - Esquema equivalente em π de uma linha .................................................................. 8 Figura 2.3 - Esquema equivalente simplificado de um transformador .......................................... 8 Figura 2.4 - Esquema equivalente de um transformador com regulação de tensão .................... 9 Figura 2.5 - Esquema equivalente de um transformador desfasador ......................................... 10 Figura 2.6 - Representação esquemática do SEE ...................................................................... 11 Figura 3.1 - Fluxograma para simulação da estabilidade transitória .......................................... 16 Figura 3.2 - Fluxograma do método da bissecção para cálculo do tempo crítico ....................... 17 Figura 3.3 - Rede utilizada no exemplo do Método da SLEP ..................................................... 22 Figura 3.4 - Gráfico de 𝑉𝑃𝐸(𝜃1) .................................................................................................... 23 Figura 3.5 - Gráfico de 𝑉(𝜃1) ....................................................................................................... 24 Figura 3.6 - Superfície Limite de Energia Potencial .................................................................... 25 Figura 3.7 - Representação gráfica do critério das áreas iguais ................................................. 27 Figura 3.8 - Representação gráfica da situação estudada no exemplo do Método das Áreas Iguais ........................................................................................................................................... 30 Figura 3.9 - Exemplo de uma árvore de decisão ........................................................................ 33 Figura 4.1 - Estrutura geral do método implementado ................................................................ 37 Figura 4.2 - Diagrama do ciclo para o cálculo do tempo crítico .................................................. 40 Figura 4.3 - Comportamento dos índices IDCS e IDE, situação instável .................................... 43 Figura 4.4 - Comportamento dos índices IDCS e IDE, situação estável .................................... 43 Figura 4.5 - Comportamento do índice IDTO .............................................................................. 44 Figura 4.6 - Escolha do método de aproximação da curva de potência a utilizar ...................... 49 Figura 4.7 - Relação linear entre 𝜂𝜂 e 𝑡𝑡𝑐𝑙 ...................................................................................... 49 Figura 4.8 - Interacção dos diferentes ficheiros de código no método híbrido implementado ... 51 Figura 5.1 - Potência eléctrica gerada (-.), aproximação polinomial da potência eléctrica gerada (linha contínua) e potência mecânica (--) da máquina equivalente para a perturbação 22 ....... 55 Figura 5.2 - Ângulo rotórico e potência eléctrica gerada da máquina equivalente para a contingência 22 ............................................................................................................................ 56 Figura 5.3 - Ângulos rotóricos para a perturbação 2, com 𝑡𝑡𝑐𝑙 = 0,6 s ......................................... 58 Figura 5.4 - Índices IDCS e IDE para a perturbação 2, com 𝑡𝑡𝑐𝑙 = 0,6 s ...................................... 58 Figura 5.5 - Curvas temporais do ângulo rotórico e potência eléctrica gerada da máquina equivalente, para a perturbação 2, com 𝑡𝑡𝑐𝑙 = 0,6 s ..................................................................... 59 Figura 5.6 - Curva de potência da maquina equivalente (a tracejado) e aproximação sinusoidal (a cheio), para a perturbação 2, com 𝑡𝑡𝑐𝑙 = 0,6 s ......................................................................... 59 XII Figura A1.1 - Rede de teste da CIGRE ....................................................................................... 69 XV Lista de Símbolos e Abreviações 𝑬𝑬𝒊𝒊′ - força electromotriz transitória da máquina 𝑑𝑑 𝐸𝑖 - módulo da força electromotriz transitória da máquina 𝑑𝑑 𝑽𝑽𝒊𝒊 - tensão aos terminais da máquina 𝑑𝑑 𝑋𝑋𝑑𝑖′ - reactância transitória da máquina 𝑑𝑑 𝑰𝑰𝒊𝒊 - intensidade de corrente fornecida pela máquina 𝑑𝑑 𝐻𝑖 - constante de inércia da máquina 𝑑𝑑 𝜔0 - velocidade angular nominal do sistema 𝛿𝛿𝑖 - ângulo da força electromotriz transitória da máquina 𝑑𝑑, ângulo rotórico da máquina 𝑑𝑑 𝐷𝐷𝑖 - coeficiente de amortecimento da máquina 𝑑𝑑 𝑃𝑃𝑚𝑖 - potência mecânica da máquina 𝑑𝑑 𝑃𝑃𝑒𝑖 - potência eléctrica gerada pela máquina 𝑑𝑑 𝑃𝑃𝑎𝑐𝑖 - potência de aceleração do gerador 𝑑𝑑 𝜔𝑖 - velocidade angular da máquina 𝑑𝑑 𝛿𝛿0 - ângulo rotórico do centro de inércia do sistema 𝑓0 - frequência nominal do sistema 𝑀𝑇 - coeficiente de inércia total 𝑀𝑖 - coeficiente de inércia da máquina 𝑑𝑑 𝜃𝑖 - ângulo rotórico da máquina 𝑑𝑑, referido ao centro de inércia do sistema 𝜔�𝑖 - velocidade angular da máquina 𝑑𝑑, referida ao centro de inércia do sistema 𝑓𝑖(𝜃𝑖) - potência de aceleração da máquina 𝑑𝑑, referida ao centro de inércia do sistema 𝑃𝑃𝐶𝑂𝐼 - potência de aceleração do sistema 𝑽𝑽𝒆𝒆 - tensão na emissão 𝑽𝑽𝒓𝒓 - tensão na recepção 𝑰𝑰𝒆𝒆 - intensidade de corrente na emissão 𝑰𝑰𝒓𝒓 - intensidade de corrente na recepção 𝑅𝑅𝐿 - resistência longitudinal 𝑋𝑋𝐿 - reactância longitudinal 𝑌𝑌𝑇 - admitância transversal 𝑽𝑽𝒑𝒑 - tensão no primário 𝑽𝑽𝒔𝒔 - tensão no secundário 𝑰𝑰𝒑𝒑 - corrente no primário 𝑰𝑰𝒔𝒔 - corrente no secundário 𝑅𝑅𝑇 - resistência total 𝑋𝑋𝑇 - reactância total 𝑽𝑽𝒔𝒔′ - tensão no secundário do transformador ideal 𝑰𝑰𝒔𝒔′ - corrente no secundário do transformador ideal 𝒁𝑪𝑪 - impedância de curto-circuito XVI 𝑚𝑚′ - relação de transformação 𝒀𝒀 - matriz de admitâncias 𝐺𝐺 - parte real da matriz de admitâncias 𝐵 - parte imaginária da matriz de admitâncias 𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄 - admitância de curto-circuito 𝒎𝒎′ - relação de transformação complexa 𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄 - admitância da carga ligada ao barramento 𝑘 𝐺𝐺𝑐𝑘 - parte real de 𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄 𝐵𝑐𝑘 - parte imaginária de 𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄 𝑃𝑃𝑐𝑘 - potência activa de carga do barramento 𝑘 𝑄𝑐𝑘 - potência reactiva de carga do barramento 𝑘 𝑉𝑘 - módulo da tensão no barramento 𝑘 [𝑬𝑬′] - vector das forças electromotrizes [𝑽𝑽] - vector das tensões nos barramentos [𝑰𝑰] - vector das correntes injectadas nos barramentos de geração [𝒀𝒀𝒎𝒎𝒎𝒎], [𝒀𝒀𝒎𝒎𝒄𝒄], [𝒀𝒀𝒄𝒄𝒎𝒎], [𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄] - matrizes de admitâncias que descrevem a rede aumentada 𝑚𝑚 - número de geradores, equivalente ao número de barramentos de geração 𝑛 - número de barramentos 𝒀𝒀𝒓𝒓𝒆𝒆𝒅 - matriz de impedâncias reduzida 𝒀𝒀𝒅𝒆𝒆𝒇 - admitância de defeito 𝑡𝑡𝑚𝑎𝑥 - tempo máximo de simulação 𝑡𝑡𝑐𝑟 - tempo crítico de actuação das protecções 𝑡𝑡𝑐𝑙 - tempo de actuação das protecções 𝑡𝑡𝑐𝑙0 - estimativa inicial do tempo crítico de actuação das protecções, correspondente a uma situação instável 𝑡𝑡𝑖𝑛𝑠𝑡 - tempo de actuação das protecções relativo a uma situação instável 𝑡𝑡𝑒𝑠𝑡 - tempo de actuação das protecções relativo a uma situação estável ∆𝑡𝑡 - passo do processo de integração 𝜀𝜀 - tolerância 𝐸(𝑚𝑚) - energia total do sistema 𝑚𝑚𝑒 - ponto(s) de equilíbrio 𝑉(𝑚𝑚) - função de Lyapunov 𝑉𝐾𝐸 - energia cinética do sistema 𝑉𝑃𝐸 - energia potencial do sistema 𝑉𝑐𝑟 - valor crítico da função de Lyapunov 𝑉𝑐𝑙 - valor da função de Lyapunov no instante de eliminação do defeito 𝑓𝑖𝐷 - potência de aceleração do sistema no período de defeito 𝑓𝑖𝑃 - potência de aceleração do sistema no período pós-defeito 𝜃𝑢 - ponto de equilíbrio instável de controlo XVII 𝜃𝑠 - ponto de equilíbrio estável do sistema na configuração pós-defeito 𝑉𝑃𝐸𝑚𝑎𝑥 - valor máximo da energia potencial do sistema 𝜃𝑐𝑙 - ângulo rotórico no instante 𝑡𝑡𝑐𝑙, referido ao centro de inércia 𝜔�𝑐𝑙 - velocidade angular no instante 𝑡𝑡𝑐𝑙, referida ao centro de inércia 𝜃0 - ângulo rotórico inicial, referido ao centro de inércia 𝜃𝑎𝑝𝑝𝑢 - ponto de equilíbrio instável de controlo aproximado 𝑃𝑃𝑒0 𝑚𝑎𝑥 - potência eléctrica máxima no período pré-defeito 𝑃𝑃𝑒𝐷 𝑚𝑎𝑥 - potência eléctrica máxima no período pré-defeito 𝑃𝑃𝑒𝑃 𝑚𝑎𝑥 - potência eléctrica máxima no período pós-defeito 𝑃𝑃𝑒0 - potência eléctrica no período pré-defeito 𝑃𝑃𝑒𝐷 - potência eléctrica no período de defeito 𝑃𝑃𝑒𝑃 - potência eléctrica no período pós-defeito 𝛿𝛿𝑚𝑎𝑥 - ângulo da máquina máximo atingido durante a oscilação 𝜂𝜂 - margem de estabilidade transitória 𝐴𝐴𝑎 - área de aceleração 𝐴𝐴𝑑 - área de desaceleração ∆𝑡𝑡𝑐𝑟 - diferença entre duas estimativas consecutivas de 𝑡𝑡𝑐𝑟 𝛿𝛿𝑒𝑞 - ângulo rotórico da máquina equivalente 𝜔𝑒𝑞 - velocidade angular máquina equivalente IDCS - índice de detecção instabilidade IDE - índice de detecção de estabilidade IDTO - índice auxiliar para determinação do instante óptimo para a identificação do conjunto de máquinas críticas 𝐼𝐴𝐴𝐶𝑂𝐼𝑖 - índice utilizado na determinação do conjunto de máquinas críticas, nas situações estáveis 𝛿𝛿𝐶 - ângulo rotórico equivalente do conjunto C 𝑀𝑘 - coeficiente de inércia da máquina 𝑘, pertencente ao conjunto C 𝛿𝛿𝑘 - ângulo rotórico da máquina 𝑘, pertencente ao conjunto C 𝑀𝐶 - coeficiente de inércia equivalente do conjunto C 𝛿𝛿𝑅 - ângulo rotórico equivalente do conjunto R 𝑀𝑗 - coeficiente de inércia da máquina 𝑗𝑗, pertencente ao conjunto R 𝛿𝛿𝑗 - ângulo rotórico da máquina 𝑗𝑗, pertencente ao conjunto R 𝑀𝑅 - coeficiente de inércia equivalente do conjunto R 𝜔𝐶 - velocidade angular equivalente do conjunto C 𝜔𝑘 - velocidade angular da máquina 𝑘, pertencente ao conjunto C 𝜔𝑅 - velocidade angular equivalente do conjunto R 𝜔𝑗 - velocidade angular da máquina 𝑗𝑗, pertencente ao conjunto R 𝑀𝑒𝑞 - coeficiente de inércia do sistema 𝑃𝑃𝑚 𝑒𝑞 - potência mecânica da máquina equivalente 𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞 - potência eléctrica da máquina equivalente 2 distinguir-se duas situações: as pequenas perturbações, para as quais o sistema pode ser linearizado, e as grandes perturbações para as quais não é possível linearizar o sistema e que são estudadas com recurso a diferentes métodos, os quais podem ser divididos em quatro grupos: Métodos de Integração Numérica, Métodos Directos, Métodos Híbridos e Técnicas de Inteligência Artificial. Enquanto que os três primeiros são métodos determinísticos, o último, proposto mais recentemente, é um método probabilístico (3). 