Apostila cálculo 1, Notas de estudo de Cálculo

Baixe Apostila cálculo 1 e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof Cálculo Diferencial e Integral 1 AULA 01 1 - FUNÇÕES 1.1 - Conceito matemático de função Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente. Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente. Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos. Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois conjuntos. Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se produto cartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B . (Eq.1) A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }. Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B a qualquer subconjunto de A × B . (Eq.2) r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B . Exemplo: Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que y =2 x , x ∈ A e y ∈ B . Escrever os elementos dessa relação r . Como x ∈ A : x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ; x =1 ⇒ y =2 ⇒ (1,2)∈ A × B ; x =2 ⇒ y =4 ⇒ (2,4)∈ A × B ; x =3 ⇒ y =6 ⇒ (3,6)∈ A × B . Então, r ={(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}. 3210 1 2 3 4 5 6 y x 7 8 9 10 [Fig.1]: Representação da relação por diagrama. [Fig.2]: Representação da relação por sistema cartesiano. 0 0A B 1 2 3 2 4 6 8 10 r Cálculo Diferencial e Integral 4 1.4 - Domínio, contradomínio e imagem de uma função Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por: f : A→B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B ) x a y = f ( x ) (a cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈ B ) O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio da função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x . O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio. Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im . Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma. f : A→B x a y = f ( x ) D = A , CD = B , Im ={ y ∈CD / y é correspondente de algum valor de x }. Exemplos: 1) Dados os conjuntos A ={−3,−1,0,2} e B ={−1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem da função f : A→B definida por f ( x )= x +2. f (−3)=(−3)+2=−1 f (−1)=(−1)+2=1 f (0)=(0)+2=2 f (2)=(2)+2=4 A B 0 2 0 1 2 3 4 -3 -1 -1 Im ={−1,1,2,4} 2) Dada a função f : R →R definida por f ( x )=a x +b , com a ,b ∈R , calcular a e b , sabendo que f (1)=4 e f (−1)=−2. A lei de formação da função é f ( x )=a x +b ou y = a x +b . f (1)=4 ⇒ x =1 e y =4 ⇒ 4=a ⋅1+b (i) f (−1)=−2 ⇒ x =−1 e y =−2 ⇒ −2=a ⋅(−1)+b (ii) De (i) e (ii), temos: a + b = 4 −a + b = −2 2b = 2 ⇒ b =1 e a =3 a =3 e b =1 ⇒ f ( x )=3 x +1. Cálculo Diferencial e Integral 5 1.5 – Função Composta Tome as funções f : A→B , definida por f ( x )=2 x , e g : B →C , definida por g ( x )= 2x . Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g . f : A→B : a cada x ∈ A associa-se um único y ∈ B , tal que y =2 x . g : B →C : a cada y ∈ B associa-se um único z ∈C , tal que z = 2y . Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A→C , que faz a composição entre as funções f e g : A B C g h f x y z [Fig. 1]: Função composta h : A→C : a cada x ∈ A associa-se um único z ∈C , tal que z = 2y = 22 )( x =4 2x . Essa função h de A em C , dada por h ( x )=4 2x , é denominada função composta de g e f . De um modo geral, para indicar como o elemento z ∈C é determinado de modo único pelo elemento x ∈ A , escrevemos: z = g ( y )= g ( f ( x )) Notação: A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f ) (Eq.3) ( g o f )( x )= g ( f ( x )) Exemplos: 1) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( x )= x +1 e g ( x )=2 2x −3. Determine: a) f ( g ( x )). f ( g ( x ))= f (2 2x −3)=2 2x −3+1=2 2x −2 f ( g ( x ))=2 2x −2. b) g ( f ( x )). g ( f ( x ))= g ( x +1)=2 21)( +x −3=2( 2x +2 x +1)−3=2 2x +4 x +2−3=2 2x +4 x −1 g ( f ( x ))=2 2x +4 x −1. c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x ))= g ( f ( x )). f ( g ( x ))= g ( f ( x )) 2 2x −2=2 2x +4 x −1 −2=4 x −1 4 x =1−2 x =− 4 1 . Cálculo Diferencial e Integral 6 3210 1 2 3 4 y x-1 -2 -1-2 4 f f -1 2) Sendo f ( x )=3 x −1 e f ( g ( x ))=6 x +8, determine g ( x ). Como f ( x )=3 x −1, então f ( g ( x ))=3⋅ g ( x )−1. Como f ( g ( x ))=6 x +8, então 3⋅ g ( x )−1=6 x +8. 3⋅ g ( x )−1=6 x +8 3⋅ g ( x )=6 x +8+1 g ( x )= 3 96 +x g ( x )=2 x +3. 1.6 – Função Inversa Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condições abaixo: • 1. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio. • 2. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio. Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa 1−f se for bijetora. 1.6.1 – Determinação da Função Inversa Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa. Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida “isolamos” o y , obtendo a lei que define a função inversa. É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida. Exemplo: 1) Obter a lei da função inversa 1−f da função f dada por y = x +2. y = x +2 ⇒ função f . x = y +2 ⇒ trocando a variável x por y e y por x . y = x −2 ⇒ isolando y . Então, y = x −2 é a lei da função inversa da função dada por y = x +2. Logo: f ( x )= x +2 e 1−f ( x )= x −2 2) Construir os gráficos das funções f e 1−f do exercício anterior, num mesmo sistema de coordenadas. x f ( x ) x 1−f ( x ) −1 1 1 −1 0 2 2 0 1 3 3 1 2 4 4 2 Note que os gráficos das funções f e 1−f são simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes do 1o e 3o quadrantes. Cálculo Diferencial e Integral 9 2.1.2 – Gráfico de uma função polinomial do 1o grau Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores do domínio à variável x e calculamos as respectivas imagens. Exemplo: Construir o gráfico da função real f dada por y =2 x −1. x y Par ordenado −2 −5 (−2,−5) −1 −3 (−1,−3) 0 −1 (0,−1) 1 1 (1,1) 2 3 (2,3) 3 5 (3,5) 3210 1 2 3 4 y x-1 -2 -1-2 4 5 -3 -4 -5 Definição 9: O gráfico da função linear y =a x ( a ≠0) é sempre uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano. Definição 10: O gráfico da função polinomial do 1o grau y =a x +b ( a ≠0) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,b ). 2.1.3 – Determinação de uma função a partir do gráfico Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x )=a x +b . Exemplo: 1) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é: 3210 1 2 3 4 y x-1 -2 -1-2 4 5 -3 -4 -5 Cálculo Diferencial e Integral 10 Sabendo-se que y =a x +b , do gráfico, temos que: x =−1 e y =−1 ⇒ −1=a ⋅(−1)+b ⇒ −a +b =−1 (i). x =1 e y =3 ⇒ 3=a ⋅(1)+b ⇒ a +b =3 (ii). (i) −a + b = −1 (ii) a + b = 3 2b = 2 ⇒ b =1 Se b =1, então a +b =3 ⇒ a +1=3 ⇒ a =2 Logo: A função é f ( x )=2 x +1. 2) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é: 3210 1 2 3 4 y x-1 -2 -1-2 4 5 -3 -4 -5 Sabendo-se que y =a x +b , do gráfico, temos que: x =1 e y =1 ⇒ 1=a ⋅(1)+b ⇒ a +b =1 (i). x =2 e y =−2 ⇒ −2=a ⋅(2)+b ⇒ 2 a +b =−2 (ii). (i) a + b = 1 ⋅(−1) −a − b = −1 (ii) 2 a + b = −2 2 a + b = −2 a = −3 ⇒a =−3 Se a =−3, então −3+b =1 ⇒ ⇒ b =4 Logo: A função é f ( x )=−3 x +4. 