Sistema de numeração

Sistema de numeração

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ENCARTE ESPECIAL MATEMATICA1

Primeiro,escrever de 0 até 10.Depois,até 20.Quando a criança do- minar esses números,avançar até o 50 e,posteriormente até o 100,certo? Até algum tempo atrás,poderia ser,mas a concepção de que para progredir no aprendizado dos números é preciso ensiná-los um a um,seguindo a série numérica e logo classificando em unidades,dezenas e centenas,está caindo em desuso.Essa maneira de ensinar não leva em consideração um fato mais do que evidente:os alunos,muito antes de começarem a freqüentar uma sala de aula,têm contato diário com o sistema numérico.Ao ver algarismos em calendários,telefones dos colegas,preços de produtos,numeração das casas e o painel do elevador,informalmente eles constroem representações sobre os números e tentam compreendê-los criando teorias próprias.

Essa lógica inicial – construída com base em simples observação e na inte-

A base de todas as operações

Ensinar as características do sistema decimal é fundamental para que os alunos avancem na aprendizagem da Matemática. Para isso, promova o uso dos números em diferentes contextos e o debate de hipóteses FAOZE CHIBLI, PAOLA GENTILE ePAULO ARAÚJO paraujo@abril.com.br

ração com os números em situações do cotidiano – aparece principalmente quando a turma é convidada a escrever esses números e o faz de maneira não convencional – o que a princípio pode parecer errado.As educadoras argentinas Delia Lerner e Patricia Sadovsky,responsáveis pelos estudos mais avançados nessa área atualmente,constataram essas hipóteses em pesquisas (leia quadro ao lado)que hoje dão subsídios à maneira de ensinar as características do nosso sistema numérico – posicional e de base 10.Esse conhecimento é fundamental para o aprendizado de Matemática no decorrer da vida escolar,principalmente para a realização de operações (leia o quadro da pág.64).

Os estudos,além de colocar luz sobre o raciocínio do estudante,foram essenciais ao apontar um caminho para o diálogo com os pequenos.“Sabendo como o aluno pensa,temos condições de fazer um planejamento mais elaborado de boas atividades”,afirma Suzete Borelli, formadora do Círculo de Leitura e Es- crita e Matemática,da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.As intervenções do professor devem,portanto,contribuir para que a criança avance cada vez mais no sentido de se apropriar da notação convencional e para compreender como se organiza o sistema de numeração decimal.Se o conteúdo for bem trabalhado desde o início,as crianças poderão surpreender ao reconhecer e escrever cifras que passem do bilhão ou trilhão logo nas primeiras séries do Ensino Fundamental.

Investigar quanto um aluno já sabe sobre o sistema de numeração é importante para fazer as intervenções corretas.“Dessa forma,conseguimos compreender o raciocínio daqueles que antes eram vistos como problemas”,afirma Daniela Padovan,professora do Colégio Friburgo e da E Professora Marina Cintra,ambos em São Paulo.

Como pensam os pequenos

As pesquisadoras argentinas Delia Lerner e Patricia Sadovsky apontaram as hipóteses que as crianças constroem sobre o sistema numérico com base em suas experiências cotidianas. A seguir, veja quais são essas hipóteses e exemplos do pensamento de alunos de 6 anos, constatados durante a investigação das educadoras e relatados no capítulo O Sistema de Numeração: um Problema Didático, do livro Didática da Matemática – Reflexões Psicopedagógicas, organizado por Cecília Parra e Irma Saiz.

O PRIMEIRO MANDA Ao comparar números com igual quantidade de algarismos, os pequenos se baseiam na posição que estes ocupam para descobrir qual é maior ou menor. Isso mostra que eles reconhecem os diferentes valores dos algarismos conforme a posição que ocupam.

QUANTIDADE DE ALGARISMOS Mesmo sem saber a denominação dos números, as crianças acham que um número é maior porque tem mais algarismos. Algumas vezes, ao comparar números com grande diferença no valor absoluto dos algarismos que os compõem, como 1 e 9, as crianças se orientam pelo valor absoluto.

Por que 21 é maior que 12?

O que tem mais valor é o que fica na frente. Os dois têm valor. Sim, os dois têm valor. Você pode olhar o de trás. Porém em primeiro lugar olha o da frente. Se o primeiro número de uma carta é igual ao primeiro de outra carta e o segundo é mais alto que o outro, aí sim tem importância o segundo.

