Baixe Apostila de Concreto Protendido - EPUSP e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! 1 Concreto Protendido Fundamentos Iniciais Hideki Ishitani Ricardo Leopoldo e Silva França Escola Politécnica – USP Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações 2002 Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 1 1 Conceitos Básicos CONCRETO PROTENDIDO 1. Introdução O concreto resiste bem à compressão, mas não tão bem à tração. Normalmente a resistência à tração do concreto é da ordem de 10% da resistência à compressão do concreto. Devido a baixa capacidade de resistir à tração, fissuras de flexão aparecem para níveis de carregamentos baixos. Como forma de maximizar a utilização da resistência à compressão e minimizar ou até eliminar as fissuras geradas pelo carregamento, surgiu a idéia de se aplicar um conjunto de esforços auto-equilibrados na estrutura, surgindo aí o termo protensão. Figura 1. Fila de livros. Na figura 1 temos um exemplo clássico de como funciona a protensão. Quando se quer colocar vários livros na estante, aplicamos forças horizontais comprimindo-os uns contra os outros a fim de mobilizar as forças de atrito existente entre eles e forças verticais nas extremidades da fila, e assim, conseguirmos colocá-los na posição desejada. Tecnicamente o concreto protendido é um tipo de concreto armado no qual a armadura ativa sofre um pré-alongamento, gerando um sistema auto-equilibrado de esforços (tração no aço e compressão no concreto). Essa é a diferença essencial entre concreto protendido e armado. Deste modo o elemento protendido apresenta melhor desempenho perante às cargas externas de serviço. Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 4 1.1. Noções Preliminares Considere-se a viga esquematizada na figura 4: Figura 4. Viga com carregamento permanente (g) e variável (q). a) Considere-se a atuação isolada da carga acidental q = 22,2 kN/ m. A esta carga corresponde o momento fletor máximo no meio do vão: × = = = 2 q,max 2ql 22,2 6 M 100 kN.m 8 8 Nesta seção, em regime elástico linear, as tensões extremas valem: −− × = ⋅ = = = = = − × − − σ 3 q,max q,max q,max q,max sup 3 2 2 sup q,sup M M M Mh 100 10 y . 12 MPa bh bh 0,2 0,5I 2 W 12 6 6 e 3 q,max q,max q,max q,max inf 3 2 2 inf q,inf M M M Mh 100 10 y . 12 MPa bh bh 0,2 0,5I 2 W 12 6 6 −× = ⋅ = = = = = × σ conforme mostra a fig. 5. Os sinais atribuídos aos módulos de resistência Wsup e Winf permitem compatibilizar as convenções clássicas adotadas para momento fletor e tensões normais. A tensão máxima de tração vale 12 MPa junto à borda inferior e a de compressão, -12 MPa junto à borda superior. Figura 5 – Diagrama de Tensões Normais – Viga de Concreto Armado Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 5 Para o material concreto, tensões desta ordem de grandeza provocam, seguramente, a ruptura da seção transversal por tração. No concreto armado, a resistência da seção é obtida pela utilização de uma armadura aderente posicionada junto à borda tracionada. No concreto protendido, lança-se mão da “protensão” para alterar o diagrama de tensões normais tornando-o mais apropriado à resistência do concreto. A idéia básica da protensão está ligada à redução (e eventualmente, à eliminação) das tensões normais de tração na seção. Entende-se por peça de concreto protendido aquela que é submetida a um sistema de forças especial e permanentemente aplicadas chamadas forças de protensão tais que, em condições de utilização, quando agirem simultaneamente com as demais ações, impeçam ou limitem a fissuração do concreto. Normalmente, as forças de protensão são obtidas utilizando-se armaduras adequadas chamadas armaduras de protensão. b) Considere-se a aplicação da força de protensão P = 1200 kN centrada na seção mais o efeito da carga acidental do item a). Para isso, imagine-se que a viga seja de concreto com uma bainha metálica flexível e vazia posicionada ao longo de seu eixo. Após o endurecimento do concreto introduz-se uma armadura nesta bainha, fig. 6A. Através de macacos hidráulicos apoiados nas faces da viga, aplique-se à armadura a força de protensão P = 1200 kN. Naturalmente, a seção de concreto estará comprimida com a força P = -1200 kN. Esta pré-compressão aplicada ao concreto corresponde ao que se denomina de protensão da viga. A tensão de compressão uniforme, decorrente desta protensão, vale: 3 cpsup cpinf c P P 1200 10 12 MPa A bh 0,2 0,5 −− × σ = σ = = = = − × onde desprezou-se a redução da área Ac devido ao furo (vazio correspondente à bainha). Acrescentando-se o efeito do carregamento do item a), o diagrama de tensões normais na seção do meio do vão será inteiramente de compressão, com exceção da borda inferior onde a tensão normal é nula. ( )σ = σ + σ = − + − = −sup cpsup qsup 12 12 24 MPa ( )σ = σ + σ = − + =inf cpinf qinf 12 12 0 Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 6 Figura 6 – Diagrama de Tensões Normais – Viga de Concreto Protendido A tensão máxima de compressão vale -24 MPa junto à borda superior da seção e a tensão mínima será nula na borda inferior. Desta forma a tensão normal de tração foi eliminada. Observa-se que a tensão máxima de compressão corresponde ao dobro da tensão devida à carga acidental q. O diagrama de tensões normais ao longo do vão da viga varia entre os valores esquematizados nas figuras 6B e 6D, pois o momento fletor aumenta de zero nos apoios ao valor máximo no meio do vão. c) Considere-se a protensão P = 600 kN aplicada com excentricidade ep = 8,33 cm, mais o efeito da carga acidental do item a) De maneira análoga ao que foi visto no item b), se a posição da bainha for deslocada paralelamente ao eixo da viga de 8,33 cm, conforme mostra a fig. 7A, e reduzir-se a força de protensão P para 600 kN, as seções da viga ficam submetidas à força normal Np = -600 kN e ao momento P.ep: p pM Pe 600 0,0833 50 kN.m= = − × = − As tensões normais extremas devidas à protensão passam a valer: Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 9 p p cpsup 2 c sup c sup P.e eP 1 1 0,19 6 P 600 7,68 MPa A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5 × σ = + = + = − − = × × e p p cpinf 2 c inf c inf P.e eP 1 1 0,19 6 P 600 19,68 MPa A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5 × σ = + = + = − + = − × × e, portanto, ( ) ( )sup cpsup qsup gsup 7,68 12 7,68 12 MPaσ = σ + σ + σ = + − + − = − ( ) ( )inf cpinf qinf ginf 19,68 12 7,68 0σ = σ + σ + σ = − + + = Assim, o efeito do peso próprio foi compensado simplesmente pelo aumento da excentricidade da força de protensão (aumento da distância da armadura de protensão em relação ao CG da seção) sem gasto adicional de material. Naturalmente, esta compensação apresenta um limite pois é necessário manter um cobrimento mínimo de proteção desta armadura. Da análise do diagrama de tensões normais ao longo da viga, pode-se observar que nas proximidades dos apoios aparecem tensões de tração. Particularmente, na seção do apoio esta tensão atinge 7,68 MPa. Para anular esta tensão, a excentricidade da força de protensão deve reassumir o valor ep = 8,33 cm. Na prática, isto pode ser obtido, de maneira aproximada, alterando-se o perfil reto da armadura ao longo da viga por um perfil curvo (em geral parabólico). Conforme mostra a fig. 9, o trecho parabólico pode ter o seu início no meio do vão e passar pelo ponto A junto ao apoio. Figura 9 – Perfil da armadura de protensão O perfil parabólico procura acompanhar a variação da excentricidade eg = -Mg/Np ao longo da viga. Em estruturas isostáticas, o fato da armadura de protensão ser curva não altera o ponto de aplicação da força correspondente à protensão. Este continua sendo o ponto de passagem da armadura na seção transversal. De fato, com base na fig. 10, o equilíbrio separado da armadura (suposta flexível) exige a presença da força P junto à seção analisada e, também, da pressão radial Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 10 p P rr = onde r é o raio de curvatura local. As cargas atuantes na armadura isolada agem, como carregamento de sentido contrário, sobre a viga de concreto. As