CALCULO

CALCULO

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• A função é crescente para a base a>1.

3.4 - Inequações exponenciais Definição 28: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente.

3.4.1 - Resolução de inequações exponenciais Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes:

• 1) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;

• 2) Verificar a base da exponencial, a>1 ou 0<a<1, aplicando as propriedades abaixo.

ma>na ⇒ m>n ma>na ⇒ m<n

As desigualdades têm mesmo sentido

As desigualdades têm sentidos diferentes

Exemplos:

1) Resolva a inequação x2>32.

Resolução

Como 52=32, a inequação pode ser escrita:

Cálculo Diferencial e Integral

3) Resolva a inequação 32

Resolução

AULA 04 – EXERCÍCIOS 1) Uma cultura inicial de 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora. a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial? b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias? 2) Resolva as equações:

3) Determine o conjunto solução das seguintes equações:

4) Se f(x) = x2 + x e g(x) = 3x, determine x para que f(g(x)) = 2. 5) Cada golpe de uma bomba extrai 10% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de 1 m3 e, inicialmente, esta cheio. a) Após o 5o golpe, qual o valor mais próximo para o volume de óleo que permanece no tanque? b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n golpes? 6) Resolva as inequações:

Respostas: 1) a) 800 bactérias b) 9 horas 2) a) 3/2 b) 4 3) a) {0, 3} b) {2, 3} c) {1, 2} 4) x = 0 5) a) 0,59m3 b) f(n) = 1 . (0,9)n

Cálculo Diferencial e Integral

4 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA

4.1 – Definição de Logaritmo

Definição 29: Dados dois números reais positivos, a e b, com a≠1, existe um único número real x de modo que xa=b. Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e indica-se balog. Podemos então, escrever:

(Eq.9) xa=b ⇔ x=balog (1≠a>0 e b>0). Na igualdade x=balog, temos:

• a é a base do logaritmo;

• b é o logaritmando ou antilogaritmo; • x é o logaritmo.

Exemplos: Calcular o valor de x nos exercícios seguintes:

OBS. 1: blog ⇒ significa b10log. Quando não se indica a base, fica subentendido que a base é 10.

4.2 - Conseqüências da definição

Tome 1≠a>0, b>0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se verificar que:

Cálculo Diferencial e Integral

• 1) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero. 1alog=0, pois 0a=1. • 2) O logaritmo da própria base é igual a 1. aalog=1, pois 1a=a. • 3) O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente. maalog=m, pois ma=ma.

• 4) O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b.

baalog=b, pois xa=b ⇔ x=balog.

4.3 - Propriedades dos logaritmos

• 2) Logaritmo de quociente

4.4 - Cologaritmo

Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1≠a>0) é o logaritmo do inverso desse número b na base a.

Exemplo: Sabendo que log3=a e log5=b, calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b.

• a) log15

4.5 - Mudança de base

As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única base. A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base.

Cálculo Diferencial e Integral

Seja:balog=x ⇒ xa=b.

35 Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos:

xcalog=bclog ⇒ x⋅aclog=bclog ⇒ x=abcclog log, mas x=balog.

Então:

Exemplos: 1) Sendo log2=0,3 e log3=0,4, calcule 62log.

loglog + =

A condição de existência é x>0. Transformando para a base 2:

Logo, o conjunto solução é: S={16}.

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