Têm os mesmos números. Só que o dois está antes (no 21) e aqui está atrás (no 12).

Outro dia uma criança me falou que o maior era este (9) porque aqui havia um 2 e um 1 (21). E o nove é maior do que o 2 e o 1.

Depois eu conto. Primeiro diga o que pensa sobre o que falou a criança.

Ah, ah, ah! Quantos anos tinha essa criança?

Nada a ver. A criança tinha 1 ano!

Por quê?

Porque o que têm a ver o 2 e o 1! Se eles formam um número só.

Formam um número só?

É sim. Por exemplo, 100 são três números e formam um número só.

ENCARTE ESPECIAL MATEMATICA1 nam nos intervalos.É importante notar que isso é o contrário do que acontece com a numeração falada.Ao começar a produzir números cuja escrita convencional desconhecem,as crianças misturam um e outro,apoiando-se no que já dominam – a escrita dos “nós”.Dessa forma,ao pedir que escrevam 134,vários registros podem surgir seguindo a ordenação dos termos na numeração falada.Por exemplo:

O mesmo ocorre com o 6345:

Uma das maneiras de intervir é valerse do entendimento que os pequenos têm de que,quanto mais algarismos, maior o número.Ao perceber que ambas as anotações de 134 têm mais algarismos do que o 100 e o 200,eles percebem que algo está errado com a escrita.

Regularidades Com a intervenção do professor,a criança aprende as várias regularidades do sistema numérico,como a repetição de terminações:toda vez que um número termina com 9,o anterior termina com 8, e o posterior,com 0:

A turma vai perceber ainda que há sempre dez números começando com um mesmo algarismo repetido.Essa compreensão será importante mais tarde,quando o estudante aprender multiplicação e constatar,por exemplo,que

A base 10 e as operações matemáticas

A maneira de escrever os números é determinada por um conjunto de operações subjacentes (aditivas e multiplicativas), organizada de forma posicional e decimal. Assim as educadoras argentinas Suzana Wolman e Maria Emilia Quaranta explicam essas relações: “Uma escrita numérica ABC significa

Por sua vez, os cálculos – mentais ou feitos com algoritmos convencionais — estão condicionados a regras que dependem da organização dos números. Quando uma criança, para somar 27 + 20, faz 10 + 10 + 7 + 10 + 10, ela soma os 10 e em seguida o 7, ela está considerando a composição de cada um dos números envolvidos, quais das partes em que o número foi decomposto são da mesma ordem para compô-las entre si (10 + 10 + 10 + 10 = 40) e, finalmente, as de diferente ordem (40 + 7). Essas transformações sobre os números utilizam as operações aditivas subjacentes à numeração escrita.

Também as contas convencionais apelam às regras do sistema de numeração: a formação de colunas ao somar ou subtrair facilita operar entre si os algarismos que ocupam a mesma posição na escrita numérica. Assim como os reagrupamentos (“vai um”) permitem somar entre si os algarismos de mesma ordem; ou as decomposições (“pedir emprestado”) apelam a escritas equivalentes que facilitam a subtração a realizar (ao subtrair 32 – 17, a conta convencional termina subtraindo (20 + 12) – (10 + 7))”.

É fundamental garantir momentos de debate para que o processo de aprendizagem traga bons resultados.Nessas situações,a criança tem a possibilidade de justificar os registros e de confrontar as anotações com as dos colegas.“É possível estabelecer regras sobre um ‘colchão’ de relações que as justificam,o que permite estendê-las a novas situações ou vinculá-las com outras regras.Isso é bem diferente de aprender porque ‘alguém me disse que é assim’”,afirma Suzana Wolman,coordenadora da área de Educação Primária da Secretaria de Educação de Buenos Aires.