reações de apoio são nulas, pois a estrutura é isostática (a estrutura deforma-se livremente sob ação da protensão). Desta forma, o esforço resultante na seção transversal é exatamente -P, aplicado no ponto de passagem da armadura na seção transversal e com a inclinação do cabo neste ponto. Em estruturas hiperestáticas, a protensão pode gerar reações de apoio (reações hiperestáticas de protensão) que geram esforços (hiperestáticos) adicionais de protensão nas seções. Figura 10 – Diagrama de Equilíbrio de uma Viga de Concreto Protendido Isostática Convém observar que, mesmo sendo admitida a constância da força de tração (P) na armadura de protensão, a força normal equivalente é variável no trecho curvo desta armadura, pois: pN Pcos= − α como, em geral, o ângulo α é pequeno pode-se admitir Np ≈ - P, pelo menos para efeito de pré-dimensionamento das seções. Vale observar, também, o aparecimento da força cortante equivalente: pV Psen= − α Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 11 Na realidade, como será visto mais adiante, a força normal de tração na armadura de protensão também varia um pouco ao longo do cabo por causa das inevitáveis perdas de protensão. Normalmente, a força de protensão é obtida pela utilização de um grupo de cabos que, por sua vez, são constituídos de várias cordoalhas. Cada cabo tem um desenvolvimento longitudinal próprio. Contudo, as análises podem ser efetuadas com o “cabo equivalente” (ou “cabo resultante”). Este cabo virtual tem a força de protensão P e o seu ponto de passagem é dado pelo centro de gravidade das forças de protensão de cada cabo na seção. Figura 11 – Cabo de Protensão Equivalente De qualquer forma, a utilização adequada de cabos curvos permite eliminar as tensões normais de tração nas seções transversais ao longo do vão. e) Considere-se a viga constituída de concreto armado Admita-se que a viga faça parte do sistema estrutural para uma biblioteca com carregamento constituído de g = 14,22 kN/m e q = 22,22 kN/m. O dimensionamento como concreto armado, segundo a NBR6118:2003, admitindo-se fck= 35 MPa e aço CA50, conduz aos seguintes resultados: Estado Limite Último (momento fletor): 34xlim= 34= =0,438 d ξ ξ Mg+q = 164,4 kN.m → ξ = 0,42 < ξlim As = 12 cm 2 (6φ16) Estado Limite de Utilização, para a Combinação Freqüente com ψ1=0,7: MCF = Mg + 0,7Mq = 134,0 kN.m ηb =1,5 → w = 0,12 < 0,3 ( OK, admitindo-se fissura admissível de 0,3 mm) a = 1,56 cm ≈ l/270 (flecha no estádio II, de valor aceitável) Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 14 1.2. Breve histórico Datam do final do século passado, as primeiras experiências de uso do concreto protendido. Foram tentativas fracassadas provocadas pelas perdas provenientes da retração e fluência do concreto que praticamente anularam as forças iniciais de protensão. Eugene Freyssinet (França, 1928) utilizou arames refilados de alta resistência resolvendo o problema gerado pela perda progressiva de protensão. Hoyer, na Alemanha, fez as primeiras aplicações práticas do concreto protendido com aderência inicial utilizando fios de alta resistência. A primeira ponte protendida foi a de Aue, na Alemanha, projetada por Dischinger (1936) com protensão sem aderência (cabos externos). Com os equipamentos e ancoragens de protensão (fabricados inicialmente por Freyssinet na França em 1939 e Magnel na Bélgica em 1940), divulgou-se o uso do concreto protendido nas obras. Ulrich Finsterwalder, desenvolveu a aplicação do protendido às pontes construídas em balanços sucessivos, processo originalmente utilizado por Emílio Henrique Baumgart no projeto e construção da ponte de concreto armado sobre o Rio do Peixe em Herval, Santa Catarina. No Brasil, a primeira ponte protendida foi construída no Rio de Janeiro em 1949, projetada por Freyssinet. Inicialmente, procurava-se eliminar totalmente as tensões normais de tração com a protensão (protensão completa). Atualmente, existe a tendência em utilizar a protensão parcial onde, em situações de combinações extremas de ações, permite-se a fissuração da peça como ocorre no concreto armado. Desta forma tem-se, hoje, a unificação do concreto 2armado com o concreto protendido constituindo o concreto estrutural. 1.3. Vantagens do concreto protendido a) Emprego de aços de alta resistência. Estes aços não são viáveis no concreto armado devido à presença de fissuras de abertura exagerada provocadas pelas grandes deformações necessárias para explorar a sua alta resistência; além disso, em certas situações existem dificuldades para se conseguir estas deformações. Ao mesmo tempo que a alta resistência constitui uma necessidade para a efetivação do concreto protendido (por causa das perdas progressivas), ela elimina os problemas citados. b) Eliminação das tensões de tração. Havendo necessidade, consegue-se eliminar as tensões de tração e, portanto, a fissuração do concreto. De qualquer forma, constitui um meio eficiente de controle de abertura de fissuras quando estas forem permitidas. c) Redução das dimensões da seção transversal. O emprego obrigatório de aços de alta resistência associado a concretos de maior resistência, permite a redução das dimensões da seção transversal com redução substancial do peso próprio. Tem-se, Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 15 assim, estruturas mais leves que permitem vencer maiores vãos. Também, a protensão favorece a resistência ao cisalhamento, além de reduzir a força cortante efetiva. d) Diminuição da flecha. A protensão, praticamente, elimina a presença de seções fissuradas. Tem-se, assim, redução da flecha por eliminar a queda de rigidez à flexão correspondente à seção fissurada. e) Desenvolvimento de métodos construtivos. A protensão permite criar sistemas construtivos diversos: balanço sucessivo, pré-moldados, etc. 1.4. Problemas com armaduras ativas e desvantagens do concreto protendido a) Corrosão do aço de protensão. Como nos aços de concreto armado as armaduras de protensão também sofrem com a corrosão eletrolítica. No entanto nas armaduras protendidas apresentam outro tipo de corrosão - denominada corrosão sob tensão (stress-corrosion) - fragilizando a seção da armadura, além de propiciar a ruptura frágil. Por este motivo a armadura protendida deve ser muito protegida. b) Perdas de protensão. São todas as perdas verificadas nos esforços aplicados nos cabos de protensão. b.1) Perdas imediatas, que se verificam durante a operação de estiramento e ancoragem dos cabos: b.1.1) Perdas por atrito, produzidas por atrito do cabo com peças adjacentes, durante a protensão; b.1.1.2) Perdas nas ancoragens, provocadas por movimentos nas cunha de ancoragem, quando o esforço no cabo é transferido do macaco para a placa de apoio; b.1.1.3) Perdas por encurtamento elástico do concreto. b.2) Perdas retardadas, que ocorrem durante vários anos: b.2.1) Perdas por retração e fluência do concreto. Produzidas por encurtamentos retardados do concreto, decorrentes das reações químicas e do comportamento viscoso. b.2.2) Perdas por relaxação do aço, produzidas por queda de tensão nos aços de alta resistência, quando ancoradas nas extremidades, sob tensão elevada. c) Qualidade da injeção de nata nas bainhas e da capa engraxada nas cordoalhas engraxadas. d) Forças altas nas ancoragens. e) Controle de execução mais rigoroso. f) Cuidados especiais em estruturas hiperestáticas. Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 16 1.5 Exemplos de aplicação da protensão em estruturas da construção civil. Edifícios: Vigas mais esbeltas Lajes com vãos maiores Pontes Estaiadas Arcos Reservatórios: (minimizar fissuras) Obras marítimas. (ambiente agressivo – concreto pouco permeável) Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 20 Figura 14 – Tipos de Fios, Barras e Cabos para Protensão As barras de aço para protensão são, geralmente, apresentadas em forma de barras rosqueadas com nervuras laminadas a quente. Uma bitola típica é a barra DYWIDAG φ 32. Os fios de aço para concreto protendido são padronizados pela NBR-7482. As cordoalhas são constituídas de 2, 3 ou 7 fios de aço de protensão e são padronizadas pela NBR-7483. As armaduras de protensão são submetidas a tensões elevadas de tração em geral acima de 50% da sua resistência de ruptura (fptk). Nessas condições, costumam apresentar uma perda de tensão (∆σpr) sob deformação constante, denominada relaxação do aço. Deste ponto de vista os aços de protensão são classificados em aços de relaxação normal (RN) quando ∆σpr pode atingir cerca de 12% da tensão inicial (σpi) e aços de relaxação baixa (RB) onde: pr pi3,5% ∆σ ≤ σ Os aços de protensão são designados conforme ilustram os exemplos seguintes: CP 170 RB L Concreto Protendido fptk Resistência característica de ruptura em kN/ cm2 RB Relaxação Baixa RN Relaxação Normal L – Fio liso E – Fio entalhe Figura 15 – Diagrama Tensão-Deformação de Aços para Protensão Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 21 Conforme a NBR-7482 têm-se os fios padronizados listados a seguir onde fpyk é o valor característico da resistência convencional de escoamento, considerada equivalente à tensão que conduz a 0,2% de deformação permanente, e o módulo de elasticidade é admitido como sendo de Ep = 210 GPa. Tabela 1. Características físicas e mecânicas de fios produzidos pela Belgo Mineira. TENSÃO MÍNIMA DE RUPTURA TENSÃO MÍNIMA A 1% DE ALONGAMENTO FIOS D IÂ M E T R O N O M IN A L (m m ) Á R E A A PR O X . (m m 2 ) Á R E A M ÍN IM A (m m 2 ) M A SS A A PR O X . (k g/ km ) (MPa) (kgf/mm2) (MPa) (kgf/mm2) A LO N G . A PÓ S R U PT U R A (% ) CP 145RBL 9,0 63,6 62,9 500 1.450 145 1.310 131 6,0 CP 150RBL 8,0 50,3 49,6 394 1.500 150 1.350 135 6,0 CP 170RBE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 CP 170RBL 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 CP 170RNE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.450 145 5,0 CP 175RBE CP 175RBE CP 175RBE 4,0 5,0 6,0 12,6 19,6 28,3 12,3 19,2 27,8 99 154 222 1.750 1.750 1.750 175 175 175 1.580 1.580 1.580 158 158 158 5,0 5,0 5,0 CP 175RBL CP 175RBL 5,0 6,0 19,6 28,3 19,2 27,8 154 222 1.750 1.750 175 175 1.580 1.580 158 158 5,0 5,0 CP 175RNE CP 175RNE CP 175RNE 4,0 5,0 6,0 12,6 19,6 28,3 12,3 19,2 27,8 99 154 222 1.750 1.750 1.750 175 175 175 1.490 1.490 1.490 149 149 149 5,0 5,0 5,0 Dependendo do fabricante outras bitolas de fios são encontradas, tais como: Fios de aço de relaxação normal (fpyk = 0,85 fptk) CP 150 RN - φ 5; 6; 7; 8 (mm) CP 160 RN - φ 4; 5; 6; 7 CP 170 RN - φ 4 Fios de aço de relaxação baixa (fpyk = 0,9 fptk): CP 150 RB - φ 5; 6; 7; 8 (mm) CP 160 RB - φ 5; 6; 7 As cordoalhas são padronizadas pela NBR-7483. O módulo de deformação Ep = 195.000 MPa. A resistência característica de escoamento é considerada equivalente à tensão correspondente à deformação de 0,1 %. Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 22 Tabela 2 Características físicas e mecânicas das cordoalhas produzidas pela Belgo Mineira. DIÂM NOM. ÁREA APROX ÁREA MÍNIMA MASSA APROX CARGA MÍNIMA DE RUPTURA CARGA MÍNIMA A 1% DE ALONGAMENTO ALONG APÓS RUPT. CORDOALHAS (mm) (mm2) (mm2) (kg/km) (kN) (kgf) (kN) (kgf) (%) CORD CP 190 RB 3x3,0 CORD CP 190 RB 3x3,5 CORD CP 190 RB 3x4,0 CORD CP 190 RB 3x4,5 CORD CP 190 RB 3x5,0 6,5 7,6 8,8 9,6 11,1 21,8 30,3 39,6 46,5 66,5 21,5 30,0 39,4 46,2 65,7 171 238 312 366 520 40,8 57,0 74,8 87,7 124,8 4.080 5.700 7.480 8.770 12.480 36,7 51,3 67,3 78,9 112,3 3.670 5.130 6.730 7.890 11.230 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 6,4* 7,9* 9,5 11,0 12,7 15,2 26,5 39,6 55,5 75,5 101,4 143,5 26,2 39,3 54,8 74,2 98,7 140,0 210 313 441 590 792 1.126 49,7 74,6 104,3 140,6 187,3 265,8 4.970 7.460 10.430 14.060 18.730 26.580 44,7 67,1 93,9 126,5 168,6 239,2 4.470 6.710 9.390 12.650 16.860 23.920 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 Dependendo do fabricante outras bitolas de cordoalhas são encontradas, tais como: Cordoalhas de 2 e 3 fios (fpyk = 0,85 fptk): CP 180 RN - 2 × φ (2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; 3,5) CP 180 RN - 3 × φ (2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; 3,5) Cordoalhas de 7 fios de relaxação normal (fpyk = 0,85 fptk): CP 175 RN - φ 6,4 ; 7,9 ; 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2 CP 190 RN - φ 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2 Cordoalhas de 7 fios de relaxação baixa (fpyk = 0,9 fptk): CP 175 RB - φ 6,4 ; 7,9 ; 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2 CP 190 RB - φ 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2 Normalmente, os cabos de protensão são constituídos por um feixe de fios ou cordoalhas. Assim, por exemplo, pode-se ter cabos de: 2 cordoalhas de 12,7 mm ; 3 cordoalhas de 12,7 mm; 12 cordoalhas de 12,7 mm; 12 cordoalhas de 15,2 mm, etc. 2.1.3. Armadura passiva. “Qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de protensão, isto é, que não seja previamente alongada”. Normalmente são constituídas por armaduras usuais de concreto armado padronizadas pela NBR-7480 (Barras e fios de aço destinados a armadura para concreto armado). Usualmente, a armadura passiva é constituída de estribos (cisalhamento), armaduras construtivas, armaduras de pele, armaduras de controle de aberturas de fissuras e, Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 25 Figura 20 – Diagrama Carga-Deformação dos diferentes níveis de protensão A escolha adequada do nível de protensão em uma estrutura irá depender de critérios pré- estabelecidos, onde se levará em conta a agressividade do meio ambiente e/ou limites para a sua utilização, quando posta em serviço. 2.2.1. Estados Limites de Serviço (ou de utilização): “Estados limites de serviço são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, aparência, conforto do usuário e boa utilização funcional da mesma, seja em relação aos usuários, seja às máquinas e aos equipamentos utilizados”. A garantia do atendimento destes Estados Limites de Serviço (ELS) se faz com a garantia, conforme a situação de não se exceder os Estados Limites Descritos a seguir: 2.2.1.1. Estado limite de descompressão (ELS-D): Estado no qual toda seção transversal está comprimida, e em apenas um ou mais pontos da seção transversal a tensão normal é nula, calculada no estádio I, não havendo tração no restante da seção (exceto junto à região de ancoragem no protendido com aderência inicial onde se permite esforços de tração resistidos apenas por armadura passiva, respeitadas as exigências referentes à fissuração para peças de concreto armado). 2.2.1.2. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F): estado limite que é atingido quando a máxima tensão de tração na seção, calculada no Estádio I (concreto não fissurado e comportamento elástico linear dos materiais) é igual a resistência à tração do concreto na flexão. A resistência à tração na flexão é dado por fct,fl = 1,2 fctk,inf para peças de seção T e, igual a fct,fl = 1,5 fctk,inf para peças de seção retangular, sendo: ( )2/3ctk,inf ckf 0,21 f= Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 26 2.2.1.3. Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W): Estado em que as fissuras apresentam-se com aberturas iguais aos máximos especificados na tabela 4. A verificação da segurança aos estados limites de abertura de fissuras deve ser feita calculando-se as tensões nas barras da armadura de tração no estádio II (concreto fissurado à tração e comportamento elástico linear dos materiais). Isto será feito para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e de protensão (excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro da bainha ou cordoalha engraxada, os quais não são levados em conta no cálculo da fissuração). Esta postura é tomada devido ao controle da fissuração ser propiciado pela aderência da armadura passiva e da ativa (pré-tração) com o concreto que a envolve. Nos outros casos a influência da protensão no controle de fissuração é desprezível, do ponto de vista da aderência. Será considerada uma área Acr do concreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7 φi do contorno do elemento da armadura, conforme indicado na fig. 21: Figura 21 – Área Acr do concreto de envolvimento A grandeza da abertura de fissuras - wk - determinada para cada parte da região de envolvimento, é dada pela menor dentre aquelas obtidas pelas duas expressões que seguem: ct S S Si k fE w ii σσ η φ 3 )75,02(10 1 1 − = + − = 45 4 )75,02(10 1 1 riS Si k E w i ρ σ η φ Sendo σsi, φi, Esi, ρr definidos para cada área de envolvimento em exame: Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 27 Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada ρri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente ( que não esteja dentro de bainha) em relação a área da região de envolvimento (Acri) σs é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no Estádio II. Nas peças com protensão, σs é o acréscimo de tensão, no centro de gravidade da armadura, entre o Estado Limite de Descompressão e o carregamento considerado. Deve ser calculada no Estádio II, considerando toda armadura ativa, inclusive aquela dentro de bainhas. O cálculo no Estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza a resistência à tração do concreto) pode ser feito considerando a relação αe = 15. Figura 22 – Diagrama Carga-Deformação e os Estados Limites 2.2.2. Combinações de carregamento Na determinação das solicitações referentes a estes estados limites devem ser empregadas as combinações de ações estabelecidas em Normas. A NB1-2003 considera as seguintes combinações nas verificações de segurança dos estados limites de utilização: 2.2.2.1. Combinação rara (CR): d gk pk (cc cs te)k qlk 1 qik i 1 F F F F F F+ + > = + + + + ψ ∑ 2.2.2.2. Combinação freqüente (CF): d gk pk (cc cs te)k 1 qlk 2 qik i 1 F F F F F F+ + > = + + + ψ + ψ ∑ Escola Politécnica – Universidade de São Paulo PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica 30 Na ausência de exigências mais rigorosas feitas por normas peculiares à construção considerada, a escolha do tipo de protensão deve obedecer às exigências mínimas indicadas a seguir: 2.3.1. Protensão completa Ambientes muito agressivos Existe protensão completa quando se verificam as duas condições seguintes: ♣ Para as combinações freqüentes de ações (CF), previstas no projeto, é respeitado o estado limite de descompressão (ELD); ♣ Para as combinações raras de ações (CR), quando previstas no projeto, é respeitado o estado limite de formação de fissuras (ELF). 2.3.2. Protensão limitada Ambientes medianamente agressivos Existe protensão limitada quando se verificam as duas condições seguintes: ♣ Para as combinações quase permanentes de ações (CQP), previstas no projeto, é respeitado o estado limite de descompressão (ELD); ♣ Para as combinações freqüentes de ações (CF), previstas no projeto, é respeitado o estado limite de formação de fissuras (ELF). 2.3.2. Protensão parcial Ambientes pouco agressivos Existe protensão parcial quando se verifica a condição seguinte: ♣ Para as combinações freqüentes de ações (CF), previstas no projeto, é respeitado o estado limite de aberturas de fissuras (ELW), com wk = 0,2 mm. Observação importante: Nas pontes ferroviárias e vigas de pontes rolantes só é admitida protensão com aderência. Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 31 3 Perdas de Protensão DEFINIÇÕES 3.1. Introdução A força efetiva de protensão é variável ao longo do cabo e menor do que a aplicada pelo dispositivo de protensão. Esta redução de força é chamada de perda de protensão. Ela é devida a várias causas. Costuma-se agrupar as perdas em dois conjuntos: A. Perdas imediatas que ocorrem durante o estiramento e ancoragem dos cabos B. Perdas progressivas, que ocorrem ao longo do tempo. No caso comum de concreto protendido com aderência posterior, constituem perdas imediatas, aquelas provenientes de: ̇ Atrito entre o cabo e a bainha; ̇ Acomodação do cabo nas ancoragens; ̇ Encurtamento do concreto durante a operação de protensão. As perdas progressivas são provocadas pela: ̇ Retração e fluência do concreto ̇ Relaxação da armadura de protensão. 3 2. Perdas por atrito em cabos pós-tracionados As perdas por atrito variam ao longo do cabo. O fenômeno envolvido é o do atrito entre o cabo e a bainha e é similar ao problema de uma polia que recebe um momento torçor através de uma correia. Figura 23 Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 32 Conforme o esquema da fig. 23, pode-se escrever: p. μ.ds + dP = 0 onde: μ = coeficiente de atrito entre a correia e a polia. Substituindo r P p = e ds=r.dα na expressão anterior, tem-se: P . .r.d dP 0 r μ α + = ou αμ−= d. P dP Portanto, C.)Pln( +αμ−= Sendo P=P0, para α = 0, vem )Pln(=C 0 e, portanto μα= -)Pln(-)Pln( 0 ou μα−= e.PP 0 . Figura 24 Em situações usuais, ilustradas na fig.24, μ ≈ 0,2 e α ≤ 20° (0,35 rad). Portanto, o produto μα ≤ 0,07. Para valores desta ordem pode-se tomar e 1−μα ≅ − μα resultando ( )たg1PP 0 −≅ . Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 35 3.3. Perda por acomodação das cunhas de ancoragem Geralmente, a ancoragem do cabo é feita por encunhamento individual das cordoalhas. Este encunhamento é acompanhado de um recuo do cabo (δ), de alguns milímetros acarretando uma queda na força de protensão, num trecho de comprimento x junto à ancoragem, e mobilizando forças de atrito em sentido contrário àquelas da operação de protensão. A figura 27 apresenta as diversas situações que podem ocorrer com a acomodação nas ancoragens de um cabo simétrico, protendido simultaneamente pelas suas extremidades. Figura 27 Para o cálculo da influência do encunhamento serão descrito dois métodos; o primeiro é de simples interpretação e entendimento, fácil e de utilidade prática; já o segundo é mais aprimorado e preciso. Deste modo, será resolvido o seguinte problema: Determinar o diagrama de força de protensão após o encunhamento para o cabo de protensão da viga esquematizada na figura 27. As perdas durante a protensão foram determinadas no item 3.2. Dados: μ = 0,2 (coeficiente de atrito - trechos curvos) k = 0,002 / m (coeficiente de atrito ao longo do cabo) fptk = 1900 MPa (valor característico da resistência à ruptura) 0,77 fptk = 1463 MPa (tensão normal máxima no ato de protensão) Ap = 11,844 cm 2 (área da seção do cabo de 12 cordoalhas de 12,7 mm) P0 = 0,77 fptk Ap = 1733 kN (força inicial de protensão) Ep = 195000 MPa (módulo de elasticidade da armadura de protensão) δ = 6 mm (recuo do cabo devido à cravação da cunha de ancoragem) Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 36 P0 = 1733kN ; P1 = 1647kN ; P2= 1631 kN Figura 28 1° Método O efeito do encunhamento pode ser feito conforme o procedimento indicado a seguir: 1. Determinar Aδ = δ Ep Ap = 0,006 ⋅ 19500 ⋅ 11,844 = 1385,75 2. Determinar a área do triângulo (P0P1A) = A1 = 860, figura 29 (caso A); Figura 29 2.1. Se A1 for maior ou igual do que Aδ , a influência do encunhamento está restrita ao trecho curvo inicial e pode ser definida através da igualdade [área da figura (P0PP01)]=Aδ , resultando ( ) ( ) 20 0 1 1 2 P P x P ka x A 2 aδ − μα + = = Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 37 ( ) 1 0 1 A a x P ka δ= μα + 0 1 1 1 P P P P x a − = + 01 0P 2P P= − 2.2. Se A1 for menor do que Aδ , a influência do recuo na ancoragem estende-se além de P1 e deve-se prosseguir com o item 3; 3. Determinar a área da figura (P0P1P2BC) = A2 = 1260, da figura 30 (caso B); Figura 30 3.1. Se A2 for maior ou igual do que Aδ , a extensão da influência do encunhamento pode ser definida através da igualdade [área da figura (P0P1PP11P01)] = Aδ = 1385,7, resultando; ( )1 1 1 1 1 y y 2 P P a 2P ky a A A 2 2 δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ de onde se obtém y e, portanto, x e os valores de P11 e P01; 3.2. Se A2 for menor do que Aδ , todo o cabo é afetado pelo encunhamento, figura 9 e os valores da força de protensão podem ser obtidos a partir da expressão (caso C): ( )1 2 22 P a a A AδΔ + = − P 4,19 kNΔ = . Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 40 ( ) ( ) p p0 1 1 11 1 1 E AP ka a x a P k x a a 2 2 2 μα + −⎛ ⎞+ − + = δ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ logo ( ) 2p p 0 1 1 1 1 1 E A P P a P ka x P k δ − − + = resultando ( )1 1P P 1 k x a= − −⎡ ⎤⎣ ⎦ 01 0P 2P P= − 11 1P 2P P= − c) Caso C em que (x = a1 + a2) Figura 34 Tem-se: ( ) ( ) ( ) p p0 1 1 21 2 1 1 2 E AP P a a P P a P a a 2 2 2 − ⎛ ⎞+ − + + Δ + = δ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ou ( )0 1 2p p 1 1 2 1 1 2 P P a E A a P P a 2 2 2P a a −δ ⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠Δ = + 01 2 0P 2P P 2 P= − − Δ 11 2 1P 2P P 2 P= − − Δ P.2PP 222 Δ−= Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 41 Resolvendo o exemplo anteriormente proposto pelo 2o método Não se sabe a priori, até onde chega a influência do recuo nas ancoragens. A solução pode ser encontrada por tentativas. Pode-se começar, por exemplo, admitindo-se tratar do caso A (item 3.3) onde a influência é restrita ao trecho curvo. Assim, ( ) p p 1 0 1 E A a x P ka δ = μα + ( ) 19500 11,844 0, 006 10 12,70 m 1733 0, 2 0,148 0, 002 10 ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ + ⋅ O valor obtido mostra que o recuo afeta além do trecho curvo inicial (x > a1 = 10 m). Caso se admita o caso B (influência até um ponto do trecho reto), vem: ( ) 2p p 0 1 1 1 1 1 E A P P a P ka x P k δ − − + = ( ) 219500 11,844 0, 006 1733 1647 10 1647 0,002 10 x 16,1 m 1647 0, 002 ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ = = ⋅ Este valor ultrapassa a metade do comprimento do cabo (simetria) que é de 15 m. Conclui- se, assim, tratar-se do caso c, resultando: ( )0 1 2p p 1 1 2 1 1 2 P P a E A a P P a 2 2 2P a a −δ ⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠Δ = + ( )0, 006 1733 1647 519500 11,844 10 1647 1631 10 2 2 2P 4,19 kN 10 5 − ⎛ ⎞⋅ ⋅ − ⋅ − − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠Δ = = + 01 2 0P 2P P 2 P 2 1631 1733 2 4,19 1521 kN= − − Δ = ⋅ − − ⋅ = 11 2 1P 2P P 2 P 2 1631 1647 2 4,19 1607 kN= − − Δ = ⋅ − − ⋅ = 21 2P P 2 P 1631 2 4,19 1623 kN= − Δ = − ⋅ = A figura 35 apresenta o diagrama de força normal no cabo: Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 42 Figura 35 3.4. Perda de protensão por encurtamento do concreto durante a fase de protensão dos cabos (concreto protendido com armadura pós-tracionada) Figura 36 Considere-se a seção transversal esquematizada na figura 36 de uma viga protendida com armadura pós-tracionada, constituída de 5 cabos (n = 5). Normalmente, a protensão total é obtida estirando-se, seqüencialmente, um cabo por vez num total de cinco operações. A protensão de um cabo provoca uma deformação imediata do concreto e, consequentemente, afrouxamento dos cabos anteriormente protendidos. A perda média de protensão pode ser estimada através da expressão: Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 45 A perda percentual é de p p0 33, 4 2, 3% 1464 Δσ = − = − σ P 8106 3, 34 5 11,84 7908 kN= − × × = O percentual devido à perda imediata vale, portanto ( ) ( )0 0P P / P 8665 7908 /8665 9%− = − = 3.5. Perdas progressivas em armaduras aderentes Encerradas as operações de protensão da peça de concreto protendido, os cabos são injetados com nata de cimento, estabelecendo-se a aderência entre a armadura de protensão e o concreto. Admite-se que esta aderência seja perfeita, isto é, podem ser consideradas iguais às deformações adicionais no concreto e na armadura de protensão. As perdas progressivas são devidas à fluência e retração do concreto e à relaxação da armadura de protensão. A fluência e a relaxação exprimem a influência do tempo nos campos de tensões e deformações. O fenômeno da fluência pode ser caracterizado através da seguinte experiência: Considere- se uma barra (fig. 37) à qual é aplicada, num certo instante t0 , a força de tração permanente de valor P0 que, portanto, será mantida constante ao longo do tempo. No instante t0 tem-se um alongamento inicial de valor a0. No material sujeito a fluência, este alongamento aumenta ao longo do tempo para um valor assintótico a∞. A fluência acarreta, portanto, um aumento da deformação sob tensão constante. Figura 37 L0 a A B A B’ Pi = cte t a to a0 P to Pi t Pi = constante Fluência Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 46 O fenômeno da relaxação pode ser caracterizado através da seguinte experiência. Considere-se uma barra (fig. 38) à qual é aplicada, num certo instante t0 , um alongamento permanente de valor a0 mantido constante ao longo do tempo. Para isto, é necessário aplicar uma força de tração de intensidade Pi. No material viscoelástico, esta força diminui ao longo do tempo para um valor assintótico P∞. A viscoelasticidade acarreta, neste caso, diminuição da tensão sob deformação constante que é chamada de relaxação. Figura 38 Pode-se admitir que o efeito do tempo em uma peça de concreto protendido transcorra em condições que se aproximam da fluência pura no concreto e da relaxação pura na armadura de protensão. De fato, no concreto, as solicitações de caráter permanente são devidas à carga permanente (constante) e à protensão que relativamente varia pouco; as tensões normais correspondentes no concreto acabam gerando deformações adicionais semelhantes a fluência pura. A grande deformação inicial aplicada na armadura para se obter a força de protensão, mantém-se praticamente constante ao longo do tempo provocando perdas de tensão semelhantes a relaxação pura. L0 P A B A B’ a0 = cte t P to Pi a to a0 t a0 = constante Relaxação Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 47 3.5.1.Perdas por retração no concreto (Shrinkage Δσp,s) Figura 39 Deformação por retração εcs= Equivale a uma diminuição de temperatura entre 15°C a 38°C - Umidade relativa do ambiente (U) Umidade Relativa do Ar (Diminui) Retração (aumenta) Rio de Janeiro São Paulo U= 78% εcs=-20x 10 -5 - Consistência do concreto no lançamento: a c 0,45 0,50 0,55 0,65 0,65 Porosidade aumenta → Índice de vazios aumenta → - Espessura fictícia da peça hfic; Figura 40 Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 50 p,cΔσ é a perda no aço de protensão devido a fluência pα é a razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto s c E E . A seguir apresenta-se o critério aproximado da Nova Norma NB1-2003 para se estimar a deformação por fluência e retração. Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to) e da deformação específica de retração εcs(t∞,to) do concreto, submetido a tensões menores que 0,5 fc quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos, por interpolação linear, a partir da tabela 7. Esta tabela fornece o valor do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to) e da deformação específica de retração εcs(t∞,to) em função da umidade ambiente e da espessura equivalente 2Ac/u, onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro desta seção em contato com a atmosfera. Os valores desta tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10ºC e 20ºC, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0ºC e 40ºC. Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum. Tabela 7 Valores característicos superiores da deformação específica de retração εcs(t ∞,to) e do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to) Umidade ambiente (%) 40% 55% 75% 90% Espessura Equivalente c 2A u (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60 5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 ϕ(t∞,to) to(dias) 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 εcs(t∞,to) ‰ to(dias) 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09 3.5.3. Perdas por relaxação do aço, (εp,r) A relaxação da armadura de protensão é a perda de protensão quando os fios ou cordoalhas estão sujeitos essencialmente com uma deformação constante. Por simplificação, pode-se considerar o efeito da relaxação da armadura semelhante à fluência do concreto, lembrando somente que a fluência caracteriza-se pelo aumento das deformações ao passo que a relaxação do aço é uma diminuição da tensão com o tempo. Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 51 Figura 45 O valor da força de protensão em uma determinada época, considerada somente a relaxação do aço, é dado por: ))t,t(1.