2.1.4 - Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x )=a x +b . Podemos determinar que: • i) A função f é crescente se o coeficiente a >0; • ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0. Exemplo: Cálculo Diferencial e Integral 11 Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir: i) f ( x )=2 x +1 ii) g ( x )=−2 x +1 3210 1 2 3 4 y x-1 -2 -1-2 4 5 -3 -4 -5 3210 1 2 3 4 y x-1 -2 -1-2 4 5 -3 -4 -5 i) Aumentando os valores atribuídos a x , aumentam também os valores correspondentes da imagem f ( x ). ii) Aumentando os valores atribuídos a x , diminuem os valores correspondentes da imagem g ( x ). 2.1.5 - Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau Definição 11: Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x temos f ( x )>0, f ( x )<0 ou f ( x )=0. 2.1.5.1 - Zero de uma função polinomial do 1o grau Definição 12: Denomina-se zero ou raiz da função f ( x )=a x +b o valor de x que anula a função, isto é, torna f ( x )=0. Definição 13: Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )=a x +b , a ≠0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x . Exemplo: Dada a lei de formação da função y =−2 x −4, construir o gráfico e determinar os valores reais de x para os quais: a) y =0; b) y >0 e c) y <0. Podemos notar que a função é decrescente, pois a <0. O zero da função é: −2 x −4=0 ⇒ −2 x =4 ⇒ 2 x =−4 ⇒ x =−2. Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa x =−2. A solução do problema é: • a) f ( x )=0 ⇒ { x ∈ R ; x =−2}; • b) f ( x )>0 ⇒ { x ∈ R ; x <−2}; • c) f ( x )<0 ⇒ { x ∈ R ; x >−2}. 3210 1 2 3 4 y x-1 -2 -1-2 4 5 -3 -4 -5 5-3-4-5 Cálculo Diferencial e Integral 14 2.2.3 - Inequação-produto e inequação-quociente Uma inequação do 2o grau do tipo 2x +2 x −8≥0 pode ser expressa por um produto de inequações do 1o grau, fatorando o 1o membro da desigualdade: 2x +2 x −8≥0 ⇒ ( x −2)⋅( x +4)≥0. Definição 17: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1o grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Exemplos: 1) Resolver a inequação ( 2x + x −2)⋅(− x +2)≤0. ( 2x + x −2)⋅(− x +2)≤0 ⇒ ( x +2)⋅( x −1)⋅(− x +2)≤0 f(x) = x +2 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −2 a > 0 g(x) = x −1 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 1 a > 0 h(x) = − x +2 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 2 a < 0 x -2 2 ( )g x( )f x( )h x( )x( )x( )f g h 1 S={ x ∈ R ; −2≤ x ≤1 ou x ≥2} 2) Resolver a inequação 2 13 − +− x x ≥0. f(x) = −3 x +1 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = 1/3 a < 0 g(x) = x −2 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 2 a < 0 x 2 ( )g x( )f x( ) x( )f g 13 S={ x∈R ; 3 1 ≤ x <2} Cálculo Diferencial e Integral 15 3) Resolver a inequação 2 92 − − x x ≤0. 2 92 − − x x ≤0 ⇒ 2 33 − −⋅+ x xx )()( ≤0 f(x) = x +3 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −3 a > 0 g(x) = x −3 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 3 a > 0 h(x) = x −2 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 2 a > 0 x -3 3 ( )g x( )f x( )h x( ) x( )x( )f g h 2 S={ x∈R ; x ≤−3 ou 2< x ≤3} 4) Determine o domínio da função y = 5 322 − −+ x xx . 5 322 − −+ x xx ≥0 ⇒ 5 13 − −⋅+ x xx )()( ≥0 f(x) = x +3 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −3 a > 0 g(x) = x −1 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 1 a > 0 h(x) = x −5 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 5 a > 0 x -3 5 ( )g x( )f x( )h x( ) x( )x( )f g h 1 D={ x∈R ; −3≤ x ≤1 ou x >5} Cálculo Diferencial e Integral 16 AULA 02 – EXERCÍCIOS 1) Dada a função f(x) = 5x – 2, determine: a) f(2) b) o valor de x para que f(x) = 0 2) Em uma função polinomial do 1o grau, y = f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. Escreva a função f e calcule ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− 2 1f 3) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$900,00 e uma variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a lei da função que representa seu salário mensal b) Calcular o salário do vendedor que durante um mês ele vendeu R$ 50.000,00 em produtos 4) Num determinado país, o gasto governamental com educação, por aluno em escola pública, foi de 3.000 dólares no ano de 1985, e de 3.600 dólares em 1993. Admitindo que o gráfico do gasto por aluno em função do tempo seja constituído de pontos de uma reta: a) Obtenha a lei que descreve o gasto por aluno (y) em função do tempo (x), considerando x = 0 para o ano de 1985, x = 1 para o ano de 1986, x = 2 para o ano de 1987 e assim por diante. b) Em que ano o gasto por aluno será o dobro do que era em 1985? 5) Considere as funções f e g definidas em R por f(x) = 8 – x e g(x) = 3x a) Ache as raízes das funções f e g b) Sabendo que os gráficos de f e g são retas concorrentes, calcule as coordenadas do ponto de intersecção. 6) Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x) ≤ 0 7) Determinar o conjunto verdade da inequação: 6 2 42 )1(4 3 1 xxxx − +> − + − 8) Resolver o sistema ⎩ ⎨ ⎧ <−− ≥− 03 512 x x 9) João possui um terreno de 1000m2, no qual pretende construir uma casa. Ao engenheiro responsável pela planta, ele impõe as seguintes condições: a área destinada ao lazer (piscina, churrasqueira, etc) deve ter 200m2, e a área interna da casa mais a área de lazer devem ultrapassar 50% da área total do terreno; além disso, o custo para construir a casa deverá ser de, no máximo, R$ 200.000,00. Sabendo que o metro quadrado construído nessa região custa R$ 500,00, qual é a área interna da casa que o engenheiro poderá projetar? 10) Determinar o domínio da função 3 1 +− − = x xy Respostas: 1) a) 8 b) 2/5 2) f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7 3) a) y = 900 + 0,08x b) R$ 4900,00 4) a) y = 75x + 3000 b) 2025 5) a) 8 e 0 b) (2, 6) 6) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≥∈= 2 1| xRxS 7) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ <∈= 21 16| xRxS 8) { }3| ≥∈= xRxS 9) entre 300m2 e 400m2 10) { }31| <≤∈= xRxD Cálculo Diferencial e Integral 19 Uma forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é: • Vx = 2 21 xx + , já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola; • Vy =a 2 Vx +b Vx +c , já que o Vx foi obtido acima. Outra forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é aplicando as fórmulas: • Vx =− a b 2 e Vy =− a4 Δ . 