equações diferenciais

equações diferenciais

(Parte 5 de 9)

2 2x d) y = x.dx dy - lndx dy

Resposta:

02) a) (x-C)2 + y2 = 1 e y =1± b) y = Cx + C2 e y = - 4 2x c) y = 2 2x +Cx + C2 e y = 4 2x d) y = Cx – lnC e y = 1+lnx e) CxCy4422−= e como solução singular o ponto P(0,0).

27 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM E GRAU

DIFERENTE DE 1:

Conceito: São as equações da forma ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=dx dyfdx dyxy.

Resolução: Chamando pdx dy= a equação de Clairaut fica ()pfxpy+=.

Derivando a equação anterior em relação a x, teremos:

dx dppfpdx dpxdx

Logo p=C e a solução geral será: ()CfCxy+=

Derivando a solução geral parcialmente em relação ao parâmetro C, teremos 0)('=+Cfx, que é a condição para obtermos a solução singular.

Resolva as seguintes equações e obtenha uma solução singular: 1. 'ln1'yxyy−+=

dy

dyx

dy

Aplicações: 1. Achar a curva, em que a soma dos segmentos determinados sobre os eixos cartesianos pela reta tangente seja igual a k. 12. Achar a curva, em que o produto dos segmentos determinados sobre os eixos cartesianos pela reta tangente seja igual a k.

1. lnx2y, ln1+=−+=ccxy
2. 323427y, xccxy=−=
3. x-xlnxy, =−=cecxy

Respostas:

x-y,
5. yccxy4x, 2=−=
6. yccxy12x, 322−=+=
7. 232274y, 1xc
8. ()()xcxyc165-y, 0452==++−
9. 4/27y, /1232xccxy−=−=
10. 22x-1y, 1=++=ccxy

dyxfy.

Resolução: Chamando pdx dy= a equação de Lagrange fica ()pgpxfy+=)(.

Derivando a equação anterior em relação a x, teremos:

dx dppgpfdx dppxfdx

pfp pgx pfp pfdpdx−=−− (que é uma equação linear).

Como em geral não será possível isolar p na solução da equação linear anterior, a solução geral da equação de Lagrange será dada na forma paramétrica:

)( pyy pxx

Resolva as seguintes equações:

1. dxdydy dxxy−= dyxy

dyy

dyxdx dyy 2

6. dxdy edx dyy .2

7. dxdydx dyy ln22

8. dydxdx dyxy+=2

Aplicação: 1. Achar a curva em que a reta tangente em qualquer ponto P, da curva, seja bissetriz do ângulo formado pela reta vertical que passa por P e pela reta que une P à origem.

Respostas:

pCppp y

Cppp px

Cp Cy p Cx 2

2pepcy pcex p pcpy pcpx

−= ppcy ppcx epy cpeex .2

−= ppy pcpx ln2 p Cpy p Cpx ln 2

Carcsenppx

30 EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM SUPERIOR

Tipos especiais de equações de 2ª ordem:

yd=

Solução:

xfdx yd = dxxfdx dydxfdxdydx vem:

yd

yd=:

Faz-se )( ,xpppdx dy== , vem: dxdpdx

Assim, tem-se dx dp ),(pxf=, que é uma equação de primeira ordem em relação a p, cuja solução geral desta equação é p =F(x, C1).

Como p=dx dy, vem:

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