Existem diversas estratégias que podem ser utilizadas para ajudar os alunos a adquirir a compreensão do sistema de numeração.Uma delas é usar a facilidade que eles têm em escrever os números redondos,ou os “nós”,como chamam as pesquisadoras – ou seja,as dezenas,as centenas e os milhares –,antes de elaborar a escrita dos que se posicio-

Delia Lerner diz que levantar questões contextualizadas,que proporcionem a vivência de conflitos com base nos quais os alunos possam revisar e ajustar suas concepções,torna-se fundamental para fazer a Matemática mais compreensível.“Por ser uma ciência abstrata,as crianças podem ter dificuldade para compreender alguns conceitos e procedimentos usualmente ensinados a elas”,pondera Daniela.“Usar seqüências numéricas que pertencem a seu contexto social só facilita a aprendizagem.”

Conhecimento didático Apesar de as idéias iniciais sobre os números serem importantes para inferir alguns conceitos do sistema de numeração,o aluno só vai fazer a notação convencional com intervenções bem conduzidas por você e enfrentando questões elaboradas com a finalidade de desestabilizar a escrita informal referendada pelo grupo.

no número 100 existem dez dezenas.

A familiarização das crianças com o sistema de numeração também deve ser estimulada na forma dos diferentes portadores numéricos que existem no cotidiano,como calendários,fitas métricas, tabelas de álbuns de figurinhas e outros materiais que permitam reconhecer a regularidade desse sistema.O que funciona muito bem é fixar um quadro numérico na sala de aula (leia a atividade Tabela Numéricana pág.6),objeto que pode fazer parte do contexto escolar da criança.As atividades devem ser planejadas com o intuito de propor situações problema envolvendo leitura e escrita numérica.Os alunos precisam ser estimulados a solucionar conflitos decorrentes desse exercício.

Qualquer atividade feita com a turma precisa prever a discussão no fim. Nessa ocasião,além de explicitar as idéias, a criança precisa de uma chance para colocá-las em prática junto ao grupo.Esse é um dos momentos de maior presença do professor:cabe a você relacionar as hipóteses apresentadas pelos aluno de maneira a explicitar conflitos.Ou seja,é essencial problematizar a situação e ajudar a analisar e validar as teses mais eficientes que forem apresentadas. Essas etapas podem ser observadas nos relatos de atividades de duas professoras,uma de São Paulo e outra de Salvador,entre as págs.70 e 72.

Muitas maneiras de organizar os números

O sistema usado por nós é posicional: o valor de cada símbolo depende do lugar que ele ocupa na escrita. Isso o torna mais econômico, já que com poucas notações é possível escrever qualquer número. Os sistemas aditivos e subtrativos são mais perdulários. Veja o romano, em que os algarismos são representados por letras:

1223, por exemplo, fica assim:

(Qualquer semelhança com a escrita da criança — 1000200203 — talvez não seja mera coincidência, pois é uma maneira de organização numérica lógica!)

O sistema egípcio, mais antigo, guardava certa semelhança, mas usava hieróglifos para representar potências de10:

Os valores eram expressos pela repetição dos símbolos. Como ficaria então o mesmo 1223? (Os números egípcios podiam ser escritos da direita para a esquerda e da esquerda para a direita, ou na vertical). 1223, então, fica assim:

Outra característica do nosso sistema é ser organizado em base10 – cuja origem deve estar provavelmente nas contagens que os homens primitivos faziam com os dedos. Mas também existem sistemas em base12 ou em 20.

A escolha da base duodecimal por alguns povos tem suas justificativas na natureza. Pode ter sido inspirada no número aproximado de voltas que a Lua dá em torno da Terra durante a translação do planeta em torno do Sol, na soma das falanges dos dedos de uma mão, sem contar o polegar, ou na soma de todos os dedos das mãos mais dois pés. Esse sistema serviu para definir a divisão do dia em horas (12 para o dia e 12 para a noite), grandezas como dúzia e medidas como o pé (12 polegadas).

Menos conhecido por nós é o sistema vigesimal (base 20), que deve ter origem parecida com o de base 10 (nesse caso, somam-se os dedos dos pés e das mãos). Ele está presente na forma como os franceses denominam os números: para 80, eles dizem quatre vingt (quatro vinte), para 90, quatre vingt dix(quatro vinte dez).

IV X L C D M um cinco dez cinqüenta cem quinhentos mil umdezcemmildez milcem milum milhão ou infinito MCCXXIII

Leia a íntegra da entrevista de Suzana Wollman e Maria Emilia Quaranta, confira os vídeos de atividades feitos no Programa de Formação em Matemática e brinque com jogos numéricos em w.novaescola.org.br

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