equações diferenciais

equações diferenciais

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7 Se Mdx + Ndy = 0 for uma equação diferencial homogênea, então ela poderá ser escrita da

yfdx dy, onde a mudança de variáveis x yt= irá separar as variáveis.

Exemplo:

Como as funções M(x,y)=2x2-3y2 e N(x,y)=-6xy são funções homogêneas de grau 2, então a equação dada é homogênea.

Fazendo x yt=, ou y=x.t (1) e diferenciando, teremos dy=x.dt+t.dx (2). Substituindo (1) e

Separando as variáveis, resulta: 0 dttx dx.

Voltando para as variáveis x e y: Cx yx =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

Impondo a condição inicial y(1)=1/3, teremos a solução particular: 19223=−xyx

Resolva as seguintes equações:

xy xydxdy+−=

3° TIPO: EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A HOMOGÊNEAS OU A EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em equações homogêneas ou em equações de variáveis separáveis. Exemplos:

Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente.

Analisando as somas das variáveis, vemos que 2x-6y é proporcional a x-3y, logo se fizermos x-3y=t as duas somas deixarão de existir. Assim:

Diferenciando (1), teremos: dtdydx=−3, ou dydtdx3+= (2)

Voltando para as variáveis x e y, teremos a solução geral: Cyxyx =−−+− )103ln(72

yx yxdx dy

Escrevendo a equação diferencial na forma de uma diferencial, teremos: 0)243()13( =−+−−− dyyxdxyx

Observemos novamente que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente.

Como as somas x-3y e 3x+4y não são proporcionais, não é possível eliminar estas somas simultaneamente. Logo deveremos eliminar os termos independentes e transformar a equação em homogênea, que equivale a efetuar uma translação de eixos.

Determinando a solução do sistema de equações ⎩⎨⎧ =−+ yx obteremos as

10P. Logo a translação

1310 irá eliminar os

termos independentes.

Substituindo as fórmulas de translação e suas respectivas diferenciais na equação diferencial teremos:

Reduzindo os termos semelhantes, vem: 0)43()3(=+−−dvvuduvu, que é homogênea, cuja solução é:

Resolver as seguintes equações através de uma mudança adequada de variáveis:

v P

4° TIPO: EQUAÇÕES EXATAS Forma : A equação Mdx+Ndy=0 será uma equação diferencial exata , quando existir uma função f(x,y)=C tal que df=Mdx+Ndy = 0 ou se a relação xNyM∂∂=∂∂for verdadeira. Resolução: Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja z=f(x,y)=C sua solução, cuja diferencial dada por dyy fdxx fdz∂∂+∂∂= (2). Então, comparando (1) e (2) teremos:

Para obtermos a sua solução z=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão (3), em relação à variável x, da qual teremos ∫+=)(),(),(ygdxyxMyxf(5).

Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos: )(' ),(

yxNyg

∂∫. Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos 1 dxyxM

Cdy y dxyxM

Inicialmente vamos verificar a que modelo esta equação pertence. i. Ela não é de variáveis separáveis porque temos soma das variáveis x e y, i. Ela não é homogênea porque os coeficientes das diferenciais não são funções homogêneas, i. Para verificarmos se a equação é exata vamos utilizar a relação xNyM∂∂=∂∂.

Como a condição xNyM∂∂=∂∂ é verificada temos que a equação é exata.

fdf, assim comparando com a equação

dada teremos ),(yxMx f=∂∂ ou yxx f232+=∂∂, que integrado parcialmente em relação a x resulta

integrado nos fornece yyyg52)(2+−=. Daí a solução f(x,y)=C fica:

Resolver as seguintes equações diferenciais: 1) 02)(2=−−xydydxyx

yxyy

yx

5° TIPO: EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A EXATAS

Na equação Mdx+Ndy=0, quando as derivadas parciais yM∂∂ exN∂∂ diferirem, muitas vezes pode-se determinar um fator integrante que irá transformar a equação dada numa equação exata. Vejamos o exemplo:

Primeiramente, é sempre importante verificar a que modelo esta equação pertence: i. Ela não é de variáveis separáveis porque temos soma das variáveis. i. Ela não é homogênea porque os coeficientes das diferencias são polinômios que não têm os mesmos graus.

i. Para verificarmos se a equação é exata vamos utilizar a relação xNyM∂∂=∂∂.

N a equação também não é

exata.

Agora vamos determinar um fator integrante, isto é, um fator que ao se multiplicar ambos os membros da equação a transforme em exata. Seja ),(yxλ este fator integrante.

A equação parcial acima admite infinitas soluções, dependendo da função λ. No entanto, necessitamos de somente um fator integrante e preferencialmente o mais simples. Assim, vamos impor a condição que o fator integrante seja uma função somente de x, isto é 0=∂∂y λ, pois nos interessa neste exemplo anular o termo que possui as duas variáveis x e y. Logo, teremos:

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