1.2. Objectivos e estrutura da dissertação O trabalho desenvolvido tinha dois objectivos: o estudo dos métodos existentes para a análise da estabilidade transitória do SEE; a implementação de um método híbrido para ser usado no estudo da estabilidade transitória do SEE. O primeiro objectivo consistiu na procura, em bibliografia da especialidade, de métodos já desenvolvidos e testados. Para o segundo objectivo procurou-se implementar e testar um método que conjuga as vantagens do Método das Áreas Iguais com as vantagens dos Métodos de Integração Numérica. Esta dissertação encontra-se dividida em seis capítulos, os quais são precedidos pelos Agradecimentos e por um Resumo e um Abstract da dissertação, aos quais se segue o Índice e as Listas das Figuras, das Tabelas e dos Símbolos e Abreviações presentes no texto. No final apresentam-se a Bibliografia e os Anexos. Relativamente aos seis capítulos apresenta-se agora um pequeno resumo de cada um. No Capítulo 1, a Introdução, expõe-se um breve resumo da história dos SEE e a necessidade do estudo da estabilidade transitória. No Capítulo 2, designado Modelização do SEE, apresentam-se os modelos utilizados para descrever os diferentes componentes da rede e também as contingências a simular. No Capítulo 3, denominado Métodos de análise da estabilidade transitória do SEE, apresentam-se os métodos disponíveis actualmente para o estudo da estabilidade transitória. Iniciando-se pelos Métodos de Integração Numérica, passando pelos Métodos Directos e Métodos Híbridos e terminando nas Técnicas de Inteligência Artificial. No Capítulo 4, cujo título é Método híbrido implementado, explica-se em pormenor o método implementado, dando especial atenção aos conceitos considerados mais importantes. No Capítulo 5, intitulado Resultados computacionais, são apresentados os resultados obtidos nos testes computacionais a que o método implementado foi sujeito. Apresenta-se também um exemplo de aplicação. 3 No último capítulo, o Capítulo 6, designado Conclusões e Propostas para trabalhos futuros, são apresentadas, para além das conclusões do trabalho desenvolvido, possíveis linhas de desenvolvimento para trabalhos futuros. 7 O ângulo do centro de inércia do sistema é, em cada instante, dado por 𝛿𝛿0(𝑡𝑡) = 1 𝑀𝑇 �𝑀𝑖𝛿𝛿𝑖 𝑚 𝑖=1 (2.7) com 𝑀𝑇 = �𝑀𝑖 𝑚 𝑖=1 (2.8) e 𝑀𝑖 = 2𝐻𝑖 𝜔0 = 𝐻𝑖 𝜋𝑓0 (2.9) onde 𝑓0 - frequência nominal do sistema 𝑀𝑇 - coeficiente de inércia total 𝑀𝑖 - coeficiente de inércia da máquina 𝑑𝑑. Desprezando o amortecimento, as equações de oscilação passam então a � 𝑑𝑑𝜃𝑖 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜔�𝑖 𝑀𝑖 𝑑𝑑𝜔�𝑖 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑓𝑖(𝜃𝑖) (2.10) com 𝜃𝑖 = 𝛿𝛿𝑖 − 𝛿𝛿0 (2.11) 𝜔�𝑖 = 𝑑𝑑𝛿𝛿𝑖 𝑑𝑑𝑡𝑡 − 𝑑𝑑𝛿𝛿0 𝑑𝑑𝑡𝑡 (2.12) 𝑓𝑖(𝜃𝑖) = 𝑃𝑃𝑚𝑖 − 𝑃𝑃𝑒𝑖 − 𝑀𝑖 𝑀𝑇 𝑃𝑃𝐶𝑂𝐼 (2.13) 𝑃𝑃𝐶𝑂𝐼 = �(𝑃𝑃𝑚𝑖 − 𝑃𝑃𝑒𝑖) 𝑚 𝑖=1 (2.14) onde 𝜃𝑖 - ângulo rotórico da máquina 𝑑𝑑, referido ao centro de inércia do sistema 𝜔�𝑖 - velocidade angular da máquina 𝑑𝑑, referida ao centro de inércia do sistema 𝑓𝑖(𝜃𝑖) - potência de aceleração da máquina 𝑑𝑑, referida ao centro de inércia do sistema. 2.2. Linha de Transmissão Em virtude de a frequência se manter aproximadamente constante, a linha eléctrica pode ser modelada usando parâmetros concentrados (3). Usa-se então o modelo em 𝜋, representado na Figura 2.2. 8 𝑽𝑽𝒆𝒆 𝑽𝑽𝒓𝒓 𝑰𝑰𝒆𝒆 𝑰𝑰𝒓𝒓 𝑌𝑌𝑇𝑇 2� 𝑌𝑌𝑇𝑇 2� 𝑅𝑅𝐿𝐿 𝑗𝑗𝑋𝑋𝐿𝐿 Figura 2.2 - Esquema equivalente em π de uma linha onde 𝑽𝑽𝒆𝒆 - tensão na emissão 𝑽𝑽𝒓𝒓 - tensão na recepção 𝑰𝑰𝒆𝒆 - intensidade de corrente na emissão 𝑰𝑰𝒓𝒓 - intensidade de corrente na recepção 𝑅𝑅𝐿 - resistência longitudinal 𝑋𝑋𝐿 - reactância longitudinal 𝑌𝑌𝑇 - admitância transversal. 2.3. Transformador Os transformadores considerados são: transformadores com dois enrolamentos por fase, transformadores com regulação de tensão e transformadores desfasadores (2). Desprezando a corrente de magnetização, o transformador com dois enrolamentos por fase pode ser representado pelo esquema da Figura 2.3. 𝑽𝑽𝒑𝒑 𝑽𝑽𝒔𝒔 𝑰𝑰𝒑𝒑 𝑰𝑰𝒔𝒔 𝑅𝑅𝑇𝑇 𝑗𝑗𝑋𝑋𝑇𝑇 Figura 2.3 - Esquema equivalente simplificado de um transformador onde 𝑽𝑽𝒑𝒑 - tensão no primário 𝑽𝑽𝒔𝒔 - tensão no secundário 𝑰𝑰𝒑𝒑 - corrente no primário 𝑰𝑰𝒔𝒔 - corrente no secundário 𝑅𝑅𝑇 - resistência total 𝑋𝑋𝑇 - reactância total. Do esquema retira-se que 𝑽𝑽𝒑𝒑 = 𝑽𝑽𝒔𝒔 + 𝑗𝑗𝒁𝒕𝑰𝑰 (2.15) tendo em conta que 𝑰𝑰𝒑𝒑 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝑰𝑰 e onde 𝒁𝒕 = 𝑅𝑅𝑡 + 𝑗𝑗𝑋𝑋𝑡 representa a impedância do transformador. O transformador com regulação de tensão difere do apresentado anteriormente no facto de ser possível variar a relação de transformação. Esta variação é efectuada usando um 9 comutador de tomadas instalado num dos enrolamentos. Este transformador pode ser modelado considerando um transformador ideal com relação de transformação 𝑚𝑚′ em série com a impedância do transformador, também designada impedância de curto-circuito pois é usualmente medida realizando um ensaio em curto circuito. O esquema do transformador com regulação de tensão apresenta-se na Figura 2.4. 𝑽𝑽𝒑𝒑 𝑽𝑽𝒔𝒔 𝑰𝑰𝒑𝒑 𝑰𝑰𝒔𝒔 𝑍𝑍𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑽𝑽𝒔𝒔′ 𝑰𝑰𝒔𝒔′ 𝑚𝑚′ : 1 Figura 2.4 - Esquema equivalente de um transformador com regulação de tensão onde 𝑽𝑽𝒑𝒑 - tensão no primário 𝑽𝑽𝒔𝒔′ - tensão no secundário do transformador ideal 𝑽𝑽𝒔𝒔 - tensão no secundário 𝑰𝑰𝒑𝒑 - corrente no primário 𝑰𝑰𝒔𝒔′ - corrente no secundário do transformador ideal 𝑰𝑰𝒔𝒔 - corrente no secundário 𝒁𝑪𝑪 - impedância de curto-circuito 𝑚𝑚′ - relação de transformação. Do esquema retira-se que 𝑽𝑽𝒑𝒑 = 𝑚𝑚′(𝑽𝑽𝒔𝒔 + 𝑗𝑗𝒁𝒄𝒄𝒄𝒄𝑰𝑰𝒔𝒔) (2.16) A matriz de admitâncias 𝒀𝒀 deste transformador assume a forma de 𝒀𝒀 = � 𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄 𝑚𝑚′2 − 𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄 𝑚𝑚′ − 𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄 𝑚𝑚′ 𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄 � (2.17) sendo 𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄 = 1 𝒁𝒄𝒄𝒄𝒄� a admitância de curto-circuito do transformador. O transformador desfasador apresenta, em relação ao anterior, o facto de a relação de transformação poder agora ser complexa, ou seja 𝒎𝒎′ = 𝑚𝑚′𝑒𝑒𝑗𝛽 Tal como com o transformador com regulação de tomadas, o esquema do transformador desfasador é constituído por um transformador ideal com relação de transformação 𝒎𝒎′, agora complexa, em série com a impedância de curto-circuito, como se observa na Figura 2.5. 12 [𝑬𝑬′] - vector das forças electromotrizes transitórias [𝑽𝑽] - vector das tensões nos barramentos [𝑰𝑰] - vector das correntes injectadas nos barramentos de geração. Nos barramentos de carga as correntes injectadas são nulas pois as cargas são representadas por admitâncias constantes. Partindo do sistema de equações (2.21) obtém-se [𝑰𝑰] = [𝒀𝒀𝒎𝒎𝒎𝒎][𝑬𝑬′] + [𝒀𝒀𝒎𝒎𝒄𝒄][𝑽𝑽] [0] = [𝒀𝒀𝒄𝒄𝒎𝒎][𝑬𝑬′] + [𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄][𝑽𝑽] (2.22) Eliminando [𝑽𝑽] tem-se [𝑰𝑰] = ([𝒀𝒀𝒎𝒎𝒎𝒎] − [𝒀𝒀𝒎𝒎𝒄𝒄][𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄]−1[𝒀𝒀𝒄𝒄𝒎𝒎])[𝑬𝑬′] (2.23) A rede pode então ser representada por [𝑰𝑰] = [𝒀𝒀𝒓𝒓𝒆𝒆𝒅][𝑬𝑬′] (2.24) sendo 𝒀𝒀𝒓𝒓𝒆𝒆𝒅, a matriz de admitâncias reduzida, dada por 𝒀𝒀𝒓𝒓𝒆𝒆𝒅 = [𝒀𝒀𝒎𝒎𝒎𝒎] − [𝒀𝒀𝒎𝒎𝒄𝒄][𝒀𝒀𝒄𝒄𝒄𝒄]−1[𝒀𝒀𝒄𝒄𝒎𝒎] (2.25) A matriz de admitâncias 𝒀𝒀 que descreve a rede, neste caso 𝒀𝒀𝒓𝒓𝒆𝒆𝒅, pode ser dividida na sua parte real, matriz de condutâncias, e parte imaginária, matriz de susceptâncias, ou seja 𝒀𝒀 = 𝐺𝐺 + 𝑗𝑗𝐵 (2.26) A potência activa gerada pelo gerador 𝑑𝑑 pode ser determinada utilizando a expressão 𝑃𝑃𝑒𝑖 = Re{𝑬𝑬𝒊𝒊′𝑰𝑰𝒊𝒊∗} (2.27) sendo 𝑬𝑬𝒊𝒊′ a respectiva força electromotriz transitória e 𝑰𝑰𝒊𝒊 a corrente injectada no respectivo barramento, obtida a partir da primeira equação de (2.22). A equação (2.27) pode ser desenvolvida, obtendo-se 𝑃𝑃𝑒𝑖 = 𝐸𝑖2𝐺𝐺𝑖𝑖 + �𝐸𝑖𝐸𝑗�𝐺𝐺𝑖𝑗 cos�𝛿𝛿𝑖 − 𝛿𝛿𝑗� + 𝐵𝑖𝑗 sin�𝛿𝛿𝑖 − 𝛿𝛿𝑗�� 𝑚 𝑗=1 𝑗≠𝑖 (2.28) onde 𝐺𝐺𝑖𝑗 e 𝐵𝑖𝑗 se referem à posição 𝑑𝑑𝑗𝑗 da matriz 𝒀𝒀, respectivamente, de condutâncias e susceptâncias. 2.6. Contingências Simuladas As contingências aqui abordadas resumem-se a curto-circuitos trifásicos simétricos na extremidades das linhas junto aos barramentos. 13 Em termos temporais, considera-se que a perturbação ocorre sempre 0,1 s após o início da simulação, ou seja, 𝑡𝑡𝑑𝑒𝑓 = 0,1 s. Quando ocorre o defeito, o seu efeito é traduzido numericamente pela adição, ao nó respectivo na matriz de admitâncias 𝒀𝒀 que descreve a rede, de uma admitância de defeito 𝒀𝒀𝒅𝒆𝒆𝒇 de módulo elevado, por exemplo �𝒀𝒀𝒅𝒆𝒆𝒇� = 108. O defeito é eliminado quando as protecções actuam, no instante de tempo 𝑡𝑡𝑐𝑙 (clearing time), podendo ocorrer uma de duas situações: o defeito é eliminado espontaneamente ou o defeito é eliminado pela retirada de uma linha de serviço, sendo necessário reflectir esse facto alterando a matriz 𝒀𝒀. 2.7. Conclusões Neste capítulo foram introduzidos os modelos que permitem descrever o comportamento dos diferentes componentes da rede (máquinas síncronas, linhas, transformadores, cargas) e da própria rede. Foi também referida a noção de centro de inércia do sistema e quais as alterações provocadas nas equações de oscilação. Por fim apresentou-se a estratégia adoptada para introduzir o efeito provocado pelas contingências simuladas. Como referido, a utilização do modelo clássico, apenas é válida em intervalos inferiores a 2 s, o que corresponde à primeira oscilação. É portanto necessário, caso se pretendam simular maiores intervalos de tempo, a modelação de elementos como os sistemas de controlo de frequência e de tensão, além de uma modelação mais precisa das cargas que tenha em conta as variações de frequência e de tensão. 