2.3.5 - Gráfico de uma parábola Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática. Exemplos: 1) Construir o gráfico da função y = 2x +2 x , determinando sua imagem. a =1>0 ⇒ concavidade voltada para cima. Zeros da função: 2x +2 x =0 ⇒ x ( x +2)=0 ⇒ 1x =0 e 2x =−2. Ponto onde a parábola corta o eixo y : x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0) Vértice da parábola: V x =− a b 2 =− 2 2 =−1 Vy =− a4 Δ =− 4 4 =−1 ⇒ V (−1,−1) Imagem: y ≥−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≥−1} 3210 1 2 3 4 y x-1 -2 -1-2 4 5 -3 -4 -5 5-3-4-5 V 2) Construir o gráfico da função y =− 2x +4 x −5, determinando sua imagem. a =−1<0 ⇒ concavidade voltada para baixo. Zeros da função: − 2x +4 x −5=0 ⇒ Δ=−4. ∃/ zeros reais. Ponto onde a parábola corta o eixo y : x =0 ⇒ y =−5 ⇒ (0,−5) Vértice da parábola: V x =− a b 2 =− 2 4 − =2 Vy =− a4 Δ =− 4 4 − − =−1 ⇒ V (2,−1) Imagem: y ≤−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≤−1} 3210 1 2 3 4 y x-1 -2 -1-2 4 5 -3 -4 -5 5-3-4-5 V Cálculo Diferencial e Integral 20 2.3.6 - Estudo do sinal da função quadrática Os valores reais de x que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo. f ( x )=a 2x +b x + c com ( a , b e c ∈ R e a ≠0) a >0 a <0 xx2x1 x x1 x2 f ( x )>0 para x < 1x ou x > 2x f ( x )<0 para x < 1x ou x > 2x f ( x )<0 para 1x < x < 2x f ( x )>0 para 1x < x < 2x f ( x )=0 para x = 1x ou x = 2x f ( x )=0 para x = 1x ou x = 2x xx2x1 x x2x1 f ( x )>0 para x ≠ 1x f ( x )<0 para x ≠ 1x f ( x )<0 ∃/ x real f ( x )>0 ∃/ x real f ( x )=0 para x = 1x = 2x f ( x )=0 para x = 1x = 2x x x f ( x )>0 ∀ x real f ( x )<0 ∀ x real f ( x )<0 ∃/ x real f ( x )>0 ∃/ x real f ( x )=0 ∃/ x real f ( x )=0 ∃/ x real 2.4 - Inequações do 2o grau Definição 21: Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: • a 2x +b x + c ≥0; • a 2x +b x + c >0; • a 2x +b x + c ≤0; • a 2x +b x + c <0. com a , b , c∈ R e a ≠0. Cálculo Diferencial e Integral 21 2.4.1 - Resolução de inequações do 2o grau Definição 22: Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S). Exemplo: 1) Resolver a inequação 2x −3 x +2>0. Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x −3 x +2. a =1>0 ⇒ Concavidade para cima. 2x −3 x +2=0 Δ=1>0 ⇒ Duas raízes reais diferentes. 1x =1 x = 2 13± 2x =2 x21 S={ x ∈ R ; x <1 ou x >2}. Obs: somente valores positivos. 2) Resolver a inequação 2x −10 x +25≥0. Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x −10 x +25. a =1>0 ⇒ Concavidade para cima. 2x −10 x +25=0 Δ=0 ⇒ Raiz dupla (única). 1x = 2x = 2 10 x =5 x5 S=R . Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero. 3) Resolver a inequação −2 2x +5 x −6≥0. Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( x )=−2 2x +5 x −6. a =−2<0 ⇒ Concavidade para baixo. −2 2x +5 x −6=0 Δ=−23<0⇒ Não possui zeros reais. ∃/ x real x S=∅. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero. 2.4.2 - Sistemas de inequações do 2o grau Definição 23: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. Cálculo Diferencial e Integral 24 x -4 ( )g x( )f x( )x( )f g 1 3-1 S={ x ∈ R ; −4< x <−1 ou 1< x <3}. 2) Resolver a inequação 16 65 2 2 − +− x xx ≥0. Resolução f(x) = 2x −5 x +6 ⇒ a > 0 ⇒ Δ=1 > 0 ⇒ 1x = 2 e 2x = 3 g(x) = 2x −16 ⇒ a > 0 ⇒ Δ=64 > 0 ⇒ 1x = −4 e 2x = 4 f(x) g(x) x32 x4-4 x32 x4-4 x -4 ( )g x( )f x( ) x( )f g 3 42 S={ x ∈ R ; x <−4 ou 2≤ x ≤3 ou x >4}. 3) Determine o domínio da função f ( x )= 6 1032 − −− x xx . Resolução f só representa um número real se 6 1032 − −− x xx ≥0. f(x) = 2x −3 x −10 ⇒ a > 0 ⇒ Δ=49 > 0 ⇒ 1x = −2 e 2x = 5 g(x) = x −6 ⇒ a > 0 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 6 f(x) g(x) x5-2 x6 x5-2 x6 Cálculo Diferencial e Integral 25 x -2 ( )g x( )f x( ) x( )f g 5 6 D ={ x ∈ R ; −2≤ x ≤5 ou x >6}. AULA 03 – EXERCÍCIOS 1) Considere a função f do 20 grau, onde f(0) = 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de formação dessa função e calcule f(5). 2) Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função y = 3x2 – x + m passe pelo ponto (1, 6) 3) Determinar os zeros da função y = x2 – 4x – 5 4) Seja a função f(x) = x2 – 2x + 3k. Sabendo que essa função possui dois zeros reais iguais, determine o valor real de k. 5) A função f(x) = x2 + kx + 36 possui duas raízes reais, m e n, de modo que 12 511 =+ nm . Determine o valor de f(-1) nessa função 6) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f(x) = - 5x2 + 3x – 1. 7) Determinar a e b de modo que o gráfico da função definida por y = ax2 + bx – 9 tenha o vértice no ponto (4, - 25) 8) Determinar o conjunto imagem da função f(x) = x2 – 3x + 2 9) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor? 10) Considerar todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igual a 80 cm. Dentre esses retângulos, determinar aquele que terá área máxima. Qual será essa área? 11) Determinar p de modo que a função f(x)= px2 + (2p – 1)x + p assuma valores positivos para todo x real. 12) Resolver a inequação –x2 + 1 ≤0 13) Determinar o conjunto solução da inequação x2 – 10x + 25 ≥ 0 14) Resolver a inequação x – 4 <x2 – 4 ≤ x + 2 15) Resolver a inequação 1 3 12 < + + x x Respostas 1) f(x) = - 3x2 + x + 5 f(5) = - 65 2) 4 3) 5 e -1 4) 1/3 5) 52 6) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 20 11, 10 3V 7) a = 1 e b = - 8 8) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −≥∈= 4 1/Im yRy 9) O valor mínimo da função é y = - 25/4 10) O retângulo que terá a maior área será o de lados 20 cm e 20cm, e a área máxima será de 400 cm2. 11) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ >∈ 4 1/ pRp 12) { }1,,1| ≥−≤∈= xouxRxS 13) S = R 14) { 02| <≤−∈= xRxS ou }31 ≤< x 15) S = {x ∈ R| x < - 3 ou -1< x <2} Cálculo Diferencial e Integral 26 AULA 04 3 – FUNÇÃO EXPONENCIAL 3.1 – Revisão de Potenciação 3.1.1 - Potências com expoente natural Sendo a um número real e n um número natural, com n ≥2, definimos: (Eq.4) na = 43421 K fatores n aaaa ⋅⋅⋅⋅ . Para n =1 e n =0 são definidos: (Eq.5) 1a =a . (Eq.6) 0a =1 ( a ≠0). 3.1.2 - Potências com expoente inteiro Se a é um número real não-nulo (a ≠0) e n um número inteiro e positivo, definimos: (Eq.7) na− = na 1 . 3.1.3 - Potências com expoente racional Se a é um número real positivo e n m um número racional, com n inteiro positivo, definimos: (Eq.8) n m a = n ma . 3.1.4 -Potências com expoente real Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos números reais. Temos, por exemplo: 210 =25,954553519470080977981828375983. 3.1.4.1 - Propriedades Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias: • ma ⋅ na = nma + . • ma : na = nma − ( a ≠0). • nma )( = nma ⋅ . • nba )( ⋅ = na ⋅ nb . • n b a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n n b a (b ≠0). Cálculo Diferencial e Integral 29 3) Determine o conjunto solução da equação 281 +x =1 no universo dos números reais. Resolução Sabendo que 081 =1, temos: 281 +x =1 ⇒ 281 +x = 081 ⇒ x +2=0 ⇒ x =−2. S={−2}. 3.2.2 - Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas transformações e artifícios. Exemplos: 1) Resolver a equação x4 −5⋅ x2 +4=0. Resolução Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada: x4 −5⋅ x2 +4=0 ⇒ x)( 22 −5⋅ x2 +4=0 ⇒ 22 )( x −5⋅ x2 +4=0. Fazendo x2 = y , temos a equação do 2o grau em y : 2y −5 y +4=0 ⇒ y = 2 16255 −± ⇒ 1y =4 e 2y =1. Voltando à igualdade x2 = y : 1y =4: x2 = y ⇒ x2 =4 ⇒ x2 = 22 ⇒ x =2. 2y =1: x2 = y ⇒ x2 =1 ⇒ x2 = 02 ⇒ x =0. S={0,2}. 