Aula - 02 - Integral - Indefinida

Aula - 02 - Integral - Indefinida

Métodos de Cálculo II

  • Aula - 2

Antiderivação e Integração

  • Antiderivação e Integração

    • Antiderivação é uma operação que consiste em encontrar uma função F cuja derivada (F ‘) é uma função conhecida f. Se a função F existir, ela é chamada antiderivada de f.
  • Exemplo

    • Seja . Uma antiderivada de f é:
    • pois .
    • Costuma-se chamar a operação de antiderivação também por integração e a antiderivada de integral.

Antiderivação e Integração

  • Antiderivação e Integração

    • Todas integrais indefinidas devem ter o complemento “ +C” em sua solução pois muitas funções têm a mesma derivada.
    • A integral indefinida é aquela para a qual não foi definida um intervalo de valores, portanto, ela é uma função ou família de funções;
    • A integral definida é aquela definida dentro de um certo intervalo e calculada neste intervalo, portanto, ela é um número.

Integral Indefinida

  • Integral Indefinida

    • A operação que envolve uma integral indefinida consiste em achar sua primitiva, ou seja, é a mesma operação que consiste em achar uma antiderivada. O que muda então?
    • A notação!
    • Para denotar a integral de uma função passaremos a utilizar a seguinte notação:
    • Seja . Uma primitiva de f é:
    • pois . Assim, a nova notação estabelece que:

Exemplo

  • Exemplo

    • A integral de é:
    • A integral de é:
    • A integral de é:
    • A integral de é:
    • ...

Outro Exemplo

  • Outro Exemplo

    • A função é uma primitiva da função
    • f(x)=cos2x pois .
    • Fazendo,
    • Não é uma tarefa muito fácil encontrar a primitiva de certas funções, mas existem métodos para isto e iremos aprender alguns deles.

Definição simbólica

  • Definição simbólica

    • Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é chamada integral indefinida da função f(x) e é representada pela expressão:
    • O símbolo “dx” que aparece na fórmula serve para identificar a variável sobre a qual se processa a integração.

Exemplo

  • Exemplo

    • Significa que a operação de integração incide sobre a variável “x”.
    • Significa que a operação de integração incide sobre a variável “y”.

Integral de uma função constante

  • Integral de uma função constante

    • Uma primitiva de uma função constante f(x)=k, é a função linear F(x)=k.x, pois F’(x) = (k.x)’ = k. Logo:
  • Exemplo

Integral de uma função potência

  • Integral de uma função potência

    • Seja, por exemplo, f(x)=x4.
    • Uma primitiva de f(x) é pois F’(x)=x4. Logo:
    • Portanto, uma primitiva da função f(x)=xn, com n-1, é a função

Caso especial de Integral de uma função potência

  • Caso especial de Integral de uma função potência

    • Seja, por exemplo, f(x)=x-1=1/x.
    • Uma primitiva de f(x)=1/x é a função F(x)=ln|x|, portanto:

Integral de função exponencial

  • Integral de função exponencial

  • Integrais de funções trigonométricas

Integrais de funções trigonométricas

  • Integrais de funções trigonométricas

  • Integral das funções inversas

Propriedades

  • Propriedades

    • Integral da soma
    • Exemplo

Propriedades

  • Propriedades

    • Integral da diferença
    • Exemplo

Técnicas de Integração

  • Técnicas de Integração

    • Método da Substituição: A chave do método da substituição é dividir a função em partes e depois encontrar uma parte da função cuja derivada também faça parte dela.
  • Exemplo

    • Podemos dividir a equação acima em duas partes:
      • sen x.dx e
      • cos x.
    • Repare que a derivada do cos x é sen x, portanto, a derivada do cosseno faz parte da função.

Passos:

  • Passos:

    • Procure na função pela parte cuja derivada esteja na função. Se você estiver em dúvida, tente usar a que está no denominador ou alguma expressão que esteja sendo elevada a uma potência;
    • Chame-a de “u” e tome sua derivada com relação ao diferencial (dx, dy, dt, etc.). Acrescentando esse diferencial;
    • Use as expressões “u” e “du” para substituir as partes da integral original;
    • A sua nova integral será mais fácil de ser calculada, mas não esqueça de, ao final, desfazer a substituição.

Exemplo

  • Exemplo

    • Use o método de substituição para encontrar a integral:
  • Solução

    • Devemos escolher parte da função cuja derivada esteja na função, como a derivada de sen x = cos x e a derivada do cos x = sen x, e, ambas estão na função, na dúvida... selecionamos a parte que está no denominador, isto é: cos x;
    • Chamamos u = cos x;
    • Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = - sen x.dx;
    • Como na função original a função seno é positiva, basta multiplicar ambos os lados por –1 para que ela fique positiva;

Solução

  • Solução

    • Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e “du”;
    • Integral original:
    • Nova integral:
    • Que também pode ser re-escrito como:

Solução

  • Solução

    • Basta calcular: ;
    • O passo final é desfazer a substituição de u pelo o valor da original:

Outro Exemplo

  • Outro Exemplo

    • Use o método de substituição para encontrar a integral:
  • Solução

    • Chamamos u = 3x;
    • Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = 3.dx;
    • Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e “du”;
    • Note que 3.dx não está na equação original, apenas dx. Para ficar apenas com dx, fazemos:

Solução

  • Solução

    • Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e “du”;
    • Integral original:
    • Nova integral:
    • Que também pode ser re-escrita:

Solução

  • Solução

    • Calculando , temos:
    • Substituindo u pelo seu valor original, teremos:

Técnicas de Integração

  • Técnicas de Integração

    • Integração por partes:
      • No Cálculo-I, quando calculávamos a derivada do produto de duas funções aplicávamos uma regra: chamávamos uma das funções de u, a outra função de v e sua derivada era dada por u’v + uv’.
    • Exemplo
      • Seja f(x)= ex.senx. Chamamos u=ex, v=senx e f’(x)=ex.senx+ex.cosx.
    • A integração por partes irá se aplicar a esses casos em que a função é constituída por um produto e também nos casos em que uma das funções pode ser derivada repetidamente e a outra pode ser integrada repetidamente.

Técnicas de Integração

  • Técnicas de Integração

    • Integração por partes:
      • Assim, considere f(x) e g(x) duas funções deriváveis. A regra do produto nos diz que:
    • Ou, dito de outra maneira:

Técnicas de Integração

  • Técnicas de Integração

    • Em termos de integrais indefinidas, a equação se torna:

Rearranjando os termos, temos:

    • Rearranjando os termos, temos:
    • Que é a fórmula da integração por partes.
    • Porém essa fórmula é mais facilmente lembrada na forma diferencial. Sejam:
      • u = f(x) du = f’(x)dx;
      • v = g(x) dv = g’(x)dx.
    • Usando a regra de substituição, a fórmula acima pode ser simplificada para:

Exemplo-1:

  • Exemplo-1:

    • Usando o método da integração por partes, determine:
  • Solução

    • Usamos a fórmula simplificada da integração por partes, fazendo:
      • u = x, du = dx;
      • v = senx, dv = cosxdx.
    • Então:

Observações

  • Observações

    • O objetivo da integração por partes é passar de uma integral que não sabemos como calcular para uma integral que podemos calcular.
    • Geralmente, escolhemos dv primeiro sendo a parte do integrando, incluindo dx, que sabemos integrar de maneira imediata; u é a parte restante.
    • Lembre-se de que a integração por partes nem sempre funciona.

Bibliografia utilizada:

  • Bibliografia utilizada:

    • Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992.
    • Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006.
    • Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.
    • Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979.
    • Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.

Comentários