17 tempos de actuação das protecções, 𝑡𝑡𝑐𝑙, até se atingir a convergência. Na Figura 3.2 é apresentado um fluxograma para a determinação do tempo crítico 𝑡𝑡𝑐𝑟, utilizando uma estimativa inicial 𝑡𝑡𝑐𝑙0, que corresponde a uma situação instável (3). tinst = tcl0 test = 0 tcl = tcl0 Integração Numérica Estável? tcr = test Fim SimNão Início tinst - test < ɛ test =tcltinst =tcl Não Sim tcl = (tinst + test)/2 Figura 3.2 - Fluxograma do método da bissecção para cálculo do tempo crítico Como se pode observar pelo fluxograma, os valores do tempo de actuação das protecções correspondentes às situações instáveis e estáveis, respectivamente 𝑡𝑡𝑖𝑛𝑠𝑡 e 𝑡𝑡𝑒𝑠𝑡, são actualizados à medida que se realizam novas iterações do ciclo. Para cada iteração, para além da primeira, o tempo de actuação das protecções é a média entre 𝑡𝑡𝑖𝑛𝑠𝑡 e 𝑡𝑡𝑒𝑠𝑡. À medida que o ciclo corre observa-se que tanto 𝑡𝑡𝑖𝑛𝑠𝑡 como 𝑡𝑡𝑒𝑠𝑡 convergem para o valor do tempo crítico a determinar, sendo a simulação interrompida quando a diferença entre estes dois tempos for menor que uma tolerância 𝜀𝜀. 3.2. Métodos Directos A maioria dos métodos directos para análise da estabilidade transitória dos SEE baseia- se no segundo teorema de Lyapunov. Apesar de, aquando da sua publicação, os resultados de Lyapunov não terem recebido grande atenção, são hoje em dia uma área de investigação e com resultados garantidos na análise da estabilidade transitória dos SEE (5). Estes métodos caracterizam-se por apenas ser necessário integrar as equações diferenciais que descrevem o sistema durante o período de permanência no defeito, o que 18 permite uma redução assinalável dos tempos de computação. Apresentam contudo a desvantagem de apresentarem problemas de modelação do sistema, apenas permitindo uma modelação pouco pormenorizada, e de os métodos desenvolvidos não serem totalmente fiáveis, especialmente quando o sistema opera próximo dos seus limites (6). Com base no teorema de Lyapunov foram desenvolvidos, ao longo do tempo, outros métodos directos, com o objectivo de contrariar limitações e dificuldades de aplicação dos métodos existentes. Surge então, a seguir ao Método de Lyapunov, o Método da Função de Energia Transitória, seguido dos Métodos da Superfície Limite de Energia Potencial e do Ponto de Equilíbrio Instável de Controlo. Seguidamente, para além destes métodos serem apresentados, é também apresentado o Método das Áreas Iguais. Para alguns dos métodos é ainda apresentado um exemplo de aplicação. 3.2.1. Método de Lyapunov O Método de Lyapunov (3), apresentado por A. M. Lyapunov na sua dissertação de doutoramento, estipula que a estabilidade de um sistema físico, de dimensão 𝑚𝑚, descrito por ?̇?𝑚 = 𝑓(𝑚𝑚), 𝑓(0) = 0 (3.3) pode ser verificada sem integração numérica sendo apenas necessário garantir que a energia total 𝐸(𝑚𝑚) do sistema se mantenha continuamente decrescente no tempo. É então necessário que, excepto no(s) ponto(s) de equilíbrio 𝑚𝑚𝑒, a derivada temporal da energia 𝐸(𝑚𝑚) seja negativa. Esta condição pode ser formalizada matematicamente. Usando a função de Lyapunov 𝑉(𝑚𝑚) para representar 𝐸(𝑚𝑚), para garantir que o sistema é estável é necessário garantir que: a) a função 𝑉(𝑚𝑚) é definida positiva na vizinhança do ponto de equilíbrio 𝑚𝑚𝑒, ou seja, 𝑉(𝑚𝑚) > 0 excepto para 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑒 em que 𝑉(𝑚𝑚𝑒) = 0; b) a derivada temporal de 𝑉(𝑚𝑚), ?̇?(𝑚𝑚), é semi-definida negativa anulando-se para 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑒. Caso ?̇?(𝑚𝑚) seja definida negativa o sistema considera-se assimptoticamente estável. A aplicação do método de Lyapunov, para avaliar a estabilidade de um sistema, consiste em quatro etapas distintas: a) cálculo da região de estabilidade em torno do ponto de equilíbrio 𝑚𝑚𝑒 para a configuração pós-defeito do sistema; b) formulação da função de Lyapunov 𝑉(𝑚𝑚) para a configuração pós-defeito do sistema. Esta função é, geralmente, a soma das energias cinética e potencial do sistema na configuração pós-defeito, 𝑉(𝑚𝑚) = 𝑉𝐾𝐸 + 𝑉𝑃𝐸, pois é a formulação que apresenta melhores resultados; 19 c) integração das equações que descrevem o sistema durante o período de defeito, até ao instante de eliminação deste, calculando o valor da função de Lyapunov nesse ponto; d) cálculo do valor crítico da função de Lyapunov, 𝑉𝑐𝑟, para a configuração de defeito do sistema. Se o valor da função no momento de eliminação do defeito for menor ou igual ao valor crítico, isto é, 𝑉𝑐𝑙 ≤ 𝑉𝑐𝑟, o sistema é considerado estável, caso isso não se verifique o sistema é considerado instável. Esta formulação é genérica aos métodos baseados no Método de Lyapunov, os quais usam funções de energia. Como referido anteriormente, o Método de Lyapunov apresenta, assim como todas as formulações directas, a vantagem de não ser necessário realizar a integração numérica das equações do sistema no período pós-defeito, ou seja, não é necessário conhecer quer a evolução temporal dos ângulos rotóricos, quer as velocidades angulares dos geradores, para se poder concluir se o sistema é estável ou não. Contudo, este método apresenta algumas desvantagens. Para sistemas de grandes dimensões, como é o caso dos SEE, é difícil a determinação de todos os pontos singulares das equações que descrevem o modelo sendo, por vezes, necessário recorrer a métodos numéricos. Além disso, existe ainda a dificuldade para formular a função de Lyapunov a partir das equações que descrevem o comportamento do SEE, devido à falta de procedimentos formais. Outras das desvantagens é o facto de que a verificação da estabilidade transitória do sistema pelo Método de Lyapunov é uma condição suficiente mas não necessária, já que este método dá uma noção pessimista acerca da estabilidade do sistema ao cobrir apenas uma secção da região de estabilidade. Assim sendo, um sistema considerado instável pelo Método de Lyapunov pode não o ser. Refere-se ainda que esta formulação não permite obter uma solução ultra-rápida. Para contrariar as dificuldades apresentadas por este método, novos métodos foram desenvolvidos, entre os quais o Método da Função de Energia Transitória. 3.2.2. Método da Função de Energia Transitória (TEF) Devido às semelhanças, o Método da Função de Energia Transitória tornou-se, na literatura sobre SEE, um sinónimo do Método de Lyapunov. Este método, que se pode considerar um caso particular do Método de Lyapunov caso se desprezem as condutâncias, caracteriza-se por utilizar uma função, a Função de Energia Transitória, que se obtém por integração das equações do movimento que descrevem o comportamento do sistema. Para representar o comportamento do sistema é necessário usar dois modelos matemáticos, um para o período de defeito e outro para o período pós-defeito. No instante anterior ao defeito considera-se que o sistema se encontra em regime permanente. Determinando os desvios angulares usando como referência o centro de inércia do sistema, tem-se, para o período de defeito: 22 Dados: • Gerador • Transformador: • Linha 𝑋𝑋𝑑′ = 0,35 pu 𝑀 = 0,02 s2 𝑋𝑋𝑐𝑐 = 0,15 pu 𝑋𝑋𝑙 = 0,09 pu Sabendo que, no instante 𝑡𝑡 = 0, a tensão e potência recebida no barramento 3 são, respectivamente, 𝑽𝑽𝟑 = 1,0 pu e 𝑺𝟑 = 0,8 + 𝑗𝑗0,4 pu, pretende-se saber qual o tempo crítico de religação dos disjuntores. G T L 1 2 3 Figura 3.3 - Rede utilizada no exemplo do Método da SLEP Convém referir desde já que, dado o exemplo considerar um barramento de potência de curto-circuito infinita com uma constante de inércia infinita, as variáveis correspondentes ao centro de inércia do sistema têm os mesmos valores que as variáveis do barramento de potência de curto-circuito infinita, ou seja, 𝛿𝛿0 = 0. Consequentemente 𝜔�1 = 𝑑𝛿1 𝑑𝑡 e 𝛿𝛿1 = 𝜃1. Partindo do estado pré-defeito calculam-se as variáveis consideradas constantes no tempo, a potência mecânica e o módulo da força electromotriz, e ainda o valor inicial do ângulo da força electromotriz. 𝑃𝑃𝑚 = 0,8 pu 𝑰𝑰 = � 𝑺𝟑 𝑽𝑽𝟑 � ∗ = 0,8 − 𝑗𝑗0,4 pu 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝑽𝑽𝟑 + 𝑗𝑗(𝑋𝑋𝑑′ + 𝑋𝑋𝑐𝑐 + 𝑋𝑋𝑙)𝑰𝑰 = 1,323𝑒𝑒𝑗0,364 ⇒ � 𝐸1 = 1,323 pu 𝛿𝛿0 = 0,364 rad A partir da equação (3.6) calcula-se o ponto de equilíbrio estável da situação pós-defeito. Assumindo que para o período pós-defeito a potência fornecida pela máquina é dada por 𝑃𝑃𝑒𝑃 = 𝑃𝑃𝑒𝑃 𝑚𝑎𝑥 sin 𝛿𝛿1 = 𝐸1𝑉3 𝑋𝑋𝑑′ + 𝑋𝑋𝑐𝑐 + 𝑋𝑋𝑙 sin𝛿𝛿1 a equação (3.6) assume a forma 𝑃𝑃𝑚 − 𝐸1𝑉3 𝑋𝑋𝑑′ + 𝑋𝑋𝑐𝑐 + 𝑋𝑋𝑙 sin𝛿𝛿1𝑠 = 0 obtendo-se 𝛿𝛿1𝑠 = 0,364 rad Agora é necessário encontrar a expressão para o cálculo da energia potencial. Usando o segundo termo da equação (3.8) tem-se 𝑉𝑃𝐸(𝜃1) = −� 𝑓1(𝜃1) 𝜃1 𝜃1 𝑠 𝑑𝑑𝜃1 = −� (𝑃𝑃𝑚 − 𝑃𝑃𝑒𝑃 𝑚𝑎𝑥 sin𝜃1) 𝜃1 𝜃1 𝑠 𝑑𝑑𝜃1 23 e obtém-se  = −  −   −  cos  − cos   Calculando  para diferentes valores de  em torno do ponto de equilíbrio estável obtém-se o gráfico da Figura 3.4, cujo máximo é igual a   = 2,260 e, portanto, o valor de energia crítico é  =   = 2,260. Figura 3.4 - Gráfico de  O último passo para o cálculo do tempo crítico  é integrar as equações que descrevem o funcionamento do sistema, durante o período de defeito, até que o valor da função de energia , ! seja igual a . A função de energia é obtida através da equação (3.8) assumindo a forma de , ! = 1 2 # ! $ −  −   −  cos  − cos   onde se usou o resultado obtido anteriormente neste exemplo para o cálculo da energia potencial. As equações que descrevem o funcionamento do sistema no período de defeito, considerando que a potência eléctrica fornecida é nula, são ! = #  % = 1 2  $ # + %0 sendo obtidas por integração da equação de oscilação, que no período de defeito se resume a # '$% '$ = Calculando o valor da função de energia, ao longo do processo de integração, obtém-se o gráfico da Figura 3.5, de onde se conclui que , ! =  para  ≅ 253 ms. 24  Figura 3.5 - Gráfico de  O valor do tempo crítico é então  ≅ 253 ms. ∎ Num sistema multimáquina, cada perturbação dá origem a um modo de instabilidade, pois, consoante a localização e natureza da perturbação, a perda de sincronismo pode ser originada por uma ou mais máquinas se tornarem instáveis. Associado a cada modo de instabilidade está um ponto de equilíbrio instável, denominado ponto de equilíbrio instável de controlo para essa perturbação. Em torno do ponto de equilíbrio estável para a configuração pós-defeito do sistema há vários pontos instáveis de