2) Determine o conjunto solução da equação x5 − x−25 =24. Resolução Preparando a equação, temos: x5 − x−25 =24 ⇒ x5 − 25 ⋅ x−5 =24 ⇒ x5 −25⋅ x5 1 =24 ⇒ x5 − x5 25 =24. Fazendo x5 = y , temos: y − y 25 =24 ⇒ 2y −25=24 y ⇒ 2y −24 y −25=0 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ −= = 1 25 2 1 y y Voltando à igualdade x5 = y : 1y =25: x5 = y ⇒ x5 =25 ⇒ x5 = 25 ⇒ x =2. 2y =−1: x5 = y ⇒ x5 =−1 ⇒ Esta equação não tem raiz em R , pois x5 >0, para todo x real. S={2}. 3.3 - Função exponencial Definição 27: A função f : R → R dada por f ( x )= xa (com a >0 e a ≠1) é denominada função exponencial de base a . Cálculo Diferencial e Integral 30 3.3.1 - Gráfico da função exponencial no plano cartesiano Dada a função f : R →R , definida por f ( x )= xa (com a >0 e a ≠1), temos dois casos para traçar seu gráfico: (i) a >1 e (ii) 0<a <1. • (i) a >1. 1) Traçar o gráfico de f ( x )= x2 . x f ( x )= x2 −2 4 1 −1 2 1 0 1 1 2 2 4 3 8 3210 6 7 8 y x-1-2 4-3-4 1 2 3 4 5 OBS.1: Quanto maior o expoente x , maior é a potência xa , ou seja, se a >1 a função f ( x )= xa é crescente. • (ii) 0<a <1. 2) Traçar o gráfico de f ( x )= x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 . x f ( x )= x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 −3 8 −2 4 −1 2 0 1 1 2 1 2 4 1 3210 6 7 8 y x-1-2 4-3-4 1 2 3 4 5 Cálculo Diferencial e Integral 31 Obs.2: Quanto maior o expoente x , menor é a potência xa , ou seja, se 0<a <1 a função f ( x )= xa é decrescente. Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações: 3.3.2 - Características da função exponencial Seja f : R →R , definida por f ( x )= xa (com a >0 e a ≠1). • Domínio da função f são todos os números reais ⇒ D =R . • Imagem da função f são os números reais positivos ⇒ Im = ∗+R . • A curva da função passa pelo ponto (0,1). • A função é crescente para a base a >1. • A função é decrescente para a base 0< a <1. 3.4 - Inequações exponenciais Definição 28: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente. 3.4.1 - Resolução de inequações exponenciais Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes: • 1) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; • 2) Verificar a base da exponencial, a >1 ou 0<a <1, aplicando as propriedades abaixo. Caso (i): a >1 Caso (ii): 0<a <1 ma > na ⇒ m > n ma > na ⇒ m < n As desigualdades têm mesmo sentido As desigualdades têm sentidos diferentes Exemplos: 1) Resolva a inequação x2 >32. Resolução Como 52 =32, a inequação pode ser escrita: x2 > 52 ⇒ Caso (i): a >1. ⇒ x >5. S={ x∈R ; x >5}. 2) Resolva a inequação xx 23 2 3 +)( ≥1. Resolução xx 23 23 +)( ≥1 ⇒ xx 23 2 3 +)( ≥ 03)( ⇒ Caso (i): a >1. ⇒ 3 2x +2 x ≥0 Tome f ( x )=3 2x +2 x f ( x )=0 ⇒ 3 2x +2 x =0 ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= 0 3 2 2 1 x x x023 S={ x ∈ R ; x ≤−2/3 ou x ≥0}. Cálculo Diferencial e Integral 34 • 1) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero. 1alog =0, pois 0a =1. • 2) O logaritmo da própria base é igual a 1. aalog =1, pois 1a =a . • 3) O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente. m a alog =m , pois ma = ma . • 4) O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b . baa log =b , pois xa =b ⇔ x = balog . 4.3 - Propriedades dos logaritmos • 1) Logaritmo de produto )(log yxa ⋅ = xalog + yalog (1≠ a >0, x >0 e y >0). • 2) Logaritmo de quociente ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ y x alog = xalog − yalog (1≠ a >0, x >0 e y >0). • 3) Logaritmo de potência m a xlog =m ⋅ xalog (1≠ a >0, x >0 e m ∈ R ). 4.4 - Cologaritmo Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1≠ a >0) é o logaritmo do inverso desse número b na base a . (Eq.10) bco alog = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ba 1log ⇒ bco alog =− balog (1≠ a >0 e b >0). Exemplo: Sabendo que log 3=a e log 5=b , calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b . • a) log 15 log 15= log (3⋅5)= log 3+ log 5=a +b . • b) log 675 log 675= log ( 33 ⋅ 25 )= log 33 + log 25 =3 log 3+2 log 5=3 a +2b . • c) log 2 log 2= log 5 10 = log 10− log 5=1−b . 4.5 - Mudança de base As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única base. A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base. Cálculo Diferencial e Integral 35 Seja: balog = x ⇒ xa =b . Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos: x c alog = bclog ⇒ x ⋅ aclog = bclog ⇒ x = a b c c log log , mas x = balog . Então: (Eq.11) balog = a b c c log log (1≠ a >0, 1≠c >0 e b >0). Exemplos: 1) Sendo log 2=0,3 e log 3=0,4, calcule 62log . 62log = 2 6 log log = 2 32 log )log( ⋅ = 2 32 log loglog + = 30 4030 , ,, + = 30 70 , , = 3 7 . 2) Resolva a equação x2log + x4log + x16log =7. A condição de existência é x >0. Transformando para a base 2: x2log + x4log + x16log =7 x2log + 42 2 log log x + 162 2 log log x =7 x2log + 2 2 xlog + 4 2 xlog =7 4 24 222 xxx logloglog ++ = 4 28 7 x2log =28 x2log =4 42 = x x =16 ⇒ 16 satisfaz a condição de existência. Logo, o conjunto solução é: S={16}. 3) Resolva a equação 2log ( x +2)+ 2log ( x −2)=5. Condições de existência são: x +2>0 e x −2>0 ⇒ x >−2 e x >2. Então: x >2. 2log ( x +2)+ 2log ( x −2)=5 2log [( x +2)⋅( x −2)]=5 ( x +2)⋅( x −2)= 52 2x −4=32 2x =36 2x =±6 ⇒ −6 não satisfaz a condição de existência mas, 6 satisfaz. Logo, o conjunto solução é: S={6}. Cálculo Diferencial e Integral 36 4.6 - Função logarítmica A função exponencial g : R → ∗+R definida por g ( x )= xa (com 1≠ a >0) é bijetora. Nesse caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo. Definição 30: A função f : ∗+R → R definida por f ( x )= xalog (com 1≠ a >0) é chamada função logarítmica de base a . 4.6.1 - Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico da função exponencial. Seja f : ∗+R →R , tal que y = xalog e 1−f : R → ∗+R , tal que y = xa . Os gráficos de f e 1−f serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal. • (i) a >1. 3210 6 7 8 y x-1-2 4-3-4 1 2 3 4 5 =y x log xa=y =y xa Gráfico da função logarítmica e exponencial ( a >1). • (ii) 0<a <1. 3210 6 7 8 y x-1-2 4-3-4 1 2 3 4 5 =y xa =y x log xa=y Gráfico da função logarítmica e exponencial (0< a <1). Cálculo Diferencial e Integral 39 AULA 06 5 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 5.1 - Seno e cosseno de um arco: Tome o arco α dado na figura abaixo: A P O α N M [Fig.5] Arco α para o conceito de seno e cosseno. Seno de um arco é a ordenada do ponto P. (Eq.12) senα=ON =MP . Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P. (Eq.13) cosα=OM = NP . 5.1.1 – Conseqüências: Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que −1 nem maiores que +1. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre −1 e +1, o que nos permite concluir: (Eq.14) −1 ≤ sen α ≤ 1 e −1 ≤ cosα ≤ 1 5.1.2 - Função seno e função cosseno Função seno é a função que associa a cada arco x ∈R o número sen x ∈ R , ou y = sen x . Função cosseno é a função que associa a cada arco x ∈ R o número cos x ∈ R , ou y =cos x . 5.1.3 - Gráfico das funções seno e cosseno Para estudar a função seno ( y = sen x ) e a função cosseno ( y =cos x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. 