equações diferenciais

equações diferenciais

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Ex.: Resolva as equações:

3º) Equação do tipo )(2 yfdx yd=:

Faz-se )( ,ypppdx dy==, donde vem:

dy dppdxdydydpdxdpdx

Cdyyf dydxCdyyfdx dyCdyyfdxdy que é uma equação de variáveis separadas em x e y.

Ex.: Resolva a equação y+9y = 0

Ex: Uma partícula de massa m se desloca ao longo do eixo dos x atraída por outra, situada na origem, com a força F = -4mx-3, sendo x > 0. Determinar a equação do movimento, sabendo-se que para t =0 se tem x = 2 e a velocidade v = -3.

yd=:

Procedendo de modo análogo ao anterior, a equação se reduz a ),(pyfdy dpp=.

Resolvendo-a em relação a p e substituindo pelo seu valor dx dy, obtém-se uma equação de variáveis separadas.

Ex.: Resolver a equação y.y - y2.y=(y)2

Equações lineares de ordem superior Forma: Equações diferenciais lineares de ordem superior são as equações da forma

ByAdx dyAdx ydAdx ydAdx

1L (1), onde Ai e B são constantes ou

funções de x, com i = 0n. Quando B=0 diremos que a equação é linear homogênea.

Resolução: Iremos inicialmente resolver as equações lineares homogêneas de coeficientes constantes.

Observe que se fizermos An=...=A2=0 teremos uma equação linear de primeira ordem cuja solução particular pode ser da forma rxey=. Impondo que tal solução seja também uma solução particular da equação linear homogênea de coeficientes constantes, teremos a equação polinomial

Em relação à equação característica podemos ter três casos a considerar: i. Todas as raízes da equação característica são reais e distintas

Sejam nrrrr ,..., , ,321 as raízes reais e distintas da equação característica, então a solução geral será dada por:

i. A equação característica tem raízes complexas Sejam bjar+=1 e bjar−=2 as raízes complexas da equação característica

00122=++ArArA, proveniente da equação linear de segunda ordem ydA, então a solução geral será dada por:

i. A equação característica tem raízes múltiplas Sejam 21rr= raízes múltiplas da equação característica 00122=++ArArA, proveniente da equação linear de segunda ordem ByAdx dyAdx ydA =++ 0122 2, então a solução geral será dada por:

EXERCÍCIOS: Encontre a solução geral para cada equação dada: 1. 0'y"y4=+

15. 0dx yddx yddx

Resolva as seguintes equações sujeita às condições indicadas: 17. -2(0)y' e 2y(0) ,0y16''y===+

21. 1(1)y' e 0y(1),02'3''===+−y

Respostas:

3coscexccy 43

EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS A solução geral de uma equação linear não homogênea tem a forma:

pcyyy+= , onde:

yc é chamada solução característica ou complementar e é determinada resolvendo a equação linear como se fosse homogênea; já para determinarmos yp, denominada solução particular, dispomos dos seguintes métodos:

i. Método dos coeficientes a determinar ou método de Descartes i. Método da variação de parâmetros ou método de Lagrange i. Método do operador derivada D.

Neste método impõem-se uma solução particular, de acordo com a forma do termo independente da equação linear. Podemos dividir este método nos seguintes casos particulares:

1° caso: O termo independente B é uma exponencial da forma axeB=. A solução particular terá a forma:

axhpeAxy= , onde h é a multiplicidade da raiz r=a na equação característica e A é um coeficiente a determinar.

2° caso: O termo independente B é da forma senaxB= ou axBcos=. A solução particular terá a forma:

)cos(axBAsenaxxyhp+= , onde h é a multiplicidade da raiz r=aj na equação característica e A e B são coeficientes a determinar.

3° caso: O termo independente B é um polinômio de grau m. A solução particular será um polinômio de grau m+r, onde r é a ordem da derivada de menor ordem da equação linear.

4° caso: O termo independente B é uma soma, subtração ou multiplicação de exponenciais, polinômios, senos ou cossenos. A solução particular será uma soma, subtração ou multiplicação dos termos do termo independente.

EXERCÌCIOS: Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método dos coeficientes a determinar: 1. 62'3"=++y

10. 1edx yddx yd2dx yd x yd

Resolva as seguintes equações diferenciais, sujeita às condições iniciais dadas:

xdoωω

25. ttFtsenFx o ωωωω cos 2−=

MÉTODO DA VARIAÇÃO DE PARÂMETROS (LAGRANGE) Vamos desenvolver o método inicialmente para uma equação linear de segunda ordem

ByAdx dyAdx solução particular será dada por 2211yuyuyp+=, onde 21 e u são funções que serão determinadas pela resolução do sistema:

Byuyu yuyu

EXERCÍCIOS: Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método da variação de parâmetros:

333cos xtgxsenxBsenxAy

8. 244 xsenhxBeAexexeBeAey x

MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA Conceito: Dada uma função definida por y=f(x), chama-se operador derivada, denotado por D, a

dD=,

3 dx

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