equilíbrio, os quais são a solução das equações (3.6). Após a eliminação de uma perturbação, caso o sistema seja instável, a sua trajectória, partindo do ponto de equilíbrio estável pré-defeito, vai aproximar-se de um determinado ponto de equilíbrio instável, sendo esse o ponto de equilíbrio instável de controlo para essa perturbação. Na Figura 3.6 encontra-se representada, para um sistema constituído por três máquinas, a evolução da energia potencial  em função dos ângulos e  de duas das máquinas referidos ao centro de inércia. Observam-se, além das superfícies equipotenciais, três pontos de equilíbrio instável, ,  e , em torno do ponto de equilíbrio estável,  , cada um associado a uma determinada perturbação, e os quais podem ser pontos de sela ( e ) ou máximos relativos (). A linha a tracejado que passa pelos três pontos de equilíbrio instável e é perpendicular às superfícies equipotenciais denomina-se Superfície Limite de Energia Potencial. Para uma dada perturbação, se no momento em que esta for eliminada a trajectória do sistema tiver ultrapassado a SLEP, o sistema é instável. Se a perturbação for eliminada suficientemente cedo então a trajectória oscilará em torno do ponto de equilíbrio estável, , sem ultrapassar a SLEP. Para calcular o valor de  , a trajectória do sistema no período de defeito é monitorizada até interceptar a SLEP no ponto ∗. Tal como no Método da Função de Energia Transitória, 27 4. determina-se o valor de  utilizando os valores de ,  previamente calculados em 2. e verifica-se o instante de tempo em que ,  = , obtendo-se . Se  <  o sistema é estável. 3.2.5. Método das Áreas Iguais Este método que, como os apresentados anteriormente, é baseado em considerações energéticas, pode ser aplicado a um sistema constituído por uma máquina síncrona ligada a um barramento infinito (2). Considera-se que no período pré-defeito o sistema se encontra em regime permanente, ou seja, a potência eléctrica é igual à potência mecânica:  =   (3.14) Sendo a potência eléctrica, no período pré-defeito, dada por:   =    sin  (3.15) Enquanto que durante o período de defeito o sistema é descrito por:    =  −    sin  (3.16) Por fim, no período pós-defeito é descrito por:    =  −    sin  (3.17) sendo que   ,    e    são constantes que dependem da configuração da rede. Esta situação está representada na Figura 3.7.     ! 0 #$  ! % & 0 &  & ' Figura 3.7 - Representação gráfica do critério das áreas iguais Na figura anterior identificam-se: 28 𝑃𝑃𝑚 - potência mecânica 𝑃𝑃𝑒0 - potência eléctrica no período pré-defeito 𝑃𝑃𝑒𝐷 - potência eléctrica no período de defeito 𝑃𝑃𝑒𝑃 - potência eléctrica no período pós-defeito 𝛿𝛿0 - ângulo da máquina na situação pré-defeito 𝛿𝛿𝑐𝑙 - ângulo da máquina no instante de actuação das protecções 𝛿𝛿𝑚𝑎𝑥 - ângulo da máquina máximo atingido durante a oscilação 𝐴𝐴𝑎 - área de aceleração 𝐴𝐴𝑑 - área de desaceleração. Inicialmente verifica-se 𝛿𝛿 = 𝛿𝛿0. Considerando que a perturbação é eliminada no instante 𝛿𝛿𝑐𝑙, podem definir-se duas áreas: • área de aceleração cujo valor é dado por 𝐴𝐴𝑎 = � (𝑃𝑃𝑚 − 𝑃𝑃𝑒𝐷 𝑚𝑎𝑥 sin 𝛿𝛿)𝑑𝑑𝛿𝛿 𝛿𝑐𝑙 𝛿0 (3.18) • área de desaceleração cujo valor é dado por 𝐴𝐴𝑑 = � (𝑃𝑃𝑒𝑃 𝑚𝑎𝑥 sin 𝛿𝛿 − 𝑃𝑃𝑚)𝑑𝑑𝛿𝛿 𝛿𝑚𝑎𝑥 𝛿𝑐𝑙 (3.19) O sistema será estável quando 𝐴𝐴𝑑 ≥ 𝐴𝐴𝑎. Como referido anteriormente, este método é aplicado a um sistema constituído por uma máquina síncrona ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita. Para o aplicar a um sistema de maiores dimensões (mais geradores) é necessário reduzir esse sistema a uma máquina síncrona equivalente ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita (8). Este método, denominado Método das Áreas Iguais Generalizado, utiliza o critério das áreas iguais conjugado com as seguintes hipóteses: a) sempre que ocorre a perda de sincronismo de um sistema multimáquina há uma separação das máquinas em dois grupos; b) a estabilidade pode ser avaliada substituindo as máquinas de cada grupo pelo seu centro de inércia parcial; c) a evolução temporal das duas máquinas resultantes da hipótese anterior pode ser descrita através de séries de Taylor devidamente truncadas; Considerando as hipóteses anteriores o método pode dividir-se nas seguintes etapas: 1. para uma determinada perturbação, o sistema multimáquina é dividido em dois grupos: o grupo das máquinas críticas e o grupo das restantes máquinas; 2. cada grupo é reduzido a uma máquina equivalente usando o respectivo centro de inércia parcial; 3. reduzir as duas máquinas equivalentes ao caso de uma máquina ligada a um barramento infinito; 29 4. aplicar o critério das áreas iguais ao sistema obtido na etapa anterior, o que permite calcular o tempo crítico de actuação das protecções e a margem de estabilidade transitória, definida como 𝜂𝜂 = 𝐴𝐴𝑑 − 𝐴𝐴𝑎 (3.20) 5. usar as séries de Taylor convenientemente truncadas para obter expressões que permitam determinar as medidas de estabilidade referidas anteriormente. Exemplo Apresenta-se agora um exemplo deste método, aplicado ao mesmo sistema utilizado no exemplo anterior, o qual é sujeito à mesma perturbação. Para começar, é necessário calcular as variáveis do sistema no período pré-defeito, mais concretamente a força electromotriz e a potência mecânica: 𝑃𝑃𝑚 = 0,8 pu 𝑰𝑰 = � 𝑺𝟑 𝑽𝑽𝟑 � ∗ = 0,8 − 𝑗𝑗0,4 pu 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝑽𝑽𝟑 + 𝑗𝑗(𝑋𝑋𝑑′ + 𝑋𝑋𝑐𝑐 + 𝑋𝑋𝑙)𝑰𝑰 = 1,323𝑒𝑒𝑗0,364 ⇒ � 𝐸1 = 1,323 pu 𝛿𝛿0 = 0,364 rad Durante o período de defeito, a linha está desligada e então: 𝑃𝑃𝑒𝐷 = 0 Após a eliminação do defeito, a linha está de novo em funcionamento. Tem-se então no período pós-defeito: 𝑃𝑃𝑒𝑃 = 𝑃𝑃𝑒𝑃 𝑚𝑎𝑥 sin𝛿𝛿 = 𝐸1𝑉3 𝑋𝑋𝑑′ + 𝑋𝑋𝑐𝑐 + 𝑋𝑋𝑙 sin𝛿𝛿 As diferentes curvas de potência, bem como as áreas de aceleração e desaceleração podem ser observadas na Figura 3.8. Aplicando então o critério das áreas iguais tem-se, para a situação limite: 𝐴𝐴𝑎 = 𝐴𝐴𝑑 � (𝑃𝑃𝑚 − 0)𝑑𝑑𝛿𝛿 𝛿𝑐𝑙 𝛿0 = � (𝑃𝑃𝑒𝑃 𝑚𝑎𝑥 sin 𝛿𝛿 −𝑃𝑃𝑚)𝑑𝑑𝛿𝛿 𝛿𝑢 𝛿𝑐𝑙 𝑃𝑃𝑚(𝛿𝛿𝑐𝑙 − 𝛿𝛿0) = −𝑃𝑃𝑒𝑃 𝑚𝑎𝑥(cos 𝛿𝛿𝑢 − cos 𝛿𝛿𝑐𝑙) − 𝑃𝑃𝑚(𝛿𝛿𝑢 − 𝛿𝛿𝑐𝑙) 𝑃𝑃𝑚(𝛿𝛿𝑐𝑙 − 𝛿𝛿0 + 𝛿𝛿𝑢 − 𝛿𝛿𝑐𝑙) + 𝑃𝑃𝑒𝑃 𝑚𝑎𝑥 cos𝛿𝛿𝑢 = 𝑃𝑃𝑒𝑃 𝑚𝑎𝑥 cos 𝛿𝛿𝑐𝑙 𝛿𝛿𝑐𝑙 = 1,644 rad 32 Tal como no método anterior, também o algoritmo deste método pode ser divido em duas etapas distintas: 1. Período durante o qual se efectua a integração numérica das equações que descrevem o sistema, equações (3.4) no período de defeito e equações (3.6) no período pós-defeito. A duração do período de integração é estipulada pelo critério das áreas iguais. 2. O sistema é reduzido a um sistema equivalente constituído por uma máquina ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita. Usando o modelo equivalente é calculada a margem de estabilidade transitória, a partir da equação (3.20), que permite aferir acerca da estabilidade do sistema. Caso a margem de estabilidade transitória seja positiva o sistema é considerado estável, caso contrário é considerado instável. Este método permite também o cálculo do tempo crítico de actuação das protecções. Tal como no caso anterior, efectuam-se múltiplas simulações com diferentes estimativas do tempo de actuação das protecções mas, utilizando agora, as duas últimas margens de estabilidade transitória. Considera-se que o valor desta margem varia linearmente com o tempo de actuação das protecções e o ponto para o qual esta se anula corresponde ao ponto que se pretende determinar. Quando se verificar que a diferença entre duas estimativas consecutivas é inferior a uma determinada tolerância a simulação pode ser interrompida. 3.4. Técnicas de Inteligência Artificial As Técnicas de Inteligência Artificial são a mais recente abordagem, das apresentadas neste trabalho, ao estudo da estabilidade transitória do SEE. Estas técnicas são aproximações probabilísticas e usam métodos de aprendizagem automática. Como ponto comum entre todas as Técnicas de Inteligência Artificial destaca-se a desvantagem da necessidade de realizar um grande número de simulações em tempo diferido, um processo bastante moroso e pesado do ponto de vista computacional. Já em tempo real apresentam as vantagens de apresentar uma elevada eficiência computacional, reduzindo drasticamente o tempo de cálculo, e uma grande capacidade de interpretação dos fenómenos em análise. De seguida serão apresentadas mais algumas características referentes às técnicas mais representativas desta classe: Reconhecimento de Formas, Redes Neuronais e Árvores de Decisão (3). 3.4.1. Reconhecimento de Formas Esta técnica parte do facto de que, com base em informação previamente adquirida sobre o SEE, é possível tirar conclusões em tempo real acerca do funcionamento deste, mesmo para novos pontos de funcionamento não testados. 33 Para implementar este método é necessário gerar um conjunto de treino, através de múltiplas simulações do SEE. De seguida, cada situação simulada deste conjunto treino, é classificada por um conjunto de variáveis, denominadas variáveis primárias. Estas variáveis são posteriormente filtradas para eliminar informação redundante, reduzindo assim a dimensão do vector de variáveis. Posteriormente, entra-se na última fase de implementação que consiste na síntese de um classificador que, com base no vector de variáveis que caracteriza cada ponto de operação do SEE, seja capaz de o classificar em estável ou instável. 