equações diferenciais

equações diferenciais

(Parte 4 de 9)

Resolva as seguintes equações diferenciais, por uma substituição apropriada:

3) xy

ey xydx

=−4) x

dyx 3 xedx

5) 0)1(=++dyyeydxx6)524xy

exy

7) 0'2=+++xyxyy8) )ln(22cos2tgyxdx

dyyecx−=

Respostas:

20 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DE 1a ORDEM E 1o GRAU

1. Determine a equação das curvas que possuem a subnormal constante. 2. Determine a equação das curvas que possuem a subtangente constante. 3. Nos problemas a seguir determine as trajetórias ortogonais de cada família de curvas dadas: a. cxy= h. θcos2cr= i. θ2sen2cr=

4. Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de yceyx=+, que passam por

P(0,5). 5. Um investidor aplica determinada quantia que triplica em 30 meses. Em quanto tempo essa quantia estará quadruplicada, supondo que o aumento é proporcional ao capital existente a cada instante? 6. Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? 7. Suponha que a população da comunidade do problema 6 anterior seja 10.0 após 3 anos. Qual era a população inicial? Qual será a população em 10 anos? 8. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes em qualquer tempo. Após 3 horas, observa-se que há 400 bactérias presentes. Após 10 horas existem 2000. Qual era o número inicial de bactérias ? 9. O isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer? 10. Quando um raio de luz vertical passa através de uma substância transparente, a taxa na qual sua intensidade I decresce é proporcional a I(t), em que t representa a espessura do meio (em metros). No mar a intensidade a 3 m abaixo da superfície é de 25% da intensidade inicial Io do raio incidente. Qual é a intensidade do raio a 15m abaixo da superfície?

1. Segundo a Lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar. Se a temperatura do ar é 20oC e o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60oC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30oC? 12. Um termômetro é retirado de uma sala, em que a temperatura é 70ºF, e colocado no lado fora onde a temperatura é 10ºF. Após 0,5 minuto o termômetro marcava 50ºF. Qual será a temperatura marcada pelo termômetro no instante t=1 minuto? Quanto levará para marcar 15ºF? 13. Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária que liga imediatamente para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada, examina o cadáver e o ambiente tirando os seguintes dados. A temperatura do escritório era de 20oC, o cadáver inicialmente tinha uma temperatura de 35oC. Uma hora depois medindo novamente a temperatura do corpo obteve 34.2oC. O investigador, supondo que a temperatura de uma pessoa

21 viva é de 36.5oC, prende a secretária. Por que?. No dia seguinte o advogado da secretária a liberta, alegando o que? 14. Em um depósito há 100l de uma solução aquosa que contém 10kg de sal. Jogase água neste depósito com uma velocidade de 3l/min ao mesmo tempo em que, através de um orifício desse tanque, a mistura escoa com uma velocidade de 2l/min. A mistura se mantém homogênea por agitação. Que quantidade de sal haverá no tanque 1h depois de iniciada a operação 15. Inicialmente, 50 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto e a solução bem misturada é então drenada na mesma taxa. Se a concentração da solução que entra é 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantas gramas de sal estão presentes após 50 minutos? E após um longo tempo? 16. Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A mistura é drenada à mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal no tanque em qualquer instante. 17. Suponha que um estudante infectado com um vírus da gripe retorne a uma faculdade isolada no campus onde se encontra 1000 estudantes. Presumindo que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade de alunos infectados, mas também à quantidade de alunos não infectados, determine o número de alunos infectados após 6 dias se ainda é observado que depois de 4 dias x(4)= 50. 18. Uma lancha se desloca numa lagoa com uma velocidade de 10m/s. Em dado instante seu motor é desligado, com isso a lancha sofre uma redução de velocidade proporcional à velocidade instantânea. Sabendo que ao final de 5 segundos sua velocidade é de 8m/s, qual será o tempo necessário para que a lancha adquira velocidade de 1m/s? 19. Um bote está sendo rebocado a uma velocidade de 12nós(6,17m/s). No instante em que o cabo do reboque é largado, um homem no bote começa a remar, no sentido do movimento com uma força de 10N. Sabendo que o peso do homem e do bote é 200N e que a resistência ao deslocamento, em N, é de 2.6v, sendo v a velocidade em m/s, achar a velocidade do bote no fim de 30 segundos. 20. Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 0.5 Henry e a resistência 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial é zero. 21. Achar a equação da curva que passa pelo ponto P(5,6), conhecendo-se a declividade de sua tangente num ponto qualquer yxdxdy3 2=.