(F)t,t(F 00p0p ψ−= portanto PFp = 15,0 0 10000 1000 tt )t,t( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −ψ=ψ Onde: σpi e Pi são respectivamente a tensão e a força no macaco; σp0 e P0 são respectivamente a tensão e a força no tempo t = to; σp∞ e P∞ são respectivamente a tensão e a força no tempo t = ∞; ψ(to,t) é o coeficiente de relaxação do aço no instante t para protensão e carga permanente mobilizada no instante tº ψ1000 é a relaxação de fios e cordoalhas, após 1000 h a 20ºC e para tensões variando de 0,5 a 0,8 fptk, obtida em ensaios descritos na NBR 7484, não devendo ultrapassar os valores dados na NBR 7482 e na NBR 7483,respectivamente. Para efeito de projeto, os valores médios da relaxação para as perdas de tensão, referidas a valores básicos da tensão inicial, de 50% a 80% da resistência característica fptk (ψ1000), são reproduzidos na tabela 8. Tabela 8 Valores de Ψ1000, em % Cordoalhas Fios Barras σpo RN RB RN RB 0,5 fptk 0 0 0 0 0 0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5 0,7 fptk 7 2,5 5 2 4 0,8 fptk 12 3,5 8,5 3 7 Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 52 Para tensões inferiores a 0,5 fptk, admite-se que não haja perda de tensão por relaxação. Para tensões intermediárias entre os valores fixados na tabela 7, permite-se a interpolação linear. Pode-se considerar, para o tempo infinito (t=50 anos), o valor é ∞ψ ≅ 2,5 ψ1000. 3.5.3.1. Fluência da armadura de protensão, (εp,c) A fluência e a relaxação do aço são o mesmo fenômeno, medido somente em diferentes circunstâncias. A fluência do aço é dado por: [ ]o o(t , t ) ln 1 (t , t )χ = − −ψ χ(to,t) é o coeficiente de fluência do aço As perdas por relaxação da armadura protendida poder ser avaliada por: po p,r ∞σ χΔσ = − β ou po 1000p,r σ ψ Δσ ≅ − β Para aplicações usuais. 3.6. Perdas progressivas totais. A perda progressiva total considerando a fluência e a retração do concreto e a relaxação da armadura ativa é fornecida por: o1000ou c,pog p p cs po p E ψ ∞ ∞σ α ϕ + ε −σ χΔσ = β ppp さ 2 1とgぬ1く ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++= ∞∞ ϕ 2 p c c g po c,pog p c c e 1 A I Varia em cada seção M F e I A ⎛ ⎞ η = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ σ = − η Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 55 g) O Estado Limite Último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 49 a seguir: Figura 49. Domínios de deformação. 4.2. Dimensionamento a flexão simples de vigas de seção retangular composta por armadura protendida aderente e por armadura passiva simples. 4.2.1. Dados de entrada: Figura 50 – Esquema para Dimensionamento Esforços solicitantes Msd Fpοο Nsd=0 Geometria e armadura protendida Incógnitas: x = ? (Posição da linha neutra) As = ? (Armadura Passiva) Tal que os esforços resistentes Nrd e Mrd sejam Nrd = Nsd = 0 e Mrd ≥ Msd Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 56 bw; h; d; dp; Ap;P∞ Materiais fck; fy (armadura passiva) e Es; fpyk (armadura ativa) e Ep 4.2.2. Seqüência geral de solução. A seqüência dada a seguir é mais geral e resolve todos os problemas, embora a rigor seja mais complexa. a) Arbitra-se um valor para x (ou x d ), por exemplo x 0,30 d = b) Para este valor de x (ou x d ) calcula-se a deformada de Estado Limite Último (ELU) correspondente. Os domínios de deformação no ELU são 1 a 5. Assim se: c c c x x 0, 259 10‰ d d x x h 0, 259 3,5‰ d d h x 2‰ 3 hd d 1 7 x ≤ ε = − ≤ ≤ ε = ≤ ε = − Onde εc é a deformação na fibra mais comprimida ou menos tracionada do concreto. c) Por compatibilidade, calcular εs e Δεp alongamentoencurtamento alongamento pc s px d x d x ++ + Δεε ε = = − − Logo: ( ) s c c x 1 d x d xx d ⎛ ⎞−⎜ ⎟− ⎝ ⎠ε = ε = ε Alongamento da armadura passiva de tração. x (d-x) (dp-x) dp d εs Figura 51 – Esquema para cálculo dos alongamentos Δεp εc Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 57 ( ) p p p c c d x d x d d xx d ⎛ ⎞ −⎜ ⎟− ⎝ ⎠Δε = ε = ε Alongamento adicional (ao pré-alongamento da armadura protendida) O alongamento total da armadura aderente será dado por: p pré pε = ε + Δε Onde εpré é o pré-alongamento da armadura de protensão, na data em estudo; usualmente se toma ∞P F . O valor de εpré é dado no caso da pré-tração e aproximado na pós-tração por: pp P ppré A.E F . ∞γ=ε Na prática é adotado γp = 0,90. O cálculo mais rigoroso do pré-alongamento na pós-tração é dado por; ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ηρα+γ=ε ∞ .pp pp P ppré .1.A.E F . com γp = 0,90. sendo: p p 2 cp p p c c c E A A ; ; 1 e E A I ⎛ ⎞ α = ρ = η = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d) Dado εs e εp podem ser calculadas, pelas equações constitutivas, as tensões σsd e σpd. yd sd s s ydf E f− ≤ σ = ε ≤ (+ alongamento) pd p p pydE fσ = ε ≤ (+ alongamento), admitindo o patamar fictício de escoamento para o aço de protensão Pode-se tomar fpyk ≅ 0,90fptk Logo pyk ptkpyd s s s f f f 0,90 com 1,15= = γ = γ γ e) Dados x, σsd e σpd podem ser calculadas as resultantes no concreto e no aço e seus pontos de aplicação. Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 60 Com estes três ou mais pares, traçamos a curva aproximada que correlaciona Mrd com As, entrando com Msd e interpolando entre os valores calculados, mais próximos, achamos As,sol, aproximado. Por exemplo, se Msd está entre os pontos B e C, temos: ( )sd rd,Bs,sol s,B s,C s,B rd,C rd,B M M A A A A M M − ≅ − + − O gráfico também fornece qual é o momento resistente para As igual a zero (ponto D). ou seja, se Msd≤Mrd,D não é necessária, teoricamente, armadura passiva As, devendo-se adotar a armadura mínima dada por: s s min cA A A≥ = ρ para armaduras aderentes min,CA p min,CA0,5 0,5ρ = ρ − ρ ≥ ρ onde pp c A A ρ = A Nova NB1-2003 especifica os valores mínimos de ρmin,CA conforme a Tabela 9: Tabela 9 fck (MPa) T (mesa comprimida) T (mesa tracionada) 45 50 ωmín Retangular 0,15 0,15 Valores de ρmin* (As,min/Ac) % 20 25 30 35 40 0,197 0,173 0,201 0,23 0,259 0,15 0,15 0,153 0,288 0,15 0,15 0,15 0,15 0,158 0,177 0,178 0,204 0.229 0,255 0,46 0,518Circular 0,23 0,288 Forma da seção 0,575 * Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ωmín dado. NOTA: Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante. 0,035 0,024 0,031 0,07 0,345 0,403 Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 61 4.2.1. Exemplo F-ELU-1 Calcular a armadura de flexão para a viga de seção retangular com os dados a seguir. Ap=11,80cm 2 ∞P F =129,8 tf As=? Aço CP-190 RB fck=25 MPa Es=210 GPa Ac=0,48m 2 Ep=195 GPa Ic=0,0576m 4 Ec=23,8 GPa Figura 54 – Seção da Viga do Exemplo F-ELU-1 Seguindo a seqüência de cálculo anteriormente descrita: (a) Dados 50,0 d x = (Depois será feito para x d =0,30 e x d =0,10) cm5,57115.50,0x == (b) Calcular εc Para 000c 5,3259,050,0 d x =ε→>= (c) Calcular Δεp, εs, εpré e εp 00 0 00 0 cs 5,3 50,0 )50,01( 5,3 d x d x 1 = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ε=ε 00 0 00 0 p cp 2,3 50,0 50,0 115 110 5,3 d x d x d d = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ε=εΔ ‰08,500508,0 8,11.1950 8,129 .90,0 A.E F . pp P ppré ===γ=ε ∞ Ep=195 GPa = 1950 tf/cm 2 Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 62 Opcionalmente, o cálculo do pré-alongamento poder ser feito da maneira mais correta: ( ) ( ) ( ) p pré p p p p p p p c p p c 22 c p c p p F 1 5, 08‰ 1 8,19.0, 00246.3, 08 5, 40‰ E A com E 195 8,19 E 23,8 A 11,80 0, 00246 A 40.120 A 0,48 1 e 1 1,10 0,60 3, 08 I 0, 0576 h e d 2 ∞⎡ ⎤ε ≅ γ +α ρ η = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ α = = = ρ = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞η = + = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 00 0 00 0 00 0 pprép 28,82,308,5 =+=εΔ+ε≅ε Ou de maneira mais exata: 00 0 00 0 00 0 pprép 60,82,340,5 =+=εΔ+ε≅ε Só vale para armadura de protensão ADERENTE (d) Dados εs e εp calcular σsd e σpd 2pd 2p 2 2 s pyd pydpppd 2sd2sd 00 0 s 2 2 ydydsssdyd cm tf87,14 1000 60,8.1950 cm tf1950GPa195E cm tf87,14 15,1 cm tf19 9,0 f9,0 f.E cm tf35,4 cm tf35,4 1000 5,3 2100 1000 5,3 5,3 cm tf35,4 15,1 cm tf0,5 ff.Ef ≤=σ == == γ =≤ε=σ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− =σ→≤=σ ==ε ==→−≤ε=σ≤− Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 65 4.3. Dimensionamento ou verificação, a flexão simples, de vigas de seção retangular composta por armadura protendida aderente e por armadura passiva dupla. 