3.4.2. Redes Neuronais As Redes Neuronais, tentam representar por meios computacionais, o funcionamento do cérebro, consistindo em várias unidades de processamento, os neurónios, com um forte grau de ligação entre elas. Esta metodologia pode ser usada como classificador de um determinado ponto de operação do SEE devido à sua capacidade de reproduzir complexas relações numéricas entre as variáveis recolhidas e, devido ao facto de a partir de dados recolhidos no período pré-defeito, ser possível inferir acerca da estabilidade ou instabilidade do sistema para uma determinada perturbação. Tal como no método anterior, é necessário gerar inicialmente um conjunto de treino, do qual são seleccionadas e filtradas as variáveis mais representativas, que permitem calibrar o classificador, gerando um conjunto de regras que vão permitir classificar em tempo real cada ponto de operação do SEE. 3.4.3. Árvores de Decisão As Árvores de Decisão são outras das Técnicas de Inteligência Artificial aplicadas ao estudo da estabilidade transitória do SEE. Na estrutura criada, uma árvore, os nós podem ser considerados como estados, neste caso estável ou instável, e os ramos são o conjunto de factores que levam a esses estados, neste caso as variáveis que descrevem o ponto de funcionamento do SEE. Para criar uma árvore de decisão é necessário, inicialmente, gerar uma base de dados, de grandes dimensões, que represente os diferentes pontos de funcionamento do SEE. De seguida procede-se à construção da árvore propriamente dita escolhendo, para cada nó, um conjunto de atributos e um valor limite desses atributos que conduzam aos diferentes nós seguintes. Na Figura 3.9, pode ser observado um caso simplificado com apenas um atributo e apenas dois nós seguintes possíveis, sendo o atributo 𝑃𝑃𝐺 e o valor limite 𝑃𝑃𝐺lim. 1 𝑃𝑃𝐺𝐺 < 𝑃𝑃𝐺𝐺lim 2 3 Sim Não Figura 3.9 - Exemplo de uma árvore de decisão 34 Durante a construção da árvore deve-se ter em atenção o compromisso entre a complexidade e a fiabilidade para definir um ponto de paragem. Este método pode também analisar novos estados não observados, a partir da base de dados. 3.5. Comparação dos diferentes métodos Durante a exposição feita de cada um dos métodos foram logo referidas, na altura, algumas das características principais de cada um deles. Efectua-se agora uma comparação entre algumas características comuns aos vários métodos como as possibilidades de modelização, as tarefas que precedem a sua utilização, os requisitos computacionais em tempo real e a capacidade de fornecer medidas de controlo, a qual pode ser observada na Tabela 3.1. Tabela 3.1 - Comparação entre os diferentes métodos Métodos Características Integração Numérica Métodos Directos Métodos Híbridos Técnicas de Inteligência Artificial Possibilidades de modelização Pormenorizada Modelo clássico ou pouco pormenorizada Pormenorizada Pormenorizada Tarefas preparatórias (tempo deferido) Validação Validação exaustiva Validação Geração da base de dados e validação Requisitos computacionais (tempo real) Grande esforço Reduzido esforço Esforço relativo Esforço extremamente reduzido Medidas de controlo Não fornece Preventivo Preventivo Preventivo e correctivo Relativamente às possibilidades de modelização foi já referido que, com a excepção dos Métodos Directos que usam um modelo clássico ou pouco pormenorizado, todos os outros métodos permitem uma modelação pormenorizada. Quanto às tarefas que precedem a sua utilização os Métodos de Integração Numérica e Híbridos apenas necessitam de ser validados. Já os Métodos Directos precisam de uma validação exaustiva devido às suposições e simplificações efectuadas. As Técnicas de Inteligência Artificial para além da validação necessitam da geração de uma base de dados, que é uma tarefa muito pesada computacionalmente. Em tempo real assiste-se a uma inversão da carga de trabalho necessária de cada um dos métodos, em comparação com as tarefas preparatórias referidas anteriormente, pois as Técnicas de Inteligência Artificial e os Métodos Directos exigem um reduzido esforço de cálculo. 37 4. Método híbrido implementado Neste trabalho pretendeu-se implementar um método híbrido, em linguagem matlab, capaz de, para diferentes contingências, calcular os tempos críticos de actuação das protecções. As contingências simuladas são curto-circuitos trifásicos simétricos francos nas linhas junto aos barramentos. O método implementado conjuga os Métodos de Integração Numérica com o Método das Áreas Iguais. O processo de integração numérica é interrompido antes do período total de simulação utilizando índices de detecção de instabilidade/estabilidade, sendo de seguida o sistema reduzido e estudado usando o Método das Áreas Iguais. Os valores dos tempos críticos são obtidos através de um processo simples de regressão linear utilizando as margens de estabilidade transitória. O programa pode ser dividido em três etapas (Figura 4.1): uma primeira etapa que inclui a introdução dos dados e o cálculo dos valores pré-defeito, a segunda etapa que inclui o ciclo para determinação dos tempos críticos e, por fim, a última etapa que corresponde ao armazenamento dos resultados. Início FimProcedimentos preliminares Ciclo para determinação do tempo crítico Armazenamento dos resultados Figura 4.1 - Estrutura geral do método implementado De seguida será feita uma apresentação detalhada do modo de funcionamento do programa, a qual está dividida pelas diferentes etapas referidas anteriormente. No fim do capítulo é feita a ponte entre as diferentes etapas descritas e os diferentes ficheiros que contêm o código escrito para implementar o método híbrido. 4.1. Introdução dos dados Os dados são fornecidos ao programa através de ficheiros Excel, sendo necessário fornecer os dados relativos à rede e aos defeitos que se pretendem simular. O próprio programa é responsável pela sua importação para o espaço de variáveis. Os dados fornecidos estão distribuídos por diferentes ficheiros Excel, existindo um ficheiro para cada uma das componentes do SEE (geradores, linhas, transformadores), um ficheiro para os dados relativos aos barramentos da rede e ainda um ficheiro para os defeitos a simular. Cada ficheiro contém uma lista numerada com os vários elementos de cada conjunto. Todos os ficheiros referentes a uma rede estão colocados na mesma pasta cujo caminho é comunicado ao programa, sendo este autónomo até ao fim da simulação. A estrutura detalhada de cada ficheiro é agora apresentada. 38 4.1.1. Barramentos Os dados relativos aos barramentos estão contidos num ficheiro denominado “barramentos.xlsx”. Este ficheiro contém: • numeração dos barramentos; • tipo do barramento (referência, PV ou PQ); • módulo da tensão para os barramentos PV e de referência; • argumento da tensão para o barramento de referência; • potências geradas activa para os barramentos PV e PQ e reactiva para os PQ; • potência activa e reactiva de carga para todos os barramentos. O ficheiro Excel tem a estrutura da Tabela 4.1. Tabela 4.1 - Estrutura do ficheiro com os dados dos barramentos Nº do barramento Tipo do barramento Módulo da tensão Argumento da tensão Potência activa gerada Potência reactiva gerada Potência activa de carga Potência reactiva de carga 4.1.2. Geradores Os dados relativos aos geradores estão contidos num ficheiro denominado “geradores.xlsx”. Este ficheiro contém: • numeração dos geradores; • barramento ao qual o gerador está ligado; • constante de inércia 𝐻; • reactância transitória 𝑋𝑋𝑑′ ; • coeficiente de amortecimento 𝐷𝐷. O ficheiro Excel tem a estrutura da Tabela 4.2. Tabela 4.2 - Estrutura do ficheiro com os dados dos geradores Nº do gerador Barramento de ligação Constante de inércia 𝐻 Reactância transitória 𝑋𝑋𝑑′ Coeficiente de amortecimento 𝐷𝐷 4.1.3. Linhas de Transmissão Os dados relativos às linhas estão contidos num ficheiro denominado “linhas.xlsx”. Este ficheiro contém: • numeração das linhas; • barramentos entre os quais a linha está ligada; • resistência e reactância longitudinal e susceptância transversal. O ficheiro Excel tem a estrutura da Tabela 4.3. 39 Tabela 4.3 - Estrutura do ficheiro com os dados das linhas Nº da linha Barramento 1 Barramento 2 Resistência longitudinal Reactância longitudinal Susceptância transversal 4.1.4. Transformadores Os dados relativos aos transformadores estão contidos num ficheiro denominado “transformadores.xlsx”. Este ficheiro contém: • numeração dos transformadores; • barramento onde está ligado o primário; • barramento onde está ligado o secundário; • resistência e reactância de curto-circuito; • relação de transformação, para os transformadores com tomadas e desfasadores (unitária para os transformadores simples). O ficheiro Excel tem a estrutura da Tabela 4.4. Tabela 4.4 - Estrutura do ficheiro com os dados dos transformadores Nº do transformador Barramento do primário Barramento do secundário Resistência Reactância Relação de transformação 4.1.5. Contingências Os dados relativos às contingências a simular estão contidos num ficheiro denominado “contingencias.xlsx”. Este ficheiro contém: • numeração das contingências; • barramento junto do qual ocorre a contingência; • linha que sai de serviço no período pós-defeito (0 para nenhuma). O ficheiro Excel tem a estrutura da Tabela 4.5. Tabela 4.5 - Estrutura do ficheiro com os dados dos defeitos Nº da contingência Barramento Linha retirada de serviço 4.2. Cálculo dos valores pré-defeito Esta fase do programa inclui a resolução de um trânsito de energia, a transformação das cargas em impedâncias constantes e o cálculo dos valores iniciais das forças electromotrizes e das potências mecânicas dos geradores. O trânsito de potências é efectuado utilizando o Método de Newton-Raphson ficando então disponíveis os módulos e argumentos da tensão para todos os barramentos da rede. 42 𝐼𝐷𝐷𝐶𝐶𝑆 = �𝑓𝑖2 𝑚 𝑖=1 (4.1) onde 𝑓𝑖 é a potência de aceleração da máquina 𝑑𝑑, dada pela equação (2.13). Monitorizando o valor de IDCS é possível declarar a instabilidade do sistema quando este índice atingir um mínimo relativo. O segundo índice, denominado IDE e que permite determinar a estabilidade do sistema (3), é determinado a partir da expressão 𝐼𝐷𝐷𝐸 = �𝜔�𝑖�𝜃𝑖 − 𝜃𝑖𝑐𝑙� 𝑚 𝑖=1 (4.2) onde 𝜔�𝑖 - velocidade angular da máquina 𝑑𝑑, referida ao centro de inércia do sistema 𝜃𝑖 - ângulo rotórico da máquina 𝑑𝑑, referido ao centro de inércia do sistema 𝜃𝑖𝑐𝑙- ângulo rotórico da máquina 𝑑𝑑 no instante de eliminação do defeito, referido ao centro de inércia do sistema. Na forma matricial este índice calcula-se através da equação 𝐼𝐷𝐷𝐸 = [𝜔�]𝑇([𝜃] − [𝜃𝑐𝑙]) (4.3) O valor deste índice é monitorizado em cada passo de integração até se observar uma mudança de sinal, de valor positivo para negativo, o que permite concluir que o sistema é estável. Refira-se que é necessário acontecer uma mudança de valor positivo para negativo, ou seja, se este índice apresentar, logo na primeira iteração em que é calculado, um valor negativo, o sistema não é considerado estável e o processo de integração prossegue. A interacção destes índices com o processo de integração numérica é facilmente explicável. Como referido, em cada passo de integração, no período pós-defeito, o seu valor é calculado. O primeiro índice a apresentar um comportamento que permita tirar conclusões (mínimo para IDCS, mudança de sinal para IDE) é o índice válido para essa situação e o processo de integração numérica é interrompido de imediato (9). Nas figuras seguintes pode ser observado o que acabou de ser explicado. Na Figura 4.3, obtida utilizando um tempo de actuação das protecções de 𝑡𝑡𝑐𝑙 = 0,4 s pode-se observar que o índice IDCS atinge primeiro um mínimo sendo então o processo de integração interrompido e a situação considerada instável. Na Figura 4.4, onde o tempo de actuação das protecções definido foi de 𝑡𝑡𝑐𝑙 = 0,3 s a situação já é considerada estável pois, como se observa, o índice IDE sofre primeiro uma mudança de sinal. 43 Figura 4.3 - Comportamento dos índices IDCS e IDE, situação instável Figura 4.4 - Comportamento dos índices IDCS e IDE, situação estável 4.3.2. Identificação das máquinas críticas A identificação do conjunto de máquinas críticas é um passo fundamental no método implementado. Esta identificação é feita a partir de dois critérios de ordenação das máquinas críticas sendo, para cada situação, apenas utilizado um critério, o qual é escolhido tendo em conta a informação da estabilidade fornecida pelos índices IDCS e IDE apresentados anteriormente. A utilização dos critérios de ordenação implica ainda a determinação do tempo de observação óptimo das variáveis que caracterizam o estado dos geradores, sendo os critérios avaliados para este instante. O tempo de observação ideal para a identificação do conjunto de máquinas críticas é determinado a partir de um índice baseado nas variáveis que descrevem os geradores (3). Este índice, denominado IDTO, é calculado a partir da expressão: 𝐼𝐷𝐷𝑇𝑇𝑂 = �𝑓𝑖𝜔�𝑖 𝑚 𝑖=1 (4.4) onde 𝑓𝑖 - potência de aceleração da máquina 𝑑𝑑, dada pela equação (2.13) 𝜔�𝑖 - velocidade angular da máquina 𝑑𝑑, referida ao centro de inércia do sistema. O índice IDTO é calculado em cada passo do processo de integração das equações que descrevem o sistema, no período pós-defeito. O instante em que este índice apresenta uma 44 mudança de sinal corresponde ao instante ideal para a determinação do conjunto de máquinas críticas (Figura 4.5). Figura 4.5 - Comportamento do índice IDTO Após estar determinado o instante ideal para a identificação do conjunto das máquinas críticas procede-se à ordenação das máquinas segundo o critério escolhido. Quando a simulação é estável utiliza-se um índice baseado na variação incremental dos ângulos rotóricos. Caso contrário, ou seja, quando a simulação é instável, utiliza-se um método denominado ordenação das máquinas críticas (CMR – Critical Machines Ranking). O índice correspondente ao primeiro critério (3), baseado na variação incremental dos ângulos rotóricos, é calculado em relação ao centro de inércia do sistema, para cada máquina do sistema, pela expressão 𝐼𝐴𝐴𝐶𝑂𝐼𝑖 = � |𝜃𝑖(𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡) − 𝜃𝑖(𝑡𝑡)| 𝑡𝑜𝑏𝑠 𝑡=𝑡𝑐𝑙 (4.5) onde 𝜃𝑖 - ângulo rotórico da máquina 𝑑𝑑, referido ao centro de inércia do sistema ∆𝑡𝑡 – passo do processo de integração. De seguida os índices para todas as máquinas são ordenados por ordem decrescente do seu valor, calculando-se, após a ordenação, a maior diferença entre dois valores consecutivos. O conjunto de máquinas situado acima do maior intervalo constitui o conjunto de máquinas crítico. O critério utilizado quando a simulação é instável, o CMR, baseia-se no facto de considerar que o grau de criticalidade de uma máquina é directamente proporcional à amplitude do seu ângulo rotórico, observado num instante apropriado (10). A aplicação deste método inicia-se ordenando, no instante determinado pelo índice IDTO, as máquinas do sistema por ordem decrescente em função do seu ângulo rotórico 𝛿𝛿𝑖. De seguida é necessário considerar vários conjuntos de máquinas críticas determinando-se qual o mais desfavorável. Para isso, partindo-se do conjunto já ordenado, procede-se da seguinte forma: 47 O coeficiente de inércia total obtém-se com base nos coeficientes de inércia calculados através das expressões (4.7) e (4.9): 𝑀𝑇 = 𝑀𝐶 + 𝑀𝑅 (4.16) O coeficiente de inércia do sistema equivalente, obtém-se também com base nos coeficientes de inércia calculados através das expressões (4.7) e (4.9) e é dado por 𝑀𝑒𝑞 = 𝑀𝐶𝑀𝑅 𝑀𝐶 + 𝑀𝑅 (4.17) Para estarem determinadas todas as variáveis relativas à maquina equivalente falta apenas determinar as potências eléctrica e mecânica equivalentes. Para a potência mecânica equivalente tem-se 𝑃𝑃𝑚 𝑒𝑞(𝑡𝑡) = 1 𝑀𝑇 �𝑀𝑅�𝑃𝑃𝑚𝑘(𝑡𝑡) 𝑘∈𝐶 − 𝑀𝐶�𝑃𝑃𝑚𝑗(𝑡𝑡) 𝑗∈𝑅 � (4.18) enquanto que a potência eléctrica equivalente é obtida através de 𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞(𝑡𝑡) = 1 𝑀𝑇 �𝑀𝑅�𝑃𝑃𝑒𝑘(𝑡𝑡) 𝑘∈𝐶 − 𝑀𝐶�𝑃𝑃𝑒𝑗(𝑡𝑡) 𝑗∈𝑅 � (4.19) Nas expressões anteriores tem-se 𝑃𝑃𝑚𝑘 - potência mecânica da máquina 𝑘, pertencente ao conjunto C 𝑃𝑃𝑚𝑗 - potência mecânica da máquina 𝑗𝑗, pertencente ao conjunto R 𝑃𝑃𝑒𝑘 - potência eléctrica da máquina 𝑘, pertencente ao conjunto C 𝑃𝑃𝑒𝑗 - potência eléctrica da máquina 𝑗𝑗, pertencente ao conjunto R. Dispõe-se agora de um modelo equivalente que será usado para calcular a margem de estabilidade transitória do sistema. 4.3.4. Cálculo da margem de estabilidade transitória O cálculo da margem de estabilidade transitória é importante, no método implementado, pois é através do seu valor que são estimados os valores de tempo crítico. Este cálculo, tendo disponível as curvas de potência, é relativamente fácil, sendo efectuado através da expressão 𝜂𝜂 = � �𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞 − 𝑃𝑃𝑚 𝑒𝑞� 𝛿𝑒𝑞𝑢 𝛿𝑒𝑞0 𝑑𝑑𝛿𝛿𝑒𝑞 (4.20) na qual 𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞 - potência eléctrica fornecida pela máquina equivalente 𝑃𝑃𝑚 𝑒𝑞 - potência mecânica da máquina equivalente 𝛿𝛿𝑒𝑞0 - ângulo rotórico da máquina equivalente no instante pré-defeito 𝛿𝛿𝑒𝑞𝑢 - ângulo rotórico da máquina equivalente, de valor superior a 𝛿𝛿𝑒𝑞0 , para o qual a potência eléctrica volta a igualar a potência mecânica. 48 Acontece que no método implementado, devido à interrupção do processo de integração numérica antes do tempo total de simulação, não se dispõe da totalidade da curva de potência no período pós-defeito sendo necessário estimar os seus valores para depois utilizar a expressão (4.20). Como já foi referido, esta estimativa é feita utilizando duas aproximações diferentes, dependendo a opção por uma delas da proximidade ao valor final do tempo crítico que se pretende determinar. Esta aproximação é verificada analisando os intervalos entre dois valores consecutivos da margem de estabilidade transitória. Quanto mais próximo do valor final, menores serão os intervalos. De seguida serão apresentadas as duas aproximações utilizadas e também a razão porque se optou por utilizar duas aproximações. A primeira aproximação utiliza uma função trigonométrica, ou seja, pretende-se representar a curva de potência da máquina equivalente por uma função do tipo 𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞�𝛿𝛿𝑒𝑞� = 𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞𝑚𝑎𝑥 sin�𝛿𝛿𝑒𝑞� (4.21) na qual 𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞�𝛿𝛿𝑒𝑞� - potência eléctrica fornecida pela máquina equivalente 𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞𝑚𝑎𝑥 - potência eléctrica máxima fornecida pela máquina equivalente 𝛿𝛿𝑒𝑞 - ângulo rotórico da máquina equivalente. Utilizando um ponto conhecido da curva de potência (𝛿𝛿𝑒𝑞, 𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞) calcula-se o valor de 𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞𝑚𝑎𝑥, podendo-se então determinar o valor da potência eléctrica fornecida pela máquina equivalente para qualquer valor do ângulo rotórico da máquina equivalente, 𝛿𝛿𝑒𝑞. A segunda aproximação é uma aproximação polinomial. Esta aproximação utiliza um polinómio do 2º grau, sendo a curva de potência da máquina equivalente aproximada por uma expressão do tipo 𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞�𝛿𝛿𝑒𝑞� = 𝑐𝑐1𝛿𝛿𝑒𝑞2 + 𝑐𝑐2𝛿𝛿𝑒𝑞 + 𝑐𝑐3 (4.22) na qual 𝑃𝑃𝑒 𝑒𝑞�𝛿𝛿𝑒𝑞� - potência eléctrica fornecida pela máquina equivalente 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2 e 𝑐𝑐3 - constantes da aproximação polinomial 𝛿𝛿𝑒𝑞 - ângulo rotórico da máquina equivalente. As constantes da aproximação polinomial são calculadas através da função polyfit, disponibilizada pelo matlab sendo depois utilizada a função polyval para determinar o valor do polinómio, que corresponde à potência eléctrica fornecida, para os diferentes valores do ângulo rotórico 𝛿𝛿𝑒𝑞. A aproximação trigonométrica é utilizada, nas primeiras iterações, até que a variação verificada nas sucessivas estimativas do valor do tempo crítico seja menor que uma tolerância definida no início da simulação, a qual é um múltiplo 𝛼𝛼 da tolerância 𝜀𝜀 necessária para parar o ciclo completo (Figura 4.6). 49 Início Aproximação polinomial Fim Sim Não Aproximação trigonométrica ∆𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐 < 𝛼𝛼 .𝜀𝜀 ∆𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐 < 𝜀𝜀 Sim Não Figura 4.6 - Escolha do método de aproximação da curva de potência a utilizar A ideia de utilizar duas aproximações para a curva de potência, durante o ciclo iterativo, nasceu durante o desenvolvimento do código. Mais concretamente, verificou-se que a aproximação polinomial conduzia a resultados mais próximos dos reais (verificados através de programas de integração numérica) mas que era pouco robusta quando a estimativa inicial do tempo crítico ficava afastada do valor real. Ao invés, a aproximação por uma função trigonométrica era mais robusta relativamente à estimativa inicial mas apresentava resultados menos exactos. Optou-se então por iniciar o processo com a aproximação trigonométrica, utilizando a aproximação polinomial após algumas iterações. 