2. Achar a equação da curva cuja subtangente seja o dobro da abscissa do ponto de contato. 23. Achar a equação da curva cuja subtangente num ponto P(x,y) seja igual à ordenada de P. 24. Uma curva dada passa pelos pontos (0,0) e (3,9). Achar a sua equação sabendo que a mesma tem a propriedade de dividir o retângulo formado pelos eixos coordenados e pelas retas paralelas a estes, tomadas por um ponto P(x,y), em duas partes, sendo a área de uma dela o triplo da outra. 25. Achar a equação da família de curvas em que a subnormal, num ponto P(x,y) seja igual à abscissa desse ponto.

2 26. Um marca passo, como indicado na figura abaixo, consiste em uma bateria, um capacitor e o coração como resistor. Quando a chave S está em P, o capacitor C é carregado; quando S está em Q, o capacitor R descarregado, enviando um impulso elétrico ao coração. Durante esse tempo, a voltagem E aplicada ao coração é dada por 21 t, 1ttE RCdt dE<<−=, onde R e C são constantes.

Determine E(t) se E(t1)=E0. (É claro que a chave é aberta e fechada periodicamente para simular o batimento cardíaco natural.)

27. Em março de 1987 a população mundial atingiu cinco bilhões, e estava crescendo à taxa de 380 mil pessoas por dia. Assumindo-se taxas de natalidade e mortalidade constantes, para quando se deve esperar uma população mundial de 10 bilhões de pessoas. 28. É um fato da física que os elementos radioativos se desintegram espontaneamente em um processo chamado decaimento radioativo. Os experimentos têm mostrado que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade de elemento presente. Sabe-se que a meia-vida específica do carbono-14 radioativo está em torno de 5730 anos. Em 1988, o Vaticano autorizou o Museu Britânico a datar a relíquia de pano conhecida como o Sudário de Turim, possivelmente o sudário de Jesus de Nazaré. Este pano, que apareceu em 1356, contém o negativo da imagem de um corpo humano que se acreditava no mundo inteiro ser o de Jesus. O relatório do Museu mostrou que as fibras no pano continham entre 92 e 93% do carbono-14 original. Use esta informação para estimar a idade do sudário. 29. Ache uma curva do plano xy que passa pelo ponto P(0,3) e cuja reta tangente em um ponto qualquer tem inclinação 2x/y2. 30. Uma bala de massa m=3.56x10-3kg é disparada para cima com uma velocidade inicial vo=988m/s, e torna-se mais lenta pela força da gravidade e uma força de resistência do ar de kv2, sendo k=7.3x10-6kg/m. Determine a altura máxima atingida pela bala.(Considere g=9,8m/s2)

Coração R

23 31. Considere um compartimento que contém 3 litros de água salgada. Suponha que água, contendo 25 gramas de sal por litro, esteja sendo bombeada no compartimento a uma taxa de 2 litros por hora, e a mistura, que é homogeneizada continuamente é bombeada para fora do compartimento com a mesma taxa. Encontre a concentração de sal na mistura após 3 horas. 32. Em uma certa floresta tropical, “restos vegetais” (principalmente devido à vegetação morta) se acumulam no solo a uma taxa de 10 g/cm2/ano. Ao mesmo tempo, entretanto, estes restos vegetais se decompõem a uma taxa de 80% ao ano. Determine a quantidade de restos vegetais, em g/cm2, após 5 anos, sabendo-se que inicialmente esta quantidade era de 300g/cm2. 3. Um assado pesando 5 libras, inicialmente a 50ºF, é posto num forno a 375ºF às 5 horas da tarde. Depois de 75 minutos a temperatura do assado é de 125ºF. Quando será a temperatura do assado de 150ºF (meio mal passado). 34. Uma pedra é solta a partir do repouso de uma altura h acima da superfície da