4.3.1. Dados de entrada: Figura 55 – Seção de Viga com Armadura Passiva Dupla Esforços solicitantes: Msd ≤ Mrd ∞P F Nsd=Nrd=0 Geometria e armadura protendida bw; h; d; d’; dp; Ap;P∞ Materiais fck; fy (armadura passiva) e Es; fpyk (armadura ativa) e Ep 4.3.2. Seqüência geral de solução. Existem dois caminhos possíveis, pois temos três incógnitas e somente 2 equações (Nrd e Mrd), portanto deveremos fixar uma das incógnitas. Incógnitas: x = ? (Posição da linha neutra) As = ? (Armadura Passiva de Tração) ' sA = ? (Armadura Passiva de Compressão) Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 66 1° Caminho Fixa-se x 0,50 d ≤ , isto é possível quando já temos a solução com 'sA 0= , que não foi viável. Fixando x d seguiremos os passos dados anteriormente calculando, também, ε’s e σ ’ sd, dados por: ( ) ( ) ' ' s c ' ' yd sd s s yd de compressão x d x e f E f ⊕ − ε = ε − ≤ σ = ε ≤ Na seqüência obteremos: m m ' ' s sd s sd ' rd cd sd sd pd AA N R R R R σσ = − − − (1) msd s ' sd ' ' ' rd cd sd s pd p R h h h h M R 0,4x A d A d R d 2 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +σ − +σ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2) Impondo Nrd=Nsd=0 e Mrd=Msd , temos de (1) e (2); pdsdssdscd R.A'.'AR0 −σ−σ+= sd s ' ' ' rd cd sd s pd p h h h h M R 0,4x A d A d R d 2 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +σ − +σ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Duas equações a duas incógnitas: A’s e As. Destas duas equações teremos um par solução A’s e As para o valor x d fixado. Cabe ao projetista escolher o par mais conveniente, desde que: x d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; ou x d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa. Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 67 2° Caminho Arbitrar A’s e repetir os passos da solução com armadura simples, para vários x d e calcular qual As fornece Mrd=Msd. Ou seja aqui tem-se um par de soluções: As e x d - para cada A’s arbitrado - e cada par é uma solução válida se 50,0 d x ≤ . 4.3.1. Exemplo F-ELU-2 Repetir o exemplo F-ELU-1 com Msd= 260,1 tfm, onde será necessário usar As ’≠0, para se garantir x 0,50 d ≤ . Usar d’ =5 cm. 1º Caminho Impondo x d =0,50, Nrd=Nsd=0 e Mrd=Msd=260,1 tfm=26010tfcm, teremos; A’s=2,45 cm 2 e As=26,36 cm 2. 2º Caminho Repetir a seqüência dada em F-ELU-1 para x d =0,10; 0,30 e 0,50, teremos, portanto: Para x 0,10 x 11,5 cm d = → = ( )' ' 2 s sd 11,5 5 0,63 1,11‰ 0,63‰ 2100 1, 32 tf cm 11,5 1000 − ε = = →σ = = e s ' rd sN 55,9 A 1, 32 A 4, 35 175,5= − − − s ' rd s 120 120 120 120 M 55,9 0, 4.11,5 1, 32 A 5 4,35 A 115 175,5 110 2 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Para x 0,50 x 57,5 cm d = → = Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 70 β é um fator que leva em conta a parcela de ganho de protensão em uma armadura não-aderente em relação ao que se obteria com armadura aderente (o valor de β para armadura aderente é igual a 1,0). C. Despreza-se o acréscimo de protensão no cálculo de Rsp Ou seja, deve-se tomar: ∞ γ= Ppsp F.R 4.4.1. Exemplo F-ELU-3 Resolver a viga apresentada no exemplo F-ELU-1, porém considerando que a armadura de protensão é do tipo não aderente. Conforme exposto, a seqüência de cálculo é a mesma, modificando-se porém o cálculo de εp, σsp e Rsp. a) Cálculo do acréscimo de protensão com a opção A: Supondo que o vão seja menor que 38,5 m, ou seja 35 dP ≤ l (dP=1,10 m) p p p fck 70 MPa 420 MPa A 100 b.d Δσ = + ≤ p 25 70 MPa 163, 2 MPa 420 MPa 11,8 100 40.110 Δσ = + = ≤ 2 pyd 2 pprépp tf/m 87,14f tf/m 16,1263,11000 40,5 .1950.E =≤=+=σΔ+ε=σ e tf5,14316,12.8,11.AR ppsp ==σ= para qualquer x/d Para x d =0,10 Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 71 De 1: 5,143A.35,49,55N srd −−= De 2: ( ) ( ) )60110(5,14360115A.35,45,11.4,060.9,55M srd −+−+−= Como estamos na flexão simples temos: Nrd=Nsd=0 e aplicando em 1 temos: As= -20,14 cm 2 De 2 temos; Mrd=54,5 tfm. Repetindo a sequência para x d =0,30 e x d =0,50 temos: Tabela 11 x/d As (cm 2) Mrd (tfm) 0,10 -20,14 54,5 0,30 5,54 162,41 0,50 31,23 249,77 Para Mrd=203,2 tfm, interpolando entre 0,30 e 0,50, obtemos As=17,54 cm 2. b) Cálculo do acréscimo de protensão pela opção B: Nesta opção, o acréscimo de protensão é dado por βΔεp, ou seja, o alongamento εp é: Supondo que esta viga tenha mais de 1 vão, temos: β=0,20, e para x d =0,10 p pré p 5, 08‰ 0, 20.9,51‰ = 6,98‰ε = ε +βΔε = + 2 pyd 2 ppp tf/m 87,14f tf/m 6,131000 98,6 .1950.E =≤==ε=σ tf6,1608,11.6,13.AR ppsp ==σ= Logo Nrd e Mrd ficam: De 1: 6,160A.35,49,55N srd −−= De 2: ( ) ( ) ( )rd sM 55,9 60 0, 4.11,5 4, 35A 115 60 160,6 110 60= − + − − − Impondo Nrd=Nsd=0 e aplicando em 1 temos: Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 72 As=-24,06 cm 2 De 2 temos; Mrd=53,7 tfm Analogamente podemos montar, com x d =0,30 e x d =0,50, a tabela abaixo: Tabela 12 x/d As (cm 2) Mrd (tfm) 0,10 -24,064 53,7 0,30 3,55 162,0 0,50 33,97 250,4 Para Mrd=203,2 tfm, interpolando entre 0,30 e 0,50, obtemos As=17,72 cm 2. A tabela 13 e a figura 56 abaixo apresentam um resumo das opções calculadas nos exemplos F-ELU-1, F-ELU-2 e F-ELU-3: Tabela 13 Tipo de Protensão A’s d x As Mrd 0,10 -27,52 52,89 0,30 -1,82 160,81 Aderente 0 0,50 23,88 248,17 0,10 -22,52 64,85 0,30 3,18 172,76 Aderente 5,00 0,50 28,88 260,13 0,10 -20,14 54,50 0,30 5,54 162,41 Não-aderente Opção A 0 0,50 31,23 249,77 0,10 -24,06 53,70 0,30 3,55 162,00 Não-aderente Opção B 0 0,50 33,97 250,40 Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 75 Se f0,8x h≤ Figura 58 ( ) cd,alma cd w cd,abas cd f w R 0,85f b 0,8x R 0,85f b b 0,8x = = − Se f0,8x h≥ Figura 59 ( ) cd,alma cd w cd,abas cd f w f R 0,85f b 0,8x R 0,85f b b h = = − As duas situações podem ser expressas pelas resultantes Rcd,alma e Rcd,aba com ft 0,8x h= ≤ (e se x<0, Rcd,alma=Rcd,aba=0 e t=0 ) Assim, para x=11,5 temos ft 0,8.11,5 h 10 t 9, 2 cm= ≤ = → = Figura 60 ( ) cd,alma cd,abas pd pd p sd sd s s 0, 25 R 0,85 40.0,8.11,5 55,9 tf 1, 4 0, 25 R 0,85 100 40 9, 2 83,8 tf 1, 4 R A 14,87.11,8 175,5 tf R A 4, 35.A = = = − = = σ = = = σ = f) Cálculo dos esforços Resistentes NR e MR 1 5,175A.5,438,839,55RRRRN spdsdabas,cdalma,cdrd −−+=−−+= 2 ( ) ( ) )yd(RydR 2 t y.Rx.4,0y.RM sppdssdsabas,cdsalma,cdrd −+−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+−= ( ) ( ) )9,53110(5,1759,53115A.35,4 2 2,9 9,53.8,835,11.4,09,53.9,55M srd −+−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+−= srd A.8,2655,16732M += Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 76 g) Cálculo de As tal que NRd=NSd=0 (flexão simples): De 1: cd,alma cd,abas pd 2 s sd R R R 55,9 83,8 175,5 A 8, 23 cm 4, 35 + − + − = = = − σ e ( )rdM 16732 265,8. 8, 3 14544 tf .cm 145,44 tfm= + − = = Repetindo a sequência para x d =0,30 e x d =0,50 obtemos: Tabela 14 Ponto x d As cm2 MRd tfm Rcd,alma tf Rcd,abas tf Rpd tf σsd tf/cm2 A 0,10 -8,23 145,4 55,9 83,8 175,5 4,35 B 0,30 19,11 267,5 167,6 91,1 175,5 4,35 C 0,50 44,80 332,3 279,3 91,1 175,5 4,35 0,1 0,3 0,5 A’ B’ C’ B C A As (cm 2 ) Mrd tfm x d Msd=203,2 As,sol=4,71 cm 2 Figura 61 Para o momento solicitante MSd=203,2 tfm, a solução está entre os pontos A e B, e por interpolação linear temos: Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 77 2 sd,s cm 71,4)23,8())23,8(11,19.()4,1455,267( )4,1452,203( A =−+−− − − ≅ Para o momento solicitante MSd=260,1 tfm, que para a seção retangular foi solucionada com armadura de compressão A’s (exemplo F-ELU2), a solução por interpolação linear é: 2 sd,s cm 50,17)23,8())23,8(11,19.