4.3.5. Estimativa dos valores do tempo crítico Como já foi referido, a estimativa dos valores do tempo crítico é efectuada com base nos valores da margem de estabilidade transitória, considerando-se que existe uma relação linear entre o tempo de actuação das protecções 𝑡𝑡𝑐𝑙 e o valor da margem de estabilidade transitória 𝜂𝜂, como pode ser observado na Figura 4.7 (3). 𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑−1 𝜂𝜂 𝜂𝜂𝑑𝑑 𝜂𝜂𝑑𝑑−1 Figura 4.7 - Relação linear entre 𝜼 e 𝒕𝒄𝒄𝒍 Utilizando os valores da margem de estabilidade transitória da iteração actual e da iteração anterior (𝜂𝜂𝑖 e 𝜂𝜂𝑖−1), cujos tempos de actuação das protecções correspondentes (𝑡𝑡𝑐𝑙𝑖 e 𝑡𝑡𝑐𝑙𝑖−1) são conhecidos, utiliza-se um processo de regressão linear que permite obter a equação da recta que descreve a relação entre o tempo de actuação e a margem de estabilidade transitória. Esta equação é do tipo 52 transitória é necessário efectuar uma aproximação para determinar os valores em falta da curva de potência utilizando-se inicialmente uma aproximação trigonométrica e posteriormente uma aproximação polinomial de grau 2. Os valores de tempo crítico são estimados considerando uma relação linear entre o tempo de actuação das protecções e o valor da margem de estabilidade transitória sendo esta relação descrita por uma recta cuja expressão é determinada por um processo simples de regressão linear. Por fim apresentaram-se os diferentes ficheiros pelos quais está distribuído o código necessário para implementar o método híbrido descrito. Verificou-se que há um ficheiro principal a partir do qual são chamadas as outras rotinas, contidas noutros ficheiros, necessárias para o cálculo do valor do tempo crítico de actuação das protecções. 53 5. Resultados computacionais Após implementado, o método híbrido foi testado para avaliar a validade dos resultados fornecidos. Os testes efectuados consistiram na simulação de um variado conjunto de perturbações, na rede de teste da CIGRE, com o objectivo de comparar os tempos críticos obtidos através deste método com os fornecidos por programas que utilizam Métodos de Integração Numérica (3). Neste capítulo serão apresentados os resultados dos testes realizados, uma análise dos erros e possíveis correcções, e ainda um exemplo de aplicação para uma perturbação específica da rede. 5.1. Testes computacionais Como já referido, foi utilizada a rede de teste da CIGRE, com 7 geradores e restantes características disponíveis em anexo. As perturbações simuladas consistiram em curto-circuitos trifásicos simétricos, junto aos barramentos, cuja eliminação acontece, após o período de defeito, espontaneamente ou pela retirada de serviço de uma linha. 5.1.1. Resultados obtidos Para cada perturbação pretendeu-se determinar o tempo crítico de actuação das protecções. Os resultados obtidos bem como os fornecidos por programas que utilizam Métodos de Integração Numérica são apresentados na Tabela 5.1. Na primeira coluna encontra-se o número da perturbação. A segunda coluna contém o barramento junto ao qual se dá o defeito enquanto que na terceira está a linha retirada de serviço. O tipo de instabilidade, denominado em (3) como primeira oscilação (PO) ou oscilação inversa (OI), é listado na quarta coluna. Na quinta e sexta colunas encontram-se os tempos críticos fornecidos, respectivamente, pelo método híbrido e por Métodos de Integração Numérica. Por fim, nas sétima e oitava colunas, é apresentada respectivamente, em valor absoluto e percentagem, a diferença entre os valores obtidos pelos dois métodos, correspondendo 𝑡𝑡𝑐𝑟 ℎ𝑖𝑏 ao método híbrido e 𝑡𝑡𝑐𝑟 𝑖𝑛 aos métodos de integração numérica. A diferença em valor absoluto foi obtida por ∆𝑡𝑡𝑐𝑟𝑚𝑒𝑡 = 𝑡𝑡𝑐𝑟 ℎ𝑖𝑏 − 𝑡𝑡𝑐𝑟 𝑖𝑛 (5.1) A diferença em percentagem foi calculada a partir da expressão %∆𝑡𝑡𝑐𝑟𝑚𝑒𝑡 = ∆𝑡𝑡𝑐𝑟𝑚𝑒𝑡 𝑡𝑡𝑐𝑟 𝑖𝑛 (5.2) 54 Tabela 5.1 - Tempos críticos de actuação das protecções para a rede de teste da CIGRE N.º contingência Barramento Linha fora de serviço Tipo de instabilidade 𝑡𝑡𝑐𝑟 método híbrido [ms] 𝑡𝑡𝑐𝑟 integração numérica [ms] ∆𝑡𝑡𝑐𝑟𝑚𝑒𝑡 [ms] %∆𝑡𝑡𝑐𝑟 𝑚𝑒𝑡 1 1 - PO 356 356 0 0 2 1 1 PO 345 345 0 0 3 1 2 PO 348 347 1 0,29 4 2 - PO 412 412 0 0 5 2 3 OI 401 369 32 8,67 6 2 4 OI 412 386 26 6,74 7 3 - PO 390 390 0 0 8 3 1 PO 379 379 0 0 9 3 3 PO 391 391 0 0 10 3 5 PO 387 387 0 0 11 3 6 PO 390 390 0 0 12 4 - PO 496 496 0 0 13 4 2 PO 482 482 0 0 14 4 5 PO 490 489 1 0,20 15 4 7 PO 0 0 0* 0* 16 4 8 OI 531 458 73 15,94 17 4 9 PO 494 497 -3 -0,60 18 4 10 PO 494 493 1 0,20 19 5 - PO 353 353 0 0 20 5 7 PO 0 0 0 0 21 6 - PO 486 487 -1 -0,21 22 6 8 PO ? 437 ? ? 23 6 11 PO 479 482 -3 -0,62 24 7 - PO 340 341 -1* -0,29* 25 7 12 PO 0 0 0 0 26 8 - PO 480 480 0 0 27 8 12 PO 0 0 0 0 28 8 11 PO 441 441 0 0 29 8 13 PO 478 478 0 0 Analisando os resultados conclui-se que, das 29 situações simuladas, 23 conduziram a resultados concordantes com os obtidos por Métodos de Integração Numérica. Verifica-se que o erro absoluto máximo observável é de 3 ms, o que corresponde a 0,62%. As restantes 6 situações, assinaladas a negrito na tabela, serão de seguida analisadas com mais pormenor. 5.1.2. Análise dos erros As 6 situações analisadas marcadas como erradas podem ser agrupadas e estudadas em conjunto: as perturbações 5, 6 e 16 são do tipo oscilação inversa; a perturbação 22 não conduziu a qualquer resultado; as situações 15 e 24 apresentam valores concordantes com os reais mas estes não foram obtidos de forma autónoma. • Perturbações 5, 6 e 16 Como referido estas situações são do tipo oscilação inversa, ou seja, assiste-se a uma desaceleração das máquinas pertencentes ao conjunto das máquinas criticas, o que corresponde a uma diminuição do ângulo rotórico, ao invés de uma aceleração, correspondente a um aumento do ângulo rotórico, como é habitual nos casos de estabilidade transitória analisados. 57 • Aproximação da curva de potência da máquina equivalente O problema referente à aproximação da curva de potência da máquina equivalente poderá ser contornando utilizando condições de despiste que impeçam o programa de entrar num ciclo infinito. Estas condições poderão verificar tanto o comportamento da aproximação obtida como o próprio comportamento da curva de potência da máquina equivalente que, como foi apresentado, apresenta por vezes formas diferentes das habituais. • Estimativa inicial do tempo crítico de actuação das protecções No método implementado, a estimativa inicial do tempo crítico de actuação das protecções é definida pelo utilizador, cabendo depois ao programa convergir para o valor final. Contudo, como se constatou, para algumas das situações analisadas uma estimativa inicial afastada do valor final faz com que o método não convirja. Para resolver este problema, pode ser determinada uma estimativa inicial do tempo crítico, no início do programa, recorrendo ao critério das áreas iguais generalizado, apresentado no Capítulo 3. 5.2. Exemplo de aplicação Apresenta-se de seguida uma exemplo de aplicação do método híbrido implementado. Como foi já explicado, o método efectua vários cálculos pré-defeito como, por exemplo, um trânsito de energia (resultado no Anexo 1) e o cálculo dos valores iniciais das forças electromotrizes e também algumas acções finais, como o armazenamento dos dados. No entanto, este exemplo está centrado no ciclo responsável por determinar o tempo crítico, dado que tanto as acções preliminares como as finais são já conhecidas, não contribuindo com nenhum facto novo. A situação analisada foi um curto circuito trifásico simétrico, na rede de teste da CIGRE, junto ao barramento 1, que foi eliminado pela retirada de serviço da linha 1, o que corresponde à perturbação 2 da Tabela 5.1. O ficheiro de entrada “contingencias.xlsx” tem o conteúdo da Tabela 5.2. Tabela 5.2 - Conteúdo do ficheiro de entrada utilizado no exemplo de aplicação 2 1 1 Após a leitura de todos os dados dos ficheiros de entrada e calculados todos os valores pré-defeito o ciclo para determinar o tempo crítico é iniciado com uma estimativa inicial do tempo crítico de 𝑡𝑡𝑐𝑟0 = 0,6 s. Para esta primeira iteração obtêm-se as evoluções temporais dos ângulos rotóricos da Figura 5.3, onde se podem observar os ângulos rotóricos reais (em cima) e os referidos ao centro de inércia do sistema (em baixo). Apesar de não ser visível na figura considerou-se que o defeito acontece 0,1 s depois do início da simulação, ou seja, 𝑡𝑡𝑑𝑒𝑓 = 0,1 s. Em qualquer dos casos é possível ver claramente que a máquina 1 (linha a tracejado) constitui o 58 conjunto das máquinas críticas, facto que é corroborado pelos algoritmos de determinação do conjunto das máquinas críticas, como se verá posteriormente. O processo de integração numérica é interrompido mais cedo devido à existência dos índices de estabilidade e instabilidade mas, neste caso, optou-se por deixar correr a simulação durante o tempo total para melhor se observarem as curvas. Figura 5.3 - Ângulos rotóricos para a perturbação 2, com 𝒕𝒄𝒄𝒍 = 𝟎,𝟔 s Para além disso, observa-se que o tempo de actuação das protecções especificado conduz a uma situação instável, o que está de acordo com os dados obtidos através dos índices de estabilidade e instabilidade. Como se observa na Figura 5.4, o índice IDCS atinge primeiro um mínimo, o que corresponde a uma situação instável e permite parar o processo de integração numérica, sendo apenas necessário efectuar a integração numérica das equações que descrevem o sistema num período de aproximadamente 0,7 s. Figura 5.4 - Índices IDCS e IDE para a perturbação 2, com 𝒕𝒄𝒄𝒍 = 𝟎,𝟔 s Como a situação é considerada instável, o critério utilizado para determinar o conjunto das máquinas críticas é o CMR. Da aplicação deste critério obtêm-se os resultados da Tabela 5.3, de onde se constata que apenas a máquina 1 pertence ao conjunto das máquinas críticas. restantes máquinas restantes máquinas máquina 1 máquina 1 59 Tabela 5.3 - Identificação do conjunto das máquinas críticas para a perturbação 2, com 𝒕𝒄𝒄𝒍 = 𝟎,𝟔 s Máquina Ângulos rotóricos 𝛿𝛿𝑖 [rad] Intervalo [rad] 1 7,012 6,362 3 0,700 2,855 7 0,699 2,046 5 0,666 1,581 2 0,628 1,367 6 0,618 1,121 4 0,600 0,000 Após a identificação do conjunto das máquinas críticas, o sistema é reduzido a uma máquina equivalente, cujas curvas temporais do ângulo rotórico e potência eléctrica gerada se encontram na Figura 5.5. Figura 5.5 - Curvas temporais do ângulo rotórico e potência eléctrica gerada da máquina equivalente, para a perturbação 2, com 𝒕𝒄𝒄𝒍 = 𝟎,𝟔 s O cálculo da margem de estabilidade transitória, é efectuado utilizando a aproximação sinusoidal, como se observa na Figura 5.6. Repare-se que devido às expressões utilizadas a máquina equivalente apresenta, no período pós-defeito, valores de potência eléctrica gerada negativos. Figura 5.6 - Curva de potência da maquina equivalente (a tracejado) e aproximação sinusoidal (a cheio), para a perturbação 2, com 𝒕𝒄𝒄𝒍 = 𝟎,𝟔 s 63 6. Conclusões e Propostas para trabalhos futuros Neste capítulo é apresentada uma síntese do trabalho realizado, percorrendo todos os capítulos até agora apresentados. Inclui-se também uma perspectiva sobre trabalhos futuros que tenham como ponto de partida o trabalho aqui apresentado. 