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Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25. Experiências com metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35.

Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas fibras a madeira é mais resistente.

Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicável a exemplos simples de solicitação axial.

Se forem consideradas as deformações longitudinal (εL) e transversal (εt), tem-se, respectivamente:

ELσε= e ELt υσνεε== (7)

No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões normais σx, σy e σz, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às deformações εx, εy e εz, a Lei de HOOKE se escreve:

Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar

σσυσε+−=1
σσυσε+−=1

A lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos.

Exemplos

1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5cm e Módulo de Elasticidade E=20.0 kN/cm2 , submetida a uma força axial de tração P=30 kN.

L= 5 m P=30 kN

2. A barra da figura é constituída de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seção transversal com área A=10cm2; trecho BC=200cm e seção transversal com área A=15cm2 e trecho CD=200cm e seção transversal com área A=18cm2 é solicitada pelo sistema de forças indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o alongamento total. Dado E=21.0 kN/cm2.

300 cm

30kNA 150kN

200 cm200 cm

B C50kN D 170kN σy xσ

Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar

300 cm

150kN A

170kN50kN 30kN

B R=150kN

δε=713,01000300

Trecho B-C 30kNR=120kN

150kN 200 cm

50kN 170kN R=120kN

Trecho C-D 30kNR=170kN

150kN200 cm 50kN

C D 170kN

δε=45,01000200

Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar

Nos exemplos anteriores, as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser calculadas pelas equações da Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. Para essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e a reações só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta.

Um exemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada é ilustrado na Figura 4.4.

(c) A

BRb B

(a) (b) B

L b

Figura 4.4 Barra estaticamente indeterminada

A barra está carregada por uma força P no ponto C e as extremidades AB da barra estão presas em suportes rígidos. As reações Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra, porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. A única equação fornecida pelo equilíbrio estático é

PRRba=+ (9) a qual contém ambas as reações desconhecidas (2 incógnitas), sendo, portanto, insuficiente para seu cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda equação, que considere as deformações da barra.

Para a consideração da deformação na barra, deve-se analisar o efeito de cada força sobre a barra se uma de suas extremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da carga P deslocando o ponto A, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento (para baixo) do ponto A, devido ao encurtamento do trecho CD, submetido à carga P, é dado por:

EAPbP=δ

Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar

Em seguida, analisa-se o efeito da reação Ra deslocando do ponto A, ilustrado na

Figura 4.4c. Note-se que se está analisando o efeito da reação Ra com a extremidade A da barra livre. O deslocamento (para cima) é dado por:

Ora, como a extremidade A da barra é fixa, o deslocamento final (δ), neste ponto, resultante da ação simultânea das forças P e Ra, é nulo. Logo,

ou seja,EA

Pba=.

Logo, L PbRa=. Substituindo o Ra na equação (9), tem-se: PRLPab=+

PaPRb−= L PbPLRb−= L

Exemplos

1. Uma barra constituída de dois trechos é rigidamente presa nas extremidades. Determinar as reações R1 e R2 quando se aplica uma força P.

Dados: E=21.0 kN/cm2; AAB=5cm2; ABC=7,5cm2; P= 60 kN

Solução Equação de equilíbrio

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