5.1.3.1 - Função seno: y = sen x AO O π2π3π4π6 π π 2 3 π2 1 1 y x [Fig.6]Gráfico da função seno. Cálculo Diferencial e Integral 40 5.1.3.2 - Conclusões • O domínio da função y = sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D = R . • A imagem da função y = sen x é o intervalo [−1,+1], isto é, −1≤ sen x ≤+1. • Toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x , a função seno assume o mesmo valor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = sen x é p =2π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco x . Quando adicionamos 2 k π ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a função seno é periódica de período 2π. (Eq.15) sen x = sen ( x +2 k π), k ∈Z (Inteiros). 5.1.3.3 - Seno é função ímpar No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e − x têm imagens simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen (− x )=− sen x . Quando uma função f é tal que f (− x )=− f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos que f é uma função ímpar. Como sen (− x )=− sen x , para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar. 5.1.3.4 - Função cosseno y =cos x AO O π2π3π4π6 π π 2 3 π2 1 1 y x [Fig. 2]: Gráfico da função cosseno. 5.1.3.5 - Conclusões • O domínio da função y =cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D = R . • A imagem da função y =cos x é o intervalo [−1,+1], isto é, −1≤cos x ≤+1. • O período da função y =cos x é p =2π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco x . Quando adicionamos 2 k π ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a função cosseno é periódica de período 2π. (Eq.16) cos x =cos ( x +2 k π), k ∈Z (Inteiros). 5.1.3.6 - Cosseno é função par No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e − x têm imagens simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa. Então, cos (− x )=cos x . Cálculo Diferencial e Integral 41 Quando uma função f é tal que f (− x )= f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos que f é uma função par. Como cos (− x )=cos x , para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par. Exemplos: 1) Construa o gráfico da função y =2sen x , dando o domínio, a imagem e o período. x sen x 2 sen x y 0 0 2⋅0 0 2 π 1 2⋅1 2 π 0 2⋅0 0 2 3π −1 2⋅(−1) −2 2π 0 2⋅0 0 O π2 π π 2 3 π2 1 1 y x 2 2 Observando o gráfico, temos: D = R , Im =[−2,2], e p =2π. 2) Construa o gráfico da função y =cos 2 x , dando o domínio, a imagem e o período. 2 x x cos 2 x y 0 0 1 1 2 π π 0 0 π 2π −1 −1 2 3π 3π 0 0 2π 4π 1 1 Observando o gráfico, temos: D = R , Im =[−1,1], e p =4π. 5.2 - Tangente de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo: A P O α N M T eixo das tangentes [Fig. 3]: Arco α para o conceito de tangente. O π π π 2 3 π4 1 1 y x Cálculo Diferencial e Integral 44 5.3.5 - Cotangente é uma função ímpar Como cot (− x )=−cot x , para todo x real, com x ≠ k π ( k ∈Z ), podemos afirmar que a função cotangente é ímpar. 5.4 - Secante e cossecante de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo: A P O α N M S D [Fig. 7]: Arco α para o conceito de secante e cossecante. Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D. (Eq.20) sec α=OS . (Eq.21) seccos α=OD . 5.4.1 - Função secante e cossecante Função secante é a função que associa a cada arco x ∈R , com x ≠ 2 π + k π ( k ∈Z ), o número sec x ∈ R , ou y = sec x Função cossecante é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈Z ), o número seccos x ∈ R , ou y = seccos x . 5.4.2 - Gráfico da função secante Para estudar a função secante ( y = sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. AO O π 2π 3 π 4 π 6 π π 2 3 π2 1 1 y x 1,15 1,41 2 1,15 1,41 2 [Fig. 8]: Gráfico da função secante. Cálculo Diferencial e Integral 45 5.4.3 - Conclusões • O domínio da função y = sec x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ 2 π + k π ( k ∈Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ 2 π + k π, k ∈Z }. • A imagem da função y = sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈ R / y ≥1 ou y ≤−1}. • Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função secante assume o mesmo valor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = sec x é p =2π. (Eq.22) sec ( x +2 k π)=sec x , k ∈Z . 5.4.4 - Gráfico da função cossecante Para estudar a função cossecante ( y = seccos x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. O π2 π 3 π 4 π 6 π π 2 3 π2 1 1 y x 1,15 1,41 2 1,15 1,41 2 AO [Fig. 9]: Gráfico da função cossecante. 5.4.5 - Conclusões • O domínio da função y = seccos x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ k π, k ∈Z }. • A imagem da função y = seccos x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈ R / y ≥1 ou y ≤−1}. • Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função cossecante assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = seccos x é p =2π. (Eq.23) seccos ( x +2 k π)= seccos x , k ∈Z . 5.5 - Relações trigonométricas Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas têm muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como base o ciclo trigonométrico e um ângulo α dado. Cálculo Diferencial e Integral 46 A P O α N M S D C eixo das cotangentesB T eixo das tangentes [Fig. 10]: Funções trigonométricas no ciclo. Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo α: sen α=ON ; cosα=OM ; tanα= AT ; cot α= BC ; sec α=OS e seccos α=OD . Analisando as funções no ciclo e fixando inicialmente o ângulo α, podemos fazer as seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas: C B O α A E F D cosα cotα tanαsenα sec α cos sec α 1 unidade [Fig. 11]: Funções adaptadas no ciclo. Com as novas adaptações, temos as seguintes funções: sen α= AB ; cosα=OA ; tanα=CD ; cot α=OE ; sec α=OD e seccos α=OF . Daí tiram-se três triângulos semelhantes: ΔOAB ≡ΔOCD ≡ΔOEF . CO α D tanαsec α B O α Acosα senα1 1 O α E F cotα cos sec α 1 21 3 [Fig. 12]: Triângulos semelhantes. 5.5.1 - Usando o teorema de Pitágoras • sen 2α+cos 2α=1; • tan 2α+1= sec 2α; • cot 2α+1= seccos 2α. 5.5.2 - Usando semelhança entre triângulos Cálculo Diferencial e Integral 49 Levar do triângulo 3 para 2 : sec 2α+ seccos 2α= sec 2α⋅ seccos 2α sec 2α+ α α 2 2 tan sec = sec 2α⋅ α α 2 2 tan sec α ααα 2 222 tan sectansec + = α α 2 4 tan sec α αα 2 22 1 tan )(tansec +⋅ = α α 2 4 tan sec α αα 2 22 tan )(secsec ⋅ = α α 2 4 tan sec α α 2 4 tan sec = α α 2 4 tan sec ⇒ C.Q.D. 4) α α seccos sen =1− α α sec cos CO α D tanαsec α B O α Acosα senα1 1 O α E F cotα cos sec α 1 21 3 Levar dos triângulos 3 e 2 para 1 : α α seccos sen =1− α α sec cos α α sen sen 1 =1− α α cos cos 1 sen 2α=1−cos 2α sen 2α= sen 2α ⇒ C.Q.D. 5) αα αα cossec senseccos − − =cot 3α CO α D tanαsec α B O α Acosα senα1 1 O α E F cotα cos sec α 1 21 3 Cálculo Diferencial e Integral 50 Levar dos triângulos 1 e 2 para 3 : αα αα cossec senseccos − − =cot 3α α α α α α α seccos cot cot seccos seccos seccos − − 1 =cot 3α αα αα α α seccoscot cotseccos seccos seccos 22 2 1 − − =cot 3α ⇒ Obs: seccos 2α−1=cot 2α α α seccos cot2 ⋅ αα αα 22 cotseccos seccoscot − =cot 3α α αα seccos seccoscot3 ⋅ αα 221 1 cotcot −+ =cot 3α cot 3α⋅ 01 1 + =cot 3α cot 3α=cot 3α ⇒ C.Q.D. AULA 06 - EXERCÍCIOS 1) Dado sen x = 3/4 , com 0<x< π /2, calcular cos x. 2) Para que valores de a temos, simultaneamente, senx=a + 1 e cos x = a? 3) Dado 3 3cos −=x , com ππ << x 2 , calcule tg x. 4) Simplifique a expressão αα αα g gtg cotsec cot ⋅ + . 