6.1. Conclusões Nesta dissertação desenvolveu-se um método híbrido para o estudo da estabilidade transitória do SEE, em linguagem matlab. Este método, que junta as vantagens dos Métodos Directos, os quais permitem uma análise rápida, com as vantagens dos Métodos de Integração Numérica, os quais permitem uma grande capacidade de modelização do sistema, é capaz de, para uma determinada rede, calcular o tempo crítico de actuação das protecções para diferentes perturbações especificadas pelo utilizador. O método caracteriza-se por utilizar um modelo equivalente do sistema, constituído por uma máquina ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita. Este modelo equivalente é calculado após a determinação do conjunto de máquinas críticas, o qual é obtido usando índices que, com base nos valores obtidos por integração numérica que descrevem o funcionamento temporal das máquinas síncronas, identificam as máquinas responsáveis pela perda de sincronismo do sistema. O sistema equivalente obtido é depois estudado utilizando o Método das Áreas Iguais, o qual permite obter a margem de estabilidade transitória para a perturbação em estudo, a partir da qual se vai determinar o tempo crítico de actuação das protecções para esta perturbação. Como se verificou este objectivo foi parcialmente atingido pois o método desenvolvido mostrou oferecer resultados para a maior parte dos casos testados, revelando no entanto problemas na análise de certas situações. Faz-se agora uma breve passagem sobre os diferentes capítulos apresentados. No Capítulo 1, a Introdução, fez-se uma contextualização sobre o tema desta tese, onde se caracterizou o SEE actual, se apresentaram conceitos relativos ao tema e se mostrou a necessidade de existirem métodos que permitam uma rápida análise da estabilidade transitória dos diferentes pontos de funcionamento do sistema. No Capítulo 2, designado Modelização do Sistema de Energia Eléctrica, foram apresentados os modelos utilizados, nos métodos dedicados ao estudo da estabilidade transitória, para descrever os diferentes componentes da rede e ainda as contingências simuladas. Foi utilizado o modelo clássico para descrever os diferentes componentes do SEE e as contingências simuladas são apenas curto-circuitos trifásicos simétricos junto aos barramentos. 64 No Capítulo 3 apresentaram-se os diferentes métodos utilizados no estudo da estabilidade transitória do SEE. Como se verificou, estes podem dividir-se em quatros grupos: Métodos de Integração Numérica, Métodos Directos, Métodos Híbridos e Técnicas de Inteligência Artificial. Este capítulo foi designado Métodos de análise da estabilidade transitória do SEE. Os Métodos de Integração Numérica caracterizam-se por oferecer uma modelização detalhada mas elevado esforço computacional enquanto que os Métodos Directos, por outro lado, oferecem uma modelização pouco detalhada mas são muito eficientes do ponto de vista computacional. Os Métodos Híbridos conjugam as capacidades de modelização oferecidas pelos Métodos de Integração Numérica com a eficiência computacional oferecida pelos Métodos Directos. As Técnicas de Inteligência Artificial são uma abordagem mais recente ao estudo da estabilidade transitória do SEE e caracterizam-se por exigirem um esforço computacional muito elevado na fase de implementação mas posteriormente possibilitarem uma análise rápida em tempo real. O Capítulo 4, designado Método híbrido implementado, foi dedicado à apresentação do método desenvolvido. Procurou-se explicar a estrutura geral do método, bem como as suas particularidades consideradas mais importantes. Mostrou-se que o método está divido em três etapas: acções preliminares, ciclo para determinação do tempo crítico, acções finais. Como foi apresentado, o método caracteriza-se por interromper o processo de integração numérica antes do tempo total de simulação e por utilizar um modelo equivalente do sistema, constituído por uma máquina equivalente ligada a um barramento de potência de curto-circuito infinita, o qual é estudado recorrendo ao Método das Áreas Iguais. Este fornece o valor da margem de estabilidade transitória e, com base em regressões lineares que utilizam os tempos de actuação das protecções e respectivos valores da margem de estabilidade transitória, são estimados os valores de tempo crítico para as perturbações definidas pelo utilizador. Terminou-se fazendo a correspondência entre as diferentes etapas do método e os ficheiros de código. O Capítulo 5, denominado Resultados computacionais, dividiu-se em duas partes distintas. A primeira, os Testes computacionais, na qual se pôs à prova o método desenvolvido, procurando identificar os erros obtidos nos resultados e quais as suas causas e possíveis resoluções. Como se verificou, o método apresenta ainda, em situações pontuais, resultados menos correctos, sendo as principais causas detectadas o facto de o tipo de instabilidade ser de oscilação inversa, a identificação do conjunto das máquinas críticas não ser inequívoca e a aproximação à curva de potência da máquina equivalente não se revelar adequada. Uma segunda parte, Exemplo de aplicação, na qual se mostrou detalhadamente o funcionamento do método na análise de uma determinada perturbação, dando especial ênfase ao ciclo para determinação do tempo crítico de actuação das protecções. Por fim, pode-se afirmar que, apesar de o método desenvolvido não se ter mostrado apto para analisar todo o tipo de perturbações para as quais foi testado, o trabalho desenvolvido pode ser um ponto de partida para futuros trabalhos. Esta afirmação baseia-se no facto de, apesar de o método desenvolvido não estar completamente funcional, terem sido apresentados conceitos 67 Bibliografia 1. Kundur, P. Power System Stability and Control. USA : McGraw-Hill, Inc., 1994. 2. Sucena Paiva, J. P. Redes de Energia Eléctrica: uma análise sistémica. 2ª edição. Lisboa : IST Press, 2007. 3. Machado Ferreira, C. M. Análise da Estabilidade Transitória de Sistemas Eléctricos de Energia utilizando Formulações Híbridas. Porto : Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Dissertação de Doutoramento, 2005. 4. Holmes, M. H. Introduction to Numerical Methods in Differential Equations. New York : Springer Science+Business Media, LLC, 2007. 5. Vittal, Vijay. Direct Stability Methods. [autor do livro] Leonard L. Grigsby. Electric Power Engineering Handbook. Second Edition. Power System Stability and Control. Boca Raton, USA : CRC Press - Taylor & Francis Group, 2007. 6. Machowski, Jan, Bialek, Janusz W. e Bumby, James R. Power System Dynamics: Stability and Control. Second Edition. Chichester, UK : John Wiley & Sons, Ltd., 2008. 7. Sauer, Peter W. e Pai, M. A. Power System Dynamics and Stability. New Jersey, USA : Prentice-Hall, Inc., 1998. 8. Xue, Y. e al., et. Extended equal area criterion revisited. IEEE Transactions on Power Systems. 7, No. 3, August 1992. 9. Machado Ferreira, C. M., Dias Pinto, J. A. e Maciel Barbosa, F. P. Transient Stability Assessment on an Electric Power System using Trajectory Sensitivity Analysis. 39th International Universities Power Engineering Conference. September 2004. 10. Chan, K. W., Zhou, Q. e Chung, T. S. Transient Stability Margin Assessment for Large Power System using Time Domain Simulation Based Hybrid Equal Area Criterion Method. Proceedings of the 5th International Conference on Advances in Power System Control, Operation and Management. October 2000. 11. MATLAB Documentation. [Online] http://www.mathworks.com/help/techdoc/. 69 Anexo 1 Neste anexo é apresentada a rede utilizada para avaliar o desempenho do método desenvolvido. A rede é a rede de teste da CIGRE, constituída por 7 geradores, 10 barramentos e 13 linhas, como se observa na Figura A1.1. A potência base são 100 MVA e a frequência nominal 60 Hz. Figura A1.1 - Rede de teste da CIGRE De seguida serão apresentadas as características dos diferentes componentes da rede (geradores e linhas), seguidos das características dos barramentos e o resultado do trânsito de potências. Na Tabela A1.1 estão disponíveis as características das linhas que constituem a rede. Tabela A1.1 - Características das linhas da rede de teste da CIGRE Nº da linha Barramento 1 Barramento 2 Resistência longitudinal [p.u.] Reactância longitudinal [p.u.] Susceptância transversal [p.u.] 1 1 3 0,00988 0,0484 0,2025 2 1 4 0,00988 0,0484 0,10126 3 2 3 0,04504 0,12365 0,2025 4 2 10 0,0164 0,0638 0,30376 5 3 4 0,01185 0,07803 0,30376 6 3 9 0,01146 0,05531 0,30376 7 4 5 0,00395 0,01975 0,10126 8 4 6 0,00751 0,01975 0,6075 9 4 9 0,0488 0,19161 0,30376 10 4 10 0,0164 0,06519 0,405 11 6 8 0,01877 0,06282 0,2025 12 7 8 0,01185 0,07803 0,30376 13 8 9 0,0488 0,19161 0,2025
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