Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Augusto Bonetto - Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Augusto Bonetto - Matemática Aplicada à...

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Dados Internacional» da Catalogação na Publicac5o (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade / Afrânio Carlos Murolo, Giácomo Augusto Bonetto. — São Paulo: Pioneira Thomson Learninq, 2004.

l. Matemática — Estudo e ensino I. Bonetto,

CDD-510.0 7 índice para catálogo sistemático: 1. Matemática aplicada : Estudo e ensino 510.07

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

(CIP ) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Murolo, Afrânio Carlos

Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade / Afrânio Carlos Murolo, Giácomo Augusto Bonetto. — São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. ISBN 85-221-0399-2

1. Matemática - Estudo e ensino I. Bonetto, Giácomo Augusto. M. Título. 04-033 1 CDD-510.0 7 índice para catálogo sistemático : 1. Matemática aplicada : Estudo e ensino 510.07

Aos meus pais, Armando e Leonídia in memoriam, à minha esposa, Maria Helena, e meus filhos, Rafael e Fernanda, por toda a compreensão, carinho e apoio.

Afrâni o

Aos meus pais, Juvenal e Darci, por todo o seu amor...

Giácom o

Agradecimento s

Agradecemos a todos que, de forma direta ou indireta, nos incentivaram na realização e execução deste trabalho com críticas e sugestões. Em especial, agradecemos a Cláudio Arconcher, pela leitura crítica e atenta de todo o trabalho, pelas inúmeras e valiosas contribuições e sugestões; a Adenio António Costa Júnior, pelo apoio técnico em várias etapas do trabalho, e a Maria de Fátima Moreira Silva, pela leitura crítica e sugestões em relação aos conceitos económicos nos Capítulos 9 e 12.

Prefáci o

Agradeço a honrosa oportunidade de prefaciar a obra Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade, dos colegas e amigos Afrânio Murolo e Giácomo Bonetto. Tive o privilégio de compartilhar com os autores o sempre desafiador ambiente académico, em que pude perceber o perfil de educadores sérios e comprometidos com a aprendizagem dos seus alunos e com a disciplina pedagógica.

Este livro é o resultado da sua rica experiência docente e das inquietudes que sempre permeavam suas ações em sala de aula, no sentido de tornar o ensino da matemática atrativamente assimilável e aplicável ao estudo das organizações e dos negócios e, principalmente, ao processo de tomada de decisão, que tem se revelado cada vez mais complexo.

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade é uma obra que veio para exercer forte influência no ensino da matemática nos cursos que pertencem às Ciências Sociais Aplicadas, devido, principalmente, à sua abordagem didática. Em um estilo claro e acessível, ela oferece os meios necessários para que se possa compreender e dominar importantes conceitos e habilidades de cálculo, que fazem parte do ambiente da gestão e dos negócios.

Merece também destaque a forma inteligente pela qual os autores estruturaram a apresentação da obra, o que certamente facilitará sua utilização como livro-texto nos cursos de Administração, Economia e Contabilidade. Todos os capítulos e seus respectivos desdobramentos encontram-se devidamente consubstanciados com conceitos e definições, bem como com aplicações materializadas com pertinentes e elucidativos exemplos, além de exercícios para a sedimentação da aprendizagem. Ainda é elogiável a inserção de um Tópico Especial em cada capítulo e a sua aplicação, assim

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade corno o Apêndice, com atividades para revisar os conteúdos de matemática do ensino fundamental e médio.

A contribuição académica e pedagógica desta obra permitirá um importante avanço didático para a pavimentação do ensino e da aprendizagem da matemática nos cursos de Administração, Economia e Contabilidade. Esta é, em essência, a nobre intenção pedagógica dos seus autores, não obstante a complexidade em que se insere a aludida temática.

Desejo que alunos e professores tenham, com esta obra, a oportunidade para desenvolver, por meio do estudo, da compreensão e da aplicação da matemática, competências e habilidades, materializadas pela capacidade em reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, decidir em face dos diferentes graus de complexidade, desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico e estabelecer relações formais e causais entre fenómenos produtivos, administrativos e de controle no âmbito da gestão.

Finalmente, gostaria de cumprimentar os autores, Prof. Afrânio Murolo e Prof. Giácomo Bonetto, pela iniciativa e qualidade da obra Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade e agradecer por con- tribuírem para a formação de profissionais cada vez mais competentes e socialmente responsáveis de nosso país.