5) Demonstre as seguintes identidades: a) (1 + cotg2x)(1 – cos2x) = 1 b) tg x + cotgx = tg x. Cossec2x c) 2cos1 cos 2cos1 2 xtg x x x xsen = + ⋅ + Respostas: 1) 4 7cos =x 2) a = 0 ou a = -1 3) 2−=tgx 4) sec α Cálculo Diferencial e Integral 51 AULA 07 6 - LIMITES 6.1 - Noção Intuitiva: Seja a função f(x)= 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela sua esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y. x y = 2x + 1 x y = 2x + 1 1,01 0,6 1,02 0,7 1,03 0,9 1,04 0,95 1,1 0,98 1,2 0,99 Notamos que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de ______, ou seja, quando x tende para 1 (x→1), y tende para _____ (y→_____), ou seja: 3)12(lim 1 =+→ xx De forma geral, escrevemos: bxfax =→ )(lim 6.1.1 - Propriedades: 1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax →→→ ±=± 2. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax →→→ ⋅=⋅ 3. )(lim )(lim )( )(lim xg xf xg xf ax ax ax → → → = 4. ( ) *0 ,)(lim)(lim Nnxfxf naxnax ∈= →→ 5. *,)(lim)(lim Nnxfxf n axnax ∈= →→ 6. ( ))(lim))((lim xfsenxfsen axax →→ = Exemplos: 1) =+→ )3(lim 32 1 xxx 2) =→ )cos(lim 3 xxx π 3) = +→ 10 coslim 20 x x x Cálculo Diferencial e Integral 54 AULA 07 - EXERCÍCIOS 1) =+++→ )15(lim 23 1 xxxx 2) =+−−−→ )342(lim 23 1 xxxx 3) =−−− −→ )1224(lim 232 xxxx 4) = − −+ → 5 45lim 2 2 2 x xx x 5) = − +− → 2 107lim 2 2 x xx x 6) = + −+ −→ 3 32lim 2 3 x xx x 7) = +− +− → 12 34lim 5 3 1 xx xx x 8) = − − → 6 36lim 2 6 x x x 9) = + + −→ 2 32lim 5 2 x x x 10) = +−+− −+− → 27543610 27188lim 234 234 3 xxxx xxx x 11) = − − → 42 2lim 2 x x x 12) = − − → 2 4lim 4 x x x 13) = −− → x x x 42 lim 0 14) = − +− → 1 32lim 1 x x x 15) = −+ → 11 lim 0 x x x 16) = − −+ → 2 321lim 4 x x x 17) = −−− −+− → 1153 2232lim 2 2 2 xx xx x Respostas 1) 8 2) 4 3) 526 −− 4) -10 5) -3 6) -4 7) 3 1− 8) 12 9) 80 10) 2 11) 0 12) 4 13) 4 14) 4 1− 15) 2 16) 3 4 17) 14 5 Cálculo Diferencial e Integral 55 AULA 08 6.2 - LIMITES INFINITOS: Quando os valores assumidos pela variável x são tais que |x|> N, sendo N tão grande quanto se queria, então se diz que o limite da variável x é infinito. +∞=+∞→ xxlim ou −∞=−∞→ xxlim 6.2.1 - Igualdades Simbólicas: 6.2.1.1 – Tipo Soma: a. (3) + ( ∞± ) = ∞± b. (+∞ ) + (+∞ ) = + ∞ c. - ∞ + (-∞ ) = - ∞ d. ∞ - ∞ = indeterminado 6.2.1.2 – Tipo Produto: a. 5 x ( ∞± ) = ∞± b. (-5) x ( ∞± ) = ∞m c. (+∞ )x(+∞ ) = + ∞ d. (+∞ )x(-∞ ) = -∞ e. ± ∞ x 0 = indeterminado 6.2.1.3 – Tipo Quociente: a. 0= ∞ c b. ∞= ∞ c c. 00 = ∞ d. 0 0 e = ∞ ∞ indeterminado 6.2.1.4 – Tipo Potência: a. +∞=+∞c (c>1) b. 0=+∞c (0<c<1) c. 00 =∞ d. 0=−∞c e. +∞=+∞ +∞)( f. −∞=−∞ c)( (se c for ímpar) g. +∞=−∞ c)( (se c for par) h. 0)( =+∞ −∞ i. 0)( =±∞ −c j. 00 = indeterminado k. =±∞ 0)( indeterminado l. =±∞1 indetermindado Cálculo Diferencial e Integral 56 Obs.: O limite de uma função polinomial quando x tende ao infinito, é o limite do termo de maior grau. Exemplos: 1) =−++∞← )13(lim 2 xxx 2) = −+ −+− +∞→ 432 1245lim 2 2 xx xxx x 3) = +− −+ −∞→ 3 543lim 2 2 xx xx x 4) −∞→xlim =+ 3 4 5 6 2 x x 5) = −+ + +∞→ 132 18lim 4 4 xx xx x 6) =−−−+++∞→ )11(lim 22 xxxxx Cálculo Diferencial e Integral 59 6) =→ x tgx x 0lim 7) = − → x x x cos1lim 0 8) =→ sennx senmx x 0lim AULA 09 – EXERCÍCIOS 1) =→ x xsen x 2 3lim 0 2) =→ x senx x 4 lim 0 3) =→ x xtg x 3 2lim 0 4) =→ xsen xsen x 3 4lim 0 5) =→ xtg xtg x 5 3lim 0 6) = − → xsenx x x cos1lim 0 7) = − → 20 sec1lim x x x 8) = + → x senxtgx x 0lim 9) = − − → tgx xsenx x 1 coslim 0 10) = − → xsen senxtgx x 20lim 11) = + − → senxx senxx x 0lim 12) = − → xsen xx x 4 3cos5coslim 0 13) = − → senx xsenxsen x 23lim 0 14) = −+ → x senaaxsen x )(lim 0 15) = − → 20 3 2cos1lim x x x Respostas: 1) 3/2 2) ¼ 3) 2/3 4) 4/3 5) 3/5 6) ½ 7) – ½ 8) 2 9) -1 10) 0 11) 0 12) 0 13) 1 14) cos a 15) 2/3 Cálculo Diferencial e Integral 60 AULA 10 6.4 – LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: ex x x =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞→ 11lim (1) Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e, cujo valor aproximado é 2,7182818 Nota-se que a medida que x ∞→ , x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 11 → e De forma análoga, efetuando a substituição y x = 1 e y x 1= temos: ey yy =+→ 1 0 )1(lim (2) Ainda de forma mais geral, temos: (3) kly l y eky =+→ )1(lim 0 (4) kl lx x ex k =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞→ 1lim (5) a x a x x ln 1lim 0 = − → (6) 1 1lim 0 = − → x e x x Exemplos: 1) =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞→ x x x 431lim 2) =+→ xx x 3 0 )21(lim X x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 11 1 2 2 2,25 3 2,3703 10 2,5937 100 2,7048 1000 2,7169 10000 2,7181 100000 2,7182 Cálculo Diferencial e Integral 61 3) = − → x x x 2 13lim 0 4) = − → xsen e x x 2 1lim 0 5) =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞→ x x x 251lim 6) ( ) =+→ xx x 2 0 21lim 7) = − → x x x 12lim 0 8) = −→ 1 3lim 0 xx e xsen 9) = − → xsen e x x 4 1lim 3 0 10) = − → xsen x x 2 13lim 5 0 11) = −+ −− −→ 26 413loglim 2 x x x Cálculo Diferencial e Integral 64 AULA 11 – EXERCÍCIOS 1) =−−+→ )13(lim 2 2 xxx 2) = + − +→ 2 43lim 3 x x x 3) = − +− −→ 13 235lim 2 1 x xx x 4) = +− +− −→ 23 105lim 2 2 3 xx xx x 5) =−++→ )31(lim 3 xx 6) = − +→ 2 lim 2 x x x 7) =+−→ )3(lim 2 2 xx x 8) =++→ )3(lim 2 2 xxx 9) = − −→ 2 3lim 2 x x x 10) = − +→ 2 3lim 2 x x x 11) =−→ x x 1 0 2lim 12) =+→ x x 1 0 2lim 13) = + −→ x x 10 21 4lim 14) = + +→ x x 10 21 4lim 15) Calcule os limites laterais solicitados. a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <+ = >− = 1x se14x 1x se 2 x se x xf 123 )( )(lim 1 xf x +→ , )(lim 1 xf x −→ , )(lim 1 xf x→ b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = <− = 2 x se1-x 2x se 0 x se x xf 21 )( 2 )(lim 2 xf x +→ e )(lim 2 xf x −→ c) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >+ = < = 2 x se7-6xx- 2x se 1 x se 1-3x-x xf 2 22 )( 2 )(lim 2 xf x +→ e )(lim 2 xf x −→ Respostas: 1) 9 2) 1 3) 2 4) 26 5) 1 6) ∞ 7) 10 8) 10 9) -∞ 10) +∞ 11) 0 12) +∞ 13) 4 14) 0 15) a) 1 e 5 b) 1 e -3 c) 1 e 1 Cálculo Diferencial e Integral 65 AULA 12 7 - ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 7.1 – INTRODUÇÃO: Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam. Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para traçarmos a função, onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da assíntota, porém não "toca " esta reta, pois a assintota são os limites laterais vertical e horizontal da função 7.2 – ASSÍNTOTA VERTICAL Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: i. ∞=+→ )(lim xfax ii. −∞=+→ )(lim xfax iii. ∞=−→ )(lim xfax iv. −∞=−→ )(lim xfax 7.3 – ASSÍNTOTA HORIZONTAL Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: i. bxfx =+∞→ )(lim ii. bxfx =−∞→ )(lim Exemplos: 1) Seja a função )1( 2)( − = x xf . Encontre a equação assíntotas horizontais e verticais se ela existirem. Cálculo Diferencial e Integral 66 2) Considere a função 2)2( 43)( − −= x xf . Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se ela existirem. Cálculo Diferencial e Integral 69 AULA 13 9 – DERIVADAS 9.1 – INTRODUÇÃO: O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nas ciências naturais como humanas. O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral na resolução de problemas cotidianos. 9.2 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: Seja f uma função representada no gráfico abaixo: y xx f x( ) Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado ponto, vamos supor P(x, f(x)). Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim, devemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (x, f(x)). y xx f x( ) Cálculo Diferencial e Integral 70 Seja P(x, f(x)) e Q (x + h, f(x +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferença entre as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo. Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q. y x Q P x x + h f x( ) f x+h( ) f x( ) s R Sabemos que o coeficiente angular mPQ da reta secante é dado pr PR QRtgmm sPQ === α h xfhxfms )()( −+ = (i) inclinação da reta secante Podemos tomar no gráfico pontos Q1, Q2, Q3, Q5,....Qn cada vez mais próximos de P, a reta s(PQ) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende a zero. y x Q P x x + h f x( ) f x+h( ) f x( ) s RQ3 Q2 Q1 Logo: h xfhxfm mm xt sxt )()(lim lim 0 0 −+ = = → → onde m representa o coeficiente angular da reta tangente. Esse limite quando existe é chamado Derivada de t Cálculo Diferencial e Integral 71 9.3 – DEFINIÇÃO: Seja uma função f: D → R, e seja D’ o conjunto de todos os valores x tal que exista f’(x). Chama-se função derivada de f a função f’ : D’ → R tal que: x xfxxfxf x Δ −Δ+ = →Δ )()(lim)(' 0 Exemplo: 1) Se f(x) = x2 determine a equação da reta tangente ao gráfico f no ponto de abscissa x = 2 Cálculo Diferencial e Integral 74 9.5 – REGRAS DE DERIVAÇÃO: Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo das derivadas. 1) f(x) = c f’(x) = 0 2) f(x) = xn f’(x) = n.xn-1 3) f(x) = u.v f’(x) = u’v + uv’ 4) f(x) = u.v.w f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’ 5) v uxf =)( 2 '')(' v uvvuxf −= 6) f(x) = un f’(x) = n.un-1.u’ 7) f(x) = au f’(x) = au.ln a.u’ 8) f(x) = eu f’(x) = eu.u’ 9) f(x) = ln u u uxf ')(' = 10) f(x) = log a u au uxf ln. ')(' = 11) f(x) = cos u f’(x) = - u’.sen u 12) f(x) = sen u f’(x) = u’.cos u 13) f(x) = tg u f’(x) = u’.sec2 u 14) f(x) = cotg u f’(x) = - u’.cossec2u 15) f(x) = sec u f’(x) = u’.sec u. tg u 16) f(x) = cossec u f’(x) = - u’.cossec u. cotg u 17) f(x) = uv f’(x) = v.uv-1.u’ + uv.v’.ln u )'.ln'()(' u u vuvuxf v += 18) f(x) = arc sen u 21 ')(' u uxf − = 19) f(x) = arc cos u 21 )(' u uxf − − = 20) f(x) = arc tg u 21 ')(' u uxf + = Cálculo Diferencial e Integral 75 9.5.1 – Derivada de função Algébrica: Exemplos: 1) y = 4x2 – 2x 2) 7 3 5 7 2 −−= xy 3) 3 2xy = 4) 1 2 + = x xy 5) )1)(32( 2xxxy +−+= 6) 52 )3( += xy 7) 21 xy −= 8) 34 2 + = x y Cálculo Diferencial e Integral 76 AULA 13 – EXERCÍCIOS 1) y = 5X4 – 3X3 + 2X2 + 3X + 5 2) y = 7x4 -2x3 + 8x 3) xxxy 4 2 5 3 2 23 −+= 4) 3 7 x y = 5) 5 4 x y = 6) xxy += 2 7) 44 35 2 xxxy +−= 8) xxy 612 3 += 9) 53 1 − = x y 10) 72 53 − + = x xy 11) 55 32 2 +− + = xx xy 12) 2 23 2 2 +− +− = xx xxy 13) y = (1 + 4x3)(1 + 2x2) 14) y = (x2 – 1)(1 – 2x)(1 – 3x2) 15) y = (2x2 – 4x + 8)8 16) y = (3a- 2bx)6 17) 3 3bxay += 18) 3 22 )52( xy −= 19) xaxay −+= )( 20) 45 += xxy 21) 56 52 3 + − = x xy 22) 42 1 2 ++ + = xx xy 23) x xy − + = 1 1 24) xa xay − + = Respostas: 1) y’ = 20x3 – 9x2 + 4x + 3 2) y’ = 28x3 – 6x2 + 8 3) y’ = 2x2 + 5x – 4 4) 4 21' x y −= 5) 6 20' x y −= 6) x xxy 2 4' 2 + = 7) 3 45 3 4 4 3 5 2' x xx y +−= 8) x xy 318' += 9) 25309 3' 2 +− − = xx y 10) 2)72( 31' − − = x y 11) 22 2 )55( 2562' +− +−− = xx xxy 12) 22 2 )2( 42' +− − = xx xy 13) y’ = 40x4 + 12x2 + 4x 14) y’ = 30x4 – 12x3 – 24x2 + 8x + 2 15) y’ = (32x – 32)(2x2 – 4x + 1)7 16) y’ = -12b(3ª-2bx)5 17) 3 23 2 )( ' bxa bxy + = 18) 3 2523 20' x xy − − = 19) xa xay − − = 2 3' 20) 452 815' + + = x xy 21) 32 23 )56( 10456' + ++− = x xxy 22) 32 )42( 3' ++ = xx y 23) )1(1 1' 2 xx y −− = 24) 2)( ' xax ay − = Cálculo Diferencial e Integral 79 AULA 15 9.5.3 – Derivada de Funções Trigonométricas: Exemplos: 1) y = sen 5x 2) y = 3cos 2x 3) y = tg 3x 4) y = sec 4x 5) y = tg x3 6) y = tg2 x 7) y = cotg(1 – 2x2) 8) y = x2cosx 9) y = sen2x.cosx 10) x xy cos= 11) x xy − = 2 arccos Cálculo Diferencial e Integral 80 AULA 15 – EXERCÍCIOS 1) y = cossec 7x 2) y = sen3x + cos2x 3) y = sen5x 4) y = 5sen3x 5) 3 3xtgy = 6) 12 += xseny 7) xxe xy cos= 8) xxy )(cos= 9) x senxy cos = 10) 34xsenxey x += 11) xy 3sec= 12) xesenxxy .2= 13) xarcseny 3= 14) x arctgy 1= 15) )23( −= xarcseny 16) 22xarctgy = 17) )25( 3xarcseny −= 18) )1(cot 2xgarcy −= 19) 3sec xarcy = 20) )1sec(arccos −= xy 21) arcsenxxy += 2 22) arctgxxy .= 23) xy arccosln= Respostas 1) y’ = -7cossec7x.cotg7x 2) y’ = 3cos3x-2sen2x 3) y’ = 5sen4x.cosx 4) y’ = 15sen2x.cosx 5) xsenx xtg y 3.3cos 3 ' 3 = 6) 12 12cos' + + = x xy 7) xex xxsenxxy 2 cos)cos(' −+−= 8) )cos(ln)(cos' xtgxxxy x −= 9) xy 2sec'= 10) 212)cos(' xxsenxey x ++= 11) xtgx x y .sec 2 3' 3= 12) y’ = xex(2senx+xcosx+xsenx) 13) 291 3' x y − = 14) 1 1' 2 + − = x y 15) 3129 3' 2 −+− = xx y 16) 441 4' x xy + = 17) 24204 6' 36 2 −+− − = xx xy 18) 4222 2' xx xy +− = 19) 1 3' 6 − = xx y 20) xxx y 2)1( 1' 2 −− − = 21) 21 12' x xy − += 22) 21 ' x xarctgxy + += 23) 21.arccos 1' xx y − − = Cálculo Diferencial e Integral 81 AULA 16 9.6 – DERIVADAS SUCESSIVAS Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo A ⊂ I. Vimos que a derivada de f em A denotamos por f’ . Se f’ é derivável em um intervalo B, B ⊂ A, a esta derivada de f’ denotamos por f” denominamos derivada segunda de f. Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras, quarta,...,enésimas. Exemplo: 1) Obtenha até a derivada de 5a ordem da função f(x) = 5x5 – 3x3 2) Dada a função f(x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, pede-se calcular f”(-1) e f(6)(15) 9.7 – REGRAS DE L’HOSPITAL Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo 0 0 ou ∞ ∞ . Esse método é dado pelas regras de L’Hospital. Regras de L’Hospital:Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I. Suponhamos que g’(x) ≠ 0 para todo x ≠ a em I. i). Se 0)(lim)(lim == →→ xgxf axax e Lxg xf ax =→ )(' )('lim então: L xg xf xg xf axax == →→ )(' )('lim 0( )(lim Cálculo Diferencial e Integral 84 AULA 17 9.8 – APLICAÇÃO DAS DERIVADAS 9.8.1 – Taxas de Variação Relacionadas Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma terceira grandeza, então suas taxas de variação em relação a esta grandeza da qual dependem também estarão. Exemplo: Se y depende de x e x depende de t, temos: dt dx dx dy dt dy ⋅= Exemplos: 1) Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taxa de variação de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 15cm. 2) Um cubo se expande de modo que sua aresta varia a razão de 12,5cm/s. Achar a taxa de variação de seu volume no instante em que sua aresta mede 10cm. Cálculo Diferencial e Integral Profa Paula Francis Benevides 85 3) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4m? Cálculo Diferencial e Integral 86 9.8.2 – Máximos e Mínimos 9.8.2.1 – Introdução: Suponha que o gráfico abaixo tenha sido feito por um instrumento registrador usado para medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eixo dos x representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(x). Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão, corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de indivíduo, quantidade de um produto químico em uma solução, bactérias em uma cultura, etc. Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é decrescente. y xa b c d e M N P A figura mostra que f é crescente no intervalo de ]a,b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c, d[ e decrescente de ]d, e[. Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de [b, e], veremos que a quantidade atingiu seu máximo (maior valor) em d e seu mínimo em c. Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos. O ponto M da curva, de abscissa x = b, situa-se exatamente no ponto onde a função passa de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máximo local em x = b, ou que f(b) é um máximo local da função. Isto é, o valor de f(b) é o maior valor que a função assume para valores de x, próximos de b. Convém observar que o ponto M não é o ponto mais alto do gráfico. M é o ponto mais alto dos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo “local”. Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. O ponto N da curva situa-se exatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo ponto entre os que lhe são próximos. Dizemos que a função apresenta ai um mínimo local, ou que f(c) é um mínimo local de f. O valor de f(c) é o menor valor que a função assume para valores próximos de x, próximos de b. Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais. Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo l e c um número em l, então: i). f(x) é máximo de f em l se f(x) ≤ f(c) para todo x em l ii). f(x) é mínimo em f em l se f(x) ≥ f(c) para todo x em l Definição 2: Seja c um valor do domínio de uma função f i). f(c) é máximo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) ≤ f(c) para todo x em (a,b) ii). f(c) é mínimo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) ≥ f(c) para todo x em (a,b) Teorema: Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f’(c) = 0 ou f’(c) não existe. Cálculo Diferencial e Integral 89 2) Seja a função f(x) = - x3 + 8x2 + 12x – 5. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se existirem. 9.8.2.5 – Concavidade e Teste da Derivada Segunda: Teste da Concavidade: Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c, então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é: i). Côncavo para cima se f”(c) > 0 ii). Côncavo para baixo se f”(c) <0 Teste da Derivada Segunda: Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e f’(c)=0. i). Se f”(c) < 0, então f tem máximo local em c ii). Se f”(c) > 0, então f tem mínimo local em c Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta seja contínua no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo. Seja x0 a abscissa de um ponto crítico, se f”(x0) > 0, o gráfico de f côncavo para cima para x próximo de x0, isto é, f tem ai concavidade voltada pra cima e então f(x0) é um mínimo local de f. Cálculo Diferencial e Integral 90 Se f”(x0) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo pra x próximo de x0, isto é, f tem concavidade voltada pra baixo, e nesse caso, f(x0) é um máximo local de f. Resumindo: Mínimo Local: ⎩ ⎨ ⎧ > = 0)(" 0)(' 0 0 xf xf Máximo Local: ⎩ ⎨ ⎧ < = 0)(" 0)(' 0 0 xf xf Exemplo: Determinar os pontos máximos ou mínimos da função f(x) = - x3 – 3x2 + 9x – 5, se existirem usando o teste da DERIVADA SEGUNDA. Cálculo Diferencial e Integral 91 AULA 17 – EXERCÍCIOS 1) Ao aquecer um disco circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min. Quando o diâmetro esta com 5 metros, a que taxa esta variando a área de uma face? 2) Um tanque em forma de cone com vértice para baixo mede 12 m de altura e tem no topo um diâmetro de 12 m. Bombeia-se água à taxa de 4m3/min. Ache a taxa com que o nível da água sobe: a) quando a água tem 2 m de profundidade. b) quando a água tem 8 m de profundidade. 3) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca uma série de ondulações concêntricas. Se o raio r da onda exterior cresce uniformemente à taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com que a área de água perturbada está crescendo: a) quando r = 3m b) quando r = 6m 4) Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo: a) s(t) = 2t3 + t2 – 20t +4 b) f(x) = 4x3 – 5x2 – 42x + 7 c) g(w) = w4 – 32w 5) Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções se existires, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA. a) y = 6x3 + 15x2 – 12x -5 b) 88 7 4)( 2 −+−= xxxf c) f(x) = - 9x2 + 14x +15 6) Determine as abscissas dos pontos máximos ou mínimos das seguintes funções, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA. a) f(x) = x3 – 12x2 + 45x +30 b) y = 8x3 – 51x2 -90x +1 c) y = -x3 – 9x2 + 81x – 6 7) Imagine que a trajetória de uma pedra lançada ao ar seja um trecho da parábola dada por y = 5x 2 – 2 0x (x e y em metros), determine o ponto máximo da função. Respostas: 1) min/ 2 5 2cmπ 2) min/ 4 1) min/4) mb ma π π 3) smb sma /6,21) /8,10) 2 2 π π 4) 2) 3 7 2 3) 23 5) = −= −= wc exb eta 5) a) máx x = -2 e min x = 1/3 b) máx x = 7 c) máx x = 7/9 6) a) máx x = 3 e min x = 5 b) máx x = -3/4 e min x = 5 c) máx x = 3 e min x = - 9 7) P(2,- 20) Cálculo Diferencial e Integral 94 10) ∫ =− 3 2 21 x dxx ∫ += ca adva v v ln ∫ += cedve vv 11) ∫ =dxx e x 2 1 12) ∫ =dxexx3 13) ( ) ∫ = − dx ba ba xx xx 2 cvdvtgv +−=∫ cosln. ou cvdvtgv +=∫ secln. 14) ∫ =xdxtg2 ∫ +−= cgvvvdv )cotsecln(cosseccos 15) ∫ =xdxseccos Cálculo Diferencial e Integral 95 ∫ += ctgvvdv2sec 16) ∫ =dxxx 322 sec ∫ ++= ctgvvvdv )ln(secsec 17) ∫ =x dxxsec ∫ += cxdxtgxx sec..sec 18) ∫ =dxx senx 2cos ∫ +−= cgxxdx cotseccos 2 19) ∫ =+ x dx cos1 Cálculo Diferencial e Integral 96 c a varcsen va dv += − ∫ 22 ou ca v va dv +−= − ∫ arccos22 20) ∫ = − 2916 x dx c a varctg ava dv += +∫ 1 22 ou ca varc ava dv +−= +∫ cot 1 22 21) ∫ =+ 94 2x dx c a varc aavv dv += − ∫ sec 1 22 ou c a v aavv dv +−= − ∫ secarccos 1 22 22) ∫ = − 94 2xx dx