Terra. Desprezando a resistência do ar, qual a velocidade com que atinge o solo? 35. Um tanque hemisférico tem raio do topo de 121.92cm e no instante t=0s está cheio de água. Neste momento um buraco circular com diâmetro de 2.54cm é aberto no fundo do tanque. Quanto demorará para que toda a água do tanque tenha escoado? (Dica: Use a equação de Torricelligyadt dyyA2)(−= e g=9,8m/s2 para

chegar a ydt dyyy 6424

36. Um aterrissador lunar está em queda livre em direção à superfície da lua a uma velocidade de 1000mi/h. Seus foguetes retro propulsores, quando disparados no espaço livre, produzem uma desaceleração de 33000mi/h2. A que altura da superfície lunar devem os foguetes retro propulsores ser ativados para assegurar um pouso suave (v=0) no impacto? (Considere gLua=13kmi/h2 e rLua=1,08kmi) 37. Suponha que uma corda flexível de 4 pés de extensão começa com 3 pés de seu comprimento arrumados num monte bem junto à borda de uma mesa horizontal, com o resto pendurado (em repouso) para fora da mesa. No instante t=0 o monte começa a desenrolar e a corda começa gradualmente a cair para fora da mesa, sob a força da gravidade puxando a parte pendurada. Assumindo que as forças de atrito de quaisquer tipo sejam negligenciáveis, quanto tempo levará para toda a corda cair para fora da mesa? (Dica: )()(dt dxvdt dvxdt xvdgx+==ωωω. Você

T, onde 32secxu= que

deverá der resolvida pela Regra de Simpsom com 100 subintervalos ou por integração numérica.)

2) CKx ey+=

a) 222Cyx=+f)Cyx=+3
c) Cyxy++=2ln2h) θsenCr=
d )Cxy+=2i) θ2cos2Cr=

A(∞) = 600 gramas

24) xxy243you 3

Curvas integrais: Família de curvas que representa a solução geral de uma equação diferencial.

Envolvida:

É cada uma das curvas integrais. Representa geometricamente uma solução particular da equação.

Envoltória:

É a curva tangente, em cada um dos seus pontos, a uma curva da família de curvas integrais. (Cf. PISKOUNOV N. Cálculo diferencial e integral. V I, Porto: Lopes da Silva, 1984, p. 43).

Equação da envoltória: Seja a família de envolvidas cuja equação é dada por y = f(x, C)0),,(=⇔CyxF, onde C é um parâmetro com as seguintes características: Nas envolvidas, C é uma constante;

25 Na envoltória y = g(x), C é uma função de x e y, ou seja, C=C(x,y)≠constante.

Um ponto P(x,y) pertencente à envoltória também satisfaz a equação F(x, y, C(x,y))=0, pois pertence a certa curva da família.

Neste ponto P(x,y),

edx dy⎟⎠⎞⎜⎝⎛ é a declividade da reta tangente à envolvida e;

Edx dy⎟⎠⎞⎜⎝⎛ é a declividade da reta tangente à envoltória E

Derivando F(x, y, C(x,y))=0 em relação a x, vem: 0=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂xyyCCFxCCFxyyFxxx

F (1)

Nas envolvidas, como C= constante, vem de (1):0 ,0.≠∂

F x dxdydxdyyFx F.

Na envoltória, como em qualquer ponto P (x,y)

0.0=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ∂∂∂∂+∂∂∂∂⇒=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂ xyyCxCCFxyyCCFxCC

Como C = C(x,y) ≠ constante, vem que 0=∂∂C F.

Daí, a equação da envoltória é dada resolvendo-se o seguinte sistema:

0=y))C(x, y, F(x, .

1) Dar a envoltória das seguintes famílias de curvas, onde α é o parâmetro. Represente num mesmo sistema cartesiano as curvas integrais e sua envoltória:

02) Determinar a envoltória da família de retas que forma com os semi-eixos positivos um triângulo de área constante igual a 20.

e e

Solução singular de uma equação diferencial: Conceito: A solução singular de uma equação diferencial é uma solução que satisfaz a equação, mas não é uma de suas soluções particulares. Geometricamente, a solução singular é representada pela envoltória das curvas integrais, quando esta envoltória existe. Isto decorre do fato de que em cada ponto (x0, y0) da envoltória, o coeficiente angular da reta tangente à envoltória e à curva integral corresponde a dx dy0. Assim, os elementos x0, y0 e dx dy0 em cada ponto da envoltória satisfazem a equação diferencial F(x,y,

dy)=0, uma vez que são sempre elementos de uma linha integral

01) Encontre a solução singular da equação dydxyx=−21.. Represente geometricamente a solução geral e a singular num mesmo sistema cartesiano.

02) Obter a solução geral e singular das seguintes equações:

dyyb) y - x.dx

c) y = 2 dy +

(Parte 4 de 9)

Comentários