Prof. Adm. Mauro Kreuz

Presidente da Associação Nacional dos Cursos de Graduação em Administração — Angrad

Sumári o

• CAPÍTULO 1 - CONCEITO DE FUNÇÃO 1 Conceito de Função 2

Tipos de Função 4 Função Crescente ou Decrescente 4 Função Limitada 4 Função Composta 7

TÓPICO ESPECIAL - Dispersão e Correlação Linear 1

Diagrama de Dispersão 1 Correlação Linear 14

* CAPÍTULO 2 - FUNÇÃO DO 1' GRAU 19

Modelos Lineares 20 Funções do 1a Grau 20 Juros Simples 24 Restrição Orçamentaria 25

Caracterização Geral 27

Obtenção da Função do 1Q Grau 29 Exemplos de como Obter Funções do P Grau 29 Sistemas Lineares e Funções do l" Grau 31

TÓPICO ESPECIAL - Regressão Linear Simples 37 Modelo de Regressão Linear Simples 37 Passos para Ajuste da Reta de Regressão 37

Passos para Ajuste do Modelo de Regressão Linear Simples pelo M.M.Q. 38

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

• CAPÍTULO 3 - FUNÇÃO DO 2° GRAU 45

Modelos de Funções do 2a Grau 46 Um Modelo de Função do 2a Grau 46

Caracterização Geral 51 Exemplos de Funções do 2a Grau 53

TÓPICO ESPECIAL - Regressão Quadrática 62 A Regressão Quadrática 62

M CAPÍTULO 4 - FUNÇÃO EXPONENCIAL 69

Modelos de Funções Exponenciais 70 Utilizando um Fator Multiplicativo 70 Montante e Função Exponencial 73 Função Exponencial e Depreciação de uma Máquina 75 Função Exponencial e juros Compostos 7

Caracterização Geral 78

Obtenção da Função Exponencial 80 1a Caso: Identificando Evolução Exponencial 80 2" Caso: Função Exponencial a partir de Dois Pontos 82 3° Caso: Função Exponencial a partir do Fator Multiplicativo 83

Logaritmos e Logaritmo Natural 86

Logaritmos 86 Propriedades dos Logaritmos 8

TÓPICO ESPECIAL - Regressão Exponencial 95 A Regressão Exponencial 95 m CAPÍTULO 5 - FUNÇÕES POTÊNCIA, POLINOMIAL , RACIONA L E INVERSA 103

Modelos de Função Potência 104 Produção, Insumo e Proporcionalidade 104 Produção e Taxas Crescentes 105 Produção e Taxas Decrescentes 107 A Lei de Pareto, Assíntotas e Limites 109

Sumári o

Caracterização Geral 114 l" Caso: Potências Inteiras e Positivas 115 2" Caso: Potências Fracionárias e Positivas 116 3° Caso: Potências Inteiras e Negativas 117

Modelos de Função Polinomial 119 Função Polinomial e Preço de um Produto 120

Caracterização Geral 121

Modelos de Função Racional 121 Função Racional e Receita 122

Caracterização Geral 127

Função Inversa 128 Obtendo a Inversa de uma Função Exponencial 128 Existência da Função Inversa 130

TÓPICO ESPECIAL - Regressão Potência e Hipérbole 137

Modelo de Regressão Potência 137 Modelo de Regressão Hipérbole 141 l CAPÍTULO 6 - O CONCEITO DE DERIVADA 151

Taxa de Variação 152 Taxa de Variação Média 152 Taxa de Variação Média em um Intervalo 152 Taxa de Variação Instantânea 154

Derivada de uma Função em um Ponto 158 Derivada de uma Função como Taxa de Variação Instantânea 158

Interpretação Gráfica da Derivada 159

Taxa de Variação Média como Inclinação da Reta Secante 159 Taxa de Variação Instantânea como Inclinação da Reta Tangente 161 Derivada como Inclinação da Reta Tangente 164 Reta Tangente à Curva em um Ponto 167

Diferentes Derivadas para Diferentes Pontos e a função Derivada 169 Função Derivada 170

TÓPICO ESPECIAL - Linearidade Local 180

Linearização em q = 2 189 Linearização em q = 6 189

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

• CAPÍTULO 7 - TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO 195

Regras de Derivação 196 Função Constante 196 Função do l11 Grau 197 Constante Multiplicando Função 197 Soma ou Diferença de Funções 198 Potência de y. 199 Função Exponencial 201 Função Exponencial na Base e 201 Logaritmo Natural 202 Produto de Funções 203 Quociente de Funções 204 Função Composta - Regra da Cadeia 205 A Notação de Leibniz 209 Regra da Cadeia com a Notação de Leibniz 211 Derivada Segunda e Derivadas de Ordem Superior 214 Diferencial 215

TÓPICO ESPECIAL - Derivação Implícita 218

• CAPÍTULO 8 - APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NO ESTUDO DAS FUNÇÕES 227

Máximos e Mínimos 228 Máximo e Mínimo Locais 228 Máximo e Mínimo Globais 229 Pontos onde a Derivada não Existe Analisados Graficamente 230 Derivada e Crescimento/Decrescimento de uma Função 232 Pontos Críticos 233 Teste da Derivada Primeira 234

Derivada Segunda e Concavidade de um Gráfico 240 Derivada Segunda e Comportamento da Derivada Primeira 240 Derivada Segunda e Taxas de Crescimento/Decrescimento 242 Teste da Derivada Segunda 244 Ponto de Inflexão 245 Como Encontrar um Ponto de Inflexão 245

Observações gerais 250

TÓPICO ESPECIAL - Ponto de Inflexão e seu Significado Prático 254

Sumári o

• CAPÍTULO 9 - APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NAS ÁREAS ECONÓMICA E ADMINISTRATIVA 257

Funções Marginais 258

O Custo Marginal na Produção de Eletroeletrônicos 258 Função Custo Marginal e Outras funções Marginais 261 Custo Marginal 263 Receita Marginal 264 Lucro Marginal 266 Custo Médio Marginal 268

Elasticidade 272

Elasticidade-Preço da Demanda 272 Classificação da Elasticidade-Preço da Demanda 276 Elasticidade-Renda da Demanda 276

Relação entre Receita e Elasticidade-Preço da Demanda 277

Propensão Marginal a Consumir e a Poupar 282

TÓPICO ESPECIAL - Modelo de Lote Económico 290 Lote Económico de Compra 290

• CAPÍTULO 10 - O CONCEITO DE INTEGRAL 301

Integral Definida a partir de Somas 302 Variação da Produção a partir da Taxa de Variação 302 Estimativa para a Variação da Produção a partir da Taxa de Variação 305 Variação da Produção e Integral Definida 307

Integral Definida como Área 311 Integral Definida para f (x) Positiva 311 Integral Definida para f(x) Negativa 313 Cálculo da Área entre Curvas 316

Valor Médio e Integral Definida 318

Primitivas e Teorema Fundamental do Cálculo 320 Primitivas 320 Teorema Fundamental do Cálculo 321

TÓPICO ESPECIAL - Regra de Simpson (Integração Numérica) 327

r. : M. n i HM i Aplii ida à Administração, i e Contabilidade

• CAPÍTULO 1 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 331

Integral Indefinida Primitivas e Integral Indefinida 332

Regras Básicas de Integração função Constante 3 Potência de x 334 Constante Multiplicando Função 335

Soma ou Diferença de Funções 336

Função f(x) = i 337

Função Exponencial 338 Função Exponencial na Base e 338 Integração por Substituição Um Exemplo do Método da Integração por Substituição

Passos para Aplicar o Método da Substituição 340 Integração por Partes 343 Integral do Logaritmo Natural 348 Integrais Definidas . 349

TÓPICO ESPECIAL - Integrais Impróprias 355

• CAPÍTULO 12 - APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 359

Integrando Funções Marginais 360 Integral Definida da Taxa de Variação como a Variação Total da Função 360

Excedente do Consumidor 364 Excedente do Produtor 371

Valor Futuro e Valor Presente de um Fluxo de Renda 376 Capitalização Contínua 376 Valor Futuro de um Fluxo de Renda 378 Valor Presente de um Fluxo de Renda 379

TÓPICO ESPECIAL - O índice de Gini e a Curva de Lorenz 385

• APÊNDICE Atividades para Revisão

Exercícios Impares Bibliografi a ca pitu Io 1 Conceito de Função

• Objetivo do Capítulo

Nesse capítulo, você notará como muitas situações práticas nas áreas de administração, economia e ciências contábeis podem ser representadas por funções matemáticas. Nas análises iniciais dessas funções, serão ressaltados conceitos como crescimento e decrescimento, função limitada e função com- posta, sempre associados a aplicações nas áreas administrativa, económica e contábil. No Tópico Especial, por meio de diagramas de dispersão e do coeficiente de correlação linear, você analisará mais aspectos da associação entre variáveis matemáticas.

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• Conceito de Função

Na análise de fenómenos económicos, muitas vezes usamos funções matemáticas para descrevê-los e interpretá-los. Nesse sentido, as funções matemáticas são usadas como ferramentas que auxiliam na resolução de problemas ligados à administração de empresas. Nesta seção descrevemos o conceito de função e algumas de suas representações. No exemplo a seguir, a Tabela 1.1 traz a distribuição dos preços do quilo do contrafilé no decorrer dos meses no ano de 2003.

Tabela 1.1 Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo no ano de 2003

Mês (t) Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. Preço (p) (R$) 6,70 6,75 6,80 6,8 6,95 7,01 7,08 7,14 7,20 7,28 7,36 7,45

A cada mês, observamos um preço da carne. Assim, podemos dizer que cada preço, p, está associado a um mês, t, ou ainda que o preço depende do mês que escolhemos.

Nesse exemplo, se substituirmos cada mês por um número, podemos entender a relação entre o mês e o preço como uma associação entre duas variáveis numéricas; assim temos uma nova tabela:

Tabela 1.2 Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo no ano de 2003

Mês (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 12 Preço (p) (R$) 6,70 6,75 6,80 6,8 6,95 7,01 7,08 7,14 7,20 7,28 7,36 7,45

Vale ressaltar que, a cada valor da variável "mês", temos um único valor da variável "preço" associado, o que caracteriza uma função matemática ou mais precisamente:

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