()4,1455,267( )4,1451,260( A =−+−− − − ≅ 4.6. Tabela com adimensionais para a solução de problemas de flexão simples com armadura de protensão aderente. Figura 62 Para a seção da Figura 61, obtém-se as seguintes relações: 1 Rd cd w sd s pd p sdN 0,85f b 0,8.x A A N 0= −σ −σ = = No caso da flexão simples (Nsd=0) pode-se fazer o momento das resultantes Rcd e Rpd em relação à armadura As, assim: 2 ( ) ( )Rd cd w pd p pM 0,85f b 0,8.x d 0, 4x A d d= − −σ − Dividindo as expressões 1 por bwd.fcd e a 2 por bwd 2.fcd obtemos; 1’ s yd pd p ptdcd w sd w cd yd w cd ptd w cd A f A .0,9f0,85f b 0,8.x.d 0 b d.f d f b d.f 0,9f b d.f σσ − − = 2’ ( ) ( )pd p ptdRd cd w p2 2 2 w cd w cd ptd w cd A 0,9fM 0,85f b 0,8.x d 0, 4x d d b d f b d f 0,9f b d f σ = − − − Definindo as variáveis adimensionais: Rd d 2 w cd M b d f μ = Atenção, aqui usamos d, e não h como se faz em pilares. Tabela de adimensioais para f lexão simples em seções retangulares comarmaduras aderentes Dado de entrada Resultados obtidos Válido para as seguintes condições f py d=0,9f ptd 14,87 μ ωs Pré alongamento maior que 5°/oo fyd (tf/cm²)= 4,35 ωp Δεp Aços; CP 190 RN ou RB Es= 2100 dp/d CA 50 Ep= 1950 x/d dp/d ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs 0,950 0,090 0,029 0,000 0,120 0,027 0,000 0,150 0,026 0,000 0,180 0,024 0,000 0,210 0,023 0,000 0,240 0,021 0,000 0,270 0,020 0,000 0,950 0,090 0,061 0,000 0,120 0,059 0,000 0,150 0,058 0,000 0,180 0,056 0,000 0,210 0,055 0,000 0,240 0,053 0,000 0,270 0,052 0,000 0,950 0,090 0,091 0,012 0,120 0,090 0,000 0,150 0,088 0,000 0,180 0,087 0,000 0,210 0,085 0,000 0,240 0,084 0,000 0,270 0,082 0,000 0,950 0,090 0,121 0,046 0,120 0,119 0,016 0,150 0,118 0,000 0,180 0,116 0,000 0,210 0,115 0,000 0,240 0,113 0,000 0,270 0,112 0,016 0,950 0,090 0,149 0,080 0,120 0,147 0,050 0,150 0,146 0,020 0,180 0,144 0,000 0,210 0,143 0,000 0,240 0,141 0,000 0,270 0,140 0,050 0,950 0,090 0,175 0,114 0,120 0,174 0,084 0,150 0,172 0,054 0,180 0,171 0,024 0,210 0,169 0,000 0,240 0,168 0,000 0,270 0,166 0,084 0,950 0,090 0,200 0,148 0,120 0,199 0,118 0,150 0,197 0,088 0,180 0,196 0,058 0,210 0,194 0,028 0,240 0,193 0,000 0,270 0,191 0,118 0,950 0,090 0,224 0,182 0,120 0,222 0,152 0,150 0,221 0,122 0,180 0,219 0,092 0,210 0,218 0,062 0,240 0,216 0,032 0,270 0,215 0,152 0,950 0,090 0,246 0,216 0,120 0,245 0,186 0,150 0,243 0,156 0,180 0,242 0,126 0,210 0,240 0,096 0,240 0,239 0,066 0,270 0,237 0,186 0,950 0,090 0,268 0,250 0,120 0,266 0,220 0,150 0,265 0,190 0,180 0,263 0,160 0,210 0,262 0,130 0,240 0,260 0,100 0,270 0,259 0,220 dp/d ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs 0,850 0,090 0,020 0,000 0,120 0,015 0,000 0,150 0,011 0,000 0,180 0,006 0,000 0,210 0,002 0,000 0,240 -0,003 0,000 0,270 -0,007 0,000 0,850 0,090 0,052 0,000 0,120 0,047 0,000 0,150 0,043 0,000 0,180 0,038 0,000 0,210 0,034 0,000 0,240 0,029 0,000 0,270 0,025 0,000 0,850 0,090 0,082 0,012 0,120 0,078 0,000 0,150 0,073 0,000 0,180 0,069 0,000 0,210 0,064 0,000 0,240 0,060 0,000 0,270 0,055 0,000 0,850 0,090 0,112 0,046 0,120 0,107 0,016 0,150 0,103 0,000 0,180 0,098 0,000 0,210 0,094 0,000 0,240 0,089 0,000 0,270 0,085 0,016 0,850 0,090 0,140 0,080 0,120 0,135 0,050 0,150 0,131 0,020 0,180 0,126 0,000 0,210 0,122 0,000 0,240 0,117 0,000 0,270 0,113 0,050 0,850 0,090 0,166 0,114 0,120 0,162 0,084 0,150 0,157 0,054 0,180 0,153 0,024 0,210 0,148 0,000 0,240 0,144 0,000 0,270 0,139 0,084 0,850 0,090 0,191 0,148 0,120 0,187 0,118 0,150 0,182 0,088 0,180 0,178 0,058 0,210 0,173 0,028 0,240 0,169 0,000 0,270 0,164 0,118 0,850 0,090 0,215 0,182 0,120 0,210 0,152 0,150 0,206 0,122 0,180 0,201 0,092 0,210 0,197 0,062 0,240 0,192 0,032 0,270 0,188 0,152 0,850 0,090 0,237 0,216 0,120 0,233 0,186 0,150 0,228 0,156 0,180 0,224 0,126 0,210 0,219 0,096 0,240 0,215 0,066 0,270 0,210 0,186 0,850 0,090 0,259 0,252 0,120 0,254 0,223 0,150 0,250 0,193 0,180 0,246 0,164 0,210 0,241 0,135 0,240 0,237 0,106 0,270 0,232 0,223 dp/d ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs 0,750 0,090 0,011 0,000 0,120 0,003 0,000 0,150 -0,004 0,000 0,180 -0,012 0,000 0,210 -0,019 0,000 0,240 -0,027 0,000 0,270 -0,034 0,000 0,750 0,090 0,043 0,000 0,120 0,035 0,000 0,150 0,028 0,000 0,180 0,020 0,000 0,210 0,013 0,000 0,240 0,005 0,000 0,270 -0,002 0,000 0,750 0,090 0,073 0,012 0,120 0,066 0,000 0,150 0,058 0,000 0,180 0,051 0,000 0,210 0,043 0,000 0,240 0,036 0,000 0,270 0,028 0,000 0,750 0,090 0,103 0,046 0,120 0,095 0,016 0,150 0,088 0,000 0,180 0,080 0,000 0,210 0,073 0,000 0,240 0,065 0,000 0,270 0,058 0,016 0,750 0,090 0,131 0,080 0,120 0,123 0,050 0,150 0,116 0,020 0,180 0,108 0,000 0,210 0,101 0,000 0,240 0,093 0,000 0,270 0,086 0,050 0,750 0,090 0,157 0,114 0,120 0,150 0,084 0,150 0,142 0,054 0,180 0,135 0,024 0,210 0,127 0,000 0,240 0,120 0,000 0,270 0,112 0,084 0,750 0,090 0,182 0,148 0,120 0,175 0,118 0,150 0,167 0,088 0,180 0,160 0,058 0,210 0,152 0,028 0,240 0,145 0,000 0,270 0,137 0,118 0,750 0,090 0,206 0,182 0,120 0,198 0,152 0,150 0,191 0,122 0,180 0,183 0,092 0,210 0,176 0,062 0,240 0,168 0,032 0,270 0,161 0,152 0,750 0,090 0,229 0,219 0,120 0,222 0,191 0,150 0,215 0,162 0,180 0,208 0,133 0,210 0,200 0,104 0,240 0,193 0,075 0,270 0,186 0,191 0,750 0,090 0,252 0,260 0,120 0,245 0,234 0,150 0,239 0,207 0,180 0,232 0,181 0,210 0,226 0,154 0,240 0,219 0,128 0,270 0,212 0,234 dp/d ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs ωp μ ωs 0,650 0,090 0,002 0,000 0,120 -0,009 0,000 0,150 -0,019 0,000 0,180 -0,030 0,000 0,210 -0,040 0,000 0,240 -0,051 0,000 0,270 -0,061 0,000 0,650 0,090 0,034 0,000 0,120 0,023 0,000 0,150 0,013 0,000 0,180 0,002 0,000 0,210 -0,008 0,000 0,240 -0,019 0,000 0,270 -0,029 0,000 0,650 0,090 0,064 0,012 0,120 0,054 0,000 0,150 0,043 0,000 0,180 0,033 0,000 0,210 0,022 0,000 0,240 0,012 0,000 0,270 0,001 0,000 0,650 0,090 0,094 0,046 0,120 0,083 0,016 0,150 0,073 0,000 0,180 0,062 0,000 0,210 0,052 0,000 0,240 0,041 0,000 0,270 0,031 0,016 0,650 0,090 0,122 0,080 0,120 0,111 0,050 0,150 0,101 0,020 0,180 0,090 0,000 0,210 0,080 0,000 0,240 0,069 0,000 0,270 0,059 0,050 0,650 0,090 0,148 0,114 0,120 0,138 0,084 0,150 0,127 0,054 0,180 0,117 0,024 0,210 0,106 0,000 0,240 0,096 0,000 0,270 0,085 0,084 0,650 0,090 0,173 0,148 0,120 0,163 0,118 0,150 0,152 0,088 0,180 0,142 0,058 0,210 0,131 0,028 0,240 0,121 0,000 0,270 0,110 0,118 0,650 0,090 0,199 0,187 0,120 0,189 0,159 0,150 0,179 0,131 0,180 0,169 0,102 0,210 0,159 0,074 0,240 0,149 0,046 0,270 0,139 0,159 0,650 0,090 0,224 0,229 0,120 0,215 0,203 0,150 0,206 0,177 0,180 0,197 0,151 0,210 0,188 0,125 0,240 0,179 0,100 0,270 0,170 0,203 0,650 0,090 0,247 0,269 0,120 0,239 0,245 0,150 0,230 0,221 0,180 0,222 0,197 0,210 0,214 0,173 0,240 0,205 0,150 0,270 0,197 0,245 Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 81 4.6.1. Exemplo F-ELU-5 Dimensionar a armadura passiva do exemplo F-ELU-1 com auxílio das tabelas com adimensionais para seções retangulares. Para este exemplo podemos usar a tabela pois pré 5, 4‰ > 5‰ε = e os aços utilizados são CA-50 e o CP 190 RB, este aderente. Os dados de entrada são: pd 110 0,957 d 115 = = 214,0 4,1 tf/cm 25,0 .cm 115.cm 40 tf/cm 87,14.cm 8,11 f.d.b f.9,0.A 2 22 cdw ptdp p ===ϖ ( ) 215,0 4,1 tf/cm 25,0 .cm 115.cm 40 tf.cm 03202 f.d.b M 2 2cd 2 w Rd d ===μ Entrando com os dados na tabela com; p p s d d 0,95 d 0, 21 0, 059 mi 0, 215 ⎫ = ⎪ ⎪⎪ϖ ≅ →ϖ ≅⎬ ⎪μ = = ⎪ ⎪⎭ Logo 2 2 2 w yd cd ss cm11,14 cm cm.115 40. tf/cm ,354 4,1 tf/cm 25,0 .059,0d.b. f f .A ==ϖ= Note que no exemplo F-ELU-1 a armadura calculada foi de 10,60 cm2, semelhante a obtida neste exemplo. Escola Politécnica – Universidade de São Paulo Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano PEF – Departamento de Estruturas e Fundações 82 4.6.2. Exemplo F-ELU-6 Dimensionar a armadura passiva do exemplo F-ELU-3 (com protensão não-aderente) fazendo uma adaptação para o uso das tabelas com adimensionais. Podemos usar a tabela, com adaptações, pois pré 5, 4‰ > 5‰ε = e os aços utilizados são CA-50 e o CP 190 RB. A adaptação necessária, com armadura não-aderente (cordoalhas engraxadas) usa a opção A, exposta no item 4.4, onde se calcula σpd por: p p pré p pydE fσ = ε + Δσ ≤ p p p fck 70 MPa 420 MPa A 100 b.d Δσ = + ≤ Supõe-se aqui que 35 dP ≤ l 2 p 25 70 MPa 163, 2 MPa 1,63 tf cm 420 MPa 11,8 100 40.110 Δσ = + = = ≤ e 3 2 p 5, 4 1,95.10 1,63 12,16 tf cm 1000 σ = + = As adaptações para o uso da tabela é considerar os seguintes adimensionais: 175,0 4,1 tf/cm 25,0 .cm 115.cm 40 tf/cm 16,12.cm 8,11 f.d.b .A 2 22 cdw pdp p == σ =ϖ ( ) 215,0 4,1 tf/cm 25,0 .cm 115.cm 40 tf.cm 03202 f.d.b M 2 2cd 2 w Rd d ===μ Entrando com os dados na tabela obtemos: