Calculo Facil - Limites Questões Resolvidas

Calculo Facil - Limites Questões Resolvidas

Limites — Questões de Vestibulares

1. (AMAN-RJ) Calculando o limite

fi x x

, encontramos:

Solução: Primeiro Modo (Fatorando a fração usando BriotxRuffini):

fi x x

0, que é uma indeterminação. Fatorando a função, numerador e

denominador separadamente, vem:

x, logo

fi x x= 4

2lim

Numerador (BriotxRuffini): 1 -7 10 5 • 5 -10 1 -2 0 Resto

Denominador 1 -9 20 5 • 5 -20

1 -4 0 Resto

Segundo Modo:

0. Pela regra de L’Hopital x, =

0. Derivando o numerador e o denominador

x, Logo: 20 9

5 + - + - fi x x x x fi x x é igual a:

Solução:

fi x x = 0

0 , Fatorando pela regra de BriotxRuffini,

fi x x= 93

3. (AMAN-RJ) A razão dos valores de x para os quais não é contínua a função

1lim

(impossibilidade). Fazendo o estudo do sinal da função: y=()()2.21 +- x

-22

E calculando os limites laterais ( )()

+fi

+fi

2 x x

-fi

-fi

2 x x x , concluímos que –2 e +2 são abscissas de pontos de descontinuidade. A razão 2 2-= -1, resposta letra b.

mxx

, xm„, calcule o valor de m.

5. (AMAN-RJ) Qual o valor do limite œßø ŒºØ

-+ fi x x

Solução: Primeiro modo: úßø ŒºØ

-+ fi x x

0Usando artifícios: œßø

-+ fi x x

fi x x x x x x x

Segundo Modo: (Regra de L’Hospital) œßø ŒºØ

-+ fi x x

0. Pela regra de H’Lospital œßø ŒºØ

-+ fi x x derivando-se o numerador e o denominador separadamente:

-+ fi x x

x x é igual a:

a) e2 b) 2.e c) 45 e e) 32e

Solução: Esta função 23 x yé uma seqüência de Euler, logo x x =?, fazendo uma mudança de variável: t=2

3x, quando

x , vem:

t t = t t t t t t

+¥fi t t t

7. (UFJF-MG) Calcule o limite 36 3lim

Solução: Primeiro Modo à 36 3lim

0, que é uma indeterminação.

Multiplicando o numerador e o denominador pelo fator racionalizante 36++x, temos:

fi x x fi x

Segundo Modo: 36 3lim

0, fazendo uma mudança de variável,

6+=xt, quando î íì fifi33t x , temos:

fi t

8. (AMAN-RJ) Calcule o limite x xsinx

5lim

0fi- 1 1lim

Solução: Fazendo por partes cada um dos limites à a) x xsinx

5lim

1lim fi x

; c)

11lim œœ ßø ŒŒ º

¥fi x x x = e3 ; d) ()x t t ÷ ł æ + ¥fi 31lim= e3 . Logo: o resultado da expressão

9. Se nà ¥+ , então nne 1+ tende para:

a) ¥+ b) e c) 1 d) ne e) 21 e

Solução: Primeiro modo: n n n e 1lim

Segundo Modo: n n n e 1lim

+¥fi

= ¥++¥ e, aplicando a regra de L’Hospital n n e 1lim

+¥fi

10. (PUC-PR) Se

=L, podemos afirmar que:

Solução:Primeiro modo à

0, logo devemos usar um artifício para

resolvermos o limite fazendo uma mudança de variável t=21x- quando î íì fifi01t x , temos:

lim=0.

Segundo modo (usando a regra de H’Lospital):

0, que é uma indeterminação. Derivando o numerador y=x2-1 à y’=2x; derivando o denominador

- . Resolvendo o limite pela

regra de H’Lospital:

-fi

1. Calcule o limite 1 1lim x .

Primeiro modo: 1 1lim x=

= 0 0. Multiplicando-se o numerador e denominador

dessa função pelo fator racionalizante 1+x, temos: 1 1lim xxn

x , fatorando o binômio xn-1 pelo regra de BriotxRuffini:

1 1 1 11 0

xxn

11lim

x n x =

Segundo Modo: 1 1lim x=

= 0 0, é uma indedeterminação. Usando a regra de

H’Lospital à 1 1lim x =

.lim xn n

-n=

12. Sendo œœ ßø ŒŒ º

¥fi ax x x a1limln=49, qual é o valor positivo de a?

Solução: œœ ßø ŒŒ º

¥fi ax x x

+ ¥fi ax x a

11limln=49 à œœ ßø ŒŒ º ata t t œœ ßø ŒŒ º

13. (1ª. Questão Escola Naval 2002) Se ()pgxxx=fi ln

0 cotlim, então

pe pd pb pa

Resolução:

gx, fazendo ()xgxyln1 cot= e aplicando logaritmo natural Ln a

ambos os membros dessa função, temos: ()()gxLn

Lnx gxLnLny x cot.1cot ln1 ==, aplicando limite nessa igualdade: ()¥== fifi .0cot.1limlim 0 gxLn

Lnx

Lny xy , fazendo ()

Lnx gxLng fcot=e

00g f , aplicando a regra de L’Hôpital ao numerador e ao denominador separadamente:

xsenx xsenxxx senx senx x xsen xgx xcxx gx xc cot sec g f; aplicando a regra de L’Hôpital novamente ao numerador e ao denominador

g fe xxg xf

1 ln

0 cotlim -fi = LnegxLn Lnxx concluímos que ep e finalmente temos como resposta a letra b).

Bibliografia:

Suplemento exclusivo do professor – Questões de vestibulares/1987 – Matemática 3 em 1 – Curso completo do 2o. grau – Luiz Carlos de Domenico.

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